新高考数学二轮复习解答题提优训练专题1.5 概率与统计（回归分析、独立性检验）（2份，原卷版+解析版）

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1．频率分布直方图、茎叶图、平均数、方差，离散型随机变量的分布列与期望仍然是考查的热点，同时应注意和概率、平均数、分布列，期望，二项分布，正态分布等知识的结合，同时应注意独立性检验在实际生活中的应用．
2．求回归直线方程的一般步骤
①作出散点图，依据问题所给的数据在平面直角坐标系中描点，观察点的分布是否呈
条状分布，即是否在一条直线附近，从而判断两变量是否具有线性相关关系．
②当两变量具有线性相关关系时，求回归系数，写出回归直线方程．
③根据方程进行估计．
3．独立性检验的一般步骤：①根据样本数据列出列联表；
②计算随机变量的观测值k，查下表确定临界值k0：
③如果，就推断“X与Y有关系”，这种推断犯错误的概率不超过；否则，就认为在犯错误的概率不超过的前提下不能推断“X与Y有关系”．
注意：①通常认为时，样本数据就没有充分的证据显示“X与Y有关系”．
②独立性检验得出的结论是带有概率性质的，只能说结论成立的概率有多大，而不能
完全肯定一个结论，因此才出现了临界值表，在分析问题时一定要注意这点，不可对某个问题下确定性结论，否则就可能对统计计算的结果作出错误的解释．
③独立性检验是对两个变量有关系的可信程度的判断，而不是对其是否有关系的判断．
1．（2023春·陕西咸阳·高二阶段练习）某药品公司有6名产品推销员，其工作年限与月均销售金额的数据如下表：
(1)以工作年限为自变量，月均销售金额为因变量，作出散点图；
(2)求月均销售金额关于工作年限的线性回归方程；
(3)若第6名推销员的工作年限为11年，试估计他的月均销售金额．
附：回归直线的斜率和截距的最小二乘法估计公式分别为：，．
【解题思路】（1）根据表格中数据，直接描点即可得到散点图；
（2）首先求出的平均数，利用最小二乘法求出的值，再利用样本中心点满足线性回程和前面做出的横标和纵标的平均值，求出值，写出线性回归方程；
（3）第名推销员的工作年限为年，即时，把自变量的值代入线性回归方程，得到的预报值.
【解答过程】（1）依题意，画出散点图如图所示．
（2）从散点图可以看出，这些点大致在一条直线附近，设所求的线性回归方程为．
计算得，，
则，，
∴月均销售金额y关于工作年限x的线性回归方程为．
（3）由（2）可知，当时，（万元）．
∴可以估计第6名推销员的月均销售金额为5.9万元．
2．（2023春·陕西咸阳·高二阶段练习）网络购物已经渐渐成为人们购物的新方式．为了调查每周网络购物的次数和性别的关系，随机调查了100名市民的网络购物情况，有关数据的列联表如下：
(1)从这100位市民中随机抽取一位，试求出该市民为每周网络购物不满10次的男性的概率；
(2)请说明能否在犯错误的概率不超过0.001的前提下，认为每周网络购物次数与性别有关系？
[参考公式：（其中）]
【解题思路】（1）根据古典概型的概率计算公式即可求解；
（2）根据表格将数据代入的计算公式即可求解.
【解答过程】（1）由表中数据可知，每周网络购物不满10次的男性为40人，
所以概率；
（2）由题意可知，，
所以在犯错误的概率不超过0.001的前提下，认为每周网络购物次数与性别有关．
3．（2022春·陕西榆林·高二阶段练习）某贫困县为了响应国家精准扶贫的号召，特地承包了一块土地，已知土地的使用面积与相应的管理时间的关系如下表：
并调查了某村300名村民参与管理的意愿，得到的部分数据如下表：
(1)根据所给数据知，可用线性回归模型拟合与的关系，请用相关系数加以说明；（值精确到0.01）
(2)完成下面的列联表，并判断是否有的把握认为参与管理的意愿与该村村民的性别有关.
参考公式：，其中.
参考数据：.
临界值表：
【解题思路】(1)先计算土地使用面积x的平均值，再根据公式计算r；
(2)先填好列联表，再运用卡方计算.
【解答过程】（1）依题意：，
，
又，
，
与的相关系数近似为0.95，与的线性相关程度相当大，从而可以用线性回归模型拟合与的关系；
（2）完成的列联表如下：
计算，
有的把握认为参与管理的意愿与该村村民的性别有关.
综上，可以用线性回归模型拟合与的关系；有的把握认为参与管理的意愿与该村村民的性别有关.
