新高考数学二轮复习解答题提优训练专题1.13 导数中的零点问题（2份，原卷版+解析版）

这是一份新高考数学二轮复习解答题提优训练专题1.13 导数中的零点问题（2份，原卷版+解析版），文件包含新高考数学二轮复习解答题提优训练专题113导数中的零点问题原卷版doc、新高考数学二轮复习解答题提优训练专题113导数中的零点问题解析版doc等2份试卷配套教学资源，其中试卷共43页， 欢迎下载使用。
1．高考对本部分的考查一般有三个层次：
(1)主要考查求导公式，求导法则与导数的几何意义；
(2)导数的简单应用，包括求函数的单调区间、极值、最值等；
(3)综合考查，如零点、证明不等式、恒成立问题、求参数等，包括解决应用问题，将导数内容和传统内容中有关不等式、数列及函数单调性有机结合，设计综合题．
2．利用导数解决函数的零点问题时，一般先由零点的存在性定理说明在所求区间内至少有一个零点，再利用导数判断在所给区间内的单调性，由此求解．
3．利用导数解决函数零点问题的方法：
(1)先求出函数的单调区间和极值，根据函数的性质画出图象，然后将问题转化为函数图象与轴交点问题，突出导数的工具作用，体现了转化与化归思想、数形结合的思想和分类讨论的思想；
(2)构造新函数，将问题转化为研究两函数的图象的交点问题；
(3)分离参变量，即由分离参变量，得，研究直线与的图象的交点问题．
1．（2023·四川巴中·统考一模）设函数，．
(1)当时，设，求函数的单调区间；
(2)若函数有两个零点，求的取值范围．
【解题思路】（1）利用条件求导得，再分类讨论的值即可得单调区间；
（2）求导得，分类讨论的值再结合零点存在性定理即可解得；也可以利用导数的几何意义或者分离参数后数形结合处理.
【解答过程】（1）当b=0时，，
又，故得，或
①当，即时，恒成立
∴的减区间为，无增区间；
②当，即时，由得，或，由得，
∴的减区间为，，增区间为
③当，即时，由得，或；由得，
∴的减区间为，，增区间为
综上可得：当时，的减区间为，无增区间；
当时，的减区间为，，增区间为；
当时，的减区间为，，增区间为.
（2）方法一：
由已知可得：，，
当时，恒成立，∴在R上是增函数，至多一个零点，不合题意；
当时，由得，此时：
若，则，是减函数；若，则，是增函数，
∴，
由函数有两个零点得：，解得，
当时，有，
∵，
∴在内有一个零点.
令，则，
令，则在恒正，
∴在上单调递增，故，
∴在上单调递增，
∴，
∴，
∴在内也有一个零点，
即 当时，函数有两个零点，
∴实数b的取值范围为.
方法二：
由得：，
故有两个零点等价于曲线与直线有两个不同的交点，
∴当时，直线应在过点的曲线的切线的上方，
设过点的曲线的切线与曲线切于点则有，解得，
∴过点的曲线的切线方程为，∴ ，
当时，由，知在内有一个零点，
由直线上升与指数爆炸两种增长形知，总存在正数m，当时有，
∴在内也有一个零点，
∴实数的取值范围为.
方法三：
由得，当时等式不成立，故，
∴，
设，则，
当且时，，当时，，
∴在，内是减函数，在内是增函数，，
又当时，；当时，，
∴关于x方程有两个不同的解的必要条件为，
又当时，若，或时均有，
∴当时，方程有两个不同的解.
∴实数b的取值范围为.
方法四：
由得，当b=0时等式不成立，故，
于是对变形得，
设，则，
当时，单调递增；当时，单调递减，
∴，
又当时，；当时，
当时，，
∴当且仅当时，直线与函数的图象有两个不同的交点，
∴时，函数有两个零点，
∴实数b的取值范围为.
2．（2023·山西·统考模拟预测）已知函数，，.
