安徽省亳州市涡阳县蔚华中学2024-2025学年高二下学期开学考试 数学试题（含解析）

这是一份安徽省亳州市涡阳县蔚华中学2024-2025学年高二下学期开学考试 数学试题（含解析），共16页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1. 如图，在空间直角坐标系中，正方形与矩形所在平面互相垂直(与原点重合)，在上，且平面，则点的坐标为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】设，交于点，连接，利用线面平行的性质定理得，从而得是的中点，即可求解点的坐标.
【详解】设，交于点，连接，
因为正方形与矩形所在的平面互相垂直，
点在上，且平面，又平面平面，平面，
所以，又，所以是平行四边形，
故，所以是的中点，
因为，所以，所以.
故选：C
2. 设直线l的斜率为k，且，直线l的倾斜角α的取值范围为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据直线斜率及倾斜角范围，结合倾斜角与斜率关系求直线l的倾斜角α的范围.
【详解】由，即，而，
所以.
故选：D
3. 过原点和直线与的交点的直线的方程为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】先求出两直线的交点，从而可得所求的直线方程.
详解】由可得，
故过原点和交点的直线为即，
故选：C.
4. 过三点的圆的一般方程为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】设出圆的一般方程，代入点坐标，计算得到答案.
【详解】设圆的方程为，将A，B，C三点的坐标代入方程，
整理可得，解得，
故所求的圆的一般方程为，
故选：D．
5. 已知直线与椭圆相交于两点，且线段的中点在直线上，则此椭圆的离心率为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】
联立，得到线段的中点为，设与的交点分别为，，，，利用点差法能求出椭圆的离心率．
【详解】联立，得，，
直线与的交点为，线段的中点为，
设与的交点分别为，，，，
则，，
分别把，，，代入椭圆，得：
，两式相减得：，
，，．
故选：C
【点睛】本题考查椭圆的离心率的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意点差法的合理运用．
6. 已知焦点在轴上的椭圆离心率为，则实数等于（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据题意，由椭圆的标准方程分析可得，，则，进而由椭圆的离心率公式，解得的值.
【详解】由题意，得，，则，
所以椭圆的离心率，解得m=8.
故选：B.
7. 过抛物线的焦点作直线交抛物线于两点,如果,那么等于
A. 10B. 8C. 6D. 4
【答案】A
【解析】
【分析】将抛物线上的点到焦点的距离转化为到准线的距离，即，．
【详解】由题意知，抛物线的焦点为，，
则，
故选：A．
8. 抛物线的焦点为F，其准线与双曲线的渐近线相交于A，B两点，若的周长为，则（ ）
A. 2B. C. 8D. 4
【答案】A
【解析】
【分析】设A在x轴上方，根据双曲线和抛物线的定义表示出，，列出方程，解之即可.
【详解】双曲线的渐近线方程为，
抛物线的准线方程为，
设A在x轴上方，则，，
∴，．
又∵的周长为，
∴，
∴．
故选：A.
二、多选题（共18分）
9. （多选）若，，，，下面结论中正确的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】ABC
【解析】
【分析】通过点的坐标得到相应直线的斜率，通过直线斜率判断直线的位置关系即可.
【详解】，，且C不在直线AB上，∴，故A正确；
又∵，∴，∴，故B正确；
∵，，
∴，，∴，故C正确；
又∵，，∴
∴，故D错误．
故选:ABC．
10. 如图所示，正方体中，分别在上，且，则正确的选项为（ ）

