新高考数学二轮复习解答题提分训练专题08 数列之证明不等式（2份，原卷版+解析版）

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1．设数列的前项和为，且.
(1)求的通项公式；
(2)设，记的前项和为，证明：.
【答案】(1)
(2)证明见解析
【分析】（1）利用计算整理得，再利用等比数列的通项公式求解即可；
（2）将变形为，利用裂项相消法求，进一步观察证明不等式.
【详解】（1）①，
当时，②，
①-②得，即，
又当时，，解得，
数列是以2为首项，2为公比的等比数列，
；
（2）由（1）得，
，
因为，
2．已知等差数列满足，，的前n项和为．
(1)求及的通项公式；
(2)记，求证：．
【答案】(1)，
(2)证明见解析
【分析】（1）利用等差数列的通项公式列方程组求出首相和公差，进而可得通项公式和前项和；
（2）利用裂项相消法可求出，再根据的范围可得的范围，则可证明结论
【详解】（1）设等差数列的公差为，
则，解得，
，
；
（2）由（1）得，
，
即.
3．已知正项数列的前n项和为，.
(1)求数列的通项公式；
(2)设，数列的前n项和为，证明：.
【答案】(1)
(2)证明见解析
【分析】（1）利用计算整理，可得，再利用等差数列的通项公式得答案；
（2）将变形得，利用裂项相消法可得，进一步观察可得证明结论.
【详解】（1）①，
当时，②，
①-②得，
整理得，，
，
又当时，，解得，
数列是以2为首项，2为公差的等差数列，
；
（2）由（1）得，
，
，即
.
4．已知等比数列的前项和为，是等差数列，，，，.
(1)求和的通项公式；
(2)设的前项和为，，.求证：.
【答案】(1)；
(2)证明见解析
【分析】（1）运用等差数列和等比数列的通项公式，解方程可得公差、公比，即可得到所求通项；
（2）运用数列的裂项相消求和，结合不等式的性质，即可得证．
【详解】（1）①，②，③，
②①可得，
因为，所以，
设的公差为，则，即，
代入③可得，解得，所以；
由①②可得，，等比数列的公比为，所以.
（2），，
当为奇数时，，
．
由，有，即．
5．已知是数列的前n项和，且．
(1)求数列的通项公式；
(2)若，是的前项和，证明：．
【答案】(1)
(2)证明见解析
【分析】（1）根据与的关系求解；（2）利用裂项相消法求和即可证明.
【详解】（1）时，，
时，
经验证时
∴
（2）时
时，，
，
∴．
6．设为数列的前项和，，，成等差数列．
(1)求的通项公式；
(2)证明：．
【答案】(1)
(2)证明见解析
【分析】（1）由，，成等差数列可得，再利用与的关系进行求解；
（2）将代入，得出数列为等比数列，再使用等比数列前项和公式进行证明.
【详解】（1）∵，，成等差数列，
∴，即，
当时，，∴，
当时，由，有，
两式相减得，
即，∴，
又∵，∴数列中各项均不为，
∴（），
∴数列是首项，公比的等比数列，
∴数列的通项公式为.
（2）由第（1）问，数列是首项，公比的等比数列，
∴，
∴，
令 ，
当，，
则（），
∴数列，即是首项，公比为的等比数列，
∴，
∴得证.
7．已知公差不为0的等差数列的前项和为，、、成等差数列，且、、成等比数列．
(1)求的通项公式；
(2)若，数列的前项和为，证明：．
【答案】(1)
(2)证明见解析
【分析】（1）公式法列方程组解决即可；（2）运用裂项相消解决即可.
【详解】（1）由题知，
设的公差为，由题意得，
即，解得，
所以，
所以的通项公式为.
（2）证明：由（1）得，
所以，
所以．
8．已知正项数列的前项和为，且．
(1)求的通项公式；
(2)令，数列{}的前项和为，证明：对于任意的，都有．
【答案】(1)
(2)证明见解析
【分析】(1)应用与关系, 计算并检验,得出;
(2)由(1)得到,应用裂项相消,结合,即可得证.
【详解】（1）当n＝1时，，
当时，，n＝1时也适用，∴
（2），
，
，
又为n的增函数，∴当n＝1时，最小为，
9．等比数列中，，且，，成等差数列．
(1)求数列的通项公式；
(2)若数列，试求数列前项的和，并证明．
【答案】(1)
(2)，证明见解析
【分析】（1）公式法求通项即可；
（2）裂项相消解决即可.
