新高考数学二轮复习提分训练专题20 立体几何与空间向量（解答题压轴题）（2份，原卷版+解析版）

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TOC \ "1-2" \h \u \l "_Tc14279" 1、直线与平面所成角问题 PAGEREF _Tc14279 \h 1
\l "_Tc4090" ①求直线与平面所成角定值问题 PAGEREF _Tc4090 \h 1
\l "_Tc907" ②求直线与平面所成角最值或范围问题 PAGEREF _Tc907 \h 4
\l "_Tc13581" ③直线与平面所成角中探索性问题 PAGEREF _Tc13581 \h 6
\l "_Tc14804" 2、平面与平面所成角问题 PAGEREF _Tc14804 \h 9
\l "_Tc26058" ①求平面与平面所成角定值问题 PAGEREF _Tc26058 \h 9
\l "_Tc24691" ②求平面与平面所成角最值或范围问题 PAGEREF _Tc24691 \h 12
\l "_Tc11403" ③平面与平面所成角中探索性问题 PAGEREF _Tc11403 \h 14
\l "_Tc11518" 3、体积（距离）问题 PAGEREF _Tc11518 \h 17
\l "_Tc29345" 4、折叠问题 PAGEREF _Tc29345 \h 19
1、直线与平面所成角问题
①求直线与平面所成角定值问题
1．（2023·云南·云南师大附中校考模拟预测）如图，为圆锥的顶点，A，为底面圆上两点，，为中点，点在线段上，且.
(1)证明：平面平面；
(2)若，求直线与平面所成角的正弦值.
2．（2023·宁夏银川·校考模拟预测）如图，在四棱锥中，底面是边长为2的菱形，，且平面，，，分别是，的中点，是上一点，且.

(1)求证：平面；
(2)若，求直线与平面所成角的余弦值.
3．（2023·江苏扬州·统考模拟预测）如图，平行六面体的体积为6，截面的面积为6．

(1)求点到平面的距离；
(2)若，，求直线与平面所成角的正弦值．
4．（2023·安徽六安·安徽省舒城中学校考模拟预测）如图，已知多面体EABCDF的底面ABCD是边长为2的正方形，，，且.

(1)记线段的中点为，在平面内过点作一条直线与平面平行，要求保留作图痕迹，但不要求证明；
(2)求直线与平面所成角的正弦值.
5．（2023·福建福州·福建省福州第一中学校考模拟预测）如图，在底面为正方形的四棱台中，已知，，，A到平面的距离为.

(1)求到平面的距离；
(2)若，求直线与平面所成角的正弦值.
②求直线与平面所成角最值或范围问题
1．（2023春·黑龙江·高二校联考开学考试）如图，在梯形ABCD中，，点M在边AD上，，，以CM为折痕将翻折到的位置，使得点S在平面ABCD内的射影恰为线段CD的中点．

(1)求四棱锥体积：
(2)若点P为线段SB上的动点，求直线CP与平面MBS所成角的正弦值的最大值．
2．（2023春·福建福州·高二校联考期末）如图，三棱台中，，D是AC的中点，E是棱BC上的动点．

(1)若平面，确定的位置.
(2)已知平面ABC，且．设直线与平面所成的角为，试在（1）的条件下，求的最大值．
3．（2023·海南海口·统考模拟预测）如图，四棱锥中，，，平面平面.

(1)证明：平面平面；
(2)若，，，与平面所成的角为，求的最大值.
4．（2023春·江苏常州·高二江苏省溧阳中学校考阶段练习）如图，四棱锥的底面为正方形，底面，，点在棱上，且，点是棱上的动点（不含端点）.
(1)若是棱的中点，求的余弦值；
(2)求与平面所成角的正弦值的最大值.
5．（2023·全国·学军中学校联考模拟预测）已知体积为1的四面体，其四个面均为全等的等腰三角形.
(1)求四面体的外接球表面积的最小值；
(2)若，的面积为，设点为线段（含端点）上一动点，求直线与面所成角的正弦值的取值范围.
③直线与平面所成角中探索性问题
1．（2023春·福建漳州·高二校考期中）已知直角三角形ABC中，D、E分别是AC、BC边中点，将△CDE和△BAE分别沿着DE，AE翻折，形成三棱锥，M是AD中点．

(1)证明：PM⊥平面ADE；
(2)若直线PM上存在一点Q，使得QE与平面PAE所成角的正弦值为，求QM的值．
2．（2023春·云南楚雄·高二校考期末）如图，已知垂直于梯形所在的平面，矩形的对角线交于点，为的中 点，，.

