新高考数学二轮复习解答题提优训练专题1.14 导数中的恒成立问题（2份，原卷版+解析版）

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1．高考对本部分的考查一般有三个层次：
(1)主要考查求导公式，求导法则与导数的几何意义；
(2)导数的简单应用，包括求函数的单调区间、极值、最值等；
(3)综合考查，如零点、证明不等式、恒成立问题、求参数等，包括解决应用问题，将导数内容和传统内容中有关不等式、数列及函数单调性有机结合，设计综合题．
2．恒成立问题的解法：
(1)若在区间D上有最值，则
恒成立：；；
(2)若能分离常数，即将问题转化为（或），则
恒成立：；.
1．（2023·全国·模拟预测）已知函数．
(1)当时，求曲线在点处的切线与两坐标轴围成的三角形的面积；
(2)若对任意的，不等式恒成立，求实数a的取值范围．
【解题思路】（1）当时，，利用导函数求出点处的斜率，再根据点斜式写出切线方程即可；
（2）对任意的，不等式恒成立，转化为恒成立，令，则，分类讨论，研究函数的最值，即可求出实数a的取值范围.
【解答过程】（1）第一步：写出当时函数的解析式
当时，．
第二步：求切线的斜率和切点的纵坐标
则，，
所以切线的斜率．
第三步：求切线的方程
所以切线方程为，即．
第四步：求切线与两坐标轴围成的三角形的面积
令，得，令，得，
所以切线与两坐标轴围成的三角形的面积．
（2）第一步：转化不等式
，即，即．
第二步：构造函数，将问题转化为新函数的最值问题
令，则．
第三步：求导，分类讨论，研究函数的最值
．
令，则，
（一次求导之后无法判断导函数的符号时，要构造函数，进行二次求导）
当时，，单调递减，
当时，，单调递增，
所以．
①当时，，
所以当时，，单调递减，
当时，，单调递增，
所似，
故符合题意．
②当时，，，
所以存在，使得，，
（常用的不等式：，，，，）
所以存在，使得，
所以当或时，，单调递减，
当或时，，单调递增，
所以．
因为，，2，所以，，2，
所以，，2，
所以．
第四步：得关于a的不等式，并求解
由，得．
设，，则，
所以在上单调递减，
又，所以．（注意观察，得到）
第五步：综合结论
综上，实数a的取值范围是．
2．（2023·陕西西安·统考一模）已知函数，求证：
(1)存在唯一零点；
(2)不等式恒成立．
【解题思路】（1）由导数得出的单调性，结合零点存在性定理证明即可；
（2）先证明，再由的单调性，证明不等式即可.
【解答过程】（1），.
当时，，此时函数单调递增；
当时，，此时函数单调递减；
所以，即.
所以在上单调递增，.
则在上，存在，使得，即存在唯一零点；
（2），
令，.
当时，，此时函数单调递增；
当时，，此时函数单调递减；
即，故.
因为函数在上单调递增，所以.
即.
故不等式恒成立.
3．（2023·全国·校联考模拟预测）设函数.
(1)证明：当时，有唯一零点；
(2)若任意，不等式恒成立，求实数a的取值范围.
【解题思路】（1）求导，根据导函数判断函数 的单调性，再根据零点存在法则求解；
（2）求导，根据导函数的结构，对a分类讨论.
【解答过程】（1） ，
令 ，则 ，则 单调递增，
且 ，∴ ，
单调递减， 单调递增，
且 ，则，
∴存在唯一零点 ，使得，即有唯一零点；
（2），
则 ，又令 ，
①当，即时， 恒成立，∴在区间上单调递增，
∴，∴ ，∴在区间上单调递增，
∴（不合题意）；
②当即时， 在区间上单调递减，
∴，∴ ，∴在区间上单调递减，
∴（符合题意）；
③当，即时，由 ，
∴ ，使 ，且时， ，
∴在上单调递增，∴（不符合题意）；
综上，a的取值范围是.
