新高考数学二轮复习解答题提分训练专题09 数列之不等式有解问题（2份，原卷版+解析版）

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1．已知数列是公差不为零的等差数列，，且.
(1)求数列的通项公式；
(2)设为数列的前项和，求使成立的的取值集合.
【答案】(1)；
(2).
【分析】（1）利用等差数列通项公式求公差，进而写出通项公式.
（2）由等差数列前n项和公式及已知不等关系得，即可求n的范围.
(1)
设等差数列的公差为，则.
因为，所以，又，
所以，故.
(2)
由知：.
所以，
由得：，即，解得，
所以的取值集合为.
2．已知Sn为等差数列{an}的前n项和，S3＝21，S5＝55．
(1)求an、Sn；
(2)若数列的前n项和Tn，求满足的最小正整数n．
【答案】(1)an＝4n﹣1，
(2)19
【分析】（1）根据基本量求解首项与公差，进而求得an、Sn；
（2）裂项相消求和可得，再根据得求解即可
(1)
设等差数列{an}的公差为d，则，即，解得，故，
(2)
由（1）得，.故，令有，即，解得，故满足满足的最小正整数为19
3．已知数列的前项和(为常数)，且构成等比数列.
（1）求数列的通项公式；
（2）设数列的前项和为，求使不等式成立的的最大值.
【答案】（1）；（2）11.
【分析】（1）由已知得、、，利用等比中项性质，得求b，根据与的关系求通项公式即可.
（2）应用裂项求和求，根据数列不等式求的最大值即可.
【详解】（1）当时，，
由，得，
由，得，
∴由题设，有：，可得，则，
∴当时，，又也满足通项公式，
∴的通项公式为.
（2）由（1）知：，
∴，要使，即，
∴，即，，所以的最大值为11.
4．已知Sn是等比数列{an}的前n项和，S4，S2，S3成等差数列，且.
（1）求数列{an}的通项公式；
（2）是否存在正整数n，使得？若存在，求出符合条件的n的最小值；若不存在，说明理由.
【答案】（1）.（2）存在，最小值为
【分析】（1）根据条件列关于首项与公比的方程组，解得首项与公比，代入等比数列通项公式即可；
（2）先求和项，再根据奇偶讨论化简不等式，即得结果.
【详解】（1）设等比数列的公比为q，则.
由题意得
即
解得
故数列的通项公式为.
（2）由（1）有.
假设存在，使得则
即
当为偶数时，，上式不成立；
当为奇数时，即
解得
综上，存在符合条件的正整数，最小值为11.
【点睛】本题考查等比数列通项公式、等比数列求和公式、解数列不等式，考查基本分析求解能力，属基础题.
5．已知数列满足，.
(1)证明：数列为等差数列.
(2)设数列的前项和为，求，并求满足的的最大值.
【答案】(1)证明见解析；
(2)
【分析】（1）根据等差数列的定义证明即可；
（2）结合（1）得，进而根据错位相减法求得，再解不等式即可.
【详解】（1）证明：因为数列满足，，
所以，
因为，所以
所以，数列为等差数列，公差为，首项为.
（2）解：由（1）知，
所以，
所以，，
，
所以，，
所以，，
所以，解得，.
所以，满足的的最大值为
6．在数列{an}中，，对任意的，都有成立．
(1)求数列{an}的通项公式；
(2)求数列{an}的前n项和Sn；并求满足时n的最大值．
【答案】(1)
(2)14
【分析】（1）合理变形构造等差数列，再利用等差数列的通项公式进行求解；
（2）先将通项变形为，再利用裂项抵消法进行求和，进而通过解不等式进行求解.
（1）
因为，且对任意的，
都有成立，所以，
即数列是等差数列，首项为2，公差为1，
所以，
即．
（2）
因为，
所以
，
由，得，解得，
所以满足时n的最大值为14．
7．已知数列的前项和，其中.
(1)求数列的通项公式；
(2)若数列满足，，
（i）证明：数列为等差数列；
（ii）设数列的前项和为，求成立的的最小值.
【答案】(1)
(2)（i）证明见解析；（ii）
【分析】（1）根据即可求解；
（2），两边除以即可证明等差数列；利用错位相减法求，解不等式即可求得的最小值.
（1）
，
.
时，，也适合上式，
所以.
（2）
（i）证明：当时，，
将其变形为，即，
数列是首项为，公差为2的等差数列.
