广西来宾市忻城县高级中学与柳州市普通高中2024-2025学年高一下学期2月开学检测 数学试题（含解析）

这是一份广西来宾市忻城县高级中学与柳州市普通高中2024-2025学年高一下学期2月开学检测 数学试题（含解析），共12页。试卷主要包含了已知，且，则，已知，则，下列说法正确的是，下列有关最值的结论正确的是等内容，欢迎下载使用。
注意事项：
1.答题前，考生务必将自己的姓名､考生号､考场号､座位号填写在答题卡上.
2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.
3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.
一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.已知全集为，集合，则（ ）
A. B.
C. D.
2.若，则（ ）
A. B.
C. D.
3.为了得到的图象，只需把余弦曲线上所有的点（ ）
A.纵坐标变为原来的2倍，横坐标不变
B.纵坐标变为原来的，横坐标不变
C.横坐标变为原来的2倍，纵坐标不变
D.横坐标变为原来的，纵坐标不变
4.已知函数是定义在上的奇函数，，且，则（ ）
A. B.0 C.1 D.2
5.已知，且，则（ ）
A. B.
C. D.
6.中国历代书画家喜欢在纸扇的扇面上题字绘画，某扇面为如图所示的扇环，若扇环所在圆的圆心角，则扇环的面积为（ ）
A. B. C. D.
7.已知，则（ ）
A. B. C. D.
8.已知函数，则满足的实数的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9.下列说法正确的是（ ）
A.若的定义域为，则的定义域为
B.函数与函数的图象关于直线对称
C.函数与函数是同一函数
D.函数在上的值域为
10.下列有关最值的结论正确的是（ ）
A.当时，函数的最小值为2
B.若均为正数，且，则的最小值为4
C.若均为正数，且，则的最小值为1
D.若均为正数，且，则的最小值为2
11.随着冬天的到来，越来越多的旅客从全国各地来到哈尔滨赏冰乐雪，今年冰雪大世界以“冰雪同梦，亚洲同心”为主题，一睹冰雕雪雕风采的同时还能体验各种冰上项目，如大滑梯､摩天轮等.如图所示，某地摩天轮最高点离地面的高度为，最低点离地面的高度为，设置若干个座舱，游客从离地面最近的位置进舱，开启后按逆时针方向匀速旋转，转一周的时间约为.游客甲坐上摩天轮的座舱，开始转动后距离地面高度为与的关系可以用如下解析式体现：，则下列说法正确的是（ ）
A.摩天轮的轮盘直径为
B.关于的函数解析式为
C.关于的函数解析式为
D.游客乘坐摩天轮一周的过程中，有离地面高度超过
三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12.计算：__________.
13.若函数的最小正周期为，则__________.
14.已知函数是上的增函数，则的取值范围为__________.
四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文宇说明､证明过程或演算步骤.
15.（13分）
已知集合.
（1）当时，求；
（2）若，求实数的取值范围.
16.（15分）
已知.
（1）化简，并求的值；
（2）若，求的值.
17.（15分）
已知函数.
（1）求函数的最小正周期和单调递增区间.
（2）将函数的图像先向左平移个单位长度，再将所有点的横坐标伸长为原来的2倍，纵坐标不变，得到函数的图象.当时，求函数的值域.
18.（17分）
已知函数.
（1）求的值；
（2）判断并证明函数的奇偶性；
（3）设关于的方程有两个不同的实根，求的取值范围.
19.（17分）
一般地，设函数的定义域为，若对任意，都有，则函数的图象关于点成中心对称图形.已知函数.
（1）计算的值，并求的对称中心.
（2）若函数的定义域为，求实数的取值范围.
（3）若，将区间分成等分，记等分点的横坐标分别为，问：是否存在正整数，使得不等式对任意恒成立？若存在，求出所有的值；若不存在，说明理由.
广西2025年春季高一年级开学检测
数学卷参考答案
1.C 【详解】对于A，显然集合并不是集合的子集，A错误.对于B，同样集合并不是集合的子集，B错误.对于C，，C正确.对于D，由，则，D错误.故选C.
