新高考数学二轮复习解答题提分训练专题08 概率统计之递推关系求概率统计（2份，原卷版+解析版）

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1．中国乒乓球队是中国体育军团的王牌之师，屡次在国际大赛上争金夺银，被体育迷们习惯地称为“梦之队”.小明是一名乒乓球运动爱好者，为提高乒乓球水平，决定在假期针对乒乓球技术的五个基本因素：弧线、力量、速度、旋转和落点进行训练.假设小明每天进行多次分项（将五个因素分别对应五项，一次练一项）训练，为增加趣味性，计划每次（从第二次起）都是从上次未训练的四个项目中等可能地随机选一项训练.
（1）若某天在五个项目中等可能地随机选一项开始训练，求第三次训练的是“弧线”的概率；
（2）若某天仅进行了次训练，五个项目均有训练，且第次训练的是“旋转”，前后训练项不同视为不同的训练顺序，设变量为次训练中“旋转”项训练的次数，求的分布列及期望；
（3）若某天规定第一次训练的是“力量”，从第二次起，后面训练项的选择服从上述计划的安排，设表示第次训练的是“力量”的概率，求的值.
【答案】（1）；（2）分布列答案见解析，数学期望为；（3）.
【分析】
（1）分第一次训练选择“弧线”，第一次训练未选择“弧线”，利用独立事件的概率乘法公式以及互斥事件的概率加法公式可求得所求事件的概率；
（2）由题意可知，随机变量的可能取值为、，求出随机变量在不同取值下的概率，可得出随机变量的分布列，进而可求得的值；
（3）用表示第次训练的是“力量”的概率，根据已知条件可得出关于的递推公式，根据递推公式可求得的值.
【详解】
（1）第一次训练选择“弧线”，且第三次训练的是“弧线”的概率为，
第一次训练未选择“弧线”，且第三次训练的是“弧线”的概率为，
所以第三次训练的是“弧线”的概率为；
（2）由题意知“旋转”项最多训练次，所以的不同取值为、，
（后五次训练次序列表）
①后五次训练中未练“旋转”：另四项中有一项训练了次，
四项中选一项练次，可放、、、、、，
共有种；
②“旋转”项练了次：“旋转项”可在、、、位置，故有种.
所以，，.
所以分布列如下表所示：
所以，；
（3）由题意，表示第次训练的是“力量”的概率，
则第次训练的不是“力量”的概率为，则，
，，即，
数列是首项为，公比为的等比数列，
所以，即，，则.
【点睛】
方法点睛：求随机变量的期望和方差的基本方法如下：
（1）已知随机变量的分布列，直接利用期望和方差公式直接求解；
（2）已知随机变量的期望、方差，求的期望与方差，利用期望和方差的性质（，）进行计算；
（3）若能分析出所给的随机变量服从常用的分布（如：两点分布、二项分布等），可直接利用常用分布列的期望和方差公式进行计算.
2．绿色已成为当今世界主题，绿色动力已成为时代的驱动力，绿色能源是未来新能源行业的主导．某汽车公司顺应时代潮流，最新研发了一款新能源汽车，并在出厂前对100辆汽车进行了单次最大续航里程（理论上是指新能源汽车所装载的燃料或电池所能够提供给车行驶的最远里程）的测试．现对测试数据进行分析，得到如图所示的频率分布直方图．
（1）估计这100辆汽车的单次最大续航里程的平均值（同一组中的数据用该组区间的中点值代表）；
（2）根据大量的汽车测试数据，可以认为这款汽车的单次最大续航里程近似地服从正态分布，经计算第（1）问中样本标准差的近似值为50．用样本平均数作为的近似值，用样本标准差作为的估计值；
（ⅰ）现从该汽车公司最新研发的新能源汽车中任取一辆汽车，求它的单次最大续航里程恰好在200千米到350千米之间的概率；
（ⅱ）从该汽车公司最新研发的新能源汽车中随机抽取10辆，设这10辆汽车中单次最大续航里程恰好在200千米到350千米之间的数量为，求；
（3）某汽车销售公司为推广此款新能源汽车，现面向意向客户推出“玩游戏，送大奖”活动，客户可根据抛掷硬币的结果，操控微型遥控车在方格图上行进，若遥控车最终停在“胜利大本营”，则可获得购车优惠券．已知硬币出现正、反面的概率都是，方格图上标有第0格、第1格、第2格、…、第50格．遥控车开始在第0格，客户每掷一次硬币，遥控车向前移动一次，若掷出正面，遥控车向前移动一格（从到），若掷出反面，遥控车向前移动两格（从到），直到遥控车移到第49格（胜利大本营）或第50格（失败大本营）时，游戏结束．设遥控车移到第格的概率为，其中，试说明是等比数列，并解释此方案能否成功吸引顾客购买该款新能源汽车.
参考数据：若随机变量服从正态分布，则，，.
【答案】（1）300；（2）（i）；（ii）；（3）见解析，此方案能成功吸引顾客购买该款新能源汽车.
【分析】
（1）利用频率分布直方图的平均数的计算方法即可得出．
（2）（ⅰ）由，．利用正态分布的对称性可得．
（ⅱ）依题意有，再利用二项分布的期望公式计算可得；
（3）遥控车开始在第0 格为必然事件，．第一次掷硬币出现正面，遥控车移到第一格，其概率为，即．遥控车移到第格的情况是下面两种，而且只有两种：①遥控车先到第格，又掷出反面，其概率为．②遥控车先到第格，又掷出正面，其概率为．可得：．变形为．即可证明时，数列是等比数列，首项为，公比为的等比数列．利用，及其求和公式即可得出．可得获胜的概率，失败的概率．进而得出结论．
【详解】
（1）（千米）.
（2）（i）由.
.
（ⅱ）依题意有，所以.
（3）第一次掷硬币出现正面，遥控车移到第一格，其概率为，即.
遥控车移到第格的情况是下面两种，而且只有两种；
①遥控车先到第格，又掷出反面，其概率为.
②遥控车先到第格，又掷出正面，其概率为.
，.
时，数列是等比数列，首项为，公比为的等比数列．
，，，…，.
.
∴获胜的概率，
失败的概率.
.
∴获胜的概率大.