（ii）解：由（i）得，，所以.
因为，
所以，
两式相减得，
整理得.
∴，即.∴，
故.
8．已知等差数列的公差为，前项和为，且．
(1)求数列的通项公式和；
(2)若数列的通项公式为，记数列的前项和为，若存在，使得对任意，总有成立，求实数的取值范围．
【答案】(1)，
(2)
【分析】（1）根据已知条件求得，进而求得.
（2）利用错位相减求和法求得，由求得实数的取值范围.
（1）
为等差数列，且，，即，
又公差，．，
所以，．
（2）
，，
，①
，②
①②得
，
，，
，
，且，
时，，
又，时，，
存在，使得对任意，总有成立．，，
实数的取值范围为.
9．已知数列中，，.
(1)求数列的通项公式；
(2)若存在，使得成立，求实数的取值范围.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据，利用累加法求解；
（2）根据存在，成立，由求解.
(1)
因为，
当时，
，
又满足上式，
∴；
(2)
由（1）知，∴，
∵存在，使得成立，
∴，即，解得，
所以实数的取值范围为.
10．已知正项等比数列的前项和为，是和的等差中项，且.
(1)求的通项公式；
(2)若数列满足，且的前项和为，求使得成立的的最小值.
【答案】(1)，
(2)
【分析】(1)由条件转化为首相和公比的等式，求得首项和公比，再求通项公式；
（2）由等差和等比数列的前项和，转化不等式为，
【详解】（1），
∵，∴，
∴，.∴，
（2）
.
，，数列为单调递增，
当时，.
当时，.
∴.
11．已知正项等比数列的前n项和为，满足，．记.
(1)求数列，的通项公式；
(2)设数列前n项和，求使得不等式成立的n的最小值.
【答案】(1)，；
(2)5.
【分析】(1)根据数列的递推公式探求出其项间关系，由此求出的公比，进而求得，的通项公式.
(2)利用(1)的结论结合错位相减法求出，再将不等式变形，经推理计算得解.
(1)
设正项等比数列的公比为，当时，，即，
则有，即，而，解得，又，则，
，
所以数列，的通项公式分别为：，.
(2)
由(1)知，，
则，
则，
两式相减得：
于是得，
由得：，即，令，，
显然，，，，，，
由，解得，即数列在时是递增的，
于是得当时，即，，则，
所以不等式成立的n的最小值是5.
12．已知Sn是数列{an}的前n项和，且Sn＋1＝Sn－－，a1＝－1.
（1）求证：{2nSn＋2n}是等差数列；
（2）若{an}中，只有三项满足，求实数λ的取值范围.
【答案】（1）证明见解析；（2）．
【分析】（1）根据数列的递推关系化简，结合等差数列定义即可证明；
（2）由和与通项关系求得数列通项公式，分析数列的单调性即可求解．
【详解】（1）证明：∵，
∴，
∴．
∵，
所以，是以为首项，以为公差的等差数列．
（2）由（1）可知，，
∴．
当时，，
∵，所以，的通项公式为．
∴，，，，，．
当时，，即，
也就是说，数列从第项起，是递减数列．
所以，实数的取值范围是．
13．在数列中，，当时，其前项和满足．设，数列的前项和为．
（1）求；
（2）求满足的最小正整数．
【答案】（1） ；（2） 10．
【分析】（1）先利用，得到是以1为首项，1为公差的等差数列，进而求出.（2）再将（1）的结果代入求出的通项以及前项和为，解不等式即可．
【详解】（1）由，
可得，即，且，
所以数列是等差数列，其首项为1，公差为1，
所以，所以．
（2）由（1），可得，
所以
．
由可得，
即，即．
令，
可得函数在上单调递增，
又，，
所以，故满足的最小正整数是10．
14．已知单调递增的等比数列满足：，且是，的等差中项．
（1）求数列的通项公式；
（2）若，，求使成立的正整数的最小值．
【答案】（1）；（2）5.
【分析】（1）设等比数列的首项为，公比为，代入已知条件可求得后得通项公式；
（2）求出，用错位相减法求得，再解不等式可得．
【详解】（1）设等比数列的首项为，公比为．
依题意，有，代入，可得，
，
解之得或
又数列单调递增，
所以，，
数列的通项公式为．
（2），
，①
，②
②－①，得．
即，即．
易知：当时，，
当时，，
使成立的正整数的最小值为．
15．已知数列的前项和为，；等差数列中，，.