2.C 【详解】，又指数函数在上单调递增，所以，所以.故选C.
3.D 【详解】为了得到函数的图象，只需把余弦曲线上所有点的横坐标变为原来的，纵坐标不变.故选D.
4.A 【详解】因为函数是定义在上的奇函数，所以，所以，又，所以函数是周期为5的周期函数，则.故选A.
5.B 【详解】对于A，由，得，故A错误；对于B，C，由得，又，
，故B正确，C错误；对于D，，故D错误.故选B.
6.A 【详解】设扇环所在圆的圆心为，圆心角，根据，得到
，所以扇环面积，故选A.
7.D 【详解】已知，则，所以，联立解得则，
，故选D.
8.D 【详解】令，则，且定义域为，所以为奇函数，因为函数在上均为增函数，所以函数在上为增函数，
因为，所以原不等式可转化为，即，由单调性可得，解得，所以实数的取值范围是.故选D.
9.AC 【详解】对于A，因为的定义域为，所以，解得，故的定义域为，故A正确.对于B，函数与函数的图象关于直线对称，故B错误.对于C，函数与函数是同一函数，故C正确.对于D，在上单调递减，在上单调递增，故，故值域为，故D错误.故选AC.
10.BCD 【详解】对于A，当时，则，当且仅当，即时，等号成立，故当时，函数的最大值为错误.对于B，因为均为正数，且，所以，当且仅当即时，等号成立，则的最小值为4，故B正确.对于C，若均为正数，且，由基本不等式可得，可得，即，可得，当且仅当时，等号成立，则的最小值为1，故C正确.对于D，若均为正数，且2，则，可得，当且仅当即时，等号成立，故的最小值为2，故D正确.故选BCD.
11.ABD 【详解】对于A，因为摩天轮最高点离地面的高度为130m，最低点离地面的高度为10m，所以摩天轮的轮盘直径为，故A正确；对于B，C，因为，则，
令，则，由解得所以，故B正确，C错误；对于D，，当离地面的高度超过40m时，即，则，即，解得，
又因为，所以，所以游客有16min时间离地面的高度超过40m，故D正确.故选ABD.
12. 【详解】.
13. 【详解】因为，所以，所以.
14. 【详解】当时，是增函数，所以，即.当时，也是增函数，故.当时，代入得，代入得，所以要使函数在上是增函数，则解得，即的取值范围为（.
15.【详解】（1）当时，，
又或，
所以.
（2）因为或，且，所以
解得，
故实数的取值范围为.
16.【详解】（1），.
（2）由（1）知，
又，
，
.
17.【详解】（1）
，
所以函数的最小正周期为.
令，
解得，
所以函数的单调递增区间为.
（2）将函数的图象先向左平移个单位长度，得到，
再将所有点的横坐标伸长为原来的2倍，纵坐标不变，得到函数的图象.
令，因为，所以，则.
所以当，即，即时，.
当，即，即时，.
故当时，函数的值域为.
18.【详解】（1）
（2）函数是奇函数.
证明：因为的定义域为，
所以任取，则，
所以，
所以函数是奇函数.
（3）由（2）知是奇函数，所以
又因为在上单调递增，在上单调递减，
所以在上单调递增，
所以方程在上有两个不同的实根，
即在上有两个不同的解.
令，则在上有两个不同的正解，
即直线与函数的图象有两个不同的交点，
如图所示，可得，
所以实数的取值范围为.
19.【详解】（1）因为，所以，
所以的对称中心为点.
（2）因为的定义域为，
所以的解集为全体实数.
若，则，解集为，不符合题意；
若，则解得.
综上所述，实数的取值范围为.
（3）当时，，则
，
当且仅当，即时，等号成立，
所以的最小值为2.
因为的图象关于点对称，且区间关于对称，
所以
所以，
所以，解得，
所以存在正整数符合题意.1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
C
C
D
A
B
A
D
D
AC
BCD
ABD