广西大学附属中学2024-2025学年高一下学期开学考试 数学试题（含解析）

这是一份广西大学附属中学2024-2025学年高一下学期开学考试 数学试题（含解析），共15页。试卷主要包含了 已知集合，，则， 若，则下列正确的是， 已知，则是成立的， 下列函数值， 已知函数， 已知函数，则下列结论正确的是， 下列计算或化简结果正确的是等内容，欢迎下载使用。
（考试形式：闭卷考试 时间：120分钟 分值：150分）
一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 已知集合，，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据题意，利用集合交集的概念及运算，即可求解.
【详解】由集合，，
根据集合交集的概念及运算，可得.
故选：B.
2. 若，则下列正确的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】A选项，由不等式的性质可得；BCD可举出反例
【详解】A选项，由，两边同时减去c，有，故选项A正确；
B选项，，时，不成立，排除B选项；
C选项，当时，由得，排除C选项；
D选项，，时，不成立，排除D选项.
故选：A
3. 已知扇形的周长为15cm，圆心角为3rad，则此扇形的弧长为（ ）
A. 3cmB. 6cmC. 9cmD. 12cm
【答案】C
【解析】
【分析】利用扇形弧长公式进行求解.
【详解】设扇形弧长为l cm，半径为r cm，则，即且，解得：（cm），故此扇形的弧长为9cm.
故选：C
4. 已知，则是成立的（ ）
A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件
C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件
【答案】B
【解析】
【分析】根据题意，将化简，再由充分条件以及必要条件的定义，即可得到结果.
【详解】由可得，即，
由可得，即，
即，所以，
所以是成立的必要不充分条件.
故选：B
5. 下列函数值：①；②；③；④，其结果为负值的是（ ）
A. ①B. ②C. ③D. ④
【答案】C
【解析】
【分析】利用诱导公式及各象限内三角函数的正负判断即可.
【详解】对于①：，
对于②：，
对于③：，
因为，所以，即，
对于④：因为，所以.
故选：C
6. 尽管目前人类还无法准确预报地震，但科学家通过研究发现地震释放出的能量（单位：焦耳）与地震里氏震级之间的关系为．2011年3月11日，日本东北部海域发生里氏9.0级地震与2008年5月12日我国汶川发生里氏8.0级地震所释放出来的能量的比值为（ ）
A. B. 1.5C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】设日本地震所释放出的能量是，汶川地震所释放出的能量是，由已知列式结合对数的运算性质求得与的值，作比得答案．
【详解】解：设日本地震所释放出的能量是，汶川地震所释放出的能量是，
则，，
，；
．
故选：A．
【点睛】本题考查根据实际问题选择函数模型，考查对数的运算性质，是基础题．
7. 若是偶函数，且当时，，则解集是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】利用偶函数求的解析式，进而写出分段函数形式，即可求解集.
【详解】若，则，，
所以，故，
若，则或，可得.
故选：D
8. 已知函数（且），设T为函数的最小正周期，，若在区间有且只有三个零点，则的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据题意可确定为函数的最小正周期，结合求出，再根据在区间有且只有三个零点，结合余弦函数性质列出不等式，求得答案.
【详解】由题意知为函数的最小正周期，故，
由得，即，
由于，故，
在区间有且只有三个零点，故，
且由于在上使得的x的值依次为，
故，解得，即，
故选：D
二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9. 已知函数，则下列结论正确的是（ ）
A. 函数的定义域为B. 函数的值域为
C. 函数的图象关于y轴对称D. 函数在上为减函数
【答案】AB
【解析】
【分析】根据指数函数的性质，结合函数奇偶性的定义、单调性的性质逐一判断即可.
【详解】A：因为，所以函数的定义域为，故A正确；
B：，
由，
所以函数的值域为，故B正确；
C：因为，
所以函数是奇函数，其图象关于原点对称，不关于y轴对称，故C错误；
D：因为函数是增函数，因为，所以函数是减函数，
因此函数是增函数，故D错误.
故选：AB.
10. 下列计算或化简结果正确的是（ ）
A.
B. 若，则
C. 若，则
D. 若为第一象限角，则
【答案】ABD
【解析】
【分析】直接通过“切化弦”的思想即可判断AB；通过对分式齐次式化简可判断C；通过二倍角余弦公式化简可判断D.
【详解】对于A，，故A正确；
对于B，因，
所以，故B正确；
对于C，因为，
所以，故C错误；
对于D，因为为第一象限角，所以，
所以，故D正确；
故选：ABD.
11. 已知定义域为的函数满足：，的图象关于直线对称对任意的实数，，且，都有，则（ ）
A. 是偶函数B.
C. 的图象关于对称D.
【答案】ACD
【解析】
【分析】利用函数的奇偶性、对称性、单调性，结合选项分析得出结论．
【详解】对于A，由函数的图象关干直线对称，
得的图象关于直线对称，则是偶函数，故A正确；
对于B，对任意的实数，，且，，
则在区间上单调递减，在区间上单调递增，又，
所以，故B错误；
对于C，因为，所以，
则，所以是周期为的周期函数，又，
故，结合是偶函数，可得，
所以函数的图象关于点对称，故又的周期为，
所以的图象关于点称，
，故CD正确．
故选：ACD．
三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12. 若是幂函数且在单调递增，则实数_______.
【答案】2
【解析】
【分析】由幂函数可得，解得或2，检验函数单调性求解即可.
【详解】为幂函数，所以，解得或2.
当时，，在不单调递增，舍去；
当时，，在单调递增成立.
故答案为.
【点睛】本题主要考查了幂函数的定义及单调性，属于基础题.
13. 函数部分图象如图所示，则函数的解析式为__________.