【详解】（1）设等比数列的公比为，
因为，且，，成等差数列，
所以，
因为，
所以，
所以数列的通项公式为.
（2）由（1）得数列的通项公式为
所以数列，
所以数列前项的和

因为是递增数列，
所以，
所以.
10．已知等差数列的前项和为，，.
(1)求的通项公式；
(2)证明：.
【答案】(1)
(2)证明见解析
【分析】（1）利用等差数列通项和求和公式可构造方程组求得，由此可得；
（2）利用裂项相消法可求得，由可证得结论.
【详解】（1）设等差数列的公差为，
则，解得：，.
（2）由（1）得：，
，
，.
11．已知数列的前项和为,且.在数列中,,.
(1)求,的通项公式;
(2)设,数列的前项和为,证明:.
【答案】(1),,
(2)证明见解析
【分析】(1)根据,将代入即可求出通项公式,根据,将两边同时加1,构造为等比数列,求首项,求出的通项公式即可求出的通项公式;
(2)由(1)结论,得出通项公式,用乘公比错位相减可得到的通项公式,根据通项公式及单调性即可判断范围.
【详解】（1）解:由题知,
当时,,
当时,
,
,
;
,
,,
是以1为首项,为公比的等比数列,
,
,
综上: ,,
（2）由(1)知,,
,
的前项和
①
②
②-①得
,
,
故.
12．数列的各项均为正数，，当时，.
(1)证明：是等差数列，并求数列的通项公式；
(2)设，数列前项和为，证明：．
【答案】(1)证明见解析；
(2)证明见解析
【分析】（1）将递推式变形为，消去即可证明，再根据等差数列的通项公式求解即可；
（2）变形得，利用裂项相消法计算，再观察即可得结果.
【详解】（1）由得
因为数列的各项均为正数，故，
，又
所以是以1为首项，1为公差的等差数列.
即；
（2）由（1）得，
，
，
则，，
即.
13．已知等比数列的前n项和为，且.
(1)求数列的通项公式；
(2)证明：.
【答案】(1)；
(2)证明见解析.
【分析】（1）根据与的关系可得，结合条件即得；
（2）根据等比数列的求和公式即得.
【详解】（1）∵，
∴当时，，
∴，
∴，
故等比数列的公比q＝3，
令n＝1，得，
∴，
∴；
（2）由题可知，
∴，
∵，
∴.
14．已知为数列的前n项和，是公差为1的等差数列．
(1)求的通项公式；
(2)证明：．
【答案】(1)，
(2)证明见解析
【分析】（1）根据等差数列的定义求出，利用求出通项公式；
（2）利用裂项相消法求和得到，结合单调性得到最小值，从而得到不等式成立.
【详解】（1）因为，所以，
是公差为1的等差数列，
所以，
故，
当时，，
显然，
所以，.
（2），
所以
，
随着的变大，变大，故当时，取得最小值，
最小值为，且，
故.
15．已知数列满足，且.
(1)求数列的通项公式；
(2)设，求证：.
【答案】(1)
(2)证明见解析
【分析】（1）根据题意整理可得，讨论的奇偶性并结合等比数列通项公式运算求解；（2）利用错位相减进行求和运算，再利用放缩法并结合数列单调性证明．
【详解】（1）由得，两式相除得，
所以都是公比为2的等比数列，
由及得，
所以为奇数时，，
为偶数时，，
所以
（2）
，
则，
两式相减得，
所以，
因为，所以单调递增
所以成立，所以.
16．已知数列中为直角坐标平面上的点.对任意三点共线.
(1)求数列的通项公式；
(2)求证：.
【答案】(1)
(2)证明见解析
【分析】（1）根据向量共线的坐标表示：，整理得，即可判断数列是等差数列，结合等差数列通项公式运算求解；（2）根据裂项相消求和，，代入运算理解．
（1）
由题意得：，
三点共线，则，可得，即.
数列是首项为1公差为1的等差数列，所以.
（2）
，
所以
17．已知数列的各项均为正数，记为的前项和，（且）.
(1)求证：数列是等差数列，并求的通项公式：
(2)当时，求证：.
【答案】(1)证明见解析，
(2)证明见解析
【分析】（1）利用和的关系即可得到结果；
（2）利用裂项相消法，即可证明不等式.
【详解】（1）∵（且），
当时，，
，
又，所以，
，
数列是以为首项，公差为1的等差数列，
，所以.
