广西南宁市银海三雅学校2024-2025学年高二下学期开学考试 数学试题（含解析）

这是一份广西南宁市银海三雅学校2024-2025学年高二下学期开学考试 数学试题（含解析），共15页。试卷主要包含了 在三棱锥中，，，，且，，则， 设双曲线C， 对于直线等内容，欢迎下载使用。
注意事项：
1.答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上.
2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答题标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求.
1. 直线的倾斜角为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】首先得到直线的斜率，即可得到倾斜角.
【详解】直线的斜率为，则倾斜角为.
故选：D.
2. 已知等差数列中，，则等于
A. 15B. 22C. 7D. 29
【答案】A
【解析】
【详解】由题意可得： ，解得： ，
则： .
本题选择A选项.
3. 以两点和为直径端点的圆的方程是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据题意求得圆的圆心坐标和半径，结合圆的标准方程，即可求解.
【详解】由两点和的中点坐标为，
又由，
可得以两点和为直径端点的圆的圆心为，且半径为，
所以圆的方程为.
故选：A.
4. 与椭圆有相同离心率的椭圆方程是
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】由椭圆与已知椭圆的长轴长和短轴长分别相等知两椭圆的离心率相同.
【详解】椭圆与已知椭圆的长轴长和短轴长分别相等，因此两椭圆的形状､大小完全一样，只是焦点所在坐标轴不同，故两个椭圆的离心率相同，均为.
经检验，其他选项不满足题意.
故选：A
【点睛】本题考查椭圆的离心率，属于基础题.
5. 已知等比数列满足，，则其前6项的和为
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据等比数列通项公式求得等比数列的首项和公比，再利用求和公式，即可求解．
【详解】由题意，等比数列满足，，
则，所以，所以，所以．选B．
【点睛】本题主要考查了等比数列的通项公式，以及前n项和公式的应用，其中解答中熟记等比数列的通项公式和前n项和公式，准确计算是解答的关键，着重考查了运算与求解能力，属于基础题．
6. 在三棱锥中，，，，且，，则（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】结合图形应用向量的加减法运算化简求解.
【详解】如图所示，连接，
因为，，则，，
所以
.
故选：D.
7. 已知定点，点A在圆上运动，则线段的中点的轨迹方程是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据中点关系，即可将代入圆的方程求解.
【详解】设，则，由于在上运动，
故，化简得，
故选：D.
8. 设双曲线C：（，）的左、右焦点分别为，，过坐标原点的直线与C交于A，B两点，且，，则C的离心率为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据双曲线的定义结合余弦定理可求离心率.
【详解】
由双曲线的对称性可得四边形为平行四边形，且，
因为，故，故在左支上，
故即，故，
而，故，故，
所以，所以，
所以，即离心率为，
故选：D.
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每个小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对得6分，选对但不全的得部分分，有错选的得0分.
9. 对于直线：，下列说法错误的是（ ）
A. 直线恒过定点
B. 直线斜率必定存在
C. 时直线与两坐标轴围成的三角形面积为
D. 时直线的倾斜角为
【答案】BD
【解析】
【分析】求出过的定点判断A；根据m的取值情况判断B；当时，求出直线的横纵截距计算判断C；当时，求出直线的斜率判断D作答.
【详解】对于A，直线：恒过定点，A正确；
对于B，当时，直线：垂直于x轴，倾斜角，斜率不存在，B错误；
对于C，当时，直线：与x轴、y轴分别交于点，
此时直线与两坐标轴围成的三角形面积为，C正确；
对于D，当时，直线：的斜率，因此倾斜角为，D错误.
故选：BD
10. 已知数列满足对成立，的前项和为的前项和为，则下列说法正确的是（ ）
A. 为等比数列
B. 为等差数列
C.
D. 若，则为等比数列
【答案】BCD
【解析】
【分析】由得数列为等比数列，并求出其通项公式和前项和公式，由等比的定义即可判断A选项和D选项，写出的通项公式有等差数列的定义即可判断B选项，由利用分组求和与等比数列的求和公式即可得到C选项.
【详解】∵，∴数列为等比数列，∴，
则，而不是常数，故不为等比数列，A选项错误；
，是常数，所以为等差数列，B选项正确；
，C选项正确；
，，所以为等比数列，D选项正确.
故选：BCD
11. 如图所示，在棱长为2的正方体中，E、F分别为棱和的中点，以D为原点，所在直线为x、y、z轴建立空间直角坐标系，则下列结论正确的是（ ）
A.
B. 是平面的一个法向量
C. 直线CF与平面夹角的正弦值为
D. 点C到平面的距离为
【答案】BCD
【解析】
【分析】对于A，由空间向量判断异面直线垂直即可；对于B，由平面法向量求解即可；对于C，运用向量夹角余弦值公式计算即可；对于D，由点到平面的距离公式计算即可.
【详解】对于A，，
故，，
故与不垂直，进而可得与不垂直，故A错误；
对于B，由，所以，
设平面的法向量为，则，
令，则，所以平面的一个法向量，故B正确；
对于C， ，则，则直线CF与平面夹角的正弦值为.故C正确.
对于D，，点到平面的距离为，故D正确.
