新高考数学二轮复习解答题提分训练专题02 构造法求数列通项（2份，原卷版+解析版）

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1.已知满足,求数列的通项公式.
【解析】
根据原式,设,整理得,题干中,根据对应项系数相等得.,令,,所以是为首项,为公比的等比数列.即,.
2.已知数列中,,,求数列的通项公式.
【解析】
设,整理得,题干中,根据对应项系数相等,解得,故令,则,且.所以是为首项,为公比的等比数列.所以,即
3.已知数列中,,,求数列的通项公式.
【解析】
设,即,题干中,根据对应项系数相等,解得,故令,则,且.所以是3为首项,3为公比的等比数列.所以,即
4．已知数列满足.
(1)求的通项公式；
(2)求的前n项和.
【答案】(1)；
(2).
【解析】
(1)， 即
数列是以首相为，公比为的等比数列，

(2)由（1）知
5．已知数列满足.
(1)证明为等比数列，并求的通项公式；
(2)记数列的前项和为，证明.
【答案】(1)证明见解析，
(2)见解析
【解析】
(1)证明：因为，
所以，
又，
所以数列是以2为首项，3为公比的等比数列，
则，
所以；
(2)证明：由（1）得，
因为，，
所以数列是以为首项，为公比的等比数列，
则，
因为，
所以.
6．已知数列的首项，且．
(1)求数列的通项公式；
(2)若数列满足，求数列的前n项和．
【答案】(1)
(2)
【解析】
(1)∵，等式两边同时加1整理得
又∵，∴
∴是首项为2，公比为2的等比数列．
∴， ∴
(2)∵， ∴.
记的前n项和为
则
所以
相减得
整理得.
所以
7．已知数列的前n项和为，，且．
(1)求数列的通项公式；
(2)令，记数列的前n项和为，求证：．
【答案】(1)
(2)证明见解析
【解析】
(1)解：因为，，所以，所以是以为首项，为公比的等比数列，所以，所以；
(2)解：由（1）可知，所以①，所以②；
①②得
所以；
二:待定系数之型构造等比数列
8.设数列满足,,求数列的通项公式.
【解析】
将递推公式转化为,化简后得,与原递推式比较,对应项的系数相等,得,解得,令,则,又,故,,得.
9.已知数列是首项为.
(1)求通项公式;
(2) 求数列的前项和.
【解析】
因为2 ),且,所以数列是以1为首项,为公比的等比数列,则,即.
10.已知数列和的前项和,对于任意的是二次方程的两根.
(1)求和通项公式;
(2)的前项和.
【解析】
因为是一元二次方程的两个根,所以,由 得,两式相减得,所以 ,令,则,比较 以上两式的系数,得,解得.所以.又 ,,所以数列是以为首项、为公比的等比数列.所以 ,所以
三:待定系数之型构造数列
11.已知数列中,求的通项公式.
【解析】
解法一:构造数列,化简成题干结构得,
对应项系数相等得,设,,所以数列是以为首项,为公比的等比数列,,所以.
解法二:将两边分别除,也就是乘,为方便计算,我们等式两边同乘,得
令,则,这又回到了构造一的方法,根据待定系数法,得,所以数列是首项为,公比为的等比数列.所以即.所以.
解法三:将两边分别除,也就是乘,得令
,则,所以
将以上各式叠加,得,又
,所以,即所以.
12.已知数列满足,求数列的通项公式.
【解析】
解法一:设,待定系数法得,则数列是首项为,公比为的等比数列,所以,即.
解法二:(两边同除以 ) 两边同时除以得:,下面解法略.
解法三:(两边同除以)两边同时除以得:,下面解法略.
13.已知数列满足.
(1)判断数列是否为等差数列,并说明理由;
(2)记为数列的前项和,求.
【解析】
(1)数列满足,所以2. ,所以数列为等差数列,首项为0，公差为2.
(2)由(1)可得:,可得:,所以
四:同型构造法
14.已知数列满足,求.
【解析】
因为,所以令,则,即是常数数列,所以,即.
15.已知数列中,且,求数列的通项公式.
【解析】
因为,所以令,则,即是常数数列,所以因此
16.已知数列中,且,求数列的通项公式.
【解析】
,等式两侧同除,形成,令,则,这又回到了构造一的形式,所以,是以2为首项,2为公比的等差数列,即, ,所以,.
17.已知,且,求数列的通项公式.
【解析】
等式两侧同除,得,即,,另，所以,接下来就是叠加法发挥作用的时候了
……
叠加得,,所以，即，.
18.已知数列满足,求数列的通项公式.
【解析】
将等式两边同时除以得,,所以是以为首项,3为公差的等差数列,即,所以.
19.已知数列满足,,求数列的通项公式.
【解析】
等式两侧同除,得,即 ,另，所以,接下来依旧是叠加法
……
叠加得,,,即,,当时,代入题干原式得,经检验可以合并,.
20已知数列前项的和为,且满足.
(1)求的值;
(2)求的通项公式.
【解析】
(1)当时,因为,所以.
当时,因为,所以.
(2) ,所以当时,所以,即
所以令,则,即是常数数列,所以因此.
五:取倒数构造等差
21.已知数列的首项,证明:数列是等比数列并求的通项公式.
【解析】
因为,所以,所以是以 为首项,为公比的等比数列,所以.
22.已知数列,求的通项公式.
【答案】
【解析】由已知得,则,即.所以数列 是以为公差的等差数列.所以,即.
23.已知数列的前项和为,且满足.
(1)求证:是等差数列.
(2)求的表达式.
【解析】
(1)因为 ,所以,两边同除以得:,故是以为首项,2为公差的等差数列,即,所以.
(2).
24.已知正项数列满足，且
(1)求正项数列的通项公式；
(2)求和．
【答案】(1) (2)
【解析】
(1)由可变形为： ∴ ．
∵∴数列是首项为2，公差为1的等差数列．
，∴．
(2)