∴此方案能成功吸引顾客购买该款新能源汽车．
【点睛】
本题考查了频率分布直方图的性质、正态分布图的性质、等比数列的定义通项公式与求和公式、累加求和方法，考查了推理能力与计算能力，属于难题．
3．为保护长江流域渔业资源，2020年国家农业农村部发布《长江十年禁渔计划》.某市为了解决禁渔期渔民的生计问题，试点推出面点､汽修两种职业技能培训，一周内渔民可以每天自由选择其中一个进行职业培训，七天后确定具体职业.政府对提供培训的机构有不同的补贴政策：面点培训每天200元/人，汽修培训每天300元/人.若渔民甲当天选择了某种职业培训，第二天他会有0.4的可能性换另一种职业培训.假定渔民甲七天都参与全天培训，且第一天选择的是汽修培训，第天选择汽修培训的概率是(，2，3，…，7).
（1）求；
（2）证明：(，2，3，…，7)为等比数列；
（3）试估算一周内政府渔民甲对培训机构补贴总费用的数学期望(近似看作0).
【答案】（1）；（2）证明见解析；（3）元.
【分析】
（1）根据题意得，，；
（2）根据题意，第天选择汽修培训时，第天选择汽修培训的概率为，当第天选择面点培训时，第天选择汽修培训的概率为，进而得，再根据递推关系证明即可；
（3）设第天政府的补贴费为，则，再结合（2）得，再根据等比数列求和公式求和即可.
【详解】
解：（1）因为当天选择了某种职业培训，第二天他会有0.4的可能性换另一种职业培训，
所以，，；
（2）当第天选择汽修培训时，第天选择汽修培训的概率为，
当第天选择面点培训时，第天选择汽修培训的概率为，
则，而，
所以是以0.5为首项，0.2为公比的等比数列；
（3）设第天政府的补贴费为，则，
又因为是以0.5为首项，0.2为公比的等比数列，
所以，
所以，
故一周内政府因渔民甲对培训机构补贴总费用的数学期望为元.
【点睛】
本题考查数列的递推关系的应用，实际生活中的概率问题，考查逻辑推理能力，运算求解能力，是中档题.本题解题的关键在于根据题意，建立递推数列的模型，根据递推关系得，进而求解.
4．甲乙两人报名参加由某网络科技公司举办的“技能闯关”双人电子竞技比赛，比赛规则如下：每一轮“闯关”结果都采取计分制，若在一轮闯关中，一人过关另一人未过关，过关者得1分，未过关得分；若两人都过关或都未过关则两人均得0分.甲、乙过关的概率分别为和，在一轮闯关中，甲的得分记为.
（1）求的分布列；
（2）为了增加趣味性，系统给每位报名者基础分3分，并且规定出现一方比另一方多过关三轮者获胜，此二人比赛结束.表示“甲的累积得分为时，最终认为甲获胜”的概率，则，其中，，，令.证明：点的中点横坐标为；
（3）在第（2）问的条件下求，并尝试解释游戏规则的公平性.
【答案】（1）分布列见解析；（2）见解析；（3），试解释游戏规则的公平性见解析
【分析】
（1）由题意得：，分别求出相应的概率，由此能求出的分布列.
（2）由题意得，，，推导出，根据中点公式能证明点的中点横坐标为；
（3）由，求出，从而，，由此推导出甲获胜的概率非常小，说明这种游戏规则是公平的.
【详解】
（1）
，
，
，
的分布列为：
（2）由题意得：
，
，
.
于是，有，整理可得：，
根据中点公式有：，命题得证.
（3）由（2）可知，
于是
又，所以，，
.
表示最终认为甲获胜概率，由计算结果可以看出，
在甲过关的概率为0.5，乙过关的概率为0.6时，
认为甲获胜的概率为，此时得出甲获胜的概率非常小，
说明这种游戏规则是公平的.
【点睛】
本题考查了离散型随机变量的分布列，用概率说明游戏的公平性，考查了学生分析问题、解决问题的能力，属于中档题.
5．为了避免就餐聚集和减少排队时间，某校开学后，食堂从开学第一天起，每餐只推出即点即取的米饭套餐和面食套餐．已知某同学每天中午会在食堂提供的两种套餐中选择，已知他第一天选择米饭套餐的概率为，而前一天选择了米饭套餐后一天继续选择米饭套餐的概率为，前一天选择面食套餐后一天继续选择面食套餐的概率为，如此往复．
（1）求该同学第二天中午选择米饭套餐的概率；
（2）记该同学第天选择米饭套餐的概率为．
（i）证明：为等比数列；
（ii）证明：当时，．
【答案】（1）；（2）（i）证明见解析；（ii）证明见解析.
【分析】
（1）设“第天选择米饭套餐”，“第天选择米饭套餐”，“第天不选择米饭套餐”．由全概率公式有，计算可得；
（2）（i）设“第天选择米饭套餐”，则，依照（1）可得与的关系，然后根据等比数列定义证明；
（ii）求出通项公式，然后分类讨论证明结论．
【详解】
解：（1）设“第天选择米饭套餐”，“第天选择米饭套餐”，
则“第天不选择米饭套餐”．
根据题意，，，．
由全概率公式，得．
（2）（i）设“第天选择米饭套餐”，则，，
根据题意，．
由全概率公式，得．
因此．
因为，
所以是以为首项，为公比的等比数列．
（ii）由（i）可得．
当为大于的奇数时，．
当为正偶数时，．
因此当时，．
6．某商场拟在周年店庆进行促销活动，为吸引消费者，特别推出“玩游戏，送礼券”的活动，游戏规则如下：每轮游戏都抛掷一枚质地均匀的骰子（形状为正方体，六个面的点数分别为，，，，，），若向上点数不超过点，获得分，否则获得分，进行若干轮游戏，若累计得分为分，则游戏结束，可得到元礼券，若累计得分为分，则游戏结束，可得到纪念品一份，最多进行轮游戏．
（1）当进行完轮游戏时，总分为，求的数学期望；
（2）若累计得分为的概率为，（初始分数为分，记）．
（i）证明数列是等比数列；
（ii）求活动参与者得到纪念品的概率．
【答案】（1）4；（2）（i）证明见解析；（ii）.
【分析】
（1）由题意求出的可能取值，然后求出对应的概率，进而列出分布列，并根据我期望的概念求出期望即可；
（2）（i）若累计得分为的概率为，分两种情况讨论得分情况，从而得到递推公式，再结合构造法即可得证；
（ii）根据（i）求出，再结合累加法即可求出，进而可以求得结果.