4．（2023·云南昆明·统考一模）某新能源汽车公司从2018年到2022年汽车年销售量（单位：万辆）的散点图如下：
记年份代码为
(1)根据散点图判断，模型①与模型②，哪一个更适宜作为年销售量关于年份代码的回归方程？（给出判断即可，不必说明理由）
(2)根据（1）的判断结果，建立关于的回归方程；
(3)预测2023年该公司新能源汽车销售量．
参考数据：
参考公式：回归方程中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为：，
【解题思路】（1）根据散点图结合一次函数、二次函数的图象特征分析判断；
（2）换元令，结合题中数据与公式运算求解；
（3）令，代入回归方程运算求解.
【解答过程】（1）由散点图可知：散点图与一次函数偏差较大，与二次函数较接近，故模型②更适合.
（2）令，则，，
对于回归方程，
可得：，，
故回归方程为，即.
（3）由（2）可得：，
令，则，
预测2023年该公司新能源汽车销售量万辆.
5．（2022春·山西大同·高二期中）随着节能减排意识深入人心，共享单车在各大城市大范围推广，越来越多的市民在出行时喜欢选择骑行共享单车.为了研究广大市民在共享单车上的使用情况，某公司在我市随机抽取了100名用户进行调查，得到如下数据：
(1)如果用户每周使用共享单车超过3次，那么认为其“喜欢骑行共享单车”.请完成下面的列联表，并判断依据的独立性检验，能否认为“喜欢骑行共享单车”与性别有关；
(2)每周骑行共享单车6次及6次以上的用户称为“骑行达人”，将频率视为概率，在我市所有的“骑行达人”中随机抽取4名，求抽取的这4名“骑车达人”中，既有男性又有女性的概率.
【解题思路】（1）由题意，写出列联表，利用独立性检验，可得答案；
（2）根据概率的乘法公式以及概率的减法公式，可得答案.
【解答过程】（1）由题目表格中的数据可得如下列联表：
将列联表中的数据代入公式，得，
所以依据的独立性检验，不能认为“喜欢骑行共享单车”与性别有关.
（2）将频率视为概率，在我市的“骑行达人”中随机抽取1名，则该“骑行达人”是男性的概率为，
是女性的概率为.故抽取的这4名“骑行达人”中，
既有男性又有女性的概率.
6．（2023·福建漳州·统考三模）年月日，由工业和信息化部、安徽省人民政府共同主办的第十七届“中国芯”集成电路产业大会在合肥成功举办．此次大会以“强芯固基以质为本”为主题，旨在培育壮大我国集成电路产业，夯实产业基础、营造良好产业生态.年，全国芯片研发单位相比年增加家，提交芯片数量增加个，均增长超过倍.某芯片研发单位用在“芯片”上研发费用占本单位总研发费用的百分比（）如表所示.
(1)根据表中的数据，作出相应的折线图；并结合相关数据，计算相关系数，并推断与线性相关程度；（已知：，则认为与线性相关很强；，则认为与线性相关一般；，则认为与线性相关较弱）
(2)求出与的回归直线方程（保留一位小数）；
(3)请判断，若年用在“芯片”上研发费用不低于万元，则该单位年芯片研发的总费用预算为万元是否符合研发要求?
附：相关数据：，，，.
相关计算公式：①相关系数；
在回归直线方程中，，.
【解题思路】（1）根据表格数据可绘制折线图，结合公式可求得相关系数，对比已知线性相关强度判断依据即可得到结论；
（2）采用最小二乘法即可求得回归直线；
（3）将代入回归直线可求得，进而计算得到预算为万元时的研发费用的预估值，由此可得结论.
【解答过程】（1）折线图如下：
由题意得：，，，
，
，与线性相关很强.
（2）由题意得：，，
关于的回归直线方程为.
（3）年对应的年份代码，则当时，，
预测年用在“芯片”上的研发费用约为（万元），
，符合研发要求.
7．（2023·河南洛阳·联考一模）为庆祝党的二十大的胜利召开，培养担当民族复兴的时代新人，某高校在全校开展“不负韶华，做好社会主义接班人”的宣传活动．为进一步了解学生对党的“二十大”精神的学习情况，学校开展了“二十大”相关知识的竞赛活动，现从参加该活动的学生中随机抽取100人，将他们的竞赛成绩（满分为100分）分为5组：，，，，，得到如图所示的频率分布直方图：
(1)估计这100名学生的竞赛成绩的中位数（结果保留整数）；
(2)在抽取的100名学生中，规定：竞赛成绩不低于70分为“优秀”，竞赛成绩低于70分为“非优秀”．请将下面的2×2列联表补充完整，并判断是否有99%的把握认为“竞赛成绩是否优秀与性别有关”？（精确到0.001）
参考公式及数据：，其中．
【解题思路】（1）运用频率分布直方图中位数计算公式可求得结果.
