新高考数学二轮复习解答题提优训练专题2.8 圆锥曲线（椭圆）（2份，原卷版+解析版）

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1．利用根与系数关系法解决直线与圆锥曲线相交问题的基本步骤如下：
(1)设直线方程，设交点坐标为、；
(2)联立直线与圆锥曲线的方程，得到关于（或）的一元二次方程，必要时计算；
(3)列出根与系数关系；
(4)将所求问题或题中的关系转化为、的形式；
(5)代入根与系数关系求解．
2．直线与圆锥曲线的综合问题的求解策略
对于直线与圆锥曲线的位置关系的综合应用问题，通常联立直线方程与圆锥曲线方程，应用一元二次方程根与系数的关系，以及弦长公式等进行求解，此类问题易错点是复杂式子的变形能力不足，导致错解．
1．（2023·北京海淀·校考模拟预测）已知椭圆的短轴长为，离心率为．
(1)求椭圆的标准方程；
(2)若直线l与圆相切，与椭圆交于不同的两点，求的面积的最大值．
2．（2023·广西·校联考模拟预测）已知椭圆与直线交于两点，且当时，.
(1)求椭圆的标准方程；
(2)记椭圆的上､下顶点分别为，若点在直线上，证明：点在直线上.
3．（2023·甘肃定西·统考一模）已知椭圆：（）的右焦点为，短轴长是长轴长的.
(1)求椭圆的方程；
(2)是椭圆上的动点，过点作椭圆的切线，与直线交于点，若（为坐标原点）的面积为，求点的坐标.
4．（2023·甘肃·统考一模）已知椭圆的离心率是，，分别是椭圆的左、右焦点，是椭圆上一点，且的周长是．
(1)求椭圆的标准方程；
(2)若直线与椭圆交于，两点，是坐标原点，且四边形是平行四边形，求四边形的面积．
5．（2023·河南开封·校考模拟预测）已知，分别为椭圆的左、右焦点，，，分别为的上、下顶点，P为上在第一象限内的一点，直线，的斜率之积为．
(1)求的方程；
(2)设的右顶点为A，过A的直线与交于另外一点B，与垂直的直线与交于点M，与y轴交于点N，若，且（O为坐标原点），求直线的斜率的取值范围．
6．（2023·内蒙古赤峰·校联考一模）法国数学家加斯帕尔·蒙日是19世纪著名的几何学家，他创立了画法几何学，推动了空间解析几何学的独立发展，奠定了空间微分几何学的宽厚基础，根据他的研究成果，我们定义：给定椭圆：，则称圆心在原点，半径是的圆为“椭圆的伴随圆”，已知椭圆的一个焦点为，其短轴的一个端点到焦点的距离为.
(1)若点为椭圆的“伴随圆”与轴正半轴的交点，，是椭圆的两相异点，且轴，求的取值范围.
(2)在椭圆的“伴随圆”上任取一点，过点作直线，，使得，与椭圆都只有一个交点，试判断，是否垂直？并说明理由.
7．（2023·四川南充·统考二模）如图，已知分别为椭圆的左，右顶点，为椭圆M上异于点的动点，若，且面积的最大值为2．
(1)求椭圆M的标准方程；
(2)已知直线与椭圆M相切于点，且与直线和分别相交于两点，记四边形的对角线相交于点N．问：是否存在两个定点，使得为定值？若存在，求的坐标；若不存在，说明理由．
8．（2023·辽宁葫芦岛·统考一模）在平面直角坐标系中，已知点，，直线PA与直线PB的斜率乘积为，点的轨迹为．
(1)求的方程；
(2)分别过，做两条斜率存在的直线分别交于C，D两点和E，F两点，且，求直线CD的斜率与直线EF的斜率之积．
9．（2023·山西·校联考模拟预测）已知点在椭圆上，直线交椭圆于，两点，直线､的斜率之和为0.
(1)求直线的斜率；
(2)求面积的最大值.
10．（2023·广西南宁·统考一模）已知椭圆的左焦点为，点在上．
(1)求椭圆的标准方程；
(2)已知椭圆的上顶点为，圆，椭圆上是否存在两点使得圆内切于？若存在，求出直线的方程；若不存在，请说明理由．
11．（2023·甘肃兰州·统考模拟预测）已知是椭圆的左、右焦点，是椭圆的短轴，菱形的周长为，面积为，椭圆的焦距大于短轴长．
(1)求椭圆的方程；
(2)若是椭圆内的一点（不在的轴上），过点作直线交于两点，且点为的中点，椭圆的离心率为，点也在上，求证：直线与相切．
12．（2023·四川成都·校考二模）椭圆的光学性质：光线从椭圆的一个焦点出发经椭圆反射后通过另一个焦点.现有一椭圆，长轴长为4，从一个焦点F发出的一条光线经椭圆内壁上一点P反射之后恰好与x轴垂直，且.