【详解】
解：（Ⅰ）由题意得每轮游戏获得分的概率为，获得分的概率为，可能取值为，，，，
，，
，，
的分布列：
；
（Ⅱ）（i）（证明：，即累计得分为分，是第次掷骰子，向上点数不超过点的概率，则，累计得分为分的情况有两种：
（1），即前一轮累计得分，又掷骰子点数超过点其概率为，
（2）前一轮累计得分为分，又掷骰子点数没超过点得分其概率为，
，
，
数列，是首项为，公比为的等比数列．
（ii）数列，是首项为，公比为的等比数列．
，
，，……，，
各式相加，得：，
，，
活动参与者得到纪念品的概率为：．
7．如图，一只蚂蚁从单位正方体的顶点出发，每一步（均为等可能性的）经过一条边到达另一顶点，设该蚂蚁经过步回到点的概率．
（I）分别写出的值；
（II）设顶点出发经过步到达点的概率为，求的值；
（III）求．
【答案】（I）；（II）；（III）．
【解析】
试题分析：
（1）由题意得经过1步不可能从点A回到点A，故；经过2步从点A回到点A的方法有3种，即A-B-A；A-D-A；，且选择每一种走法的概率都是，由此可得所求概率．（2）分为奇数和偶数两种情况讨论可得结论．（3）结合（2）中的结论，分四种情况可得，又，故可得，于是得到
，从而可得结论．
试题解析：”
（1）．
（2）由于顶点出发经过步到达点的概率为，
则由出发经过步到达点 的概率也是，并且由出发经过步不可能到这四个点，
所以当为奇数时，所以；
当为偶数时，．
（3）同理，由分别经步到点的概率都是，由出发经过再回到
的路径分为以下四类：
①由经历步到，再经步回到，概率为；
②由经历步到，再经步回到，概率为；
③由经历步到，再经步回到，概率为；
④由经历步到，再经步回到，概率为；
所以，
又，
所以，
即，
所以，
故．
综上所述，．
点睛：
本题难度较大，综合了排列组合和概率的有关知识，解题的关键是根据条件进行分类讨论，另外利用互斥事件和相互独立事件的概率的知识也是解决本题的重要工具．
8．2020年春天随着疫情的有效控制，高三学生开始返校复课学习.为了减少学生就餐时的聚集排队时间，学校食堂从复课之日起，每天中午都会提供、两种套餐（每人每次只能选择其中一种），经过统计分析发现：学生第一天选择类套餐的概率为、选择类套餐的概率为．而前一天选择了类套餐第二天选择类套餐的概率为、选择套餐的概率为；前一天选择类套餐第二天选择类套餐的概率为、选择类套餐的概率也是，如此往复．记某同学第天选择类套餐的概率为．
（1）证明数列是等比数列，并求数列的通项公式；
（2）记高三某宿舍的3名同学在复课第二天选择类套餐的人数为，求的分布列并求；
（3）为了贯彻五育并举的教育方针，培养学生的劳动意识，一个月后学校组织学生利用课余时间参加志愿者服务活动，其中有20位学生负责为全体同学分发套餐．如果你是组长，如何安排分发、套餐的同学的人数呢，说明理由．
【答案】（1）证明见解析，；（2）分布列见解析，1；（3）套餐的8人， 套餐的12人；理由见解析．
【分析】
（1）依题意得，根据递推关系即可证明是等比数列，利用等比数列通项公式求得的通项，即可求得的通项公式；
（2）依题意求得第二天选择、类套餐的概率，列出的可能取值，结合二项分布求得分布列与数学期望；
（3）由的通项公式得，根据总人数即可求得分发、套餐的同学的人数．
【详解】
（1）依题意，，
则.
当时，可得，
∴数列是首项为公比为的等比数列.
.
（2）第二天选择类套餐的概率；
第二天选择类套餐的概率，
∴3人在第二天的有个人选择套餐，
的所有可能取值为0、1、2、3，
有，
∴的分布列为
故.
（3）由（1）知：，
∴，即第30次以后购买套餐的概率约为.
则，
∴负责套餐的8人，负责套餐的12人.
【点睛】
思路点睛：
求离散型随机变量的分布列及期望的一般步骤：
（1）根据题中条件确定随机变量的可能取值；
（2）求出随机变量所有可能取值对应的概率，即可得出分布列；
（3）根据期望的概念，结合分布列，即可得出期望（在计算时，要注意随机变量是否服从特殊的分布，如超几何分布或二项分布等，可结合其对应的概率计算公式及期望计算公式，简化计算）
9．11月，2019全国美丽乡村篮球大赛在中国农村改革的发源地-安徽凤阳举办，其间甲、乙两人轮流进行篮球定点投篮比赛（每人各投一次为一轮），在相同的条件下，每轮甲乙两人在同一位置，甲先投，每人投一次球，两人有1人命中，命中者得1分，未命中者得-1分；两人都命中或都未命中，两人均得0分，设甲每次投球命中的概率为，乙每次投球命中的概率为，且各次投球互不影响.
（1）经过1轮投球，记甲的得分为，求的分布列；
（2）若经过轮投球，用表示经过第轮投球，累计得分，甲的得分高于乙的得分的概率.
①求；
②规定，经过计算机计算可估计得，请根据①中的值分别写出a，c关于b的表达式，并由此求出数列的通项公式.
【答案】（1）分布列见解析；（2）①；②，.
【分析】
（1）经过1轮投球，甲的得分的取值为，记一轮投球，甲投中为事件，乙投中为事件，相互独立，计算概率后可得分布列；
（2）由（1）得，由两轮的得分可计算出，计算时可先计算出经过2轮后甲的得分的分布列（的取值为），然后结合的分布列和的分布可计算，
由，代入，得两个方程，解得，从而得到数列的递推式，变形后得是等比数列，由等比数列通项公式得，然后用累加法可求得．
【详解】
（1）记一轮投球，甲命中为事件，乙命中为事件，相互独立，由题意，，甲的得分的取值为，
，
，
，
∴的分布列为：
（2）由（1），
，
同理，经过2轮投球，甲的得分取值：
记，，，则
，，，，
由此得甲的得分的分布列为：
∴，
∵，，
∴，，∴，
代入得：，
∴，
∴数列是等比数列，公比为，首项为，
∴．
∴．
10．湖南省会城市长沙又称星城，是楚文明和湖湘文化的发源地，是国家首批历史文化名城.城内既有岳麓山、橘子洲等人文景观，又有岳麓书院、马王堆汉墓等名胜古迹，每年都有大量游客来长沙参观旅游.为合理配置旅游资源，管理部门对首次来岳麓山景区游览的游客进行了问卷调查，据统计，其中的人计划只游览岳麓山，另外的人计划既游览岳麓山又参观马王堆.每位游客若只游览岳麓山，则记1分；若既游览岳麓山又参观马王堆，则记2分.假设每位首次来岳麓山景区游览的游客计划是否参观马王堆相互独立，视频率为概率.