（2）计算出优秀人数完成列联表，再运用独立性检验判断即可.
【解答过程】（1）因为，
所以竞赛成绩的中位数在内．
设竞赛成绩的中位数为m，则，解得，
所以估计这100名学生的竞赛成绩的中位数为72．
（2）由（1）知，在抽取的100名学生中，
竞赛成绩为“优秀”的有：人，
由此可得完整的2×2列联表：
零假设：竞赛成绩是否优秀与性别无关.
因为 ，
所以有99%的把握认为“竞赛成绩是否优秀与性别有关”．
8．（2023·河南·统考模拟预测）现在常常可以看到人们在走路、吃饭或乘车时低着头玩手机，长期下来，就很容易使颈椎损伤，患上颈椎病.某学习小组调查研究“长期使用智能手机对颈椎病的影响”，随机选取了100名手机用户得到部分统计数据如下表，约定日使用手机时间超过4小时为“频繁使用手机”.已知“频繁使用手机”的人数比“非频繁使用手机”的人数少24人.
(1)求表中p，q的值，并补全表中所缺数据；
(2)根据2×2列联表，判断是否有99.9%的把握认为“频繁使用手机”对颈椎病有影响.
附：，其中.
【解题思路】（1）频繁使用手机的人数比非频繁使用手机的人数少24人，且样本容量为100，可计算出频繁使用手机的人数和非频繁使用手机的人数，则可求表中p，q的值，可补全表中所缺数据；
（2）根据2×2列联表计算，与临界值比较后下结论.
【解答过程】（1）因为频繁使用手机的人数比非频繁使用手机的人数少24人，而频繁使用手机的人数与非频繁使用手机的人数之和为100，所以频繁使用手机的人数为38，非频繁使用手机的人数为62，
所以，，
补全表中所缺数据如下：
（2）根据题意计算观测值为 ，
所以有的把握认为频繁使用手机对颈椎病有影响.
9．（2023·浙江嘉兴·统考模拟预测）糟蛋是新鲜鸭蛋（或鸡蛋）用优质糯米糟制而成，是中国别具一格的特色传统美食，以浙江平湖糟蛋、陕州糟蛋和四川宜宾糟蛋最为著名.平湖糟蛋采用优质鸭蛋、上等糯米和酒糟糟渍而成，经过糟渍蛋壳脱落，只有一层薄膜包住蛋体，其蛋白呈乳白色，蛋黄为橘红色，味道鲜美.糟蛋营养丰富，每百克中约含蛋白质15.8克、钙24.8克、磷11.1克、铁0.31克，并含有维持人体新陈代谢必须的18种氨基酸.现有平湖糟蛋的两家生产工厂，产品按质量分为特级品、一级品和二级品，其中特级品和一级品都是优等品，二级品为合格品.为了比较两家工厂的糟蛋质量，分别从这两家工厂的产品中各选取了200个糟蛋，产品质量情况统计如下表：
(1)从400个糟蛋中任取一个，记事件表示取到的糟蛋是优等品，事件表示取到的糟蛋来自于工厂甲.求；
(2)依据小概率值的独立性检验，从优等品与合格品的角度能否据此判断两家工厂生产的糟蛋质量有差异？
附：参考公式：，其中.
独立性检验临界值表：
【解题思路】（1）根据条件概率的知识求得.
（2）先绘制列联表，然后计算的值，从而作出判断.
【解答过程】（1）.
（2）列联表：
零假设为：两家工厂生产的糟蛋质量没有差异.
，
依据小概率值的独立性检验，我们推断不成立，即认为两家工厂生产的糟蛋质量有差异.