(1)判断的单调性；
(2)若有唯一零点，求的取值范围.
【解题思路】（1）求出函数的导数，判断其正负，即可确定函数单调性.
（2）求出函数的导数，对a分类讨论，判断函数单调性，结合函数最值以及零点存在定理判断函数零点个数，综合即可求得答案.
【解答过程】（1）定义域为 ,
记,
当时，；当时，，
∴在上单调递减，在上单调递增，
故，
∴在上单调递增．
（2）定义域为R，，
①当时，有唯一零点，符合题意；
②当时，，当时，在单调递减；
当时，在单调递增，
故，
若，则无零点，不符题意；
若，有唯一零点，符合题意；
若，则，又，
时，，，∴ ，
故在内各有一个零点，函数有两个零点，不符题意；
③当时，当时，
当时，
则在上单调递增，在上单调递减，
又，
时，令，令，
即在单调递增，故，
故在单调递增，则，
所以，故，则，
故此时在上有唯一零点，符合题意；
综上，a的取值范围为.
3．（2023·内蒙古包头·一模）已知函数．
(1)当时，求曲线在点处的切线与两坐标轴所围成三角形的面积；
(2)若没有零点，求a的取值范围．
【解题思路】（1）先求出切点，利用导数求得切线斜率，进而得到切线方程，再分别求出在，轴上的截距, 最后利用直角三角形面积公式求得结果;
（2）对分和两种情况讨论，利用导数探究出函数的单调性，进而求得函数最值分析可得答案.
【解答过程】（1）当时，．
，
故曲线在点处的切线方程为，
即．
因为该切线在，轴上的截距分别为和，
所以该切线与两坐标轴所围成的直角三角形的面积．
（2）①当时，，则，
由图象可得，当时，；当时，．
所以在上单调递减，在上单调递增，
故为最小值，且．
所以此时存在零点，不符合题意．
②当时，因为，
所以，
令，则，
因为，所以，在上单调递增，
又，由零点存在定理得，
在上有唯一的零点，即，因此有．
当时，，即；当时，，即．
所以在上单调递减，在上单调递增，故为最小值．
由，得，，
所以，
因为，所以，又因为，所以，所以．
所以，此时没有零点．
综上，的取值范围是．
4．（2023·内蒙古包头·一模）已知函数．
(1)当时，求曲线在点处的切线与两坐标轴所围成三角形的面积；
(2)证明：当时，没有零点．
【解题思路】（1）求出导函数后计算斜率，再计算，然后写出切线方程，求出其在坐标轴上的截距后可得三角形面积；
（2）求出导函数，引入新函数，由导数确定的零点的存在，从而得出的正负，得的最小值，然后证明这个最小值大于0即可证．
【解答过程】（1）当时，．
，
故曲线在点处的切线方程为，
即．
因为该切线在x，y轴上的截距分别为和，
所以该切线与两坐标轴所围成的三角形的面积．
（2）当时，因为，所以，
令，则，
因为，所以，所以在上单调递增，
又，
故在上有唯一的零点，即，因此有．
当时，，即；当时，，即．
所以在上单调递减，在上单调递增，故为最小值．
由，得，
所以在时，，
因为，所以，又因为当时，，所以．
所以．
因此当时，没有零点．
5．（2023·陕西商洛·统考一模）已知函数，其中为自然对数的底数．
(1)求在上的值域；
(2)函数，证明：有且仅有两个零点．
【解题思路】（1）利用导数分析函数在上的单调性，即可求得函数在上的值域；
（2）利用导数分析函数的单调性，结合零点存在定理可证得结论成立.
【解答过程】（1）解：因为，所以．
当时，，当时，，
从而在上单调递减，在上单调递增，故．
因为，所以．
故在上的值域为．
（2）证明：因为，则，
设，则，故在上单调递增．
因为，，所以存在唯一，使得．
故当时，；当时，．
即在上单调递减，在上单调递增．
因为，，
又因为，则，
所以，
，
由零点存在定理可知，函数在、上各存在一个零点，
综上所述，有且仅有两个零点．
6．（2023·广西·统考模拟预测）已知函数.
