江西省分宜中学2024-2025学年高一下学期开学考试 数学试题（含解析）

这是一份江西省分宜中学2024-2025学年高一下学期开学考试 数学试题（含解析），共15页。
1．本试卷分选择题和非选择题两部分.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题纸上.
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题纸上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.写在本试卷上无效.回答非选择题时，将答案写在答题纸上.写在本试卷上无效.
3．考试结束后，将本试卷与答题卡一并由监考人员收回.
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求.
1. 已知集合，，，，则中所有元素和为：（ ）.
A. 2B. 3C. 4D. 5
【答案】C
【解析】
【分析】先求出集合A,再得出集合M，计算即可求值.
【详解】，所以，
，则中所有元素和为4.
故选：C.
2. 已知为定义在上的奇函数，当时，，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】先计算出的值，然后根据奇偶性可得，则结果可知.
【详解】由题意可知，
因为为定义在上的奇函数，所以，
故选：B.
3. 已知，，，则的最小值为（ ）
A. 2B. C. D. 4
【答案】D
【解析】
【分析】由已知可得，利用，结合基本不等式可求最小值.
【详解】因为，所以，所以，所以，
所以，
当且仅当，即时等号成立，
所以的最小值为.
故选：D.
4. 已知函数在上单调递减，则的取值范围为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】由函数在上单调递减，列出相应的不等式组，即可求解.
【详解】当时，，
因为和都是减函数，所以在上单调递减，
当时，，要使其在上单调递减，则，
所以，解得，故D正确.
故选：D.
5. 定义：表示a、b中的较小者.若函数在区间上的取值范围为，则的最大值为（ ）
A. 1B. 2C. 3D. 4
【答案】B
【解析】
【分析】先作出的图象，然后分析时的取值，根据值域结合图象确定出的最大值.
【详解】在平面直角坐标系中作出的图象如图所示，
令，解得或，所以，
令，解得，所以，
由题可知，当在区间上的取值范围为时，
当且仅当时取得最大值，且最大值为，
故选：B.
6. 若关于的不等式在区间上有解，则的取值范围是（ ）
A B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据条件得到，再利用在区间上的单调性，即可求解.
【详解】当时，由可得，
又关于的不等式在区间上有解，则，
令，易知在区间上单调递减，在区间上单调递增，
又时，，时，，所以，
故选：D.
7. 《荀子·劝学》中：“不积跬步，无以至千里；不积小流，无以成江海”．在“进步率”和“退步率”都是的前提下，我们把看作是经过365天的“进步值”，把看作是经过365天的“退步值”.则经过200天时，“进步值”大约是“退步值”的（ ）（参考数据：，，）
A. 22倍B. 55倍C. 217倍D. 407倍
【答案】B
【解析】
【分析】根据给定条件，求出经过200天的“进步值”和“退步值”，再结合对数与指数运算求解作答
【详解】依题意，经过200天的“进步值”为，“退步值”为，
则“进步值”与“退步值”的比，
两边取对数得，
因此，所以“进步值”大约是“退步值”55倍.
故选：B
8. 已知函数恰有个零点，则的取值范围为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】函数恰有个零点，等价于与的图像有四个交点，根据奇偶性以及单调性和最值，作出的草图，即可求得结果.
【详解】对于函数，显然为偶函数，
不妨令，则，
且当时，，
当时，，
且函数在上是递增的，
所以可作草图如下，

因为恰有个零点，
所以方程有四个不同的解，
即与的图像有四个交点，
所以或.
故选：B
二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9. 下列结论中正确的是（ ）
A. 若幂函数的图象经过点，则
B. 若函数定义域为，则函数的定义域为
C. 若，则，
D. 若幂函数，则对任意，都有
【答案】CD
【解析】
【分析】根据幂函数的定义及性质判断A；由抽象函数的定义域求法判断B；应用换元法求函数解析式判断C；利用分析法证明D.
【详解】A：设，则，即，所以，解得，所以，错误；
B：因为函数的定义域为，对于函数，则，解得，即函数的定义域为，错误；
C：若，令，可得，
所以，，其中，
所以，，，正确；
D：对任意，要证明不等式，
只需证明，即，
故只需证明，此不等式显然成立，正确.
故选：CD.
10. 已知函数及其导函数的定义域均为，且的图象关于点对称，则（ ）
A. B. 为偶函数
C. 的图象关于点对称D.
【答案】AB
【解析】
【分析】根据求导即可求解A，根据奇偶性的定义即可求解B，利用假设法得矛盾求解C，根据对称性可得，进而可得，从而可得求解D.
【详解】由，可得，则，
令，得，A正确．
令，则，故为偶函数，B正确．
假设的图象关于点对称，则，则，即关于直线对称，又不是常函数，这与的图象关于点对称矛盾，假设不成立，C不正确．
因为的图象关于点对称，所以，令，则，
则（C为常数），则，
从而，即，
由，得，D错误．
故选：AB．
【点睛】关键点点睛：根据对称得，进而可得，求导可得，从而得.