25．已知正项数列满足，且．
(1)求数列的通项公式；
(2)记，记数列的前n项和为，证明：．
【答案】(1)
(2)证明见解析
【解析】
(1)数列中，，由，可得
又，则数列是首项为1公差为1的等差数列，则，
则数列的通项公式为
(2)由（1）知，则
则数列的前n项和
由，可得，即．
26．已知数列的通项公式为，
(1)求数列的通项公式.
(2)若，求满足条件的最大整数值.
【答案】(1) (2)99
【解析】
(1)解：因为，
所以，
则，
又，
所以数列是以为首项，为公比的等比数列，
所以，
所以，
所以；
(2)解：由（1）可得，
则，
由，则，
因为函数是增函数，
且当时，，
当时，，
所以满足的最大正整数的值为99.
六:取对数构造法
27.数列中, ,,求数列的通项公式.
【解析】
取以为底的对数(不能取为底,因为,不能作为对数的底数),得到,,设,则有,所以是以为首项,2为公比的等比数列,所以,所以,.
28.数列中,,,求数列的通项公式.
【解析】
取以为底的对数(这里知道为什么不能取为底数的对数了吧),得到,,设,则有,这又回归到构造二的情况,接下来的步骤大家应该都记得吧,由于这道题较为简单,所以直接可看出,所以是以为首项,2为公比的等比数列,所以,所以,,.
29.已知,点在函数的图像上,其中,求数列的通项公式.
【解析】
将代入函数得,,即
两边同时取以3为底的对数,得(为什么此题取以3为底的对数呢,大家思考下,新构造的数列首项为,,所以应当取以3为底,这样计算会简单很多,当然如果你计算能力较强,也可以取其他数作为底数).所以是以1为首项,2为公比的等比数列,即,,.
30.在数列中, ,当时,有,求数列的通项公式.
【解析】
由,得,即,两边同取以3为底的对数,得,即,所以数列是以1为首项,2为公比的等比数列,,,即.
七:二阶整体构造等比
31.已知数列满足,求数列的通项公式.
【解析】
由,故是以为首项,2为公比的等比数列,即,接下来就是叠加法啦,全部相加得:,所以.
32.已知数列中,,,,求数列的通项公式。
【解析】
由,故是以为首项, 为公比的等比数列,即,接下来就是叠加法啦,全部相加,利用等比数列求和得:,.
33.数列中,,,,求数列的通项公式。
【解析】
由,故是以为首项, 为公比的等比数列,即,接下来就是叠加法,全部相加,利用等比数列求和得:,.
34.已知数列满足,,,求数列的通项公式.
【解析】
看到这道例题,当我们希望通过构造为等比数列时,我们发现原式并不能转化成等比结构的形式.所以此例题我们需要引入两个系数,通过构造成等比来解决.设原等式,打开得到,对应项系数相等,解得,所以构造为首项为2,公比为2的等比数列,所以,即,这就回到了熟悉的型.下面的操作就看你们的了.
35.已知数列满足,,,求的通项公式.
【解析】
通过构造成等比来解决.设原等式,打开得到,对应项系数相等,解得或,我们发现解出两组结果,没关系,都是成立的,可以构造首项为,公比为的等比数列或构造为首项为1,公比为2的等比数列.我们都来尝试下.
构造一: ,即,这就回到了熟悉的型,设,待定系数法得,则数列是首项为,公比为的等比数列,所以,即.
构造二: ,即 ,设,待定系数法得,则数列是首项为,公比为的等比数列,所以,即.
36.设数列的前项和为.已知,且当时, .
(1)求的值；
(2)证明：为等比数列 ;
(3)求数列的通项公式.
【答案】
【解析】当时,,即
解得:;
(2)证明:
即,
数列是以为首项,公比为的等比数列;
(3)由(2)知,是以为首项,公比为的等比数列,
即,
是以为首项,4为公差的等差数列,,即
数列的通项公式是
37.数列满足.
(1)设,证明是等差数列;
(2)求的通项公式.
【答案】
【解析】
(1)证明:,,
又,
数列是以1为首项、2为公差的等差数列,
即数列是等差数列;
(2)由(1)可知
,
,
,
累加得,
,
数列的通项公式.
38．已知是数列的前项，.
(1)设，求数列与的通项公式.
(2)证明：.
【答案】(1)，
(2)证明见解析
【解析】
(1)当时，，
，即，
，
，
由条件知，
是以为首项，以为公比的等比数列，
所以，，
，
，
，
是以为首项，以为公差的等差数列，
所以，，即.
(2)由（1）得，，
，
两式相减得，，
，
解得，
所以，.