(1)当时，讨论的单调性；
(2)若有两个不同的零点，求的取值范围.
【解题思路】（1）对求导，根据导函数的正负确定的单调性；
（2）求出函数的导数，根据函数的单调性求出的最小值，结合零点个数，得到关于的不等式，即可求出的取值范围.
【解答过程】（1）当时，
解，得；解，得，
故在上单调递减，在上单调递增.
（2）,
当时，在上单调递增，此时无两个零点；
当时，解，得；解，得，
故在上单调递减，在上单调递增.
因为趋于负无穷，趋于正无穷；为趋于正无穷，趋于正无穷；
故有两不同零点，则，
即.
令则，
当时，单调递增，
当时，单调递减，
且时，，又，
当时，，
综上，的范围为.
7．（2023·浙江·校联考模拟预测）已知函数，为其导函数.
(1)若，求的单调区间；
(2)若关于的方程有两个不相等的实根，求实数的取值范围.
【解题思路】（1）根据函数单调性与导数的关系确定函数的单调区间即可；
（2）将方程有两个不相等的实根，转化为函数，在上有两个零点问题，求导数从而讨论函数单调性，结合零点存在定理判断是否符合题意，从而可得实数的取值范围.
【解答过程】（1）解：函数，，则，
令，则，设，则，得，
故时，，函数即单调递减，时，，函数即单调递增，
所以，又时，，又，
所以时，，函数单调递减，时，，函数单调递增，
故的单调减区间为，增区间为；
（2）解：关于的方程有两个不相等的实根，即函数，在上有两个零点，
又，
①当时，，得，所以当时，，函数单调递减，当时，，函数单调递增，
所以，又时，，，则函数在上有两个零点；
②当时，，得，，
（i）当时，，此时恒成立，函数单调递增，在上不可能有两个零点，不符合题意；
（ii）当时，，则当时，，函数单调递增，时，，函数单调递减，当时，，函数单调递增，
所以，，故函数在区间无零点，在不可能存在两个零点，故不符合题意；
（iii）当时，，则当时，，函数单调递增，时，，函数单调递减，当时，，函数单调递增，
又，故函数在区间无零点，在不可能存在两个零点，故不符合题意；
综上，实数的取值范围.
8．（2023·广西桂林·统考一模）已知函数.
(1)当时，求函数的最大值；
(2)若关于x的方1有两个不同的实根，求实数a的取值范围.
【解题思路】（1）求出函数的导数，讨论其单调性后可得函数的最大值.
（2）利用同构可将原方程转化为有两个不同的正数根，利用导数结合零点存在定理可求参数的取值范围.
【解答过程】（1）当时，，故，
当时，，故在上为增函数，
当时，，故在上为减函数，
故.
（2）方程即为，
整理得到：，令，
故，因为均为上的增函数，故为上的增函数，
而，故的解为，
因为方程有两个不同的实数根，故有两个不同的正数根，
设，则，
若，则，故在上为增函数，
在上至多一个零点，与题设矛盾；
若，则时，；时，，
故在上为增函数，在上为减函数，
由有两个不同的零点可得，
故.
当时，，而，
故在有且只有一个零点，
又，设，
令，，则，
故在上为减函数，故，
故，故在有且只有一个零点，
综上.
9．（2023·辽宁沈阳·统考一模）已知，．
(1)讨论的单调性；
(2)若有两个零点，求a的值．
【解题思路】（1）求导，通过，判断导数方程两根大小，数形结合判断函数单调性.
（2）根据函数单调性可判断函数有两个零点时是极值为时，求出极值解方程可得.
【解答过程】（1）
，
，
当 单调递增，
当，单调递减，
当 单调递增.
综上所述，在和上单调递增，在上单调递减.
（2）情况一：若,即时,由的单调性,其在上恒为正,无零点,
在增区间至多有一个零点,不符题意.