10．（2023·河北石家庄·统考一模）植物生长调节剂是一种对植物的生长发育有调节作用的化学物质，它在生活中的应用非常广泛．例如，在蔬菜贮藏前或者贮藏期间，使用一定浓度的植物生长调节剂，可抑制萌芽，保持蔬菜新鲜，延长贮藏期．但在蔬菜上残留的一些植物生长调节剂会损害人体健康．某机构研发了一种新型植物生长调节剂A，它能延长种子、块茎的休眠，进而达到抑制萌芽的作用．为了测试它的抑制效果，高三某班进行了一次数学建模活动，研究该植物生长调节剂A对甲种子萌芽的具体影响，通过实验，收集到A的浓度u（）与甲种子发芽率Y的数据．
表（一）
若直接采用实验数据画出散点图，（如图1所示）除了最后一个数据点外，其他各数据点均紧临坐标轴，这样的散点图给我们观察数据背后的规律造成很大的障碍，为了能够更好的观察现有数据，将其进行等价变形是一种有效的途径，通过统计研究我们引进一个中间量x，令，通过，将A浓度变量变换为A的浓度级变量，得到新的数据．
表（二）
(1)如图2所示新数据的散点图，散点的分布呈现出很强的线性相关特征．请根据表中数据，建立Y关于x的经验回归方程；
(2)根据得到的经验回归方程，要想使得甲种子的发芽率不高于0.4，估计A浓度至少要达到多少？
附：对于一组数据，…，，其经验回归方程中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为：，．
【解题思路】（1）根据表中数据先求，根据参考公式进行计算，可得答案；
（2）根据回归直线方程建立不等关系，利用换算可得答案.
【解答过程】（1）由题意 ；
，
，
所以；
，
所以Y关于x的经验回归方程为.
（2）由题意，，解得，
因为，所以，解得；
所以估计A浓度至少要达到 .
11．（2023·陕西咸阳·校考模拟预测）2021年7月24日，中共中央办公厅、国务院办公厅印发《关于进一步减轻义务教育阶段学 生作业负担和校外培训负担的意见》（下称“双减”）为了扎实推进“双减”工作，某地小学拟制定“免考”、“弹性作业”等一系列制度，继续深化减负政策. 现在当地随机抽取了名家长，调查他们对“免考”制度的态度，统计如下表.
(1)补充完善上述表格，并分别求乡村家长、城镇家长中支持“免考”制度的频率；
(2)是否有超过的把握认为支持“免考”制度与家长类别有关系.
附：
【解题思路】（1）根据题意完善列联表，进而可求频率；
（2）根据题中数据与公式求，并与临界值对比分析.
【解答过程】（1）表格补充如下：
所以乡村家长中支持“免考”制度的频率为，
城镇家长中支持“免考”制度的频率为 .
（2）因为 ，
所以有超过 的把握认为支持“免考”制度与 家长类别有关系.
12．（2023·江西南昌·统考一模）随着国民旅游消费能力的提升，选择在春节假期放松出行的消费者数量越来越多．伴随着我国疫情防控形势趋向平稳，被“压抑”已久的出行需求持续释放，“周边游”、“乡村游”等新旅游业态火爆，为旅游行业发展注入新活力，旅游预订人数也开始增多，为了调查游客预订与年龄是否有关，调查组对400名不同年龄段的游客进行了问卷调查，其中有200名游客预定了，这200名游客中各年龄段所占百分比见图：
已知在所有调查游客中随机抽取1人，抽到不预订的且在19~35岁年龄段的游客概率为．
(1)请将下列2×2列联表补充完整．
能否在犯错误概率不超过0.001的前提下，认为旅游预订与年龄有关？请说明理由．
(2)将上述调查中的频率视为概率，按照分层抽样的方法，从预订旅游客群中选取5人，在从这5人中任意取2人，求2人中恰有1人是19-35岁年龄段的概率．
附：，其中．
【解题思路】（1）根据题意完善列联表，根据表中数据求，并与临界值比较分析；
（2）根据分层抽样求每层抽取的人数，再结合古典概型运算求解.
【解答过程】（1）预定旅游中，19－35岁年龄段的人数为：人，
18岁以下及36岁以上人数为人．
在所有调查对象中随机抽取1人，抽到不预订的旅游客群在19~35岁年龄段的人的概率为，
故不预订旅游客群19~35岁年龄段的人为：人，
18岁以下及36岁以上人数为人．
所以列联表中的数据为：
，
则能在犯错误概率不超过0.001的前提下，认为旅游顸订与年龄有关．
（2）按分层抽样，从预定旅游客群中选取5人，
其中在19－35岁年龄段的人数为，分别记为：A，B，C；18岁以下及36岁以上人数为2人，分别记为：a，b．
从5人中任取2人，则有：，共有10种情况
其中恰有1人是19－35岁年龄段的有：，共 6种情况，
故2人中恰有1人是19-35岁年龄段的概率为：．
13．（2023·陕西咸阳·校考模拟预测）发展新能源汽车是我国从汽车大国迈向汽车强国的必由之路，是应对气候变化、推动绿色发展的战略举措.随着国务院《新能源汽车产业发展规划(2021—2035)》的发布，我国自主品牌汽车越来越具备竞争力.国产某品牌汽车为调研市场，统计了三款燃油汽车和两款新能源汽车在甲、乙两个城市本月的销售情况﹐数据如下.