4．（2023·云南昭通·统考模拟预测）已知函数（，），.
(1)讨论的单调性；
(2)当时，不等式恒成立，求的取值范围.
【解题思路】（1）求导，分与两种情况，得到函数的单调性；
（2）参变分离，构造函数，利用隐零点，得到其最值，从而得到参数的取值范围.
【解答过程】（1），，
，
当时，令得，令得，
故在上单调递增，在上单调递减，
当时，令得，令得，
故在上单调递减，在上单调递增，
综上，当时，在上单调递增，在上单调递减；
当时，在上单调递减，在上单调递增.
（2）当时，不等式恒成立，
即在上恒成立，
，，
故，
令，，
则，
因为，所以恒成立，故在上单调递增，
又，，
故存在使得，
且当时，，，单调递减，
当时，，，单调递增，
故在处取得极小值，也是最小值，
，
故，
则的取值范围是.
5．（2023·广东湛江·统考一模）已知函数．
(1)证明：函数只有一个零点；
(2)在区间上函数恒成立，求a的取值范围．
【解题思路】（1）由题意可判断，然后说明当时无零点；当时，利用导数判断函数单调性，进而说明函数零点只有一个；
（2）将变为，从而构造函数，再利用导数判断函数的单调性，分时和时两种情况讨论不等式是否恒成立，结合，即可求得答案.
【解答过程】（1）证明：由可得，
当时，，，所以，
故，故在区间上无零点．
当时，，而，，且等号不会同时取到，
所以，
所以当时，函数单调递增，所以，
故函数在区间上有唯一零点0，
综上，函数在定义域上有唯一零点.
（2）由在区间上恒成立，得，
即在区间上恒成立．
设，则在区间上恒成立，
而，
，则．
设，则，当时，，
所以函数在区间上单调递增，故在区间上，，
即在区间上，
设函数，则，
所以函数在区间上单调递增，
故在区间上，即在区间上，，
所以在区间上，，即，
所以在区间上函数单调递增．
当时，，故在区间上函数，
所以函数在区间上单调递增．
又，故，即函数在区间上恒成立．
当时，，
，
故在区间上函数存在零点，即，
又在区间上函数单调递增，
故在区间上函数，所以在区间上函数单调递减，
又，所以在区间上函数，与题设矛盾．
综上，a的取值范围为.
6．（2023·河北邯郸·统考一模）已知函数．
(1)当时，求曲线在处的切线方程；
(2)对任意的，都有，求a的取值范围．
【解题思路】（1）求出时的解析式并求出，利用导数的几何意义求出切线斜率，再求出切点坐标，然后利用点斜式即可求出切线方程；
（2）构造函数，并求，结合题意至少可得，先证明在上单调递增，再证明时，成立即可．
【解答过程】（1）当时，，则．
所以，，
故所求切线方程为，即．
（2）设，
则．
因为，所以至少满足，即．
设．
因为，，所以在上单调递增，
所以．
设，
则．
因为，所以，，
则在上恒成立，即在上单调递增，
所以，即对任意，都有．
故a的取值范围为．
7．（2023·全国·模拟预测）已知函数.
(1)若，判断的单调性；
(2)当时，不等式恒成立，求正实数a的取值范围.
【解题思路】（1）求解导函数，对进行分解变形得，结合余弦函数的取值范围确定的符号，即可得函单调性；
（2）求解导函数，得，令，设，分类讨论判断的符号，从而确定函数的单调性，再满足，即可求得正实数a的取值范围.
【解答过程】（1）若，则，
所以，
当时，，所以 ，，则，
则恒成立，所以在上单调递增.
（2）当时，，所以.
因为恒成立，即，令，设，
①若，即，当时，，当时，，记，则，，得，
所以当时，，当时，，
所以在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增，
所以，易知当时，，
所以，
又，所以，所以恒成立，即满足题意.；
②若，即，则在上恒成立，
即当时，恒成立，所以在上单调递增，
所以，所以恒成立，即满足题意.