情况二：若,即时,
由于,由零点存在定理,在区间上存在一个零点，
取,则,
，
当时,,由于在区间上单调递增,
故在恒为正,无零点,由零点存在定理,在区间上存在一个零点,符合题意，
情况三：若,即时,同情况二可得在增区间恒为正,无零点,
仅有一个零点,不符题意，
综上,的取值范围是.
10．（2023·河南·统考模拟预测）设函数.
(1)当时，讨论函数的单调性；
(2)当时，判断函数的零点个数，并说明理由.
【解题思路】（1）求出函数的定义域及导数，再分类讨论求出的单调性作答.
（2）把代入求出，利用导数结合零点存在性定理探讨函数的零点个数作答.
【解答过程】（1）函数的定义域为，求导得，
若，由得或，由得，
因此函数在，上单调递增，在上单调递减，
若，恒有，当且仅当时取等号，因此函数在上单调递增，
若，由得或，由得，
因此函数在，上单调递增，在上单调递减，
所以当时，函数在，上单调递增，在上单调递减；
当时，函数在上单调递增；
当时，函数在，上单调递增，在上单调递减.
（2）当时，函数有且只有一个零点.
，显然函数在上单调递增，
而，则存在唯一使得，即，
当时，，即，当时，，即，当时，，
因此函数在，上单调递增，在上单调递减，当时，取得极大值，
，
而当时，，于是在上无零点，
因为，因此在上有唯一零点，
所以函数在上有唯一零点.
11．（2023·江苏连云港·统考模拟预测）已知函数．
(1)求函数在区间上的最大值；
(2)若关于的方程有两个不相等的实数根，求实数的取值范围．
【解题思路】（1）利用导数分析函数在上的单调性，即可求得函数在上的最大值；
（2）由可得出，令，可知直线与函数的图象有两个交点，利用导数分析函数的单调性与极值，数形结合可得出实数的取值范围.
【解答过程】（1）解：当时，，则，
所以，函数在上单调递增，所以，.
（2）解：函数的定义域为，由可得，
令，其中，则，
令，其中，则，
所以，函数在上为减函数，且，
当时，，则，所以，函数在上单调递增，
当时，，则，所以，函数在上单调递减，
所以，，
令，其中，则，则函数在上为增函数，
因为，，则存在，使得，
当时，；当时，.
由题意可知，直线与函数的图象有两个交点，如下图所示：
由图可知，当时，直线与函数的图象有两个交点，
故实数的取值范围是.
12．（2023·江西赣州·统考一模）已知函数.
(1)若函数在上单调递减，求实数的取值范围；
(2)若，证明：函数有两个零点.
参考数据：
【解题思路】（1）由题设可得在上恒成立，进而研究的单调性并求最值，即可得参数范围；
（2）应用零点存在性定理判断在上的零点，根据其符号确定的单调性并得到极值，进而判断其零点分布，即可证结论.
【解答过程】（1）由在上单调递减，则在上恒成立，
令且x > 0，则，故在上单调递增，
要使在上恒成立，则，解得，
即所求的实数的取值范围为
（2）由（1）知：在上单调递增，
因为，所以，
所以函数在上存在唯一零点，即，此时，
当时单调递减；时单调递增，
又 ，
记，则，
所以在上递减，则，
所以，又，
所以在、上各有一个零点，即在上有两个零点.
13．（2023·山东济宁·统考一模）已知函数.
(1)当时，求函数的单调区间；
(2)当时，讨论函数的零点个数.
【解题思路】（1）求导得到，根据导函数的正负得到单调区间.
（2）求导得到，确定函数的单调区间，计算和，得到和，考虑，，，，几种情况，计算零点得到答案.
【解答过程】（1）当时，，
当时，；当时，；当时，，
所以函数的单调增区间为和，单调减区间为.
（2），
令，得或，由于，
当时，；当时，，当时，.
所以函数的单调增区间为和，单调减区间为.