（1）从游客中随机抽取3人，记这3人的合计得分为，求的分布列和数学期望；
（2）从游客中随机抽取人（），记这人的合计得分恰为分的概率为，求；
（3）从游客中随机抽取若干人，记这些人的合计得分恰为分的概率为，随着抽取人数的无限增加，是否趋近于某个常数？若是，求出这个常数；若不是，说明理由.
【答案】（1）分布列见解析，；（2）；（3）是常数
【分析】
（1）据题意，每位游客计划不参观马王堆的概率为，参加马王堆的概率为，的可能取值为3，4，5，6，分别求出相应的概率，由此能求出的分布列和．
（2）这人的合计得分为分，则其中只有1人计划参观马王堆，从而，设，利用错位相减法能求出．
（3）在随机抽取的若干人的合计得分为分的基础上再抽取1人，则这些人的合计得分可能为分或分，记“合计得分“为事件，“合计得分”为事件，与是对立事件，推导出，由此能求出随着抽取人数的无限增加，趋近于常数．
【详解】
解：（1）据题意，每位游客计划不参观马王堆的概率为，记1分；参观马王堆的概率为，记2分，则的可能取值为3，4，5，6.
其中，，，.
所以的分布列为
.
（2）因为这人的合计得分为分，则其中有且只有1人计划参观马王堆，
所以.
设，则.
两式相减，得，
所以.
（3）在随机抽取若干人的合计得分为分的基础上再抽取1人，则这些人的合计得分可能为分或
分，记“合计得分”为事件，“合计得分”为事件，则与为对立事件.
因为，，则（），即（）.
因为，则数列是首项为，公比为的等比数列，所以，
即.
因为，则时，，从而，
所以随着抽取人数的无限增加，趋近于常数.
11．某几位大学生自主创业创办了一个服务公司提供、两种民生消费产品（人们购买时每次只买其中一种）服务，他们经过统计分析发现：第一次购买产品的人购买的概率为、购买的概率为，而前一次购买产品的人下一次来购买产品的概率为、购买产品的概率为，前一次购买产品的人下一次来购买产品的概率为、购买产品的概率也是，如此往复.记某人第次来购买产品的概率为.
（1）求，并证明数列是等比数列；
（2）记第二次来公司购买产品的3个人中有个人购买产品，求的分布列并求；
（3）经过一段时间的经营每天来购买产品的人稳定在800人，假定这800人都已购买过很多次该两款产品，那么公司每天应至少准备、产品各多少份.（直接写结论、不必说明理由）.
【答案】（1），证明见解析；（2）分布列见解析，；（3）产品320份、产品480份.
【分析】
(1)根据条件概率公式及全概率公式即可写出，由全概率公式有即可证明是等比数列；(2)由条件概率求出第二次来公司购买、B产品的概率，由3个人中有=0、1、2、3个人购买产品，结合二项分布的概率公式即可得分布列，进而求期望；(3)由(1)所得的等比数列有，根据极限思想可知，当客户稳定时，第次来购买产品的概率约为，即可知公司每天应准备、产品的数量
【详解】
解：（1）
依题意，知，则
当时，可得
∴数列是首项为公比为的等比数列.
（2）第二次买A产品的概率；第二次买B产品的概率
∴第二次来的3人中有个人购买产品，的所有可能取值为0、1、2、3
有
∴的分布列为
故，
（3）由(1)知：
∴当趋于无穷大时，，即第次来购买产品的概率约为
故，公司每天应至少准备产品320份、产品480份
12．为了释放学生压力，某校高三年级一班进行了一个投篮游戏，其间甲、乙两人轮流进行篮球定点投篮比赛（每人各投一次为一轮）.在相同的条件下，每轮甲乙两人站在同一位置，甲先投，每人投一次篮，两人有1人命中，命中者得1分，未命中者得﹣1分；两人都命中或都未命中，两人均得0分.设甲每次投篮命中的概率为，乙每次投篮命中的概率为，且各次投篮互不影响.
（1）经过1轮投篮，记甲的得分为X，求X的分布列及期望；
（2）若经过n轮投篮，用pi表示经过第i轮投篮后，甲的累计得分高于乙的累计得分的概率.
①求p1，p2，p3
②规定p0＝0，经过计算机计算可估计得pi＝api+1+bpi+cpi﹣1（b≠1），请根据①中p1，p2，p3值分别写出a，c关于b的表达式，并由此求出数列{pn}的通项公式.
【答案】（1）分布列见解析，； （2）①；②.
【分析】
（1）先确定随机变量的所有的可能取值，然后分别算出概率，可求出分布列，求得期望；
（2）①采用列举法，将甲得分比乙得分的情况按分析出来，然后计算概率即可；②将①中的结果代入递推式，解出，得到三项的关系式，结合数列的递推关系式，得到数列是一个等比数列，即可求解.
【详解】
（1）由题意，随机变量的可能取值为，
则,
，
所以随机变量的分布列为：
则期望为。
（2）①由（1）知，
经过两轮投篮，甲的累计得分高的有两种情况：一是甲两轮都得分；二是两轮甲一轮得0分，另一轮得1分，
所以概率为，
经过三轮投篮，甲累计得分高有四种情况：即：，
所以概率为.
②因为，所以，
将代入，解得，
所以，
所以，则，
所以，
因为，所以数列是首项为，公比为的等比数列，
所以，
所以.
13．在庆祝新中国成立七十周年群众游行中，中国女排压轴出场，乘坐“祖国万岁”彩车亮相国庆游行，“女排精神”燃爆中国.某排球俱乐部为让广大排球爱好者体验排球的训练活动，设置了一个“投骰子50米折返跑”的互动小游戏，游戏规则：参与者先进行一次50米的折返跑，从第二次开始，参与者都需要抛掷两枚质地均匀的骰子，用点数决定接下来折返跑的次数，若抛掷两枚骰子所得的点数之和能被3整除，则参与者只需进行一次折返跑，若点数之和不能被3整除，则参与者需要连续进行两次折返跑.记参与者需要做n个折返跑的概率为.
（1）求，，；
（2）证明是一个等比数列；
（3）求，若预测参与者需要做折返跑的次数，你猜奇数还是偶数？试说明你的理由.
【答案】（1），，；（2）证明见解析；（3），奇数，理由见解析.
