新高考数学一轮复习考点题型训练 7.2空间几何体外接球、内切球8大模型（精讲）（2份，原卷版+解析版）

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【知识必备】
一、正方体、长方体外接球模型
1．正方体的外接球的球心为其体对角线的中点，半径为体对角线长的一半．
2．长方体的外接球的球心为其体对角线的中点，半径为体对角线长的一半．
3．补成长方体
（1）若三棱锥的三条侧棱两两互相垂直，则可将其放入某个长方体内，如图1所示．
（2）若三棱锥的四个面均是直角三角形，则此时可构造长方体，如图2所示．
（3）正四面体可以补形为正方体且正方体的棱长，如图3所示．
（4）若三棱锥的对棱两两相等，则可将其放入某个长方体内，如图4所示
二、正四面体外接球模型
如图，设正四面体的的棱长为，将其放入正方体中，则正方体的棱长为，显然正四面体和正方体有相同的外接球．正方体外接球半径为，即正四面体外接球半径为．
三、直棱柱外接球模型
如图1，图2，图3，直三棱柱内接于球（同时直棱柱也内接于圆柱，棱柱的上下底面可以是任意三角形）
第一步：确定球心的位置，是的外心，则平面；
第二步：算出小圆的半径，（也是圆柱的高）；
第三步：勾股定理：，解出
四、直棱锥外接球
如图，平面，求外接球半径．
解题步骤：
第一步：将画在小圆面上，为小圆直径的一个端点，作小圆的直径，连接，则必过球心；
第二步：为的外心，所以平面，算出小圆的半径(三角形的外接圆直径算法：利用正弦定理，得)，；
第三步：利用勾股定理求三棱锥的外接球半径：①；
②．
五、正棱锥与侧棱相等模型
1．正棱锥外接球半径： ．
2．侧棱相等模型：
如图，的射影是的外心
三棱锥的三条侧棱相等
三棱锥的底面在圆锥的底上，顶点点也是圆锥的顶点．

解题步骤：
第一步：确定球心的位置，取的外心，则三点共线；
第二步：先算出小圆的半径，再算出棱锥的高（也是圆锥的高）；
第三步：勾股定理：，解出．
六、共斜边拼接模型
如图，在四面体中，，，此四面体可以看成是由两个共斜边的直角三角形拼接而形成的，为公共的斜边，故以“共斜边拼接模型”命名之．设点为公共斜边的中点，根据直角三角形斜边中线等于斜边的一半的结论可知，，即点到，，，四点的距离相等，故点就是四面体外接球的球心，公共的斜边就是外接球的一条直径．
七、垂面模型
如图1所示为四面体，已知平面平面，其外接球问题的步骤如下：
（1）找出和的外接圆圆心，分别记为和．
（2）分别过和作平面和平面的垂线，其交点为球心，记为．
（3）过作的垂线，垂足记为，连接，则．
（4）在四棱锥中，垂直于平面，如图2所示，底面四边形的四个顶点共圆且为该圆的直径．
八、二面角模型
如图1所示为四面体，已知二面角大小为，其外接球问题的步骤如下：
（1）找出和的外接圆圆心，分别记为和．
（2）分别过和作平面和平面的垂线，其交点为球心，记为．
（3）过作的垂线，垂足记为，连接，则．
（4）在四棱锥中，垂直于平面，如图2所示，底面四边形的四个顶点共圆且为该圆的直径．