，
令，得，
当时，，又，
所以存在唯一，使得，此时函数有1个零点；
当时，，又，
所以存在唯一，使得，此时函数有2个零点和；
令，得，
现说明，即，即显然成立.
因为，故，
当时，，又.
所以存在唯一，唯一，唯一，
使得，此时函数有3个零点，
当时，，又.
所以存在唯一，使得，此时函数有2个零点和2 .
当时，，又.
所以存在唯一，使得，此时函数有1个零点.
综上所述，当时，函数有1个零点；
当时，函数有2个零点；
当 时，函数有3个零点；
当时，函数有2个零点；
当时，函数有1个零点.
14．（2023·广东梅州·统考一模）已知函数.
(1)当时，求函数的单调区间；
(2)若，讨论函数的零点个数.
【解题思路】（1）当时，求得，利用函数的单调性与导数的关系可求得函数的增区间和减区间；
（2）利用导数分析函数的单调性，对实数的取值进行分类讨论，结合零点存在定理可得出结论.
【解答过程】（1）解：当时，，该函数的定义域为，
，
由可得，由可得或.
故当时，函数的增区间为和，减区间为.
（2）解：函数的定义域为，
，
由，得，，
由可得，由可得或.
所以，函数的增区间为、，减区间为，
所以，函数的极大值为，
极小值为，
当时，，
令，其中，
则，即函数在上单调递增，
故当时，，
此时，，所以在上不存在零点；
①当时，，此时函数无零点；
②当时，，此时函数只有一个零点；
③当时，，，
则在与上各有一个零点.
综上所述，（i）当时，在上不存在零点；
（ii）当时，在上存在一个零点；
（iii）当时，在上存在两个零点.
15．（2023·上海·统考模拟预测）函数，且.
(1)判断在上的单调性，并利用单调性的定义证明；
(2)，且在上有零点，求的取值范围.
【解题思路】（1）由题意解出的值，再利用单调性的定义证明即可；
（2）转化问题为在上有解，则有解，利用导函数求的单调性，进而求得取值范围即可.
【解答过程】（1）由题意可得，解得，所以，
在上单调递增，证明如下：
任取，则，
因为在上单调递增，且，
所以，，
所以，即，
所以在上单调递增.
（2）由（1）得，
在上有零点，即在上有解，则有解，
令，则，
令解得，令解得，
所以在单调递减，在单调递增，
所以，没有最大值，
所以.
16．（2023·四川·校联考模拟预测）已知函数
(1)若是的极小值点，且，求的取值范围；
(2)若有且仅有两个零点，求的取值范围
【解题思路】（1）求导得到，确定导函数单调递增，解不等式得到，得到，解得答案.
（2）令，求导得到导函数，设，确定函数单调递增，得到在内存在唯一的零点，且，确定的单调区间，计算最值得到范围.
【解答过程】（1）的定义域为，由，可得，
，，
则在上单调递增，
函数在上单调递减，在上单调递增，满足是的极小值点，因为，所以，
可得，则，即的取值范围是
（2）令，有且仅有两个零点，故有且仅有两个零点
，设，
则，则为增函数
当趋近时，趋近，又，
所以在内存在唯一的零点，且，
则，即，则
函数为增函数，所以，则，
当时，，函数单调递减；
当时，，函数单调递增.
当趋近时，趋近，当趋近时，趋近
，只需满足，得，
故的取值范围为
17．（2023·山东·校考模拟预测）已知函数．
(1)若曲线在点处的切线方程为，求a，b的值；
(2)若，证明：在区间内有唯一的零点．
【解题思路】（1）运用导数的几何意义求得a的值，进而求得的值，进而求得a、b的值.
（2）运用导数研究函数的单调性，再构造函数判断出当时，，取判断的符号，由零点存在性定理以及单调性可得结果.