③若，即，当时，，当时，，记，则，得，
所以当时，，当时，，
所以在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增，
所以，
因为，，所以当，即时，，所以恒成立，即满足题意；
当，即时，，不满足题意，即不满足题意.
④若，即，当时，；当时，，
即当时，，当时，，
所以在上单调递减，在上单调递增，
当时，，不满足题意，即不满足题意.
综上，正实数a的取值范围为.
8．（2023·福建漳州·统考三模）已知函数.
(1)证明：当时，函数在区间上不是单调函数；
(2)证明：当时，对任意的恒成立.
【解题思路】（1）求导后，结合零点存在定理可确定的正负，由此可得函数单调性，从而得到结论；
（2）将所证不等式转化为，构造函数，利用导数分别讨论和时的单调性，求得；由可得结论.
【解答过程】（1）当时，，则，
令，则，在上单调递减，
又，，
，使得，且当时，；当时，；
在上单调递增，在上单调递减，
综上所述：当时，在区间上不是单调函数.
（2）当时，要证对任意的恒成立，
即证当时，对任意的恒成立，
即证对任意的恒成立；
令，则，
，；
①当时，在上恒成立，在上单调递增，
；
②当时，令，解得：，
当时，；当时，；
在上单调递减，在上单调递增，
；
综上所述：当时，；
在上单调递增，，
当时，对任意的恒成立，
即当时，对任意的恒成立.
9．（2023·广东·校联考模拟预测）已知函数．
(1)当时，求函数的极值点的个数；
(2)当a，b，时，恒成立，求m的取值范围．
【解题思路】（1）求导，利用导数结合零点存在性定理得出函数的单调性，进而得出极值点个数；
（2）当时，由的单调性得出，当时，取，利用单调性得出，由此得出，并与已知矛盾，进而得出m的取值范围．
【解答过程】（1），令，得.
当时，因为，所以，，
即函数在上单调递减.
当时，令，，所以是增函数.
，
因为，所以，
所以存在唯一，使得，所以.
即，；当，，
故函数在上单调递减，在上单调递增，所以是的极小值点.
综上所述，函数的极值点个数为.
（2）当时，，所以，
所以函数在上单调递增.
因为，所以，即.
所以.
同理可得
所以.
所以.
当时，由（1）可知，在上存在唯一的零点，
且函数在上单调递减，在上单调递增，
取，则，
即.
同理可得.
所以，与已知矛盾.
所以的取值范围是.
10．（2023·陕西榆林·统考二模）已知函数，其中为自然对数的底数．
(1)当时，曲线在处的切线方程；
(2)当时，恒成立，求的取值范围．
【解题思路】（1）求出导函数，计算和，由点斜式（或斜截式）得切线方程；
（2）计算，从而，由此得，然后在此情况下对放缩得，设，利用导数，得出时，恒成立，从而得出得的单调性，证得满足题意，得出参数范围．
【解答过程】（1）当时，，则，
则，．
故曲线在处的切线方程为．
（2）由题意，，
因为，所以．
因为，所以至少满足（否则含的某个区间上是减函数，不满足时，恒成立），
即，解得．
当时，．
设，显然在上单调递增，
则，即恒成立，
从而在上单调递增，故．
故的取值范围是．
11．（2023·山东泰安·统考一模）已知函数，.
(1)若，讨论的单调性；
(2)若当时，恒成立，求的取值范围.
【解题思路】（1）求出函数的定义域，利用函数的单调性与导数的关系可得出函数的增区间和减区间；
（2）设，可知对任意的恒成立，对实数的取值进行分类讨论，利用导数分析函数在上的单调性，验证对任意的能否恒成立，综合可得出实数的取值范围.
【解答过程】（1）解：的定义域为，当时，，
，
设，则，
令，解得，
当时，，单调递减，
当，，单调递增.
所以，，则对任意的恒成立，
所以，函数的单调递增区间为，无递减区间.