故选：BCD．
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12. 过抛物线y2＝4x的焦点作直线交抛物线于A(x1，y1)，B(x2，y2)两点，如果x1＋x2＝6，则|AB|＝________．
【答案】8
【解析】
【分析】先确定抛物线中，焦点F(1，0)，再利用定义计算，即得结果.
【详解】抛物线y2＝4x中，，焦点F(1，0)，而直线AB过焦点F(1，0)，
故根据抛物线定义可知.
故答案为：8.
13. 设是等比数列的前项和，，则__________．
【答案】
【解析】
【分析】先设出公比，再对公比进行分类讨论，利用等比数列的性质求出首项和公比，最后结合公式法求和即可.
【详解】设公比为，当时，，
此时，与题意不符，故排除，
当时，因为，所以，
因为，所以，
故，化简得，解得，
代入得，解得，
由等比数列求和公式得.
故答案为：
14. 阿波罗尼斯（约公元前262—190年）证明过这样一个命题：平面内到两定点距离之比为常数的点的轨迹是圆，后人将这个圆称为阿氏圆.已知在中，，则的面积最大值为__________.
【答案】
【解析】
【分析】构建如下图示的直角坐标系，令，应用两点距离公式求的轨迹，数形结合确定三角形面积最大值.
【详解】由题设，构建如下图示的直角坐标系，令，
由，则，
所以，故在以为圆心，为半径的圆上，
所以的面积最大值为.
故答案为：
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15. 已知圆C过点，，且圆心在上，
（1）求圆C的方程；
（2）已知平面内两点，，P为圆C上的动点，求的最小值.
【答案】（1）
（2）130
【解析】
【分析】（1）由圆心在弦的中垂线上，联立方程组即可求得；
（2）设，用距离公式表示，转化为圆外一点与圆上一点的距离的最值问题即可求解.
【小问1详解】
，，由中点坐标公式得MN中点坐标为，
，
的中垂线方程为：，即，
，
，，
圆的方程为
【小问2详解】
设，
，
即点P到原点O的距离的平方，
，
，
16. 设数列满足，．
（1）求数列的通项公式；
（2）令，求数列的前项和．
【答案】
【解析】
【详解】试题分析： （1）结合数列递推公式形式可知采用累和法求数列的通项公式，求解时需结合等比数列求和公式；（2）由得数列的通项公式为，求和时采用错位相减法，在的展开式中两边同乘以4后，两式相减可得到
试题解析：（1） 由已知，当时，
==，．
而，所以数列的通项公式为．
（2） 由知 …① ……7分
从而 ……②
① ②得，
即．
考点：1．累和法求数列通项公式；2．错位相减法求和
17. 如图所示，在直四棱柱中，，，，，.

（1）证明：；
（2）求直线与平面所成角的正弦值.
【答案】（1）证明见解析
（2）
【解析】
【分析】（1）根据条件建立空间直角坐标系,得两直线方向向量,利用向量数量积运算证明即可；
（2）建立方程组得平面法向量,再根据线面角的向量求法,结合空间向量数量积运算可得结果.
【小问1详解】
因为在直四棱柱中，面，
又面，所以，
又因为，所以，即两两垂直，
故以方向分别为轴、轴、轴的正方向建立空间直角坐标系，如图，
则，
，
，.
【小问2详解】
因，，
设平面的法向量为，则由得，
令，则，故，
设直线与平面所成角为，
因为，所以，
故直线与平面所成角的正弦值为.
18. 已知椭圆的两焦点为，，点为椭圆上一点，且
（1）求此椭圆的方程
（2）若点满足，求的面积．
【答案】（1）；
（2）
【解析】
【分析】设椭圆的方程为,由焦点坐标求出，根据，求出，从而可求，即可得出椭圆方程；
在焦点三角形中，运用余弦定理结合椭圆的定义，求出，再利用三角形的面积公式，可求的面积．
【小问1详解】
由题意，设椭圆的方程为，
∵焦点为，，
∴，
又，
所以，，
，．
所求椭圆的方程为．
【小问2详解】
在中，由余弦定理得
即，
∴，
∴，
所以.
19. 17世纪80年代，天文学家卡西尼在研究土星及其卫星的运行规律时发现：同一平面内到两个定点的距离之积为常数的点的轨迹是卵形线，我们称之为卡西尼卵形线.在平面直角坐标系xOy中，O为坐标原点，已知两定点，，动点满足，动点P的轨迹为曲线E，直线与曲线E相交于A，B两点，线段AB的中点为M，直线OM的斜率为
（1）求曲线E的方程;
（2）求的取值范围;
（3）求证：
【答案】（1）；
（2）；
（3）证明见解析
【解析】
【分析】（1）利用两点间的距离公式列方程并化简即可求出P的轨迹方程；
（2）利用两点间的距离公式，消元转化，再结合曲线的性质特征求解即可；
（3）利用点差法、斜率公式和中点公式，再结合曲线的性质特征求解即可；
【小问1详解】
由题意，
整理可得，
曲线E的方程为；
【小问2详解】
，
由曲线E的方程可知，
，即，
解得，，
，
取值范围为；
【小问3详解】
设，，，
由题意可知，
则，
，
由题意可知，
，
由题意，，
，
由可知，，
则，，
，
，
【点睛】方法点睛：涉及中点弦问题，利用点差法列式求解.