（1）求数列，的通项公式；
（2）设数列前项和为，是否存在正整数，使得？若存在，求的最小值，若不存在，说明理由.
【答案】（1），；（2）存在，最小值为.
【分析】（1）利用与的递推关系得，由题设易知，即是首项为1公比为3的等比数列，写出通项公式，再求等差数列的基本量，写出通项即可.
（2）由（1）得，应用错位相减法求得，结合不等关系求n的范围，即可判断是否存在正整数n并写出其最小值.
【详解】（1）由题设，，得，
又，即，
∴对都成立，则，
∴，又且为等差数列，
∴若公差为 ，则，得，即，
∴.
（2）由（1）知：，
∴，则，
∴，即，若时，有，
∴且，故存在，的最小值为4.
16．已知数列的前项和，满足，且.
（1）求证：数列是等差数列；
（2）若数列满足，数列的前项和，若，求的最小值.
【答案】（1）证明见解析；（2）4.
【分析】（1）由题得，化简整理得，可得证；
（2）由（1）得，由与的关系可得，从而得，再运用错位相减法求得数列的前项和，代入，解不等式可得答案.
【详解】（1）证明：
由题，即，，
又，所以，即
则为等差数列，且公差为1，首项为，
∴，；
（2）由（1）知，∴，
当时，，
当时，①，②，
所以①-②，检验：当时，符合式子，
∴，，则，
，
所以，，
由题，则，，
即，解得，
∴的最小值为4.
17．已知数列前项和为，且
（1）求数列的通项公式；
（2）若为数列的前项和，且存在，使得成立，求实数的取值范围．
【答案】（1）；（2）.
【分析】（1）已知已知求，通常用求通项.（2）用裂项相消法求数列的前项和，列出不等式，参变分离得，因为存在，由基本不等式求的最大值即可.
【详解】解：(1) 时， ,
时，，
时，也适合上式，
所以数列的通项公式.
(2) 因为，
所以
因为存在，使得成立，
所以存在，使得成立，
即存在，使成立
又，，
（当且仅当时取等号），
所以.
即实数的取值范围是.
【点睛】本题考查已知求、裂项相消法求数列的和、基本不等式、数列与不等式相关知识，属中档题.
18．等差数列的首项为1，公差，且、、成等比数列，数列满足且.
（1）求、；
（2）若，数列的前项和为.
①求；
②求使的最小正整数.
【答案】（1），；（2）①；②4.
【分析】（1）由、、成等比数列，得，而，解方程求出公差，从而可得，由可得，然后利用累加法可求出；
（2）①将（1）得到的、代入中可得数列的通项，然后利用错位相减法求出；
②由于关于单调递增，所以赋值可求出最小正整数的值.
【详解】（1）由已知得：，又，，
，，
又，当时，
,
，又也适合公式，故.
（2）①，
.
②因为，所以关于单调递增，
又，，
所以，使的最小正整数.
【点睛】此题考查了等差数列，累加法求通项，错位相减法求和，考查了运算能力，属于中档题.
19．已知为数列的前n项和，满足，.设.
（1）判断数列是否为等比数列，并说明理由；
（2）若，求满足的最小的整数n.
【答案】（1）见解析，（2）7
【分析】（1）根据题意，将，代入，得到，又由，结合等比数列的定义，即可判定，得到答案；
（2）由（1）可得，利用等差、等比数列的求和公式，求得，结合数列的单调性，即可求解.
【详解】（1）由，得，代入，
得，所以，
又由，
当时，，此时数列不是等比数列；
当时，，此时,数列是以2为公比､以为首项的等比数列.
（2）当时，由（1）知数列是以2为公比，以1为首项的等比数列，
所以，可得，
所以，
又由，
所以单调递增，又由,，
所以满足题意当最小n为7.
【点睛】本题主要考查了数列的递推公式的应用，以及等差、等比数列的通项公式和前项和公式的应用，其中解答中熟练应用熟练的递推公式化简，以及熟记等差、等比数列的通项公式和求和公式，准确运算是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于中档试题.
20．已知数列的前项和，且满足，，成等差数列.
（1）求数列的通项公式；
（2）设数列的前项和为，求使成立的最小值.
【答案】（1）； （2）10.
