广西崇左市广西大学附属中学2024-2025学年高二下学期插班生开学考试 数学A卷（含解析）

这是一份广西崇左市广西大学附属中学2024-2025学年高二下学期插班生开学考试 数学A卷（含解析），共10页。试卷主要包含了请将答案正确填写在答题卡上等内容，欢迎下载使用。
注意事项：
1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息
2．请将答案正确填写在答题卡上
一、单选题（每题只有一个正确答案，共7小题，每题5分，共35分，在每小题给出的四个选项中只有一项是符合要求的）
1. 在空间直角坐标系中，与点关于平面对称的点为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据空间直角坐标系的对称点坐标特点直接求解即可.
【详解】解：因为点，则其关于平面对称的点为.
故选：A
2. 若直线与直线垂直，则（ ）
A. 8B. 8C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据两直线垂直条件列出方程求解.
【详解】因为直线与直线垂直，
所以，解得，
故选：A
3. 已知数列满足：，则（ ）
A. 3B. 2C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据递推关系，代值计算即可.
【详解】由，，
则，解得，
由，解得.
故选：A.
4. 抛物线的焦点坐标为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据抛物线的焦点为求解.
【详解】因为抛物线，
所以，所以焦点坐标为
故选：B
5. 若数列的前n项和，，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据递推公式和首项可求出结果.
【详解】因为，，
所以，则，
，则.
故选：C
6. 如图，四棱锥的底面为平行四边形，为上一点，且，则（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】利用空间向量基本定理可得出关于、、的表达式.
【详解】因为四边形为平行四边形，则，
由题意可知，，即，
所以，，故.
故选：A.
7. 椭圆的左顶点为A，点P，Q均在C上，且关于y轴对称．若直线的斜率之积为，则C的离心率为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】设，则，根据斜率公式结合题意可得，再根据，将用表示，整理，再结合离心率公式即可得解.
【详解】[方法一]：设而不求
设，则
则由得：，
由，得，
所以，即，
所以椭圆的离心率，故选A.
[方法二]：第三定义
设右端点为B，连接PB，由椭圆的对称性知：
故，
由椭圆第三定义得：，
故
所以椭圆的离心率，故选A.
二、多选题（本题共2小题，共12分，在所给出的选项中，有多项是符合题目要求的.全部选对的得6分，两个答案对一个得3分，三个答案对一个得2分，有选错的得0分）
8. 已知双曲线，则（ ）
A. 双曲线的离心率为
B. 双曲线的虚轴长为
C. 双曲线的焦点坐标为
D. 双曲线的渐近线方程为
【答案】ACD
【解析】
【分析】根据双曲线方程求解出a，b，c，由双曲线的性质逐一判断.
【详解】双曲线，则，
双曲线的离心率，故A正确；
双曲线的虚轴长为，故B错误；
双曲线的焦点坐标为，故C正确；
双曲线的渐近线方程为，故D正确.
故选：ACD
9. 已知圆 直线，则以下几个命题正确的有 （ ）
A. 直线恒过定点
B. 圆C被轴截得的弦长为
C. 直线与圆恒相交
D. 直线被圆截得最短弦长时，直线的方程为
【答案】AC
【解析】
【分析】根据直线方程求出定点坐标即可判断选项A；求出圆和轴的交点坐标，即可判断选项B；利用定点和圆的位置关系即可判断选项C；当弦长最短时，直线与直线垂直，从而判断选项D.
【详解】选项A中，直线方程整理得，
由，解得，∴直线过定点，故A正确；
选项B中，在圆方程中令，得，解得，
∴轴上的弦长为，故B错误；
选项C中，，∴在圆内，直线与圆一定相交，故C正确；
选项D中，直线被圆截得弦最短时，直线且，
∴，则直线方程为，即，故D错误.
故选：AC.
三、填空题（本题共2小题，每小题5分，共10分.）
10. 双曲线上一点到它的一个焦点的距离为7，则点到另一个焦点的距离等于__.
【答案】15
【解析】
【分析】先利用双曲线方程求，，，设，运用双曲线的定义，求得，得到结果.
【详解】解：双曲线的，，，
设左右焦点为，，
则由双曲线的定义，得，
可设，则有或（舍去）.
故答案为：15.
11. 已知圆：与圆：，若两圆相交于A，B两点，则______
【答案】
【解析】
【分析】根据两圆相交时公共弦所在直线方程的求法和弦长公式求解.
【详解】圆的方程为，即①，
又圆：②，
②－①可得两圆公共弦所在的直线方程为
圆的圆心到直线的距离，
所以．
故答案为: .
四、解答题（本题共3小题，共43分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
12. （1）已知等比数列满足，，求数列的通项公式；
（2）已知等差数列满足，前7项和为求的通项公式.
【答案】（1）；（2）
【解析】
【分析】（1）求出公比，即可求出通项公式；
（2）根据求和公式及下标和性质求出，即可求出公差，从而得解.
【详解】（1）设等比数列的公比为，则，
解得，
.
（2）设等差数列的公差为，
由，解得，
因为，所以，所以.
13. 已知点到定点的距离与到定直线的距离之比为，
（1）求点的轨迹方程；
（2）若，求的面积.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）设，根据题意列方程，两边平方化简即可.
（2）先在焦点三角形中借助余弦定理求出，然后再利用面积公式求出面积.
【小问1详解】
设点，点到直线的距离为，依题意有，
即，而，
所以，
两边平方化简整理得，
所以点的轨迹方程为.
【小问2详解】

由（1）得，，，，
又，
所以在中，，
即，
所以.
14. 如图，在中，是边上的高，以为折痕，将折至的位置，使得.
（1）证明：平面；
（2）若，求二面角的正弦值.
【答案】（1）证明见解析
（2）
【解析】
【分析】（1）先证明出线面垂直，得到，进而证明出平面；
（2）建立空间直角坐标系，利用空间向量求解二面角余弦值，进而求出正弦值.
【小问1详解】
证明：∵是边上的高，
∴，
∵，平面，
平面，
∵平面，
,
又平面，
∴平面；
【小问2详解】
以D为坐标原点，DA所在直线为x轴，DB所在直线为y轴，垂直ADB平面为z轴，建立空间直角坐标系，
，
则，
，
设平面与平面的一个法向量分别为，
故，解得：，令，得：，
则，
，解得：，令，则，
故，
设二面角平面角为，显然为锐角，
，
.