广东省河源市河源中学2024-2025学年高一下学期开学考试 数学试题（含解析）

这是一份广东省河源市河源中学2024-2025学年高一下学期开学考试 数学试题（含解析），共16页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
说明：本试卷共4页，19小题，满分150分，考试用时120分钟.答案须做在答卷上；选择题填涂须用2B铅笔，主观题须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答.考试结束后只需交答卷.
第Ⅰ卷（选择题）
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 设全集，集合，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】首先进行补集运算，然后进行交集运算即可求得集合的运算结果.
【详解】由题意结合补集的定义可知：，则.
故选：C.
【点睛】本题主要考查补集运算，交集运算，属于基础题.
2. 下列结论中正确的为（ ）
A. 两个有共同起点的单位向量，其终点必相同
B. 向量与向量的长度相等
C. 对任意向量，是一个单位向量
D. 零向量没有方向
【答案】B
【解析】
【分析】利用单位向量的概念可判断A选项的正误；利用向量模的定义可判断B选项的正误；取可判断C选项的正误；利用零向量的定义可判断D选项的正误.
【详解】对于A选项，两个单位向量的模相等，但这两个单位向量的方向不确定，故A错；
对于B选项，向量与向量的模相等，B对；
对于C选项，若，则无意义，C错；
对于D选项，零向量的方向任意，D错.
故选：B.
3. “”是“在上恒成立”的（ ）
A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件
C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件
【答案】A
【解析】
【分析】根据二次不等式在上恒成立结合参变量分离法求出实数的取值范围，再利用集合的包含关系判断可得出结论.
【详解】根据题意，若在上恒成立，
所以，在上恒成立，
由“对勾函数”可知，函数在上单调递增，
所以，当时，，可得，
所以，在上恒成立“的充要条件是”“，
因为，
因此，“”是“在上恒成立”的充分不必要条件.
故选：A.
4. 设向量满足， ，则=
A. 1B. 2C. 3D. 5
【答案】A
【解析】
【详解】因为，，两式相加得：，所以，故选A.
考点：本小题主要考查平面向量的模、平面向量的数量积等平面向量知识，熟练基础知识与基本题型是解答好本类题目的关键．
5. 以下区间中，使关于不等式成立的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】首先化简函数，再根据选项，求的范围，即可判断正负.
【详解】，
A.，，此时，，故A正确；
B. ，，此时，，故B错误；
C. ，，此时，有正数，负数和零，故C错误；
D.，，此时，有正数，负数和零，故D错误.
故选：A
6. 若两个正实数x，y满足，且不等式有解，则实数m的取值范围是（ ）
A. B. 或
C. D. 或
【答案】D
【解析】
【分析】利用基本不等式“1”的代换求不等式左侧的最小值，根据不等式有解得，即可求参数范围.
【详解】因为正实数x，y满足，
所以，
当且仅当，时，取得最小值4，
由有解，则，解得或．
故实数m的取值范围是或.
故选：D
7. 已知，则的值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】
利用两角和与差的正弦公式，诱导公式化简已知等式可得，进而利用诱导公式，二倍角公式化简所求即可求解．
【详解】因为
，
所以，
故选：D
8. 已知定义域为的函数满足，，且当时，恒成立，则下列结论正确的是（ ）
A. B.
C. 为奇函数D. 在区间是单调递增函数
【答案】C
【解析】
【分析】赋值法可判断A，利用奇偶函数的定义及赋值法判断BC，由函数的特例可判断D.
【详解】令，则，
所以，因为当时，，
所以，
令，所以，
即，解得：，故A错误；
由题意，函数的定义域为，关于原点对称，
令，则，即
令代换，则，即，
所以，令代换，所以，故B错误；
由将代入，
可得，化简可得，
所以为奇函数，故C正确；
令，则，解得：，，故D错误.
故选：C
【点睛】关键点点睛：本题的BC选项的关键点令，得到，令代换，得到，两式化简即可得出答案.
二、多选题：本题共3小题，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有错选的得0分.
9. 已知向量，，则（ ）
A. 若，则B. 若，则
C. 若，则D. 若，则与的夹角为
【答案】BC
【解析】
【分析】根据向量垂直的坐标表示判断A，根据向量平行和数量积的坐标表示判断B，根据向量模长的坐标表示判断C，根据向量夹角的坐标表示判断D.