(1)若在城市甲的销量和在城市乙的销量满足线性相关关系，求出关于的线性回归方程
(2)计算是否有的把握认为选择新能源汽车与消费者所在城市有关.
附: .
， 其中.
临界值表:
【解题思路】(1)由条件求，结合参考数据由公式求，由此可得回归方程；
(2)作出列联表，推出零假设，由参考数据求，与临界值比较大小，确定结论.
【解答过程】（1），
，
，
，
，
，
得到线性回归方程为 .
（2）作出列联表如下，
零假设为，选择新能源汽车与消费者所在城市独立，
即两个城市选择新能源汽车的情况无差异，
计算得 ，
根据小概率值的的独立性检验，没有充分证据推断不成立，
因此可以认为成立，即有 的把握认为选择新能源汽车与消费者所在城市相关.
14．（2023·重庆沙坪坝·校考模拟预测）党的二十大报告提出：“必须坚持科技是第一生产力､人才是第一资源､创新是第一动力，深入实施科教兴国战略､人才强国战略､创新驱动发展战略，开辟发展新领域新赛道，不断塑造发展新动能新优势.”某数字化公司为加快推进企业数字化进程，决定对其核心系统DAP，采取逐年增加研发人员的办法以提升企业整体研发和创新能力.现对2018~2022年的研发人数作了相关统计（年份代码1~5分别对应2018~2022年）如下折线图：
(1)根据折线统计图中数据，计算该公司研发人数与年份代码的相关系数，并由此判断其相关性的强弱；
(2)试求出关于的线性回归方程，并预测2023年该公司的研发人数（结果取整数）.
参考数据：当认为两个变量间的相关性较强
参考公式相关系数，
回归方程中的斜率和截距的最小二乘法估计公式分别为，.
【解题思路】(1)将数据代入公式计算即可求解；
(2)结合（1）和题中的数据，代入公式计算即可求解.
【解答过程】（1）由题知

因为，所以认为相关变量有较强的相关性.
（2）由（1）得
回归方程为
当时，即2023年该公司投入研发人数约540人.
15．（2023·陕西铜川·校考一模）某调研机构为研究某产品是否受到人们的欢迎，在社会上进行了大量的问卷调查，从中抽取了50份试卷，得到如下结果：
(1)估算一下，1000人当中有多少人喜欢该产品？
(2)能否有的把握认为是否喜欢该产品与性别有关？
(3)从表格中男生中利用分层抽样方法抽取5人，进行面对面交谈，从中选出两位参与者进行彩产品的试用，求所选的两位参与者至少有一人不喜欢该产品的概率．
参考公式与数据：
，．
【解题思路】（1）通过表格得到喜欢产品的概率，即可求解；
（2）根据列联表结合公式运算，并与临界值3.841比较得到结论；
（3）根据分层抽样得到共有3人喜欢，有2人不喜欢，然后写出选择两个人的所有情况，在罗列出满足至少有一人不喜欢的情况，根据古典概型即可
【解答过程】（1）通过表格可得到喜欢该产品的概率为，
故1000人中喜欢该产品的人大概有
（2）由表格可得，
故有的把握认为是否喜欢该产品与性别有关；
（3）由于，故抽取的5人中有3个人喜欢该产品，有2个人不喜欢该产品．
从中选2人，则所有选择方法为：，共10种不同情形，
其中至少有一个人不喜欢的可能情形为：，共7种，
故所选的两位参与者至少有一人不喜欢该产品的概率．
16．（2023·全国·模拟预测）下表为2015—2021年中国数字经济规模（单位：万亿元）及2022—2024年中国数字经济规模预测统计表，记2015—2024年对应的代码分别为1~10．
(1)根据2015—2021年的数据知可用线性回归模型拟合中国数字经济规模y与年份代码x之间的关系，求y关于x的线性回归方程（系数精确到0.01）；
(2)对于未来n年的变化，通过两种不同模型预测得到两组数据，，…，与，，，，记M为数据，，…，，，，…，中的最大值，若，则称这两组数据相吻合，利用（1）中求得的线性回归方程对2022—2024年的中国数字经济规模进行预测，判断所得预测数据与表中预测数据是否吻合．
参考数据：，．
参考公式：线性回归方程中，斜率与截距的最小二乘估计公式分别为，．
【解题思路】（1）根据最小二乘法估计公式求出和，代入可得结果；
（2）利用计算出对应的函数值，再计算和的值，并比较它们的大小可得答案.
