甘肃省张掖市某校2024-2025学年高一下学期开学检测 数学试卷（含解析）

这是一份甘肃省张掖市某校2024-2025学年高一下学期开学检测 数学试卷（含解析），共16页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题
1. 命题“，”的否定是（ ）
A. ，B. ，
C. ，D. ，
【答案】A
【解析】
【分析】由带存在量词的命题的否定要求，改变量词，否定结论即得.
【详解】将命题量词改变，并否定结论即得：
命题“，”的否定是“，”.
故选：A.
2. 下列函数中，与是同一个函数的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据同一函数定义域，值域，解析式相同分别判断各个选项即可.
【详解】定义域是，值域是，
对于A：定义域是，定义域不同，A选项错误；
对于B：值域是，值域不同，B选项错误；
对于C：定义域是，定义域不同，C选项错误；
对于D：定义域是，值域是，解析式可以化成相同，D选项正确；
故选：D.
3. 设，则“”是“”的（ ）
A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件
【答案】A
【解析】
【分析】先求解分式不等式，再结合充分不必要条件定义判断即可.
【详解】因为，所以，即得，
若，则；若，则不一定满足；
“”是“”的 充分不必要条件.
故选：A.
4. 已知函数，若，则实数的取值范围为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】分和两种情况解不等式.
【详解】若，则，恒成立，
若，则，解得，
所以实数的取值范围为.
故选：B
5. 已知函数零点在区间内，则（ ）
A. 1B. 2C. 3D. 4
【答案】C
【解析】
【分析】根据零点存在性定理即可判断出零点所在的区间.
【详解】因为，，
所以函数在区间内有零点，所以.
故选：C.
6. 已知点是角终边上一点，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】先求出点P到原点的距离，再根据正弦函数的定义求解.
【详解】依题意点P的坐标为 ， ， ；
故选：D.
7. 已知，，，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】首先根据对数运算性质得，再利用对数函数单调性得，再作差换底变形比较大小即可.
【详解】，，
因为在上单调递增，则，
则，显然，
则，
则，即，结合知.
故选：B.
【点睛】关键点点睛：本题的关键是比较的大小关系，利用作差法结合对数运算性质和换底公式得，最后根据对数函数单调性即可比较两者大小关系.
8. 已知是定义域为R的偶函数，且，则（ ）．
A. 2025B. 5050C. 6024D. 6075
【答案】D
【解析】
【分析】根据题意结合偶函数的定义分析可知的一个周期为4，利用赋值法可得，，进而可得结果.
【详解】因为是定义域为R的偶函数，且，
则，即，
可得，可知一个周期为4，
对于，令，可得，即，
对于，
分别令，可得，
即，
所以.
故选：D.
【点睛】方法点睛：函数的性质主要是函数的奇偶性、单调性和周期性以及函数图象的对称性，在解题中根据问题的条件通过变换函数的解析式或者已知的函数关系，推证函数的性质，根据函数的性质解决问题．
二、多选题
9. 已知，下列不等式正确的有（ ）
A. B.
C. D.
【答案】ABD
【解析】
【分析】对于选项ABD利用不等式即可判断，而选项C举反例.即可得到答案.
【详解】对于选项A：因为，，当且仅当时取等号，故A正确。
对于选项B：因为，所以，当且仅当时取等号，故B正确.
对于选项C：当时，，故C错误.
对于选项D：，当且仅当，即时取等号.故D正确.
故选：ABD
10. 函数的部分图象如图所示，则（ ）
A. 的最小正周期为
B.
C. 的一个对称中心为
D. 要得到函数图象，可以将的图象先向左平移个单位长度，再将各点横坐标变为原来的2倍（纵坐标不变）
【答案】ACD
【解析】
【分析】根据给定的图象，结合“五点法”作图求出判断ABC；利用函数图象的变换判断D.
【详解】观察函数的图象，得，最小正周期，则，
由，得，而，则，，
对于A，的最小正周期为，A正确；
对于B，，B错误；
对于C，，的一个对称中心为，C正确；
对于D，以将的图象向左平移个单位长度，得的图象，
再将所得图象上各点横坐标变为原来的2倍（纵坐标不变），得函数的图象，D正确.
故选：ACD
11. 已知函数对任意实数x，y都满足，且，以下结论正确的有（ ）
A. B. 是偶函数
C. 是奇函数D.
【答案】BD
【解析】
【分析】根据可判断C，令可判断A，令可得函数是偶函数，令可得，令可得，从而得是函数的周期，进而可判断B、D.
【详解】由题意，函数的定义域为，
因为，则函数不是奇函数，故C错误；
令，则，即，
又，则，故A错误；
令，则，即，所以函数是偶函数，即函数是偶函数，
令，则，解得，
令，则，所以，
所以，又，则，
所以，则，
故是函数的周期，所以是偶函数，故B正确；
因为，所以，故D正确；
故选：BD.
三、填空题
12. 函数（且）的图象过定点______．
【答案】
【解析】
【分析】代入即可得到答案.
