广东省广州市广州实验中学2024-2025学年高一下学期开学考试 数学试题（含解析）

这是一份广东省广州市广州实验中学2024-2025学年高一下学期开学考试 数学试题（含解析），共9页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题（本题共8个小题，每小题5分，共40分）
1. 设全集，集合，则（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】由补集的定义、并集的定义结合已知条件依次分别求出、即可.
【详解】由题意，因为，
所以，又因为，
所以.
故选：D.
2. 若,则“”是“”的（ ）
A. 充分条件B. 必要不充分条件
C. 充分不必要条件D. 既不充分也不必要条件
【答案】C
【解析】
【分析】根据充分不必要条件的定义判断即可．
【详解】当时，，
当时，或，
所以“”是“”的充分不必要条件.
故选：C.
3. 若实数满足，则的最小值为（ ）
A. 0B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】
观察到，则可做三角代换令，，利用二倍角的正弦与三角函数的图象和性质即可求得答案．
详解】，，，
，
当时，有最小值．
的最小值是．
故选：C
【点睛】关键点点睛：解答本题的关键是观察联想到三角代换，令，，利用三角恒等变换和三角函数的图象和性质解答.
4. 若命题“，使得成立”是假命题，则实数的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】求出给定命题的否定，结合全称量词命题为真命题求解作答.
【详解】命题“，使得成立”的否定为：，，
依题意，命题“，”为真命题，
当时，，而，
当且仅当，即时取等号，因此，
所以实数的取值范围是.
故选：D
5. 函数在区间上是增函数，则实数的取值范围是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】当时，，由一次函数的性质求解，当时，根据在区间上是增函数，利用二次函数的性质，由求解.
【详解】若，则，在区间上是增函数，符合题意.
若，因为在区间上是增函数，
所以，解得
综上，
故选：D.
【点睛】本题主要考查二次函数的单调性的应用，还考查了分类讨论思想，属于基础题.
6. 若，，，则、、的大小关系是（ ）.
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】利用幂函数、指数函数的单调性比较大小即得.
【详解】函数在上单调递增，，因此，
函数在R上单调递减，，因此，
所以、、的大小关系是.
故选：D
7. 已知，，则（ ）
A 1B. C. D. 7
【答案】D
【解析】
【分析】先利用同角三角关系求得，再利用两角和的正切公式运算求解.
【详解】因为，，则，
可得，
所以.
故选：D.
8. 函数的图像（ ）
A. 关于轴对称B. 关于原点对称
C. 关于直线对称D. 关于点对称
【答案】C
【解析】
【分析】根据余弦函数的对称中心、对称轴，应用整体代入判断各选项的正误..
【详解】解：由题设，由余弦函数对称中心为，
令，得，，易知B、D错误；
由余弦函数的对称轴为，令，得，，
当时，，易知C正确，A错误；
故选：C
二、多选题（本题共2个小题，每小题6分，共计12分）
9. 下列式子可以化简为的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】AD
【解析】
【分析】利用平面向量的线性运算即可得解.
【详解】对于A，，故A正确；
对于B，，故B错误；
对于C，，故C错误；
对于D，，故D正确.
故选：AD.
10. 把函数的图象沿x轴向左平移个单位，纵坐标伸长到原来的2倍（横坐标不变）后得到函数的图象，对于函数有以下四个判断，其中正确的是（ ）
A. 该函数的解析式为
B. 该函数图象关于点对称对称
C. 该函数在上是增函数
D. 若函数在上的最小值为，则
【答案】ABD
【解析】
【分析】根据三角函数图象平移变换得出函数的解析式，再对选项中的命题进行分析，判断正误，即可求解.
【详解】把函数的图象沿轴向左平移个单位，得到的图象，再纵坐标伸长到原来的2倍（横坐标不变）后，得到的图象，
所以函数，选项A正确；
当时，，所以函数的图象关于对称，所以B正确；
由，可得，所以先增后减，所以C错误；
由，可得，则，
若函数在上的最小值为，即，解得，所以D正确.
故选：ABD.
三、填空题（本题共3个小题，每题5分，共计15分）
11. 已知中，，O为的外心，则，，三个向量中，长度相等且共线的两个向量为__________．
【答案】与
【解析】
【分析】利用相等向量的定义即可得正确答案.
【详解】如图所示，
因为为的外心，
所以
，，三个向量中，共线且长度相等的有：与.
故答案：与.
12. 已知函数，且，则______
【答案】
【解析】
【分析】根据与的关系计算.
【详解】，则.
故答案为：.
13. 已知点为角的终边上一点，则的值为___________.
【答案】
【解析】
【分析】利用诱导公式化简，然后利用终边上点的坐标求三角函数值即可.
【详解】.
故答案为：.
四、解答题（本题共3个小题，共计33分）
14. （1）；
（2）
【答案】（1）；（2）.
【解析】
【分析】（1）根据两角和的正弦公式计算可得结果.
（2）根据指数幂及对数的运算性质计算可得结果.
【详解】（1）.
（2）.
15. 已知集合，.
（1）化简集合A，B；
（2）已知集合，若集合，求实数m的取值范围.
【答案】（1），；（2）
【解析】
【分析】（1）根据一元二次不等式、绝对值不等式的解法即可解不等式求得结果；
（2）由交集定义求得，根据可分为和两种情况构造出不等式求得结果.
【详解】（1），
（2）由（1）知：
当时，，解得：；当时，，解得：
综上所述：
【点睛】本题考查一元二次不等式和绝对值不等式的求解、根据集合的包含关系求解参数范围的问题；易错点是忽略子集为空集的情况，造成求解错误.
16. 若函数
（1）化简函数的解析式，并写出它的定义域
（2）判断函数的奇偶性
（3）画出函数的图像，并写出函数的单调区间
【答案】（1），定义域为；（2）是奇函数；
（3）函数单调递增区间是，无单调递减区间.
【解析】
【分析】（1）分类讨论去绝对值，求出分段函数的解析式，根据解析式的限制条件，可求出定义域；
（2）根据函数奇偶性的定义，即可得出结论；
（3）做出函数图像，即可写出函数的单调区间.
【详解】（1），
定义域为；
（2），
是奇函数；
（3）做出函数图像如下图所示：
函数单调递增区间是，无单调递减区间.
【点睛】本题考查函数的性质，涉及到函数解析式的化简、函数的定义域、函数奇偶性判断、函数的图像以及函数的单调区间，是一道较为综合的题目.