当时，，
又满足上式，
数列的通项公式为.
（2）当时，，
故
所以对，都有.
18．在等差数列中，，．
(1)求数列的通项公式；
(2)设，为数列的前n项和，求证．
【答案】(1)
(2)证明见解析
【分析】（1）设等差数列的公差为d，再根据题意列基本量的关系式求解即可；
（2）代入可得，再根据裂项相消求和，结合的单调性证明即可
（1）
设等差数列的公差为d，则，，
∵，∴，解得，
∴．
（2）
∵，
∴
因为，所以，故，即得证
19．已知是递增的等差数列，，且，，成等比数列.
(1)求数列的通项公式；
(2)设数列的前n项和为，求证：.
【答案】(1)
(2)见解析.
【分析】（1）根据等差数列的基本量以及等比中项的关系即可求解.
（2）根据裂项相消求和，即可求出，然后根据单调性即可证明.
【详解】（1）设的公差为 ，因为，，成等比数列，
所以 ，
因为是递增，所以，故 ，所以.
（2）,
所以 ，
因为 单调递减，所以 单调递增，
故当 时， ，而，
故.
20．已知数列是等差数列且公差不为0，数列是等比数列，且，记的前n项和为，
(1)求数列和的通项；
(2)设数列，求证：．
【答案】(1)
(2)证明见解析
【分析】（1）根据等差数列的通项公式和等比数列的性质可求出公差，然后可写出通项公式.
（2）利用等比数列的通项公式和裂项相消进行求和，即可证明不等式.
（1）
解：由题意得：
设的公差为d，，，
所以，可得或（舍去）
所以
（2）
证明：

所以
令
则有
21．已知数列的前项．
(1)求数列的通项公式；
(2)设，求证：．
【答案】(1)
(2)证明见解析
【分析】（1）根据数列的通项公式与和前 项和公式的关系，即可求出结果；
（2）由（1）可得，进而可得，再根据裂项相消法即可证明结果.
【详解】（1）解：由①，
所以，当时，②，
由①-②，则
当时，，上式亦满足，
综上.
（2）解：由，
所以
所以.
22．已知数列的前项和满足．
(1)求及数列的通项公式；
(2)求数列的前项和；
(3)求证：．
【答案】(1)，，；
(2)，；
(3)证明见解析.
【分析】（1）根据递推式直接写出，利用的关系及等比数列的定义求的通项公式；
（2）由（1），应用等比数列前n项和公式求；
（3）由（1）（2）可得，应用裂项求和法求化简不等式左侧，即可证结论.
(1)
由知：当时，可得①，
又，所以②
综上：是首项、公比均为2的等比数列，故，.
(2)
由（1）知：，所以 ，.
(3)
由上知：，
所以，得证.
23．已知数列中，，（，）．设．
(1)求证：数列是等差数列；
(2)设，记数列的前项和为．证明，．
【答案】(1)证明见解析；
(2)证明见解析.
【分析】（1）应用作差法，结合等差数列的定义证明结论；
（2）由（1）写出的通项公式，再应用裂项相消法求和求，进而证明结论.
(1)
当时，，
所以是等差数列，且首项，公差为1.
(2)
由（1）可知，，，
所以.
，得证.
24．已知数列的前n项和为满足．
(1)求的通项公式；
(2)若，数列的前n项和为，求证：．
【答案】(1)
(2)证明见解析
【分析】（1）根据数列的递推公式和，即可求出结果；
（2）由（1）求出数列的通项公式，再根据错位相减法即可求出数列的前n项和为，再根据数列的性质即可证明结果.
(1)
解：由得，
两式相减得，
即，
所以，
当时，，则，
所以数列是以为首项，2为公比的等比数列．
所以，所以．
(2)
证明：，
则，
，
两式相减得
．
所以，又，所以，
所以．
25．已知正项数列的前n项和为，且，．
（1）求数列的通项公式；
（2）若为等差数列，求证：．
【答案】（1）；（2）证明过程见解析.
【分析】（1）根据前n项和与第n项的关系，结合等差数列的定义进行求解即可；
（2）根据等差数列的性质，结合裂项相消法进行证明即可.
【详解】（1）当时，，解得，
当时，，
所以有，
由题意可知：，化简得：，
所以，，
因此；
（2）由（1）可知：，，，因为为等差数列，
所以，因此，
因为，
因此有：