（2）解：当时，恒成立等价于在上恒成立，
设，
则，
设，
则图象为开口向上，对称轴为的抛物线的一部分，
当时，，在单调递增，且，
所以，，即，则函数在上单调递增，
又因为，所以在恒成立，满足题意；
当时，，，
所以方程有两相异实根，设为、，且，则，
当时，，，在上单调递减，
又因为，故当时，，
所以，在上不恒成立，不满足题意.
综上，的取值范围为.
12．（2023·福建福州·统考二模）已知函数．
(1)若，试判断的单调性，并证明你的结论；
(2)若恒成立．
①求的取值范围：
②设，表示不超过的最大整数．求．（参考数据：）
【解题思路】（1）求导，再根据导函数的符号即可得出函数的单调性；
（2）①恒成立，只要即可，利用导数求出函数的最小值，从而可得出答案；
②先利用作差法判断的单调性，然后结合①中的结论求出的范围，再根据的定义即可得解.
【解答过程】（1），
记，则，
所以，所以单调递减；
，所以单调递增,
所以，所以，即，且仅有，
所以为上的增函数；
（2）①，
令，则，
则，所以单调递增,
所以，即，
①当时，，所以为递增函数，
所以，满足题意；
②当时，，
有唯一零点，且，
则时，单调递减，
所以，不合题意，舍去，
综上，；
②经计算：，
因为，所以数列单调递增，
所以，当或2时，，
当时，，
当时，由①可知，此时，即，
令，则，则有，
令，
则有，
因为，
所以当时，，
所以，当或2时，；当时，．
13．（2023·陕西安康·统考二模）已知，
(1)讨论的单调性；
(2)当时，若不等式在上恒成立，求的取值范围（为自然对数的底数）
【解题思路】（1）求导，再分和两种情况讨论，根据导函数的符号即可得出答案；
（2）由题意，则不等式在上恒成立，即，再结合（1）可得，分离参数，再构造新的函数，利用导数求出函数的最值，即可得解.
【解答过程】（1），
当时，，所以在上单调递增，
当时，当时，，单调递增，
当时，，单调递减，
综上，当时，在上单调递增；
当时，在上单调递增，在上单调递减；
（2）当时，，
由，得，
∴，
由已知，由（1）可得在上单调递增，
∴，即，
∴，∴，
令，，
当时，，单调递增；
当时，，单调递减，
所以，
∴，∴.
14．（2023·河南平顶山·校联考模拟预测）已知函数．
(1)若直线与曲线相切，求k的值；
(2)若，，求a的取值范围．
【解题思路】（1）通过导数运算及导数的几何意义求出切点坐标，进而可求得k的值.
（2）恒成立问题运用分离参数求最值，再运用函数隐零点来求得函数的最值，进而求得a的范围.
【解答过程】（1）由题意，，设切点坐标为，则切线方程为．
因为直线l过点，所以把点的坐标代入切线方程，
得，整理得．
令，则，
当时，，当时，，所以在和上单调递增，在上单调递减，
又，，所以有唯一实数解，则，
所以．
（2），等价于，．
令，则，
令，则在上恒成立，所以在上单调递增．
因为，，所以在上存在唯一，使得，
即，则，所以．
令，，则在上恒成立，所以在上单调递增，又由，，得，即．
当时，，即，当时，，即，所以在上单调递减，在上单调递增，
得，
所以，即:,
则a的取值范围为．
15．（2023·全国·模拟预测）已知函数的图象与x轴有两个交点，．
(1)求实数a的取值范围；
(2)设点，满足，且恒成立，求实数的取值范围．
【解题思路】（1）先求定义域，根据分析时，零点的个数，当时，运用全分离，有两个不同的零点，即，有两个不同的交点，对求导，分析其函数图象性质，列出不等式解出即可；
（2）根据题意建立之间的等式，根据为零点，建立等式，找到之间的等式，求出将上述等式代入，换元令后，得到关于的不等式，构造新函数，分类讨论单调性进而求出范围即可.