【分析】
（1）根据题意，是表示两次折返跑的概率，做完第一次折返跑后抛掷两枚骰子的点数和能被3整除，继而得出，是表示三次折返跑的概率，包含有做完第一次折返跑后抛掷两枚点数不能被3整除或做完第二次折返跑后抛掷两枚点数能被3整除，即可求出；
（2）表示第次折返跑的概率有两种情况：做完第个折返跑（概率为）后，再做一个（即两个骰子点数之和能被3整除）；做完第个折返跑（概率为）后，再做两个（即两个骰子点数之和不能被3整除），根据互斥事件的概率和独立事件同时发生的概率可得，（），即可证明是一个等比数列；
（3）由（2）得，用累加法即可求出，根据的通项公式，奇数次的概率大于偶数次的概率，所以猜测跑奇数次.
【详解】
（1）由题意可知，第一次50米折返跑都必须跑，所以.
第二次折返跑前，已经跑了一个折返跑，
两枚骰子的点数之和能被3整除的概率，
则两枚骰子的点数之和不能被3整除的概率为.
故参与者需要做两个折返跑（第二次训练只做一个折返跑）的概率为.
参与者需要做3个折返跑时应考虑两个方面：
①第二次做两个折返跑，其概率为，
②第二次与第三次各做一个折返跑，其概率为.
故.
（2）需要做n（）个折返跑时有两种情况：
做完第个折返跑（概率为）后，
再做一个（即两个骰子点数之和能被3整除），其概率为，
由相互独立事件的概率公式可得，
这种情况做n个折返跑的概率为；
做完第个折返跑（概率为）后，
再做两个（即两个骰子点数之和不能被3整除），其概率为，
由相互独立事件的概率公式可得，这种情况做n个折返跑的概率为.
由互斥事件的概率加法公式可得（）.
（）.
又，
所以是一个首项为，公比的等比数列.
（3）由（1）及（2）知
（），
,,，
以上各式累加可得（）
显然，时上式也成立；
当为奇数时，，
当为偶数时，，
所以折返跑奇数次的概率大于偶数次的概率，猜测折返跑为奇数次.
14．中国女排，曾经十度成为世界冠军，铸就了响彻中华的女排精神.女排精神的具体表现为：扎扎实实，勤学苦练，无所畏惧，顽强拼搏，同甘共苦，团结战斗，刻苦钻研，勇攀高峰.女排精神对各行各业的劳动者起到了激励、感召和促进作用，给予全国人民巨大的鼓舞.
（1）看过中国女排的纪录片后，某大学掀起“学习女排精神，塑造健康体魄”的年度主题活动，一段时间后，学生的身体素质明显提高，将该大学近5个月体重超重的人数进行统计，得到如下表格：
若该大学体重超重人数y与月份变量x（月份变量x依次为1，2，3，4，5…）具有线性相关关系，请预测从第几月份开始该大学体重超重的人数降至10人以下？
（2）在某次排球训练课上，球恰由A队员控制，此后排球仅在A队员、B队员和C队员三人中传递，已知每当球由A队员控制时，传给B队员的概率为，传给C队员的概率为；每当球由B队员控制时，传给A队员的概率为，传给C队员的概率为；每当球由C队员控制时，传给A队员的概率为，传给B队员的概率为.记，，为经过n次传球后球分别恰由A队员、B队员、C队员控制的概率.
（i）若，B队员控制球的次数为X，求；
（ii）若，，，，，证明：为等比数列，并判断经过200次传球后A队员控制球的概率与的大小.
附1：回归方程中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为：；.
附2：参考数据：，.
【答案】（1）可以预测从第7月份开始该大学体重超重的人数降至10人以下；（2）（i）（ii）证明见解析；.
【分析】
（1）利用回归直线方程计算公式，计算出回归直线方程，并由此进行预测.
（i）利用相互独立事件概率计算公式，计算出分布列，进而计算出.
（ii）证明部分：法一：通过证明证得为等比数列；法二：通过证明证得为等比数列.
求得数列的通项公式，由此判断出.
【详解】
（1）由已知可得：，
，
又因为，，
所以，
所以，
所以，
当时，，
所以，可以预测从第7月份开始该大学体重超重的人数降至10人以下.
（2）（i）由题知X的可能取值为：0，1，2；
；
；
；
的分布列为：
所以.
（ii）（法一）由，，
两式相加得：.
因为，
所以，，
代入等式得，即
所以，
因为，，
所以，所以，
所以数列是首项为，公比为的等比数列，
所以，
即，
因此经过200次传球后A队员控制球的概率
.
（法二）由题知：，所以，
所以，
又因为，
所以，
所以，
所以，
所以，
又因为，所以，
所以数列是首项为，公比为的等比数列，
所以，即，
因此经过200次传球后A队员控制球的概率.
15．（某工厂生产零件A，工人甲生产一件零件A，是一等品、二等品、三等品的概率分别为，工人乙生产一件零件A，是一等品、二等品、三等品的概率分别为．已知生产一件一等品、二等品、三等品零件A给工厂带来的效益分别为10元、5元、2元.
（1）试根据生产一件零件A给工厂带来的效益的期望值判断甲乙技术的好坏；
（2）为鼓励工人提高技术，工厂进行技术大赛，最后甲乙两人进入了决赛．决赛规则是：每一轮比赛，甲乙各生产一件零件A，如果一方生产的零件A品级优干另一方生产的零件，则该方得分1分，另一方得分-1分，如果两人生产的零件A品级一样，则两方都不得分，当一方总分为4分时，比赛结束，该方获胜．Pi+4（i=4，3，2，…，4）表示甲总分为i时，最终甲获胜的概率．
①写出P0，P8的值；
②求决赛甲获胜的概率．
【答案】（1）乙的技术更好，见解析（2）①，；②
【分析】
（1）列出分布列，求出期望，比较大小即可；
（2）①直接根据概率的意义可得P0，P8；②设每轮比赛甲得分为，求出每轮比赛甲得1分的概率，甲得0分的概率，甲得分的概率，可的，可推出是等差数列，根据可得答案.
【详解】
（1）记甲乙各生产一件零件给工厂带来的效益分别为元、元，
随机变量，的分布列分别为
所以，，
所以，即乙的技术更好
（2）①表示的是甲得分时，甲最终获胜的概率，所以，
表示的是甲得4分时，甲最终获胜的概率，所以；
②设每轮比赛甲得分为，则
每轮比赛甲得1分的概率，
甲得0分的概率，
甲得分的概率，
所以甲得时，最终获胜有以下三种情况：
（1）下一轮得1分并最终获胜，概率为；
（2）下一轮得0分并最终获胜，概率为；
（3）下一轮得分并最终获胜，概率为；
所以，
所以是等差数列，
则，
即决赛甲获胜的概率是.