【解答过程】（1）解：，
所以，解得，
所以，所以，
故切点的坐标为，代入切线方程，
得，解得，
故．
（2）证明：，
令，则在上单调递减，
所以，且，
，令，
，
则在上单调递减，在上单调递增，
，即，
所以存在，使得，
当时，在上单调递增，
当时，在上单调递减，
所以，且，
令，则，
因为，从而，所以在上单调递减，
所以，
所以当时，，取，
，
由零点存在性定理以及单调性可得在内有且仅有一个零点，在内没有零点．即在区间内有唯一的零点．
18．（2023·河南·校联考模拟预测）已知函数，的导函数为．
(1)讨论的极值点的个数；
(2)当时，方程有两个不相等的实数根，求m的取值范围．
【解题思路】（1）对求导，分和，讨论的单调性，即可得出对应的极值点的情况；
（2）当时，方程有两个不相等的实数根，化简为，即与的图象有两个交点，令，对求导，得出的单调性及最值即可得出答案.
【解答过程】（1）函数的定义域为，．
当时，，在区间上单调递增，所以无极值点；
当时，令，解得，
所以当x变化时，，的变化情况如下表所示．
所以有一个极大值点，无极小值点．
综上，当时，无极值点；当时，有一个极值点．
（2）当时，方程，即，
则．
令，，则．
令，解得或（舍去）．
当时，，在区间上单调递减；
当时，，在区间上单调递增，
所以，又趋近于0时趋近正无穷；趋近于正无穷时趋近正无穷，
所以，即，故m的取值范围是．
19．（2023·北京大兴·统考模拟预测）已知函数.
（1）当时，求曲线在点处的切线方程；
（2）若在区间上单调递增，求实数的取值范围；
（3）当时，试写出方程根的个数.(只需写出结论)
【解题思路】（1）当时，，，求出，，结合导数的几何意义，可求出曲线在点处的切线方程；
（2），由在区间上单调递增，可知在恒成立，进而可知在恒成立，构造函数，求出在上的最小值，令即可；
（3）构造函数，讨论的单调性，并结合零点存在性定理，可得到的零点个数，即为方程根的个数.
【解答过程】（1）当时，，则，
所以，，
所以曲线在点处的切线方程为，即.
（2）由题意，，
因为在区间上单调递增，所以在恒成立，
即在恒成立，
令，，则，
所以时，，此时函数单调递减；时，，此时函数单调递增，
所以在上最小值为，
所以.
（3）当时，方程根的个数为2.
证明如下：
当时，，构造函数，
则，显然在上单调递增，
因为，，所以存在唯一零点，设为，
故函数在上单调递减，在上单调递增，
因为，所以，所以在上存在唯一零点
又因为，所以在上存在唯一零点，
故函数有2个零点，即方程根的个数为2.
20．（2023·陕西西安·统考一模）已知函数.
(1)当时，求曲线在点处的切线方程；
(2)求函数的单调区间；
(3)若函数在上有且仅有个零点，求的取值范围.
【解题思路】（1）当时，求出、的值，利用导数的几何意义可求得曲线在点处的切线方程；
（2）求得，分、两种情况讨论，分析导数的符号变化，由此可得出函数的增区间和减区间；
（3）由可得，令，分析可知直线与函数在上的图象有两个交点，利用导数分析函数的单调性与极值，数形结合可得出实数的取值范围.
【解答过程】（1）解：当时，，，
所以，，，故曲线在点处的切线方程为.
（2）解：，则.
当时，，在上单调递增；
当时，由，得，
若，则；若，则.
当时，的单调递增区间为，单调递减区间为.
综上所述，当时，函数的增区间为；
当时，函数的增区间为，减区间为.
（3）解：当时，由可得，令，其中，
则直线与函数在上的图象有两个交点，
，当时，，此时函数单调递增，
当时，，此时函数单调递减.
所以，函数的极大值为，且，，如下图所示：
由图可知，当时，直线与函数在上的图象有两个交点，
因此，实数的取值范围是.x
＋
0
－
单调递增
极大值
单调递减