(1)求椭圆C的标准方程；
(2)点Q为直线上一点，且Q不在x轴上，直线，与椭圆C的另外一个交点分别为M，N，设，的面积分别为，，求的最大值.
13．（2023·全国·模拟预测）已知椭圆，离心率，左、右顶点与上顶点围成的三角形的面积为．
(1)求椭圆C的方程；
(2)M，N，A，B为椭圆上不同的四点，且均与椭圆右顶点P不重合，，，，证明：直线MN和直线AB的交点在一个定圆上．
14．（2023·云南曲靖·校考模拟预测）已知曲线，其离心率为，焦点在轴上．
(1)求的值；
(2)若与轴交于，两点（点位于点的上方），直线与交于不同的两点，，直线与直线交于点．求证：当时，，，三点共线．
15．（2023·四川成都·统考二模）已知中心为坐标原点，对称轴为坐标轴的椭圆经过，两点．
(1)求椭圆的方程；
(2)设过点的直线与椭圆相交于A，B两点，，，且点在椭圆上，求直线的方程．
16．（2023·河南·校联考模拟预测）已知椭圆的右焦点为F，离心率为，且点在㮋圆上．
(1)求椭圆C的标准方程；
(2)过右焦点F且斜率不为0的直线l与椭圆C交于A，B两点，线段AB的中点为Q，经过坐标原点O和点Q的直线m与椭圆C交于M，N两点，求四边形AMBN的面积的取值范围．
17．（2023·北京丰台·统考一模）已知椭圆的一个顶点为，焦距为2．
(1)求椭圆E的方程；
(2)过点的直线与椭圆E交于B，C两点，过点B，C分别作直线的垂线（点B，C在直线l的两侧）．垂足分别为M，N，记，，的面积分别为，，，试问：是否存在常数t，使得，，总成等比数列？若存在，求出t的值．若不存在，请说明理由．
18．（2023·宁夏银川·校考一模）已知椭圆的离心率为，短轴长为2.
(1)求椭圆的标准方程；
(2)点，斜率为k的直线l不过点，且与椭圆交于A，B两点，(O为坐标原点).直线l是否过定点？若过定点，求出定点坐标；若不过定点，说明理由.
19．（2023·山东潍坊·统考一模）已知椭圆的焦距为，离心率为，直线与交于不同的两点.
(1)求的方程；
(2)设点，直线与分别交于点.
①判段直线是否过定点？若过定点，求出该定点的坐标；若不过定点.请说明理由：
②记直线的倾斜角分别为，当取得最大值时，求直线的方程.
20．（2023·宁夏银川·校联考一模）已知圆：，为圆上一动点，，线段的垂直平分线交于点G.
(1)求动点G的轨迹C的方程；
(2)已知，轨迹C上关于原点对称的两点M，N，射线AM，AN分别与圆交于P，Q两点，记直线MN和直线PQ的斜率分别为，.
①求AM与AN的斜率的乘积；
②问是否为定值，若是，求出该定值；若不是，说明理由.
21．（2023·陕西咸阳·统考二模）椭圆C：的左、右焦点分别为、，且椭圆C过点，离心率为．
(1)求椭圆C的方程；
(2)若点是椭圆上任一点，那么椭圆在点M处的切线方程为．已知是（1）中椭圆C上除顶点之外的任一点，椭圆C在N点处的切线和过N点垂直于切线的直线分别与y轴交于点P、Q．求证：点P、N、Q、、在同一圆上．
22．（2023·全国·模拟预测）已知椭圆的左、右焦点分别为F1，F2，上顶点为A，△AF1F2的面积为，点F2到直线AF1的距离为.
(1)求椭圆E的标准方程；
(2)若椭圆E的左顶点为B，P为椭圆上一点（不与左、右顶点重合），直线BP交直线l：x=4于点R，∠PF2B的平分线交直线BP于点Q，求证：.
23．（2023·宁夏银川·校考一模）已知椭圆的焦距为2，经过点，若点P是椭圆C上一个动点（异于椭圆C的左右顶点），点，，，直线PN与曲线C的另一个公共点为Q，直线EP与FQ交于点M．
(1)求椭圆C的标准方程；
(2)求证：当点P变化时，点M恒在一条定直线上．
24．（2023·宁夏银川·校考一模）如图所示，由半椭圆和两个半圆、组成曲线，其中点依次为的左、右顶点，点为的下顶点，点依次为的左、右焦点．若点分别为曲线的圆心．
(1)求的方程；
(2)若过点作两条平行线分别与和交与和，求的最小值．
25．（2023·四川绵阳·校考模拟预测）设分别是椭圆的左、右焦点，过点作倾斜角为的直线交椭圆于两点，点到直线的距离为3，连接椭圆的四个顶点得到的菱形面积为4．
(1)已知点，设是椭圆上的一点，过两点的直线交轴于点，若，求实数的取值范围；
(2)作直线与椭圆交于不同的两点，其中点的坐标为，若点是线段垂直平分线上一点，且满足，求实数的值．