16．棋盘上标有第0，1，2，…，100站，棋子开始时位于第0站，棋手抛掷均匀硬币走跳棋游戏．若掷出正面，棋子向前跳出一站；若掷出反面，棋子向前跳出两站，直到跳到第99站或第100站时，游戏结束．设棋子跳到第n站的概率为Pn．
（1）当游戏开始时若抛掷均匀硬币3次后求棋手所走站数之和X的分布列与数学期望；
（2）证明：；
（3）求P99，P100的值．
【答案】（1）分布列见解析，；（2）证明见解析；（3）；.
【分析】
（1）由题意得X的可能取值为3，4，5，6，分别求出相应的概率，由此能求出X的分布列和数学期望．
（2）棋子要到第站，有两种情况，由第站跳1站及由第站跳2站得到由此得到递推关系即可证明
（3）先证明数列是首项为，公比为的等比数列，再利用累加法得P99，P100的值．
【详解】
（1）（1）解：由题意得X的可能取值为3，4，5，6，
P（X＝3）＝（）3，
P（X＝4），
P（X＝5），
P（X＝6）＝（）3．
∴X的分布列如下：
∴．
（2）证明： 根据题意，棋子要到第站，由两种情况，由第站跳1站得到，其概率为 ，也可以由第站跳２站得到，其概率为，所以，．
等式两边同时减去得；
（3）由（2）可得，，．
由（2）可知，数列是首项为，公比为的等比数列，
，
，
又，则，
由于若跳到第站时，自动停止游戏，故有．
17．袋中共有8个球，其中有3个白球，5个黑球，这些球除颜色外完全相同．从袋中随机取出一球，如果取出白球，则把它放回袋中；如果取出黑球，则该黑球不再放回，并且另补一个白球放入袋中．重复上述过程次后，袋中白球的个数记为．
（1）求随机变量的概率分布及数学期望；
（2）求随机变量的数学期望关于的表达式．
【答案】（1）概率分布详见解析，；（2）．
【分析】
（1）的可能取值为3，4，5，计算概率得到分布列，计算数学期望得到答案.
（2）设，则，计算概率得到数学期望，整理化简得到，根据数列知识得到答案.
【详解】
（1）由题意可知3，4，5．
当时，即二次摸球均摸到白球，其概率是；
当时，即二次摸球恰好摸到一白，一黑球，
其概率是；
当时，即二次摸球均摸到黑球，其概率是，
所以随机变量的概率分布如下表：
数学期望.
（2）设，0，1，2，3，4，5．
则，．
，，，
，，
，
∴
，
由此可知，，
又，故是首项为，公比为的等比数列，
∴，即.
18．在党中央的英明领导下，在全国人民的坚定支持下，中国的抗击“新型冠状肺炎”战役取得了阶段性胜利，现在摆在我们大家面前的是有序且安全的复工复产．某商场为了提振顾客的消费信心，对某中型商品实行分期付款方式销售，根据以往资料统计，顾客购买该商品选择分期付款的期数的分布列如下，其中，．
（1）求购买该商品的3位顾客中，恰有1位选择分4期付款的概率；
（2）商场销售一件该商品，若顾客选择分4期付款，则商场获得的利润为2000元；若顾客选择分5期付款，则商场获得的利润为2500元；若顾客选择分6期付款，则商场获得的利润为3000元，假设该商场销售两件该商品所获得的利润为（单位：元）．
（i）设时的概率为m，求当m取最大值时，利润的分布列和数学期望；
（ii）设某数列满足，，，若对任意恒成立，求整数t的最小值．
【答案】（1）；（2）（i）分布列见解析，数学期望为4900；（ii）4．
【分析】
（1）由3位顾客中恰有1位选择“分4期付款”，则另外两位均不选“分4期付款”计算概率；（2）（i）的值分别为4000，4500，5000，5500，6000，利用基本不等式求出当时的概率的最大值及此时的a、b的值，列出分布列并求数学期望；（ii）由所给等式通过变形求出数列的通项公式，从而求得数列的通项公式，代入不等式组、，即可求得满足条件的t的最小值.
【详解】
（1）由于3位顾客中恰有1位选择“分4期付款”，则另外两位均不选“分4期付款”.
所以.
（2）（i）由题可得的值分别为4000，4500，5000，5500，6000.
，，
，，，
所以，取最大值的条件为，
所以分布列为：
.
（ii）由题可得，所以，
化简得，即是等比数列，首项为，公比为，
所以，化简得.
由题可知：
①，解得或；
②，
当为偶数时，上述不等式恒成立；
当为奇数时，，解得；综上所述，的最小值为4.
19．在党中央的英明领导下，在全国人民的坚定支持下，中国的抗击“新型冠状肺炎”战役取得了阶段性胜利，现在摆在我们大家面前的是有序且安全的复工复产.某商场为了提振顾客的消费信心，对某中型商品实行分期付款方式销售，根据以往资料统计，顾客购买该商品选择分期付款的期数ξ的分布列为
其中0＜a＜1，0＜b＜1.
（1）求购买该商品的3位顾客中，恰有1位选择分4期付款的概率；
（2）商场销售一件该商品，若顾客选择分4期付款，则商场获得的利润为2000元；若顾客选择分5期付款，则商场获得的利润为2500元；若顾客选择分6期付款，则商场获得的利润为3000元，假设该商场销售两件该商品所获得的利润为X（单位：元），
（i）设X＝5500时的概率为m，求当m取最大值时，利润X的分布列和数学期望；
（ii）设某数列{xn}满足x1＝0.4，xn＝a，2xn+1＝b，若a＜0.25，求n的最小值.
【答案】（1）0.432（2）（i）详见解析（ii）2
【分析】
（1）方法1：设恰有一位顾客选择分4期付款的概率为P.由题可知：a+b＝0.6，然后求解即可.
方法2：由于3位顾客中恰有1位选择“分4期付款”，则另外两位均不选“分4期付款”，利用相互独立事件乘法乘积求解概率即可.
（2）（ⅰ）由题可得X的值分别为4000，4500，5000，5500，6000.求出概率，得到分布列，然后求解期望即可.