(1)求证：平面.
(2)求平面与平面所成锐二面角的余弦值；
(3)在线段上是否存在一点，使得与平面所成角的大小为？若存在，求出 的长：若不存在，说明理由．
3．（2023春·江西新余·高二统考期末）如图，在四棱锥中，底面为正方形，底面，，为线段的中点，为线段上的动点.

(1)证明：平面；
(2)若直线与平面所成角的正弦值为，求点到平面的距离.
4．（2023·四川宜宾·统考三模）如图（1），在正三角形中，分别为中点，将沿折起，使二面角为直二面角，如图（2），连接，过点E作平面与平面平行，分别交于.
(1)证明：平面；
(2)点H在线段上运动，当与平面所成角的正弦值为时，求的值.
5．（2023·吉林·统考三模）如图，在多面体中，四边形和四边形均是等腰梯形，底面为矩形，与的交点为，平面，且与底面的距离为，
(1)求证：平面；
(2)在线段上是否存在一点，使得与平面所成角的正弦值为．若存在，请确定点的位置；若不存在，请说明理由．
6．（2023·陕西西安·校考模拟预测）如图，四棱锥的底面为菱形，，，底面ABCD，E，F分别是线段PB，PD的中点，G是线段PC上的一点．
(1)若，证明直线AG在平面AEF内；
(2)若直线AG与平面AEF所成角的正弦值为，试确定的值．
2、平面与平面所成角问题
①求平面与平面所成角定值问题
1．（2023·山西运城·山西省运城中学校校考二模）如图，在三棱柱中，侧面为菱形，，，.

(1)证明：平面平面；
(2)求平面与平面夹角的余弦值.
2．（2023·宁夏石嘴山·统考一模）如图，在四棱锥中，侧面底面，底面为菱形，．

(1)若四棱锥的体积为1，求的长；
(2)求平面与平面所成二面角的正弦值．
3．（2023·贵州黔东南·凯里一中校考模拟预测）如图，在三棱柱中，，．

(1)证明：；
(2)若，，，求二面角的余弦值．
4．（2023·福建三明·统考三模）如图，平面五边形由等边三角形与直角梯形组成，其中，，，，将沿折起，使点到达点的位置，且.

(1)当时，证明并求四棱锥的体积；
(2)已知点为棱上靠近点的三等分点，当时，求平面与平面夹角的余弦值.
5．（2023·全国·模拟预测）如图，在多面体中，四边形是菱形，且有，，，平面，．

(1)求证：平面；
(2)求平面与平面所成的锐二面角的余弦值．
②求平面与平面所成角最值或范围问题
1．（2023·江苏·高二专题练习）如图，在四棱锥中，底面为正方形，底面，，，分别在棱，上．

(1)当为棱中点时，求证：；
(2)当为棱中点时，求平面与平面所成的二面角余弦值的最大值．
2．（2023春·江苏徐州·高二徐州高级中学校考期中）如图1，在等边中，点，分别为边，上的动点，且满足，记.将沿翻折到位置，使得平面平面，连接，得到图2，点为的中点.

(1)当平面时，求的值；
(2)试探究：随着值的变化，二面角的大小是否为定值？如果是，请求出二面角的正弦值；如果不是，请求出二面角的余弦值的取值范围.
3．（2023秋·云南昆明·高二统考期末）如图，在四棱锥中，底面ABCD是平行四边形，，，点E是线段AD的中点，点F在线段AP上且满足，面ABCD.
(1)当时，证明：//平面；
(2)当为何值时，平面BFE与平面PBD所成的二面角的正弦值最小？
4．（2023春·江苏淮安·高二金湖中学校联考阶段练习）如图①所示，长方形中，，，点是边的中点，将沿翻折到，连接，，得到图②的四棱锥．
(1)求四棱锥的体积的最大值；
(2)设的大小为，若，求平面和平面夹角余弦值的最小值．
5．（2023春·江苏常州·高二校联考阶段练习）某人设计了一个工作台，如图所示，工作台的下半部分是个正四棱柱，其底面边长为4，高为1，工作台的上半部分是一个底面半径为的圆柱体的四分之一，点为圆弧（包括端点）上的动点．
(1)若平面时，求点与的最短距离．
(2)若，当点在圆弧（包括端点）上移动时，求平面与平面所成的锐二面角的正切值的取值范围．
③平面与平面所成角中探索性问题
1．（2023·西藏日喀则·统考一模）如图，已知直角梯形与，，，，AD⊥AB，，G是线段上一点.
(1)平面⊥平面ABF
(2)若平面⊥平面，设平面与平面所成角为，是否存在点G，使得，若存在确定G点位置；若不存在，请说明理由.
2．（2023·上海长宁·上海市延安中学校考三模）已知和所在的平面互相垂直，，，，，是线段的中点，.
(1)求证：；
(2)设，在线段上是否存在点（异于点），使得二面角的大小为.