【详解】当时，，
则其所过定点为.
故答案为：.
13. 函数的值域是______．
【答案】
【解析】
【分析】由余弦函数可得最值
【详解】∵，∴，
∴．
∴，即值域为．
故答案为：．
14. 已知函数，若关于的不等式恰有一个整数解，则实数的取值范围是________．
【答案】
【解析】
【分析】作出函数的图象，求出方程的解，由已知可得出，对实数的取值进行分类讨论，确定满足不等式的整数解，结合图象可得出实数的取值范围.
【详解】由，可得.
因为，作出函数的图象如下图所示：

当时，，
当时，由，
即，解得或（舍）.
若，则有，且，
若使得满足不等式恰有一个整数解，
由图可知，则该整数解为，且不是不等式的解，
则，即；
若，则，无解；
若，则有，
由图可知，则满足不等式的整数解为，
且与都不是不等式的解，且，
所以，即.
综上所述，实数的取值范围是.
故答案为：.
四、解答题
15. 对下列两个式子进行求值．
（1）；
（2）．
【答案】（1）
（2）8
【解析】
【分析】（1）利用指数的运算性质计算即可；
（2）利用对数的运算性质计算即可.
【小问1详解】
原式.
【小问2详解】
因为，
，
所以原式
16. 已知，且是第二象限角．
（1）求和的值；
（2）求的值．
【答案】（1），
（2）
【解析】
【分析】（1）根据同角三角函数的基本关系式来求得正确答案.
（2）根据诱导公式来求得正确答案.
【小问1详解】
，且是第二象限角，
，
．
【小问2详解】
．
17. 设集合，．
（1）若，求；
（2）若，求实数的取值范围．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）将代入，求出集合，解不等式化简集合，再根据补集和交集的定义即可求出；
（2）根据，可得，对集合是否为空集分类讨论，得到关于a的不等式组，解出即可.
【小问1详解】
当时，，由得或
所以或则
所以
【小问2详解】
由得
①若，则，解得
②若，则或，解得或
综上，实数的取值范围是
18. 已知奇函数的定义域为R，当时，.
（1）求的解析式；
（2）证明:在上单调递减；
（3）若对任意的，不等式恒成立，求实数m的取值范围.
【答案】（1）
（2）证明见解析 （3）
【解析】
【分析】（1）由时，，得到，再利用为奇函数求解；
（2）利用函数单调性的定义证明；
（3）利用函数为奇函数，转化为恒成立，再利用（2）在R上单调递减求解.
【小问1详解】
解：当时，，
，
∵为奇函数，
∴，
∴；
【小问2详解】
证明：任取，，且，
，
∵，
∴，，，
∴，
∴，
∴，
∴在上单调递减；
【小问3详解】
∵恒成立，
∴恒成立，
又∵为奇函数，
∴恒成立，
由（2）知在上单调递减，且为奇函数，
∴在R上单调递减，
∴恒成立，
∴恒成立，
令，
当时，取得最小值，
∴.
19. 阅读一：称为对勾函数，当时，单调性如下：在上单调递减，在上单调递增；称为飘带函数，当时为增函数．
阅读二：若函数满足在定义域内的某个集合上，是一个常数，则称在上具有性质．若是函数定义域的一个子集，称函数，是函数在上的限制．
（1）设是上具有性质的奇函数，求时不等式的解集；
（2）设为上具有性质的偶函数．若关于的不等式在上有解，求实数的取值范围；
（3）已知函数在区间上的限制是具有性质的奇函数，在上的限制是具有性质的偶函数．若对于上的任意实数，，，不等式恒成立，求实数的取值范围．
【答案】（1）
（2）
（3）
【解析】
【分析】（1）设，根据奇函数确定，再解不等式即可；
（2）设，根据函数为偶函数，得到，不等式转化为，根据函数的值域和单调性计算最值得到答案；
（3）确定函数的解析式，根据函数的单调性计算函数的值域为，再考虑，，三种情况，分别计算综合得到答案.
【小问1详解】
设，则，
由函数为奇函数，故，即，
则，，
函数为奇函数，满足题意，
则有，设，，
解得或（舍）
即，解得，故；
【小问2详解】
设，则，函数为偶函数，
故，故，，
，即，
设，，则，
函数上单调递减，在上单调递增，故，
，
即，函数在上单调递减，
故，故；
【小问3详解】
根据（1）（2）知：，
当时，，设，则，，
函数单调递增，，
时，，设，则，单调递增，
故，函数在上的偶函数，
故，
综上所述：，
，
当时，即，即，解得；
当时，即，即，成立，则；
当时，即，即，解得；
综上所述：
【点睛】关键点睛：本题考查了函数的新定义，涉及函数的单调性，奇偶性，值域，不等式恒成立和能成立问题，综合性强，意在考查学生的计算能力，转化能力和综合应用能力，其中，利用换元法求函数值域是解题关键，换元法可以简化运算，是常考的方法，需要熟练掌握.