（ⅱ）由题可得xn+2xn+1＝a+b＝0.6，得到，判断数列{xn﹣0.2}是等比数列，然后分类求解n的最小值.
【详解】
（1）方法1：设恰有一位顾客选择分4期付款的概率为P.
由题可知：a+b＝0.6，
则P＝3×0.4×（a2+2ab+b2）＝0.4×（a+b）2＝0.4×0.62＝0.432.
方法2：由于3位顾客中恰有1位选择“分4期付款”，则另外两位均不选“分4期付款”，所以P＝3×0.4×（1﹣0.4）×（1﹣0.4）＝0.432.
（2）（ⅰ）由题可得X的值分别为4000，4500，5000，5500，6000.
P（X＝4000）＝0.4×0.4＝0.16，P（X＝4500）＝2×0.4×a＝0.8a，
P（X＝5000）＝a2+2×0.4×b＝a2+0.8b，
P（X＝5500）＝2ab，P（X＝6000）＝b2，
所以，
取最大值的条件为a＝b＝0.3
所以分布列为：
∴E（X）＝4000×0.16+4500×0.24+5000×0.33+5500×0.18+6000×0.09＝4900.
（ⅱ）解：由题可得xn+2xn+1＝a+b＝0.6，所以，
化简得，即{xn﹣0.2}是等比数列，首项为x1﹣0.2＝0.2，公比为，
所以，化简得
由题可知：
①由题可知：，显然对所有n∈N*都成立；
②，也是对所有n∈N*都成立；
③.
当n为偶数时，上述不等式恒成立；
当n为奇数时，，解得n＞3.即n≥5
综上所述，n的最小值为2.
20．有人玩掷均匀硬币走跳棋的游戏，棋盘上标有第0站（出发地），第1站，第2站，……，第100站. 一枚棋子开始在出发地，棋手每掷一次硬币，这枚棋子向前跳动一次，若掷出正向，棋子向前跳一站，若掷出反面，棋子向前跳两站，直到棋子跳到第99站（获胜）或跳到第100站（失败）时，该游戏结束. 设棋子跳到第站的概率为.
（1）求，，，并根据棋子跳到第站的情况写出与、的递推关系式（）；
（2）求证：数列为等比数列；
（3）求玩该游戏获胜的概率.
【答案】（1），，，；（2）见解析；（3）.
【分析】
(1)棋子开始在第0站是必然事件，；棋子跳到第1站，;棋子跳到第2站，有两种情况，是互斥事件，分别求出，相加即可；依题意知，棋子跳到第（）站有两种情况：棋子先跳到站和棋子先跳到站,它们是互斥事件，根据互斥事件的加法公式即得， （2）要证明数列为等比数列，需证明是常数，
将两边同减去，构成即可；
（3）由（2）知，得，将的前99项相加即可
【详解】
解：（1）棋子开始在第0站是必然事件，；
棋子跳到第1站，只有一种情况，第一次掷硬币正面向上，其概率为；
棋子跳到第2站，有两种情况，
①第一次掷硬币反面向上，其概率为；
②前两次掷硬币都是正面向上，其概率为；
依题意知，棋子跳到第（）站有两种情况：
第一种，棋子先跳到站，又掷出反面，其概率为；
第二种，棋子先跳到站，又掷出正面，其概率为.
∴
故有： ，，，.
（2）由（1）知，，
，又，
数列是以为首项，为公比的等比数列.
（3）由（2）知，，
∴
.
∴玩该游戏获胜的概率为
故答案为：.
21．某5G传输设备由奇数根相同的光导纤维并联组成，每根光导纤维能正常传输信号的概率均为，且每根光导纤维能否正常传输信号相互独立．已知该设备中有超过一半的光导纤维能正常传输信号，这个5G传输设备才可以正常工作．记根光导纤维组成的这种5G传输设备可以正常工作的概率为．
（1）用p表示；
（2）当时，证明：；
（3）为提高这个5G传输设备正常工作的概率，在这个传输设备上再并联两根相同规格的光导纤维，且新增光导纤维后的5G传输设备有超过一半的光导纤维能正常传输信号才可以正常工作．确定的取值范围，使新增两根光导纤维可以提高这个5G传输设备正常工作的概率．
【答案】（1）；（2）证明见解析；（3）.
【分析】
由题设可得，
（1）将代入上式即可求；
（2）由题意，由易知，进而可证明结论.
（3）讨论新增两个光纤{两根都能正常工作，一根正常工作，两根都不能正常工作}对应的光导纤维能正常传输信号的概率，进而求，根据即可求的范围.
【详解】
由题意知：要使5G传输设备可以正常工作，则至少有根光导纤维能正常传输信号，
∴，
（1）由上知：；
（2）当时，有，而，
∴，故，得证；
（3）由题意，，
新增两根光导纤维后，两根都能正常工作、一根正常工作、两根都不能正常工作，对应该设备能正常工作的概率分别为，
∴，，，
∴，
∴使新增两根光导纤维可以提高这个5G传输设备正常工作的概率，则，
∴，故时新增两根光导纤维可以提高这个5G传输设备正常工作的概率．
22．一种微生物群体可以经过自身繁殖不断生存下来，设一个这种微生物为第0代，经过一次繁殖后为第1代，再经过一次繁殖后为第2代……，该微生物每代繁殖的个数是相互独立的且有相同的分布列，设X表示1个微生物个体繁殖下一代的个数，．
（1）已知，求；
（2）设p表示该种微生物经过多代繁殖后临近灭绝的概率，p是关于x的方程：的一个最小正实根，求证：当时，，当时，；
（3）根据你的理解说明（2）问结论的实际含义．
【答案】（1）1；（2）见解析；（3）见解析.
【分析】
（1）利用公式计算可得.
（2）利用导数讨论函数的单调性，结合及极值点的范围可得的最小正零点.
（3）利用期望的意义及根的范围可得相应的理解说明.
【详解】
（1）.
（2）设，
因为，故，
若，则，故.
，
因为，，
故有两个不同零点，且，
且时，；时，；
故在，上为增函数，在上为减函数，
若，因为在为增函数且，
而当时，因为在上为减函数，故，
故为的一个最小正实根，
若，因为且在上为减函数，故1为的一个最小正实根，
综上，若，则.
若，则，故.
此时，，
故有两个不同零点，且，
且时，；时，；
故在，上为增函数，在上为减函数，
而，故，
又，故在存在一个零点，且.
所以为的一个最小正实根，此时，
故当时，.