【详解】选项A，若，则，解得，故A项错误；
选项B，若，则，解得，
则，故B项正确；
选项C，若，则，所以，故C项正确；
选项D，，则，，，
所以，所以与的夹角不是，故D项错误，
故选：BC
10. 已知函数且，则下列结论正确的是（ ）
A. 函数的一个对称中心为
B. 函数的一条对称轴方程为
C. 当时，函数最小值为1
D. 要得到函数的图象，只需将的图象向右平移个单位
【答案】AC
【解析】
【分析】先由已知条件求出的值，从而可得函数解析式，然后逐个分析判断即可
【详解】因为且，
所以，得，
所以，得，
因为，所以，
所以，
对于AB，因为，所以函数的一个对称中心为，所以A正确，B错误，
对于C，当时，，所以，所以C正确，
对于D，因为，所以要得到函数的图象，只需将的图象向右平移个单位，所以D错误，
故选：AC
11. 已知符号函数，下列说法正确的是（ ）
A. 函数是奇函数
B. 对任意的，
C. 对任意的，
D. 的值域为
【答案】AC
【解析】
【分析】由已知结合函数奇偶性、单调性和定义及指数函数的性质分别检验各项即可判断
【详解】解：对于A，当时，，则；当时，，则，当时，，所以函数是奇函数，所以A正确；
对于B，当时，，则，所以B错误；
对于C，因为，所以，所以C正确；
对于D，因为，其值域为，所以D错误，
故选：AC
第II卷（非选择题）
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12. 已知y=f(x)是奇函数，当x≥0时， ，则f(-8)的值是____.
【答案】
【解析】
【分析】先求，再根据奇函数求
【详解】，因为为奇函数，所以
故答案为：
【点睛】本题考查根据奇函数性质求函数值，考查基本分析求解能力，属基础题.
13. 已知 =，则的值是____.
【答案】
【解析】
【分析】直接按照两角和正弦公式展开，再平方即得结果.
【详解】
故答案为：
【点睛】本题考查两角和正弦公式、二倍角正弦公式，考查基本分析求解能力，属基础题.
14. 在四边形ABCD中，已知＝(4，－2)，＝(7，4)，＝(3，6)，则四边形ABCD的面积是________．
【答案】30
【解析】
【分析】先证明四边形ABCD为矩形，然后即可求出面积.
【详解】，又因为
所以四边形ABCD为矩形，所以
所以.
故答案为：30.
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.
15. 已知为锐角，，．（1）求的值；（2）求的值．
【答案】（1）；（2）
【解析】
【详解】分析：先根据同角三角函数关系得，再根据二倍角余弦公式得结果；（2）先根据二倍角正切公式得，再利用两角差的正切公式得结果.
详解：解：（1）因为，，所以．
因为，所以，
因此，．
（2）因为为锐角，所以．
又因为，所以，
因此．
因为，所以，
因此，．
点睛：应用三角公式解决问题的三个变换角度
(1)变角：目的是沟通题设条件与结论中所涉及的角，其手法通常是“配凑”.
(2)变名：通过变换函数名称达到减少函数种类的目的，其手法通常有“切化弦”、“升幂与降幂”等.
(3)变式：根据式子的结构特征进行变形，使其更贴近某个公式或某个期待的目标，其手法通常有：“常值代换”、“逆用变用公式”、“通分约分”、“分解与组合”、“配方与平方”等.
16. 已知函数．
（1）求的单调递增区间；
（2）求不等式在上的解集．
【答案】（1）；
（2）.
【解析】
【分析】(1)利用二倍角的正弦、余弦公式及辅助角公式化简函数即可求解；
(2)由题可得，再利用正弦函数性质即可求解.
【小问1详解】
∵
∴，
由，得，
即在上单调递增，
所以函数单调递增区间是；
【小问2详解】
由得，，即，
又，，
∴，即，
∴不等式在上的解集为.
17 已知函数 .
（1）当时，求的值域；
（2）当时，
①求的解集；
②若不等式有实数解，求实数的取值范围.
【答案】（1）
（2）①；②
【解析】
【分析】（1）由题设，结合二次函数及指数函数性质求值域；
（2）①将不等式整理为，解得，再利用指数函数单调性及指对互化解不等式即可；
②问题化为有解，利用基本不等式求右侧最小值，即可得参数范围.