【解析】(1)根据数列的通项公式与前项和公式的关系求解即可.
(2)由(1)有,再根据等比数列求和可得,再分析的情况即可.
【详解】（1）由已知
有
即，
从而，
又成等差数列.
即，
，解得：，
的通项公式.
（2）由（1）得：，
所以，
由，即.
，即，
的最小值为10.
【点睛】本题主要考查了数列的通项公式与前项和公式的关系与等比数列的求和,同时也考查了数列的不等式,属于中等题型.
21．在数列中，
（Ⅰ）求数列的通项；
（Ⅱ）若存在成立，求实数的最大值．
【答案】(Ⅰ)；(Ⅱ).
【详解】试题分析：
(Ⅰ)由可得，两式相减整理得到，故数列 为等比数列，求得通项后再验证是否满足即可得到所求．(Ⅱ)由条件可得存在成立，设
，则．然后根据的单调性求出最值即可．
试题解析：
（Ⅰ）∵，①
∴，②
①-②，得
，即
∴ ．
∴数列 是以为首项，3为公比的等比数列．
．
，
又不满足上式．
．
（Ⅱ）∵存在成立，
∴存在成立．
令，则．
由（Ⅰ）可知当，
当，
则，
所以当时，数列是递减数列，
∴当时，．
∴当时，．
∴ ．
故所求实数的最大值为．
22．数列是公差为正数的等差数列，和是方程的两实数根，数列满足.
(1)求与；
(2)设为数列的前项和，求，并求时的最大值.
【答案】(1)，；
(2).
【分析】（1）应用韦达定理及得，利用等差数列通项公式求公差，即可得的通项公式，进而写出通项公式；
（2）根据（1）得，运用错位相减法得，根据得为递增数列，且可得结果.
（1）
由, 且得：.
因此, ，因此.
，故.
（2）
由（1）知：,
因此，则.
相减得：.
因此，则,
因此，即为递增数列，又,
因此时的最大值为3.
23．已知数列的前项和为.
(1)求数列的通项公式；
(2)设为数列的前项和，其中，求；
(3)若存在，使得成立，求出实数的取值范围.
【答案】(1)，
(2)，
(3).
【分析】（1）由已知数列的前项和，利用求数列的通项公式；
（2）把变形，利用裂项相消法化简，代入得答案；
（3）把代入≥，分离参数λ，利用不等式求得最值得答案.
（1）
当时， ，
当时，也符合上式 ，
∴，
（2）
解法一：∵，
∴
解法二：∵
，
∴
，
（3）
∵存在，使得≥成立，
∴存在，使得成立,即有解，
，
而，当或时取等号，
的取值范围为.
24．已知为等差数列，是公比为2的等比数列，且．
(1)证明：；
(2)求集合中元素个数．
【答案】(1)证明见解析；
(2)．
【分析】（1）设数列的公差为，根据题意列出方程组即可证出；
（2）根据题意化简可得，即可解出．
【详解】（1）设数列的公差为，所以，，即可解得，，所以原命题得证．
（2）由（1）知，，所以，即，亦即，解得，所以满足等式的解，故集合中的元素个数为．
25．已知数列的前n项和满足．
(1)求的通项公式；
(2)设数列满足，记的前n项和为，若存在使得成立，求的取值范围．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）结合，可证明是等比数列，求解即可；
（2）乘公比错位相减法求和可得，代入，化简可得恒成立，结合单调性求解即可.
【详解】（1）∵，当可得，
，
∴，
即是以1为首项，的等比数列，
∴.
（2）∵,
∴,
,
两式相减：
,
∴,
∴,
∴,
即存在使成立,
∵随着n增大，在减小,
∴当时，.
26．已知二项式的展开式的各项系数和构成数列数列的首项，前项和为，且当时，有．
(1)求和；
(2)设数列的前项和为，若对任意的正整数恒成立，求实数的取值范围．
【答案】(1)，
(2)
【分析】（1）易判断，由替换，化简得，进而求得；
（2）化简得，由错位相减法求得，分离参数得原不等式等价于，构造，由函数单调性可判断.
【详解】（1）令得，
由，得，
化简得，两边同除，
，
为公差的等差数列，，
，
（2），
，
，
通过得
．
，
恒成立，即对任意的恒成立．
分离参数得，令，
由，
得为单调递增数列，所以.
即．