【解答过程】（1），
因为，所以，
，
所以 ，
，
故y关于x的线性回归方程为．
（2）当时，，当时，，
当时，，
因为，，
，
所以所得预测数据与表中预测数据不吻合.
17．（2023·安徽合肥·统考一模）研究表明，温度的突然变化会引起机体产生呼吸道上皮组织的生理不良反应，从而导致呼吸系统疾病的发生或恶化．某中学数学建模社团成员欲研究昼夜温差大小与该校高三学生患感冒人数多少之间的关系，他们记录了某周连续六天的温差，并到校医务室查阅了这六天中每天高三学生新增患感冒而就诊的人数，得到资料如下：
参考数据：，．
(1)已知第一天新增患感冒而就诊的学生中有7位女生，从第一天新增的患感冒而就诊的学生中随机抽取3位，若抽取的3人中至少有一位男生的概率为，求的值；
(2)已知两个变量x与y之间的样本相关系数，请用最小二乘法求出y关于x的经验回归方程，据此估计昼夜温差为15℃时，该校新增患感冒的学生数（结果保留整数）．
参考公式：，．
【解题思路】（1）根据题意由求解；
（2）根据样本相关系数，求得，再利用公式求得即可.
【解答过程】（1）解：∵，
∴，
∴，
∴．
（2）∵，
∴，∴．
∵，
∴，
∴．
又∵，
解得．
∴，
∴，当时，，
∴可以估计，昼夜温差为15℃时，该校新增患感冒的学生数为33人．
18．（2023·浙江·模拟预测）2022年卡塔尔世界杯决赛圈共有32队参加，其中欧洲球队有13支，分别是德国、丹麦、法国、西班牙、英格兰、克罗地亚、比利时、荷兰、塞尔维亚、瑞士、葡萄牙、波兰、威尔士．世界杯决赛圈赛程分为小组赛和淘汰赛，当进入淘汰赛阶段时，比赛必须要分出胜负．淘汰赛规则如下：在比赛常规时间90分钟内分出胜负，比赛结束，若比分相同，则进入30分钟的加时赛．在加时赛分出胜负，比赛结束，若加时赛比分依然相同，就要通过点球大战来分出最后的胜负．点球大战分为2个阶段．第一阶段：前5轮双方各派5名球员，依次踢点球，以5轮的总进球数作为标准（非必要无需踢满5轮），前5轮合计踢进点球数更多的球队获得比赛的胜利．第二阶段：如果前5轮还是平局，进入“突然死亡”阶段，双方依次轮流踢点球，如果在该阶段一轮里，双方都进球或者双方都不进球，则继续下一轮，直到某一轮里，一方罚进点球，另一方没罚进，比赛结束，罚进点球的一方获得最终的胜利．
下表是2022年卡塔尔世界杯淘汰赛阶段的比赛结果：
注：“阿根廷法国”表示阿根廷与法国在常规比赛及加时赛的比分为，在点球大战中阿根廷战胜法国．
(1)请根据上表估计在世界杯淘汰赛阶段通过点球大战分出胜负的概率．
(2)根据题意填写下面的列联表，并通过计算判断是否能在犯错的概率不超过0.01的前提下认为“32支决赛圈球队闯人8强”与是否为欧洲球队有关．
(3)若甲、乙两队在淘汰赛相遇，经过120分钟比赛未分出胜负，双方进入点球大战．已知甲队球员每轮踢进点球的概率为p，乙队球员每轮踢进点球的概率为，求在点球大战中，两队前2轮比分为的条件下，甲队在第一阶段获得比赛胜利的概率（用p表示）．
参考公式：
【解题思路】(1)根据古典概型概率公式求解；
(2)由条件数据填写列联表，提出零假设，计算，比较其与临界值的大小，确定是否接受假设；
(3)根据实际比赛进程，根据独立重复试验概率公式，独立事件概率公式和互斥事件概率公式求概率.
【解答过程】（1）由题意知卡塔尔世界杯淘汰赛共有16场比赛，其中有5场比赛通过点球大战决出胜负，
所以估计在世界杯淘汰赛阶段通过点球大战分出胜负的概率；
（2）下面为列联表：
零假设支决赛圈球队闯入8强与是否为欧洲球队无关．
．
根据小概率值的独立性检验，没有充分证据推断不成立，
即不能在犯错的概率不超过0.01的前提下认为“决赛圈球队闯入8强”与是否为欧洲球队有关．
（3）根据实际比赛进程，假定点球大战中由甲队先踢．两队前2轮比分为的条件下，甲在第一阶段获得比赛胜利，则后3轮有5种可能的比分，．
当后3轮比分为时，甲乙两队均需踢满5轮，．
当后3轮比分为时，有如下3种情况：
则．
当后3轮比分为时，有如下6种情况：
则．
当后3轮比分为时，有如下2种情况：
则
当后3轮比分为时，有如下1种情况：
则．
综上，在点球大战中两队前2轮比分为的条件下，甲在第一阶段获得比赛胜利的概率.