【解答过程】（1）解：由题意知有两个不同的零点，
定义域为，，
当时，，在单调递增，
此时至多只有1个零点，不合题意；
若，则有两个不等实根，
即为有两不等实根，
即，在上有两个不同的交点，
因为，所以时，，单调递增，
时，，单调递减，
所以在处取极大值，即为最大值，
因为，且时，，时，，
若，在上有两个不同的交点成立，
只需即可，即；
（2）由得，
，由题，不妨设，
则，设，
所以，因为，
所以
恒成立，
又因为，所以，即恒成立，
设，恒成立，
，
因为，所以，
①当时，，所以，
故在上单调递增，所以恒成立，
因为，所以符合题意；
②当时，因为，所以时，
，在上单调递增；
时，，在上单调递减，
所以时，，不满足恒成立，故舍，
综上：．
16．（2023·陕西西安·校考模拟预测）已知函数，．
(1)讨论的单调性；
(2)对，不等式恒成立，求实数的取值范围．
【解题思路】（1）由题知，进而分和两种情况讨论求解即可；
（2）由题知，恒成立，进而令，，再根据，当且仅当时等号成立得，进而得即可得答案．
【解答过程】（1）函数的定义域为，，
当时，即时，在上恒成立，则在上单调递增，
当时，即时，令得，
所以当时，，此时单调递增；
当时，，此时单调递减，
综上，当时，在上单调递增；当时，在上单调递增，在上单调递减．
（2）因为对，恒成立，即，恒成立，
所以，恒成立，
令，，
因为，，
设，则，
所以当时，，此时单调递减；当时，，此时单调递增，
所以，即，当且仅当时等号成立，
所以，当且仅当时等号成立，
令，则恒成立，
所以在上单调递增，
因为，，
所以方程在有解，即的等号能够取到；
所以，
所以要使，恒成立，则，即，
所以的取值范围是．
17．（2023·全国·模拟预测）已知函数，，．
(1)求的极值；
(2)若存在，对任意的，使得不等式成立，求实数的取值范围．（）
【解题思路】（1）求出，令，得或，再列出的变化关系表，根据表格和极值的概念可求出结果；
（2）根据（1）求出在上的最小值为，则将若存在，对任意的，使得不等式成立，转化为在上恒成立，再构造函数，，转化为，利用导数求出代入可得解
【解答过程】（1）由，
得 ,
令，得或，
的变化关系如下表：
由表可知，当时，取得极大值，为 ，当时，取得极小值，为 .
（2）由（1）知，在上单调递减，所以当时，，
于是若存在，对任意的，使得不等式成立，则在上恒成立，
即在上恒成立，
令，，则，
，
因为，所以，，
因为，所以，所以，
所以单调递减，故，
于是，得，又，
所以实数a的取值范围是．
18．（2023·新疆乌鲁木齐·统考一模）已知在处的切线方程为．
(1)求函数的解析式；
(2)是的导函数，对任意，都有，求实数m的取值范围．
【解题思路】（1）代入得到，求出，则，解出即可.
（2），，求出，则，即，故.
【解答过程】（1），当时，，，
，，
由切线方程为，，
，即，.
（2），，
由已知，成立，
令
，所以在上单调递减，
所以,即，
设，则，令，解得，
当时，，单调递增，当时，，单调递减，
故当时，，故，
即，令代换有，两边同乘2有，
则，当时取等号，
所以时满足题意，若,存在时，原式有，
即与矛盾,不满足题意,
所以.
19．（2023·云南红河·统考一模）已知函数，曲线在点处的切线与直线平行．
(1)求a的值；
(2)若时，不等式恒成立，求实数m的取值范围．
【解题思路】(1)根据题意先求出函数的导数，利用导数的几何意义求出实数的值即可；
(2)将不等式等价转化为在上恒成立，构造函数
，求导，利用导数分类讨论函数的单调性，求得最值即可求解.