3．（2023·黑龙江哈尔滨·哈尔滨三中校考模拟预测）在长方体中，，点P为棱上任意一点.

(1)求证：平面⊥平面；
(2)若点E为棱上靠近点C的三等分点，求点P在棱上什么位置时，平面与平面夹角的余弦值为.
4．（2023·福建宁德·校考模拟预测）如图，已知多面体EACBD中，EB⊥底面ACBD，EB=1，AB=2，其中底面由以AB为直径的半圆ACB及正三角形ABD组成

(1)若BC=1，求证:BC∥平面ADE.
(2)半圆AB上是否存在点M，使得二面角是直二面角?若存在，求出的值；若不存在，请说明理由.
5．（2023·江苏南京·南京师大附中校考模拟预测）如图（1），平面四边形由正三角形和等腰直角三角形组成，其中，．现将三角形绕着所在直线翻折到三角形位置（如图（2）），且满足平面平面．

(1)证明：平面；
(2)若点满足，当平面与平面夹角的余弦值为时，求的值．
3、体积（距离）问题
1．（2023·江苏徐州·校考模拟预测）在三棱台中，为中点，，，．

(1)求证：平面；
(2)若，，平面与平面所成二面角大小为，求三棱锥的体积．
2．（2023·江苏苏州·模拟预测）在如图所示的圆锥中，已知为圆锥的顶点，为底面的圆心，其母线长为6，边长为的等边内接于圆锥底面，且.

(1)证明：平面平面；
(2)若为中点，射线与底面圆周交于点，当二面角的余弦值为时，求点到平面的距离.
3．（2023·重庆·统考模拟预测）在多面体中，四边形是边长为4的正方形，，△ABC是正三角形．

(1)若为AB的中点，求证：直线平面；
(2)若点在棱上且，求点C到平面的距离．
4．（2023·北京通州·统考三模）如图，在三棱锥中，平面平面BCD，，O为BD的中点.

(1)证明：.
(2)若是等腰直角三角形，，，点E在棱AD上（与A，D不重合），若二面角的大小为，求点D到面BCE的距离.
5．（2023·广东广州·广州六中校考三模）四棱锥中，，，，，，点是棱上靠近点的三等分点．
(1)证明：平面；
(2)若平面与平面的夹角的余弦值为，求四棱锥的体积．
4、折叠问题
1．（2023·全国·高二课堂例题）如图（1），在等腰梯形ABCD中，M，N分别是AD，AE的中点，，，将沿着DE折起，使得点A到达点P的位置，平面PDE⊥平面BCDE，如图（2）．

(1)若平面MNF，求的值；
(2)若，平面DEQ⊥平面MNF，求的值；
(3)若平面MNF与平面BCDE所成角的余弦值为，求的值；
(4)若点C到平面MNF的距离为，求的值．
2．（2023·全国·高三专题练习）图①是直角梯形，，，四边形是边长为的菱形，并且，以为折痕将折起，使点到达的位置，且.

(1)求证：平面平面；
(2)在棱上是否存在点，使得点到平面的距离为？若存在，求出直线与平面所成角的正弦值；若不存在，请说明理由.
3．（2023·全国·高三专题练习）如图，在中，，，，E为AB中点，过点E作ED垂直AC于D，将沿ED翻折，使得面面，点M是棱AC上一点，且面．

(1)求的值；
(2)求二面角的余弦值．
4．（2023春·广西南宁·高二宾阳中学校联考期末）图1是由矩形、和菱形组成的一个平面图形，其中，，.将其沿，折起使得与重合，连接，如图2.

(1)证明：图2中的，，，四点共面，且平面平面；
(2)求图2中与平面所成角的正弦值.
5．（2023春·重庆北碚·高一西南大学附中校考期末）如图1，在四边形中，，为上一点，，，，将四边形沿折起，使得二面角的大小为，连接，，得到如图2．

(1)证明：平面平面；
(2)点是线段上一点，设，且二面角为，求的值．