19．（2023·四川南充·校考模拟预测）某电子产品生产商经理从众多平板电脑中随机抽取6台，检测它们充满电后的工作时长(单位：分钟)， 相关数据如下表所示．
(1)若从被抽中的6台平板电脑中随机抽出2台，则抽出的2台平板电脑充满电后工作时长都不小于210分钟的概率；
(2)下表是一台平板电脑的使用次数与当次充满电后工作时长的相关数据．求该平板电脑工作时长与使用次数之间的回归直线方程，并估计该平板电脑使用第200次时充满电后的工作时长．
附： ，，．
【解题思路】（1）使用古典概型概率公式进行求解即可；
（2）使用表格中的数据，根据题目所附公式进行计算，并将代入回归直线方程进行估计即可.
【解答过程】（1）用表示从被抽中的6台平板电脑中随机抽出2台的序号分别为和，
则基本事件有，，，，，，，，，，，，，，共个，
将“抽出的2台平板电脑充满电后工作时长都不小于210分钟”记为事件，
由已知，序号为，，，的平板电脑充满电后工作时长都不小于210分钟，
∴事件中基本事件有，，，，，共个，
∴.
∴若从被抽中的6台平板电脑中随机抽出2台，则抽出的2台平板电脑充满电后工作时长都不小于210分钟的概率为.
（2）由已知，，
，
，
，
∴，
∴，
∴线性回归直线方程为，
当时，，
∴估计该平板电脑使用第200次时充满电后的工作时长为分钟．
20．（2023·河南信阳·联考一模）某校本着“我运动我快乐我锻炼我健康”精神积极组织学生参加足球、篮球、排球、羽毛球等球类活动．为了解学生参与情况，随机抽取100名学生对是否参与情况进行问卷调查．所得数据制成下表：
若从这100人中任选1人恰好参与球类活动的概率为0.6．
(1)判断是否有95%的把握认为“参与球类活动”与性别有关；
(2)现从不参与球类活动的学生中按其性别比例采取分层抽样的方法选取8人，再在这8人中选取2人参加游泳，求恰好抽到2名女生的概率．
附：列联表参考公式：，其中．
临界值表：
【解题思路】（1）完善列联表，求出的观测值，再与临界值表比对即可作答.
（2）利用分层抽样求出选取的8人中男女生人数，再借助组合问题，利用古典概率求解作答.
【解答过程】（1）依题意，参与球类活动概率为0.6，即有60人参与球类活动，得列联表：
于是得的观测值：，
所以有95%把握认为参与球类活动与性别有关．
（2）从不参与球类活动的40名学生中按其性别比例采取分层抽样的方法选取8人，有3名男生，5名女生，
因此从8人中任选2人，有种选取方法，而恰好抽到2名女生的抽法有种方法，
所以恰好抽到2名女生的概率为.推销员编号
1
2
3
4
5
工作年限/年
3
5
6
7
9
月均销售金额/万元
2
3
3
4
5
10次及10次以上
10次以下
男性
10
40
女性
40
10
0.10
0.05
0.025
0.010
0.005
0.001
2.706
3.841
5.024
6.635
7.879
10.828
土地使用面积（单位：亩）
1
2
3
4
5
管理时间（单位：月）
8
11
14
24
23
愿意参与管理
不愿意参与管理
男性村民
140
60
女性村民
40
愿意参与管理
不愿意参与管理
合计
男性村民
140
60
女性村民
40
合计
0.050
0.010
0.001
3.841
6.635
10.828
愿意参与管理
不愿意参与管理
合计
男性村民
140
60
200
女性村民
40
60
100
合计
180
120
300
34
55
979
657
2805
每周使用次数
1次
2次
3次
4次
5次
6次及以上
男
4
3
3
7
8
30
女
6
5
4
4
6
20
合计
10
8
7
11
14
50
不喜欢骑行共享单车
喜欢骑行共享单车
合计
男
女
合计
不喜欢骑行共享单车
喜欢骑行共享单车
合计
男
10
45
55
女
15
30
45
合计
25
75
100
年份
年份代码
优秀
非优秀
合计
男
30
女
50
合计
100
0.10
0.05
0.025
0.010
0.005
0.001
2.706
3.841
5.024
6.635
7.879
10.828
优秀
非优秀
合计
男
20
30
50
女
40
10
50
合计
60
40
100
非频繁使用手机
频繁使用手机
合计
颈椎病人数
8
非颈椎病人数
16
合计
100
0.10
0.05
0.01
0.005
0.001
2.706
3.841
6.635
7.879
10.828
非频繁使用手机
频繁使用手机
合计
颈椎病人数