九、圆锥圆柱圆台模型
1．球内接圆锥
如图，设圆锥的高为，底面圆半径为，球的半径为．通常在中，由勾股定理建立方程来计算．如图，当时，球心在圆锥内部；如图，当时，球心在圆锥外部．和本专题前面的内接正四棱锥问题情形相同，图2和图3两种情况建立的方程是一样的，故无需提前判断．
由图、图可知，或，故，所以．
2．球内接圆柱
如图，圆柱的底面圆半径为，高为，其外接球的半径为，三者之间满足．
3．球内接圆台
，其中分别为圆台的上底面、下底面、高．
十、锥体内切球模型
方法：等体积法，即
【题型精讲】
【题型一 长方体、正方体模型】
例1 （2022·陕西安康·高三期末）长方体的长，宽，高分别为3，，1，其顶点都在球O的球面上，则球O的体积为（ ）
A．B．C．D．
例2 （2022·海原县高三模拟）已知三棱锥的所有顶点都在球的球面上，且平面，，，，则球的表面积为___________.
【跟踪精练】
1. （2022·陕西高三模拟）已知底面边长为1，侧棱长为则正四棱柱的各顶点均在同一个球面上，则该球的体积为（ ）
A．B．C．D．
2. （2022·全国·高三专题练习）据《九章算术》记载，“鳖臑”为四个面都是直角三角形的三棱锥．如图所示，现有一个“鳖臑”，底面，，且，三棱锥外接球表面积为（ ）
A．B．C．D．
【题型二 直棱柱模型】
例3 （2022·山西·太原五中高一阶段练习）
在直三棱柱中，若，则该直三棱柱外接球的表面积为（ ）
A．B．C．D．
例4（2022·河南·高三阶段练习）已知正三棱柱的外接球表面积为，则正三棱柱的所有棱长之和的最大值为______．
【跟踪精练】
1. （2022·安徽·合肥市第六中学高一期中）设直三棱柱的所有顶点都在一个球面上，，，且底面的面积为，则此直三棱柱外接球的表面积是（ ）
A．B．C．D．
2. （2022·全国高三模拟）在直三棱柱中，且，已知该三棱柱的体积为2，则此三棱柱外接球表面积的最小值为______.
【题型三 正棱锥与侧棱相等模型】
例5 （2022·江西高三模拟）正三棱锥P－ABC底面边长为2，M为AB的中点，且PM⊥PC，则三棱锥P－ABC外接球的体积为（ ）
A．B．C．D．
例6 （2023·全国·高三专题练习）已知三棱锥的四个顶点都在球的球面上是边长为的正三角形，则球的表面积等于（ ）
A．B．C．D．
【题型精练】
1．（2022·全国·高三专题练习）在正三棱锥中，，P到平面ABC的距离为2，则该三棱锥外接球的表面积为（ ）
A．B．C．D．
2. （2022·全国·高三专题练习）三棱锥体积为，且，则三棱锥外接球的表面积为____________．
【题型四 对棱相等模型】
例7 如图，在三棱锥中，，，，则三棱锥外接球的体积为（ ）
A．B．C．D．
【题型精练】
1. （2022·吉林·洮南市第一中学高三阶段练习）已知三棱锥中，，，平面平面ABC，则三棱锥的外接球的表面积为______．
2. （2022·全国·高三专题练习）在三棱锥A-BCD中，，，二面角A-BD-C是钝角.若三棱锥A-BCD的体积为2，则A-BCD的外接球的表面积是（ ）
A．12πB．13πC．D．
【题型五 共斜边拼接模型】
例8 三棱锥中，平面平面， ，，，则三棱锥的外接球的半径为______
【题型精练】
1. （2022·四川高三模拟）中国古代数学家刘徽所注释的《九章算术》中，称四个面均为直角三角形的四面体为“鳖臑”.如图所示的鳖臑中，面，，若，，且顶点均在球上，则球的表面积为______.
2. （2022·安徽合肥市高三期末）在三棱锥中，，，.若三棱锥的体积为1，则该三棱锥外接球的表面积为（ ）
A．B．C．D．
【题型六 垂面模型】
例9 （2022·江西高三期末）在三棱锥中，是等边三角形，平面平面，，则三棱锥的外接球体积为（ ）
A．B．C．D．
【题型精练】
1. （2022·安徽·巢湖市第一中学高三月考）已知三棱锥中，平面平面，且，，若，则三棱锥外接球的表面积为（ ）
A．64πB．128πC．40πD．80π
2. （2022·重庆八中高三阶段练习）在三棱锥中、平面平面，，且，则三棱维的外接球表面积是（ ）
A．B．C．D．
【题型七 二面角模型】
例10 （2022·全国·高三专题练习）在三棱锥中，为等腰直角三角形，，为正三角形，且二面角的平面角为，则三棱锥的外接球表面积为（ ）
A．B．C．D．
【题型精练】
1. （2022·全国·高三专题练习）四边形ABDC是菱形，，，沿对角线BC翻折后，二面角A-BD-C的余弦值为，则三棱锥D-ABC的外接球的体积为_____.
2. （2023·全国·高三专题练习）两个边长为2的正三角形与，沿公共边折叠成的二面角，若点在同一球的球面上，则球的表面积为（ ）
A．B．C．D．
【题型八 内切球模型】
例11 （2022·江西·高三阶段练习）在正三棱锥中，，分别是，的中点，且，，则正三棱锥的内切球的表面积为（ ）
A．B．
C．D．
【题型精练】
1. （2022·湖北·模拟预测）已知中，，，，以为轴旋转一周得到一个旋转体，则该旋转体的内切球的表面积为（ ）
A．B．C．D．
2. （2022·全国·高三专题练习）如图，在三棱锥中，，，若三棱锥的内切球的表面积为，则此三棱锥的体积为（ ）
A．B．C．D．