（3）意义：每一个该种微生物繁殖后代的平均数不超过1，则若干代必然灭绝，若繁殖后代的平均数超过1，则若干代后被灭绝的概率小于1.
23．当前，全国上下正处在新冠肺炎疫情“外防输入，内防反弹”的关键时期，为深入贯彻落实习近平总书记关于疫情防控的重要指示要求，始终把师生生命安全和身体健康放在第一位．结合全国第个爱国卫生月要求，学校某班组织开展了“战疫有我，爱卫同行”防控疫情知识竟赛活动，抽取四位同学，分成甲、乙两组，每组两人，进行对战答题．规则如下：每次每位同学给出道题目，其中有道是送分题(即每位同学至少答对题)．若每次每组答对的题数之和为的倍数，原答题组的人再继续答题；若答对的题数之和不是的倍数，就由对方组接着答题．假设每位同学每次答题之间相互独立，无论答对几道题概率都一样，且每次答题顺序不作考虑，第一次由甲组开始答题．求：
(1)若第次由甲组答题的概率为，求；
(2)前次答题中甲组恰好答题次的概率为多少？
【答案】(1)；(2)．
【分析】
(1)先根据所给条件，用列举法求出原答题组再继续答题的概率和由对方组接着答题的概率，再把第次由甲组答题的事件分拆成两个互斥事件的和，最后由概率加法公式列式求得；
(2)分析出甲在第次、第次、第次中只答题一次的事件，列式代数计算即得.
【详解】
(1)答对的题数之和为的倍数分别为，，，，，，，
其概率为，
则答对的题数之和不是的倍数的概率为，
第次由甲组答题，是第次由甲组答题，第次继续由甲组答题的事件与第次由乙组答题，第次由甲组答题的事件和，它们互斥，又各次答题相互独立，
所以第次由甲组答题，第次继续由甲组答题的概率为，
第次由乙组答题，第次由甲组答题的概率为，
因此，
则
因为第一次由甲组开始，则，
所以是首项为，公比为的等比数列，
所以，
即
(2)由于第次由甲组答题，则只要第次、第次、第次这次中再由甲组答题一次即可，由(1)可知，，，
所以所求概率
.
所以．
24．系统中每个元件正常工作的概率都是，各个元件是否正常工作相互独立.如果系统中有多于一半的元件正常工作，系统就能正常工作，系统正常工作的概率称为系统的可靠性.已知该系统配置有个元件，为正整数.
（1）求该系统正常工作的概率的表达式；
（2）现为改善系统的性能，拟增加2个元件，试讨论增加2个元件后，系统可靠性的变化.
【答案】（1）；（2）当时，系统可靠性不变；当，系统可靠性降低；当，系统可靠性提高.
【分析】
（1）结合独立重复试验概率计算公式，求得的表达式.
（2）通过对“前个元件中正常工作的元件数量”进行分类讨论，求得增加个元件后系统的可靠性，利用差比较法对系统可靠性的变化进行探讨.
【详解】
（1）个元件中，恰好有个正常工作的概率为，
恰好有个元件正常工作的概率为，
恰好有个元件正常工作的概率为，故，
（2）若增加2个元件，此时共有个元件.
为使系统正常工作，前个元件中至少有个元件正常工作.
分三种情况讨论：
①前个元件中恰好有个元件正常工作的概率为，此时新增的2个元件必须同时正常工作，
所以这种情况下系统正常工作的概率为；
②前个元件中恰好有个元件正常工作的概率为，此时新增的2个元件至少有1个正常工作即可，
所以这种情况下系统正常工作的概率为；
③前个元件中至少有个元件正常工作的概率为，此时不管新增的2个元件是否正常工作，系统都会正常工作.
所以当有个元件时，系统正常工作的概率为.
所以
.
故当时，，系统可靠性不变；
当，，系统可靠性降低；
当，，系统可靠性提高.
25．某商场拟在年末进行促销活动，为吸引消费者，特别推出“玩游戏，送礼券“的活动，游戏规则如下：每轮游戏都抛掷一枚质地均匀的骰子（形状为正方体，六个面的点数分别为1，2，3，4，5，6），若向上点数不超2点，获得1分，否则获得2分，进行若干轮游戏，若累计得分为19分，则游戏结束，可得到200元礼券，若累计得分为20分，则游戏结束，可得到纪念品一份，最多进行20轮游戏．
（1）当进行完3轮游戏时，总分为X，求X的期望；
（2）若累计得分为i的概率为，（初始得分为0分，）．
①证明数列，（i＝1，2，…，19）是等比数列；
②求活动参与者得到纪念品的概率．
【答案】（1）5；（2）①证明见解析；②．
【分析】
（1）由题意可知每轮游戏获得1分的概率为，获得2分的概率为，而每轮游戏的结果互相独立，设进行完3轮游戏时，得1分的次数为，所以，，即可求出X的期望；
（2）①根据累计得分为i的概率为，分两种情形讨论得分情况，从而得到递推式，再根据构造法即可证出数列是等比数列；
②根据①可求出，再根据累加法即可求出，然后由从而解出．
【详解】
（1）由题意可知每轮游戏获得1分的概率为，获得2分的概率为，设进行完3轮游戏时，得1分的次数为，所以，，而，即随机变量X可能取值为3，4，5，6，
，，
，．
∴X的分布列为：
E（X）＝＝5．
（2）①证明：n＝1，即累计得分为1分，是第1次掷骰子，向上点数不超过2点，，则，累计得分为i分的情况有两种：
（Ⅰ）i＝（i﹣2）＋2，即累计得i﹣2分，又掷骰子点数超过2点，其概率为，
（Ⅱ）累计得分为i﹣1分，又掷骰子点数没超过2点，得1分，其概率为，
∴，∴，（i＝2，3，•••，19），∴数列，（i＝1，2，…，19）是首项为﹣，公比为﹣的等比数列．
②∵数列，（i＝1，2，…，19）是首项为﹣，公比为﹣的等比数列，
∴，
∴，，•••，，
各式相加，得：，
∴，（i＝1，2，•••，19），
∴活动参与者得到纪念品的概率为：
．
0
1
0
1
2
3
－1
0
1
－2
－1
0
1
2
3
4
5
6
0
1
2
3
0
1

月份x
1
2
3
4
5
体重超重的人数y
640
540
420
300
200
10
5
2
10
5
2
X
3
4
5
6
P




4
5
6
P
0.4
a
b
4000
4500
5000
5500
6000
0.16
0.24
0.33
0.18
0.09
X
3
4
5
6
P