8
22
30
非颈椎病人数
54
16
70
合计
62
38
100
优等品
合格品
合计
特级品
一级品
二级品
工厂甲
100
75
25
200
工厂乙
120
30
50
200
合计
220
105
75
400
0.10
0.05
0.010
0.005
0.001
2.706
3.841
6.635
7.879
10.828
优等品
合格品
合计
工厂甲
175
25
200
工厂乙
150
50
200
合计
325
75
400
A浓度u（）
发芽率Y
0.94
0.76
0.46
0.24
0.10
A浓度u（）
A浓度级x
1
2
3
4
5
发芽率Y
0.94
0.76
0.46
0.24
0.10
不支持
支持
合计
乡村家长（人）
城镇家长（人）
合计
不支持
支持
合计
乡村家长(人)
60
40
100
城镇家长(人)
20
80
100
合计
80
120
200
预订旅游
不预订旅游
合计
19-35岁
18岁以下及36岁以上
合计
0.100
0.050
0.010
0.005
0.001
k
2.706
3.841
6.635
7.879
10.828
预订旅游
不预订旅游
合计
19~35岁
120
75
195
18岁以下及36岁以上
80
125
205
合计
200
200
400
燃油汽车
A型车
燃油汽车
B型车
燃油汽车
C型车
新能源纯
电动汽车
新能源混合
动力汽车
城市甲
60
50
40
30
20
城市乙
210
180
110
70
30
0.15
0.10
0.05
0.025
0.010
0.005
0.001
2.072
2.706
3.841
5.024
6.635
7.879
10.828
燃油汽车
新能源汽车
总计
城市甲
150
50
200
城市乙
500
100
600
总计
650
150
800
性别
是否喜欢
男生
女生
是
15
8
否
10
17
0.10
0.050
0.010
0.005
2.706
3.841
6.635
7.879
年份
2015年
2016年
2017年
2018年
2019年
2020年
2021年
2022年
2023年
2024年
年份代码
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
中国数字经济规模/万亿元
18.6
22.6
27.2
31.3
35.8
39.2
45.5
54.3
60.6
68.3
日期
第一天
第二天
第三天
第四天
第五天
第六天
昼夜温差x（℃）
4
7
8
9
14
12
新增就诊人数y（位）
淘汰赛
比赛结果
淘汰赛
比赛结果
1/8决赛
荷兰美国
1/4决赛
克罗地亚巴西
阿根廷澳大利亚
荷兰阿根廷
法国波兰
摩洛哥葡萄牙
英格兰塞内加尔
英格兰法国
日本克罗地亚
半决赛
阿根廷克罗地亚
巴西韩国
法国摩洛哥
摩洛哥西班牙
季军赛
克罗地亚摩洛哥
葡萄牙瑞士
决赛
阿根廷法国
欧洲球队
其他球队
合计
闯入8强
未闯入8强
合计
0.1
0.05
0.01
0.005
0.001
2.706
3.841
6.635
7.879
10.828
欧洲球队
其他球队
合计
进入8强
5
3
8
未进入8强
8
16
24
合计
13
19
32
3
4
5
3
4
5
3
4
5
甲
√
√
甲
√
×
√
甲
×
√
√
乙
×
×
乙
×
×
乙
×
×
3
4
5
3
4
5
3
4
5
甲
√
√
×
甲
√
√
×
甲
√
×
√
乙
√
×
×
乙
×
√
×
乙
√
×
×
3
4
5
3
4
5
3
4
5
甲
√
×
√
甲
×
√
√
甲
×
√
√
乙
×
√
×
乙
√
×
×
乙
×
√
×
3
4
5
3
4
5
甲
√
√
√
甲
√
√
√
乙
√
×
乙
×
√
3
4
5
甲
√
√
√
乙
√
√
×
平板电脑序号
1
2
3
4
5
6
工作时长/分
220
180
210
220
200
230
使用次数x/次
20
40
60
80
100
120
140
工作时长/分
210
206
202
196
191
188
186
不参与
参与
合计
男生
15
35
50
女生
50
合计
100
0.100
0.050
0.025
0.010
0.001
2.706
3.841
5.024
6.635
10.828
不参与
参与
合计
男生
15
35
50
女生
25
25
50
合计
40
60
100