河北省邯郸市2024-2025学年高一(上)期末质量检测数学试卷（解析版）

这是一份河北省邯郸市2024-2025学年高一(上)期末质量检测数学试卷（解析版），共11页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 若集合，，则（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】由，，则.
故选：A.
2. 命题“，”的否定是（ ）
A. ，B. ，
C. ，D. ，
【答案】C
【解析】由特称命题的否定为全称命题，则 “，”的否定是：，
故选：C.
3. 的值为（ ）
A. 0B. 1C. D.
【答案】B
【解析】.
故选：B.
4. 若，，，则a，b，c的大小关系是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】因为，所以，又，所以
故选：
5. 某商场“双十二”期间搞促销活动，规定如表：如果顾客购物的总金额不超过600元，不享受折扣优惠；如果顾客的购物总金额超过600元，那么超过600元的部分享受折扣优惠，折扣优惠按如表计算.
李女士在商场获得的折扣优惠金额为60元，则她实际所付金额为（ ）
A. 1600元B. 1540元C. 1400元D. 1340元
【答案】D
【解析】设李女士在商场购物的总金额为x元，
由题意可得：，则，
解得，即她实际所付金额为元．
故选：
6. 折扇在中国已有三千多年的历史，“扇”与“善”谐音，折扇也寓意“善良”“善行”.它常以字画的形式体现我国的传统文化(如图1)，也是“运筹帷幄”“决胜千里”“大智大勇”的象征，图2为其结构简化图.若在圆形纸张上剪下一把扇形的扇子(扇形的半径和圆形纸张的半径相同)，记该扇形的面积为，剩下的图形面积为，若与的比值满足黄金分割值，则扇子的圆心角大约为（ ）（参考数据）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】设扇形的圆心角为，半径为r，则，，
所以，解得.
故选：C.
7. “”是“函数的图象不经过第一象限”的（ ）
A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件
C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件
【答案】B
【解析】由图象不经过第一象限，则，解得，而，故是图象不经过第一象限的必要不充分条件．
故选：B.
8. 已知函数，的最小正周期，若函数在上单调，且关于直线对称，则符合要求的的所有值的和是（ ）
A. B. 2C. 5D.
【答案】D
【解析】函数的最小正周期且，得，
由于在上单调，该区间长度小于等于半个周期，即，得，
综上，，
又关于直线对称，所以，解得，，
在的范围内，满足条件的值为和和，
验证可知，这两个值均满足函数在上单调，
因此，符合要求的所有值的和为
故选：D.
二、多选题：本题共3小题，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得2分，有选错的得0分.
9. 下列说法正确的是（ ）
A. 若，则
B. 若，则
C. 若，则
D. 若，，则
【答案】ACD
【解析】，，
，，A正确；
时，，B错误；
，，C正确；
，
且，，
则，D正确．
故选：.
10. 已知函数的图象关于原点对称，则下列结论正确的是（ ）
A. B. 函数在上单调递减
C. 函数的值域为RD. 若，则
【答案】AC
【解析】对于A，因为函数的图象关于原点对称，所以函数为奇函数，定义域关于原点对称，由，可得，
令，得或，所以，解得，正确；
对于B，因为，，
因为在上单调递增，在定义域上单调递增，
所以在上单调递增，又为奇函数，
所以函数在上单调递增，错误；
对于C，因为，
当x趋于时，趋于0，趋于；
当x趋于1时，趋于，趋于；
所以函数的值域为R，正确；
对于D，由，可得，所以，解得，
又，所以，错误．
故选：AC.
11. 已知二次函数满足，且，则下列结论正确的是（ ）
A. 的解析式是
B. ，，总有
C. 方程有3个不等的实根
D. 若，则函数在内不存在零点
【答案】AC
【解析】对于A，设二次函数，
由，可得，
则，
所以，解得，所以，
又，所以，则，正确；
对于B，因为，
，
所以，
所以，错误；
对于C，令，由，得，解得，，
由，可得，此时，有两个不等根；
由，可得，解得，
所以方程有3个不等的实根，正确；
对于D，，
函数在上连续，令，则有，
作出函数与图象，如图所示：
由此可得两函数在内有2个交点，
所以函数在内有2个零点，错误．
故选：AC.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12. ______.
【答案】
【解析】
故答案为：.
13. 若函数和满足下列条件：
①；②
请写出符合条件的一组函数表达式：_______，_______.
【答案】 (答案不唯一)
【解析】由①得，结合②可得，，
或者，，或者等符合条件的表达式均可．
故答案为：；(答案不唯一)
14. 已知函数在上有两个零点，，则当______时，取得最小值.
【答案】4
【解析】函数在上有两个零点，，
可得，可得，
且，，
所以，则此时
故答案为：
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.
15. 已知集合，
（1）当时，求；
（2）若，求实数t的取值范围.
解：（1）当时，，，则或，故；
（2）若，
当时，，即，
当时，，解得，
综上，t的范围为或
16. 已知函数 .
（1）求的最小正周期及单调递增区间；
（2）求在区间上的最大值和最小值．
解：（1）因为
，
所以最小正周期为：；
由得，
即单调递增区间：；
（2）因为，所以，
因此，
当即时，取最小值；
当即时，取最大值；
17. 如图，在平面直角坐标系中，锐角的始边与x轴的非负半轴重合，终边与单位圆O交于点P，过P作圆O的切线交x轴的正半轴于，交y轴的正半轴于
（1）用表示的面积，并求其最小值；
（2）当变化时，的周长是否有最小值？若有，求出最小值；若没有，说明理由.
解：（1）由题意可得：，，
则直线MN的方程为，
则，，则，，
又，则时，
的面积取最小值1；
（2）由题意可得：的周长为，
令，
则，则的周长为，
即当变化时，的周长有最小值，且最小值为
18. 若函数为奇函数，为偶函数，且满足
（1）求和的解析式；
（2）记；
（i）判断的奇偶性，并用定义证明的单调性；
（ii）若成立，求实数t的取值范围.
解：（1）由①，得，
根据和的奇偶性，得②，
由①和②，得，.
（2）（i）由，则为奇函数，
又，
任取，，且，有，
因为函数在R上单调递增，所以，
因此，即，则在R上单调递减．
（ii）因为，所以，
所以，因此，则，解得，
所以实数t的取值范围是.
19. 关于实数大小关系的基本事实是解决等式或不等式问题的逻辑基础.两个正数的大小关系是完全确定的，但通过运算就会产生非常奇妙的变化，基本不等式就是其中之一.通过运算代数变形可以解决很多关于基本不等式的问题.
例如此题：已知a，b为正实数，且，则的最小值为_____.
其解法如下，当且仅当，即时，等号成立，因此的最小值为
波利亚在《怎样解题》中指出：“当你找到第一个蘑菇或作出第一个发现后，再四处看看，他们总是成群生长”.根据上述材料解决以下问题.
（1）已知a，b，c为正实数，且，求证：；
（2）已知，，且，则的最小值是多少？
（3）某同学在解决题目“已知x为正实数，y为非负实数，且，则的最小值是多少？”时，给出如下解法：
令则化为
原式当且仅当即，即，时，等号成立.
利用上述解题思路和数学逻辑思维，解决如下问题：已知a，，，则的最大值是多少？
（1）证明：，
当且仅当，即时，等号成立，得证．
（2），
当且仅当，即，时，等号成立，
则的最小值是
（3），
令，原式，令，
原式，
当且仅当，即，时，等号成立．
所以的最大值为享受折扣的购物金额
折扣优惠
超过600元不超过1200元部分
超过1200元的部分