【小问1详解】
当时，由题设，而，
所以，即的值域为；
【小问2详解】
①当时，，
解得，即，所以，
原不等式的解集为；
②由题意有解，即有解，
所以，
对于，当且仅当时取等号，
故只需，即
18. 给出下面两个条件：①函数的图象与直线只有一个交点；②函数的两个零点的差的绝对值为.在这两个条件中选择一个，将下面问题补充完整，使函数的解析式确定.
已知二次函数满足，且______.
（1）求的解析式；
（2）若对任意，恒成立，求实数的取值范围；
（3）若函数有且仅有一个零点，求实数t的取值范围.
【答案】（1）选①，选②
（2）
（3）
【解析】
【分析】（1）利用已知条件求出、的值，可得出.
选①，由题意可得出，可得出的值，即可得出函数的解析式；
选②，由根与系数的关系求出的值，即可得出函数的解析式；
（2），，由参变量分离法可得出，结合二次函数的基本性质可求得实数的取值范围；
（3）令，所以关于的方程有且仅有一个正实根，对实数的取值进行分类讨论，结合二次函数的零点分布可得出关于实数的不等式组，综合可解得实数的取值范围.
小问1详解】
解：因为二次函数满足，
，
所以，解得，所以.
选①，因为函数的图象与直线只有一个交点，所以，解得，
所以的解析式为.
选②，设、是函数的两个零点，则，且，可得，
由根与系数的关系可知，，
所以，解得，
所以的解析式为.
【小问2详解】
解：由，得，
当时，，令，则，
所以对任意，恒成立，等价于在上恒成立，
所以，所以实数的取值范围为.
【小问3详解】
解：因为函数有且仅有一个零点，
令，所以关于的方程有且仅有一个正实根，
因为，所以有且仅有一个正实根，
当，即时，方程可化为，解得，不符合题意；
当，即时，函数的图象是开口向上的抛物线，且恒过点，
所以方程恒有一个正实根；
当，即时，要使得有且仅有一个正实根，
，解得.
综上，实数的取值范围为.
19. 在月亮和太阳的引力作用下，海水水面发生的周期性涨落现象叫做潮汐．一般早潮叫潮，晚潮叫汐．受潮汐影响，港口的水深也会相应发生变化．下图记录了某港口某一天整点时刻的水深y（单位：米）与时间x（单位：时）的大致关系：
假设4月份的每一天水深与时间的关系都符合上图所示．
（1）请运用函数模型，根据以上数据写出水深y与时间x的函数的近似表达式；
（2）根据该港口的安全条例，要求船底与水底的距离必须不小于3.5米，否则该船必须立即离港．一艘船满载货物，吃水（即船底到水面的距离）6米，计划明天进港卸货．
①求该船可以进港的时间段；
②该船今天会到达港口附近，明天0点可以及时进港并立即开始卸货，已知卸货时吃水深度以每小时0.3米的速度匀速减少，卸完货后空船吃水3米．请设计一个卸货方案，在保证严格遵守该港口安全条例的前提下，使该船明天尽早完成卸货（不计停靠码头和驶离码头所需时间）．
【答案】（1）；
（2）①0点到4点以及12点到16点进入港口；②该船在0点进港开始卸货，5点暂时驶离港口，11点返回港口继续卸货，16点完成卸货任务.
【解析】
【分析】（1）根据给定的图形，求出函数模型中的各个参数作答.
（2）①根据给定条件，列出不等式求解作答；②求出最小水深的函数关系，数形结合求解作答.
【小问1详解】
观察图形知，，解得，，，解得，
显然函数的图象过点，即，又，因此，
所以函数表达式为.
【小问2详解】
①依题意，，整理得，
即有，即，
解得或，
所以该船可以在0点到4点以及12点到16点进入港口.
②由①的结论知，该船明日0点即可进港开始卸货，
设自0点起卸货小时后，该船符合安全条例的最小水深为，
如图，函数与的图像交于点，
即卸货5小时后，在5点该船必须暂时驶离港口，此时该船的吃水深度为4.5米，
令，即，，
解得，显然，
该船在11点可返回港口继续卸货，5小时后完成卸货，此时为16点，
综上所述，方案如下：该船在0点进港开始卸货，5点暂时驶离港口，11点返回港口继续卸货，16点完成卸货任务.
【点睛】思路点睛：给定的部分图象求解解析式，一般是由函数图象的最高（低）点定A，求出周期定，由图象上特殊点求.