【解答过程】（1）由题意可知：的定义域为．
，因为曲线在点处的切线与直线平行，
所以，即．解得：或，
由已知条件，故可求得实数．
（2），不等式，
即．设，，则恒成立．
，令，．
①若，则，在上单调递增，，不符合题意；
②若，则，二次函数的对称轴，在上单调递增，则，，所以，不符合题意；
③若，则，
（ⅰ）当，即时，在上单调递减，，所以，在上单调递减，，符合题意；
（ⅱ）当，即时，在上单调递增，
此时，，不符合题意；
综上所述，m的取值范围为．
20．（2023·内蒙古·模拟预测）已知函数.
(1)当时，求曲线在处的切线方程；
(2)若对任意的，恒成立，求的取值范围.
【解题思路】（1）根据切点处导函数值等于切线斜率，运用点斜式求切线方程即可；
（2）分，，两种情况解决，当时，参数分离得，设，得，设，求导讨论单调性，得在上单调递减，在上单调递增，即可解决.
【解答过程】（1）当时，，
所以，
所以，，
所以所求切线方程为，即.
（2）对任意的，恒成立，
等价于对任意的，恒成立.
①当时，显然成立.
②当时，不等式等价于.
设，
所以.
设，则.
当时，，当时，，
所以在上单调递减，在上单调递增.
因为，
所以，
又因为在中，，
所以当时，，当时，，
所以在上单调递减，在上单调递增，
所以，
所以，即的取值范围为.
21．（2023·河南焦作·统考一模）已知函数．
(1)若，求的单调区间；
(2)若关于x的不等式在上恒成立，求实数a的取值范围．
【解题思路】（1）求导后，解不等式可得增区间，解不等式可得减区间；
（2）先由时不等式成立，得，再将不等式化为，构造函数 ，利用导数求出其最小值，代入可解得结果.
【解答过程】（1） ，，
令，得或，
令，得或，令，得，
所以函数的单调递增区间为和，单调递减区间为.
（2）关于x的不等式在上恒成立，
即在上恒成立，
当时，得，即，
令 ，
，
因为，所以，
设，则，
令，得,令，得，
所以在上为减函数，在上为增函数，
所以，即，
所以，所以在上为增函数，
所以，即.
22．（2023·贵州贵阳·统考一模）已知函数，.
(1)当时，求函数的极值；
(2)若任意且，都有成立，求实数的取值范围.
【解题思路】（1）求出函数的导函数，即可得到函数的单调区间，从而求出函数的极值；
（2）不妨令，则问题等价于，令，只需证明在单调递增，问题等价于在时恒成立，参变分离得到，，再构造函数，利用导数求出的最大值，即可得解.
【解答过程】（1）解：当时，，．
则，令，解得或，
又因为，所以．
列表如下：
因为函数在区间上单调递减，在区间上单调递增，所以有极小值，无极大值．
（2）解：因为，，
所以，，
若对任意且恒成立
不妨令，则
，
令，只需证明在单调递增，
因为，则，
所以在时恒成立，即，，
令，，则，
因为，所以令，解得，令，解得，
从而在区间上单调递增，在区间上单调递减，
所以当时取到最大值，所以实数的取值范围是．
23．（2023·全国·模拟预测）已知为正整数，，.
(1)求的最大值；
(2)若恒成立，求正整数的取值的集合.
（参考数据：）
【解题思路】（1）由导数得出单调性，进而得出最值.
（2）由得出，即，讨论的范围，利用导数得出的最小值，再由导数得出成立的正整数的取值的集合.
【解答过程】（1）
令可得：；令可得：.
所以在上单调递增，在上单调递减.
故的最大值为.
（2）因为恒成立，所以，
即恒成立，所以.
，
当或时，因为，所以，所以在上单调递增.
因为，此时满足，
故或满足条件.
当时，令可得；令时，，
所以在上单调递减，在上单调递增.
所以，所以，所以，
所以，令，
令，
，因为在上单调递增，
，，
所以在上存在唯一的零点.