11. 甲、乙两人分别从云台山、青天河、神农山、月山寺这四个景点中随机选择一个景点去旅游，已知甲、乙两人选择哪个景点相互独立，则下列说法正确的是（ ）
A. 甲去云台山的概率为
B. 甲、乙两人都去云台山的概率为
C. 甲、乙两人中恰有一人去云台山的概率为
D. 甲、乙两人中至少有一人去云台山的概率为
【答案】AC
【解析】
【分析】将甲、乙两人去云台山、青天河、神农山、月山寺旅游分别记为，，，，写出样本空间，计数后计算概率判断各选项．
【详解】将甲、乙两人去云台山、青天河、神农山、月山寺旅游分别记为，，，，
依题意可知样本空间为：
，
共含有个样本点.
甲去云台山的情况为，
样本点有个，概率为，故A正确；
甲、乙两人都去云台山的情况为，
样本点有个，概率为，故B错误；
甲、乙两人中恰有一人去云台山的情况为，
样本点有个，概率为，故C正确；
甲、乙两人中至少有一人去云台山的情况为，
样本点有个，概率为，故D错误.
故选：AC．
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12. 已知函数在区间上有最大值5和最小值2，则______．
【答案】
【解析】
【分析】根据二次函数的性质，得到在上为单调递增函数，结合题意，列出方程组，求得的值，即可求解.
【详解】由函数，可得的对称轴为，
所以函数在上为单调递增函数，
故当时，该函数取得最大值，即，即，
当时，该函数取得最小值，即，即，
联立方程得，解得，所以．
故答案为：.
13. 已知函数，则______．
【答案】4
【解析】
【分析】根据分段函数代入求值即可.
【详解】由解析式可得，则．
故答案为：4
14. 如图所示的电路中，每个元件接通的概率均为，则电路接通的概率为________.
【答案】
【解析】
【分析】借助相互独立事件的概率公式求解即可得.
【详解】电路接通的概率为：.
故答案为：.
四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15. 已知函数，记集合为的定义域．
（1）求集合；
（2）判断函数的奇偶性；
（3）当时，求函数的值域．
【答案】（1）
（2）奇函数 （3）
【解析】
【分析】（1）由真数大于零求解其定义域即可；
（2）由函数的奇偶性判断即可；
（3）令，利用单调性求复合函数的值域即可.
【小问1详解】
由真数大于0可知，，.
【小问2详解】
可知定义域关于原点对称，
，
故为奇函数．
【小问3详解】
令，对称轴，在上，，
又在上递减，
故的值域是：．
16. 设二次函数.
（1）若对任意实数，恒成立，求实数取值范围；
（2）若存在，使得函数值成立，求实数的取值范围.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）由恒成立可知在上恒成立，即可得；
（2）依题意可知需满足成立即可，由基本不等式计算可得.
【小问1详解】
对任意实数，恒成立，
即，恒成立，
即可得，所以
【小问2详解】
存在，使得成立，即，
只需成立，即需成立，
因为，所以（当且仅当时等号成立），
则，所以，
综上得实数的取值范围是.
17. 甲，乙，丙三人计划参加某项800米跑步比赛，规定比赛成绩不超过为优秀．为了预测三人中比赛成绩优秀的人数，收集了这三人近8次的比赛成绩，并整理得到如下数据：
用频率估计概率，且甲，乙，丙三人的比赛成绩相互独立．
（1）分别求甲，乙，丙三人比赛成绩优秀的概率；
（2）记为甲，乙，丙三人中比赛成绩优秀的总人数，求的分布列和数学期望．
【答案】（1）甲，乙，丙三人比赛成绩优秀的概率分别为，，
（2）分布列见解析，
【解析】
【分析】（1）直接利用古典概型进行求概率即可；
（2）根据相互独立求出，，，，列出分布列，利用分布列求出数学期望即可．
【小问1详解】
由题意可知，甲，乙，丙三人比赛成绩优秀的概率分别为：
，，，
故甲，乙，丙三人比赛成绩优秀的概率分别为，，；
【小问2详解】
由题意可知，随机变量的可能取值为，，，；
，
，
，
，
故的分布列如下：
故数学期望为：．
18. 已知函数是定义在上的奇函数，且.
（1）求函数的解析式；
（2）若，求实数的取值范围.
【答案】（1），.
（2）或.
【解析】
【分析】（1）由和求得，再验证即可求解；
（2）分析在R上单调性，再利用的奇偶性与单调性转化求解不等式，从而得解.
【小问1详解】
，①，
因为是定义在上的奇函数，
所以，②，
由①②得，，
，又，
所以是奇函数，
故的解析式为，.
【小问2详解】
由（1）得，，，
设，且，
，
因为，，，所以，即，
所以是上的单调递增函数，
则由，得，
则，即，
所以或.
19. 已知定义域为的函数满足，，且当时，．
（1）求的值；
（2）用单调性定义证明：在定义域上是增函数；
（3）若，求不等式的解集，若不存在，请说明理由
【答案】（1）
（2）证明见解析 （3）存在，解集为
【解析】
【分析】（1）令，即可求解；
（2）由，且，得到，再由当时，，即可求证；
（3）由，得到，再结合性质可得，结合定义域和单调性求解即可.
【小问1详解】
因为，，
令，可得，所以．
【小问2详解】
对，且，
则，
因为，，则，
又因为，可得，
且当时，，则，即，
所以在定义域上是增函数．
【小问3详解】
因为函数的定义域为，则，解得．
由，得等价于，
且，可得，
由（2）可知：在定义域上是增函数．
可得，解得，或（舍去），故，
故不等式的解集为．
甲
乙
丙
0
1
2
3