【答案】
【解析】
【分析】先根据最值得出A，再根据周期得出，最后再代入点求出，求出函数的解析式即可.
【详解】由最大值为1，且得，
令函数周期为，有，解得，则，
而当时，，则有，又，则，
因此，.
故答案为：.
14. 已知是上的减函数，那么的取值范围是_______.
【答案】
【解析】
【分析】由题意可得每一段上函数为减函数，且，从而可求出的取值范围
【详解】因为是上的减函数，
所以，解得，
所以的取值范围，
故答案为：
四､解答题：本题共5小题，共77分，其中第15题13分，第16题15分，第17题15分，第18题17分，第19题17分.解答应写出必要的文字说明､证明过程或演算步骤.
15. （1）已知是正实数，且，求的最小值；
（2）函数的最小值为多少？
【答案】（1）；（2）
【解析】
【分析】（1）利用乘“1”法，结合基本不等式分析求解；
（2）利用分离常数法，结合基本不等式分析求解.
【详解】（1）因为是正实数，且，
则，
当且仅当，即时，等号成立，
所以的最小值为；
（2）因为，则，
则，
当且仅当，即时，等号成立，
所以函数的最小值为.
16. 已知函数，．
（1）若关于的不等式在实数集上恒成立，求实数的取值范围；
（2）解关于的不等式．
【答案】（1）
（2）当时，原不等式的解集为；
当时，原不等式的解集为；
当时，原不等式的解集为；
当时，原不等式的解集为；
当时，原不等式的解集为
【解析】
【分析】（1）对进行分类讨论，根据一元二次不等式的性质即可求解.
（2）化简问题得出，对分三类讨论，利用一元二次不等式的性质即可求解.
【小问1详解】
依题意，在实数集上恒成立．
①当时，，成立；
②当时，要使原不等式恒成立，
则，解得．
综上所述，实数的取值范围是．
【小问2详解】
不等式，
等价于，
即．
①当时，解原不等式可得或；
②当时，不等式整理为，解得；
③当时，方程的两根为，，
（i）当时，因为，解原不等式得；
（ii）当时，因为，原不等式的解集为；
（iii）当时，因为，解原不等式得，
综上所述，当时，原不等式的解集为；
当时，原不等式的解集为；
当时，原不等式的解集为；
当时，原不等式的解集为；
当时，原不等式的解集为
17. 近几年，直播平台作为一种新型的学习渠道，正逐渐受到越来越多人们的关注和喜爱．某平台从2020年建立开始，得到了很多网民的关注，会员人数逐年增加．已知从2020到2023年，每年年末该平台的会员人数如下表所示（注：第4年数据为截止到2023年10月底的数据）．
（1）请根据表格中的数据，从下列三个模型中选择一个恰当的模型估算该平台建立年后会员人数y（千人），求出你所选择模型的解析式，并预测2023年年末的会员人数；
①；②（且）；③（且）；
（2）为了更好的维护管理平台，该平台规定第x年的会员人数上限为千人，请根据（1）中得到的函数模型，求k的最小值．
【答案】（1）选择模型③，，84
（2）7
【解析】
【分析】（1）根据表格中的数据可选择模型③，将表格中的数据代入函数模型解析式，求出三个参数的值，即可得出函数模型解析式，再将代入函数模型解析式，即可得解；
（2）由已知可得出，令，则，令，求出函数在区间上的最大值，即可得实数k的最小值.
【小问1详解】
由数据可知，函数是一个增函数，且增长越来越快，故选择模型③，
由表格中的数据可得，，，解得，，，
故函数模型的解析式为，
当时，预测2023年年末的会员人数为千人；
【小问2详解】
由题知，对，都有，令，则，
令，则不等式右边等价于函数，
因为函数在区间上单调递增，所以，
故，即k的最小值为7．
18. 已知函数．
（1）求的最小正周期；
（2）求在上的值域，并求出取最大值时相应x的值．
【答案】（1）
（2）值域为，时，最大值
【解析】
【分析】（1）利用三角恒等变换公式以及辅助角公式化简，利用周期公式即可得周期；
（2）由的范围可得的范围，再利用正弦函数的性质即可求解.
【小问1详解】
【小问2详解】
，
，
，
，故值域为，
当时，，
，，即，，
又，
.
19. 设函数的定义域为，若存在，使得成立，则称为的一个“准不动点”.已知函数
（1）若，求的“准不动点”：
（2）若为的一个“准不动点”，且，求实数的取值范围：
（3）设函数若使得成立，求实数的取值范围.
【答案】（1）0或1；
（2）
（3）
【解析】
【分析】（1）依题意可得，利用换元法计算可得；
（2）依题意可得在上有解，参变分离可得在上有解，结合对勾函数的单调性求出的取值范围，即可得解；
（3）依题意可得，根据的单调性，求出的最值，即可得到，换元得到，参变分离，结合函数的单调性，计算可得.
【小问1详解】
当时，由可得，，
令，则，解得或，
即或，解得或，
的“准不动点”为0或1；
【小问2详解】
由得，，
即在上有解，
令，由可得，则上有解，
故，当时，在上单调递增，，则，解得，
的取值范围；
【小问3详解】
由得，，
即，则，
又由指数函数的性质可知在上单调递增，，则，
即，
令，则，从而，则，
又在上均为增函数，则，，
，即，所以实数的取值范围为.
【点睛】结论点睛：本题考查不等式的恒成立与有解问题，可按如下规则转化：
一般地，已知函数，，，.
（1）若，，有成立，则；
（2）若，，有成立，则；
（3）若，，有成立，则；
（4）若，，有成立，则的值域是的值域的子集.建立平台第x年
1
2
3
4
会员人数y（千人）
28
36
52
82