A. 至多与之一垂直B.
C. 与相交D. 与平行
【答案】BD
【解析】
【分析】建立空间直角坐标系，利用空间向量法判断两直线的位置关系.
【详解】如图，以为坐标原点，分别以所在直线为轴､轴､轴建立空间直角坐标系．

设正方体的棱长为3，则；
，
，
，B正确，A错误；
由，故D正确，C错误．
故选：BD.
11. 直线过点，且与以，为端点的线段有公共点，则直线斜率可能是
A. B. C. 1D.
【答案】ACD
【解析】
【分析】分别计算直线过点A，B的斜率，数形结合，即得解
【详解】
当直线过点B时，设直线的倾斜角为，则
当直线过点A时，设直线的倾斜角为，则
故要使直线过点，且与以，为端点线段有公共点，则直线的斜率的取值范围为：或
故选：ACD
【点睛】本题考查了过定点的直线与线段相交的直线的取值范围问题，考查了学生转化划归，数形结合，数学运算能力，属于中档题
三、填空题（共15分）
12. 已知直线过点，且直线的倾斜角为直线的倾斜角的2倍，则直线的点斜式方程为________．
【答案】
【解析】
【分析】根据题意，设直线的倾斜角为，则，设直线的倾斜角为，斜率为，则，由二倍角的正切公式即可求出，最后根据直线的点斜式方程即可求得答案.
【详解】解：由直线，得斜率为，
设直线的倾斜角为，则，
设直线的倾斜角为，斜率为，
则，
又直线过点，所以直线的点斜式方程为．
故答案为：．
【点睛】本题考查直线的点斜式方程的求法，涉及直线的倾斜角和斜率的关系，以及二倍角的正切公式的应用，属于基础题.
13. 在直线x－y＋4＝0上取一点P，使它到点M(－2，－4)，N(4,6)的距离相等，则点P的坐标为________.
【答案】
【解析】
【分析】根据点在直线上，可设的坐标为，利用两点间的距离公式列方程，求出、的值即可．
【详解】设直线上一点，则到点，的距离相等，
∴，
解得，∴，
∴点的坐标为，故答案为.
【点睛】本题考查了直线方程以及两点间的距离应用问题，设出点坐标得到方程组是解题的关键，是基础题．
14. 在平面直角坐标系中，若双曲线的右焦点到一条渐近线的距离为，则其离心率的值是________．
【答案】2
【解析】
【详解】分析：先确定双曲线的焦点到渐近线的距离，再根据条件求离心率.
详解：因为双曲线焦点到渐近线即的距离为所以，因此
点睛：双曲线的焦点到渐近线的距离为b，焦点在渐近线上的射影到坐标原点的距离为a.
四、解答题（共77分）
15. 求适合下列条件的直线方程：
（1）经过点，并且其倾斜角等于直线的倾斜角的2倍的直线方程.
（2）求经过点并且和两个坐标轴围成的三角形的面积是1的直线方程.
【答案】（1）；（2）或.
【解析】
【分析】
（1）求出直线的倾斜角,可得所求直线的倾斜角从而可求出斜率，再利用点斜式可求得方程.
（2）设直线方程为，将点代入，再结合面积为，即可解得、的值，从而求出直线的方程.
【详解】（1）因为直线的斜率为， 所以其倾斜角为，
所以，所求直线的倾斜角为，故所求直线的斜率为，
又所求直线经过点，所以其方程为，
即，
（2）设直线方程为，则，解得或，
故所求的直线方程为：或.
【点睛】本题主要考查了求直线的方程，涉及了点斜式和截距式，属于中档题.
16. 已知直线方程为．
（1）证明：直线恒过定点；
（2）为何值时，点到直线的距离最大，最大值为多少？
（3）若直线分别与轴，轴的负半轴交于、两点，求面积的最小值及此时直线的方程．
【答案】（1）证明见解析
（2），
（3）4；
【解析】
【分析】（1）利用直线是直线系求出直线恒过定点，即可；
（2）点到直线的距离最大，转化为两点间的距离，求出距离就是最大值．
（3）若直线分别与轴，轴的负半轴交于、两点，设出直线的方程，求出，，然后求出面积，利用基本不等式求出的最小值及此时直线的方程．
【小问1详解】
直线方程为，
可化为，
对任意都成立，所以，解得，
所以直线恒过定点.
【小问2详解】
如图所示：

点到直线的距离最大，
可知点与定点的连线的距离就是所求最大值，
即,此时，
所以的斜率为：，
可得，解得．
【小问3详解】
如图所示：

若直线分别与轴，轴的负半轴交于、两点，直线方程为，，
则，，
所以，
当且仅当时，等号成立，
所以面积的最小值为4，此时直线的方程为．
17. 已知实数x、y满足方程，
（1）求的最大值和最小值；
（2）求的最大值和最小值；
（3）求的最大值和最小值.
【答案】（1），
（2），
（3），
【解析】
【分析】整理方程可知，方程表示以点为圆心，以为半径的圆，设，进而根据圆心到的距离为半径时直线与圆相切，斜率取得最大、最小值.
设，仅当直线与圆相切时，纵轴截距b取最大或最小值，进而利用点到直线的距离求得的最大值和最小值，进而可得的最大值和最小值；
是圆上点与原点距离之平方，故连接OC，与圆交于B点，并延长交圆于，进而可知的最大值和最小值分别为和的平方，答案可得.
【小问1详解】
方程表示以点C为圆心，以为半径的圆,
设，即，由圆心到的距离为半径时直线与圆相切，斜率取得最大、最小值.
由，解得,
所以，.
【小问2详解】
设，则，仅当直线与圆切于第四象限时，纵轴截距b取最小值，切于第一象限时，纵截距最大，
由点到直线的距离公式，得，即，
故，，
所以，.
【小问3详解】
是圆上点与原点距离之平方，
故连接OC，与圆交于B点，并延长交圆于，
可知B到原点的距离最近，点到原点的距离最大，
此时有，，
则 ，.
18. 在三棱柱中，⊥底面，，，为线段上一点．
（1）若，求与所成角的余弦值；
（2）若，求与平面所成角的大小；
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）以为原点，为轴，为轴，为轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出与所成角的余弦值；
（2）设，由，得，从而，求出平面的法向量，由此能求出与平面所成角的大小．
【小问1详解】
三棱柱中，⊥底面，
，，为线段上一点，
以为原点，为轴，为轴，为轴，建立空间直角坐标系，
设，则，
∵，∴，
∴，，
设与所成角为，
则与所成角的余弦值为：，
【小问2详解】
设，由，
得：
得，
解得：，
∴，
设与平面所成角为，
∵平面的法向量为，
∴，
∴与平面所成角的大小为．
19. 已知双曲线与椭圆有相同的焦点.
求双曲线的方程；
以为中点作双曲线的一条弦，求弦所在直线的方程.
【答案】
【解析】
【分析】
根据椭圆的方程和题意，得到双曲线的焦点坐标，求出，再由等轴双曲线的性质，以及，即可求出结果；
先讨论所在直线斜率不存在时，根据题意，可直接排除；再讨论所在直线斜率存在时，联立直线与双曲线方程，根据韦达定理，以及中点坐标公式，即可求出结果.
【详解】由已知椭圆
得双曲线的焦点为，即，
由等轴双曲线的性质及，
则
所求双曲线方程为
当所在直线斜率不存在时，由对称性可知，中点不可，
故此时不满足题意;
当所在直线斜率存在时，设所在直线的方程为，
联立方程组得
①
点在所在的直线上，即 ②.
联立①②两式，解得，
经检验，直线方程即为所求.
【点睛】本题主要考查求双曲线的标准方程，以及双曲线的中点弦所在直线方程，熟记椭圆与双曲线的简单性质即可，属于常考题型.