令可得：；令可得：.
所以在上单调递减，在上单调递增.
因为，所以，
所以，
又，，
所以，即.
因为，所以.
综上，正整数的取值的集合为.
24．（2023·湖北·校联考模拟预测）已知函数.（注：…是自然对数的底数）
(1)当时，求曲线在点处的切线方程；
(2)若只有一个极值点，求实数m的取值范围；
(3)若存在，对与任意的，使得恒成立，求的最小值.
【解题思路】(1)根据导数的几何意义，结合点斜式求切线方程；
(2)讨论的符号，判断的单调性，进而确定的零点；
(3)要使取到最小值，则取最大，分析可得，结合零点代换处理即可.
【解答过程】（1）（1）当时，，
故，
故在点处的切线方程为；
（2）解：由题意知有且只有一个根且有正有负，
构建，则.
①当时，当时恒成立，在上单调递增，
因为，
所以有一个零点，即为的一个极值点；
②当时，在上恒成立，即无极值点；
③当时，当；当，
所以在单调递减，在上单调递增，
故，
若，则，即.
因为，所以当时，，
当时，，
令，则，故，
故在上为增函数.
故，
故，
故当时，有两个零点，此时有两个极值点，
当时，当时恒成立，即无极值点；
综上所述：.
（3）解：由题意知，对于任意的，使得恒成立，
则当取最大值时，取到最小值.
当时，因为，故当时，的最小值为；
当时，当时，，
所以无最小值，即无最小值；
当时，由（2）得只有一个零点，即且，
当时，，当时，，
所以在上单调递减，在上单调递增，，
此时，
因为，所以，
代入得，
令，
当时，，当时，，
所以在上单调递减，在上单调递增，
，此时，
所以的最小值为.
25．（2023·山西·统考一模）已知.
(1)若的最小值为，求的值；
(2)若恒成立，求实数的取值范围.
【解题思路】（1）由题知时不满足题意，时，再令并研究其性质得，进而得；
（2）令，将已知不等式等价于，进而结合的单调性得，再结合（1）当时，恒成立得，再解不等式即可得答案.
【解答过程】（1）解：，定义域为，
①当时，在恒成立，单调递增，
又，故当时，，不满足题意，舍去；
②当时，由得，得，
所以，在上单调递减，在上单调递增，
所以.
令，则，
令，得，，得，
所以在上单调递增，在上单调递减，
所以，
所以，当的最小值为时，即时，解得.
所以
（2）解：由（1）知：当时，恒成立，
等价于，
又等价于.
令，则上述不等式等价于
因为恒成立，
所以，在上单调递增，.
所以等价于，即，
因为当时，恒成立，
所以，故，解得.
所以，实数的取值范围是.
26．（2023·全国·模拟预测）已知函数.
(1)当时，求函数的单调区间；
(2)是否存在正整数m，使得恒成立，若存在求出m的最小值，若不存在说明理由.
【解题思路】（1）当时，对函数求导，令和，即可求出函数的单调区间；
（2）要使恒成立，即恒成立，讨论和，求出的单调性，即可知要使，令，对求导，得出的单调性，即可得解.
【解答过程】（1）当时，函数的定义域为，
，
令，解得：；令，解得：，
所以函数的单调减区间为，单调增区间为.
（2）的定义域为，
，
若，即，函数在上单调递增，无最大值；
若，即，函数在上单调递增，在上单调递减.
当时，函数取得最大值，且，
要使恒成立，即，
所以，即，
令，
所以在上单调递增，
当趋近于2时，，，
所以存在最小正整数，使得，即是使得恒成立.
27．（2023·广东广州·统考二模）已知定义在上的函数.
(1)若，讨论的单调性；
(2)若，且当时，不等式恒成立，求实数的取值范围.
【解题思路】（1）求出函数的导数，再分类讨论解和作答.
（2）当时，可得为任意正数，当时，变形给定不等式，构造函数并利用单调性建立不等式，分离参数求解作答.
【解答过程】（1）函数，，求导得：，
当时，，函数在上单调递增，
当时，由得，由得，则在上递增，在上递减，
所以当时，函数的递增区间是；
当时，函数的递增区间是，递减区间是.
（2）因为，且当时，不等式恒成立，
当时，，恒成立，因此，
当时， ，
令，原不等式等价于恒成立，
而，即函数在上单调递增，因此，
即，令，，
当时，，当时，，函数在上单调递增，在上单调递减，
，因此，
综上得，
所以实数的取值范围是.
28．（2023·辽宁·校考模拟预测）已知函数，.
(1)证明：；
(2)若恒成立，求实数的取值范围.
【解题思路】（1）求导判断单调性，极值点不好求的时候设出零点，整体代入化简求值.
(2)分和两种情况讨论，当时去掉绝对值符号，判断的符号，
若与轴有交点，交点不能求出设隐零点讨论.
【解答过程】（1）证明：即证恒成立，
设，，显然在区间内单调递增，
又，，
所以存在唯一，使得，即，.
当时，，单调递减；当时，，单调递增，
所以，
又，所以，故，
所以，即.
（2）由，得，，
当时，，所以，即，
设，则，且，
当时，，单调递减；
当时，，单调递增，
所以，所以，
所以，即成立；
当时，令，，则，
所以在区间内单调递增，
又，，
所以存在唯一，使得，即，
当时，，由，
得，即，
设，则，
所以在区间内单调递减，
所以，解得.
当时，，即，
由，得，
即，设，则，
由得，所以，所以单调递增，
所以，解得，
由，得，
综上，实数的取值范围为.
29．（2023·甘肃兰州·校考模拟预测）已知函数，（，为自然对数的底数）.
(1)求函数的极值；
(2)若对，恒成立，求的取值范围.
【解题思路】（1）求导后，根据的正负可求得的单调性，根据极值的定义可求得结果；
（2）分离变量可将问题转化为在上恒成立；求导后可令，利用导数可求得的单调性，利用零点存在定理可求得的零点，并得到的单调性，由此可求得，化简可得，由此可求得的取值范围.
【解答过程】（1）定义域为，，
当时，；当时，；
在上单调递增，在上单调递减，
的极大值为，无极小值.
（2）由得：，在上恒成立；
令，则；
令，则，
在上单调递增，又，，
，使得，则，
当时，；当时，；
在上单调递减，在上单调递增，；
由得：，，
，，
则实数的取值范围为.
30．（2023·湖南长沙·统考一模）已知函数，其中．
(1)求的最大值；
(2)若不等式对于任意的恒成立，求实数a的取值范围．
【解题思路】（1）求导，得到函数单调性，极值最值情况，求出最大值；
（2）先考虑时满足题意，再分与两种情况，求导后变形，与题干中的建立联系，分类讨论求出实数a的取值范围.
【解答过程】（1），，
令，解得：或，
令，解得：，
故在，上单调递增，在上单调递减，
故在处取得极大值，，
令，即当时，恒成立，
故在处取得最大值，；
（2）设，其中，
①当时，，符合题意，
②当时，，且，
由（1）知：在单调递增，故，
若，，则单调递减，有，符合题意，
若，，符合题意，
若，即时，，则在上单调递减，有，符合题意，
若，即时，存在使得，
当时，，故，则单调递增，可得，不合题意，
因此当时，满足题意得，
③当时，，且，
由②可知：只需考虑，
若，即时，由（1）知在上单调递减，故，
存在，使得，
当时，，得，则单调递减，
可得：，不合题意，
若，即时，由（1）可知：当时，，，
故，则在上单调递增，有，符合题意，
若，，符合题意，
若，下面证明符合题意，
当时，，故，
当时，设，则，
可得在上单调递增，在上单调递减，
故，
从而，符合题意，
综上：.3
＋
0
－
0
＋
单调递增
极大值
单调递减
极小值
单调递增
x
2
单调递减
极小值
单调递增