江西省上犹中学2024-2025学年高二下学期开学考试 数学试题（历史方向）（含解析）

这是一份江西省上犹中学2024-2025学年高二下学期开学考试 数学试题（历史方向）（含解析），共18页。试卷主要包含了单项选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1. 设，直线：，：，若，则m的值为（ ）
A. B. C. D. 或
【答案】D
【解析】
【分析】利用平行关系可得，从而求出的值.
【详解】若，则，解得或，
故选：D.
2. 抛物线的准线方程为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】将方程化为标准式，即可求出其准线方程.
【详解】抛物线可化为，
故抛物线的准线方程为.
故选：D.
3. 已知空间三点，，，在直线上有一点满足，则点的坐标为( )
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据空间向量的坐标表示与线性运算得到的坐标，利用垂直的向量满足数量积为0进行运算，求解即可．
【详解】由O（0，0，0），A（﹣1，1，0），B（0，1，1），
∴（﹣1，1，0），
且点H在直线OA上，可设H（﹣λ，λ，0），
则（﹣λ，λ﹣1，﹣1），
又BH⊥OA，
∴•0，
即（﹣λ，λ﹣1，﹣1）•（﹣1，1，0）＝0，
即λ+λ﹣1＝0，
解得λ，
∴点H（，，0）．
故选B．
【点睛】本题考查了空间向量的坐标表示与运算问题，注意共线向量的坐标表示，是基础题．
4. 2024年4月22日至23日，习近平总书记在重庆市考察调研，某街道办派甲、乙等6名志愿者到三个路口做引导员，每位志愿者去一个路口，每个路口两位引导员，若甲和乙不能去同一个路口，则不同的安排方案总数为（ ）
A. 108种B. 54种C. 36种D. 72种
【答案】D
【解析】
【分析】利用间接法，先将志愿者安排出去，再排除甲和乙去同一路口的情况，结合组合数运算求解.
【详解】将志愿者安排出去，不同的安排方案总数为种，
甲和乙去同一路口，不同的安排方案总数为种，
所以甲和乙不能去同一个路口，则不同的安排方案总数为种.
故选：D.
5. 如图，在平行六面体中，以顶点A为端点的三条棱长均为6，且它们彼此的夹角都是，在下列结论中错误的是（ ）
A. B.
C. D. 向量与的夹角是
【答案】D
【解析】
【分析】根据平行六面体的向量运算、向量的模、向量的夹角，数量积等概念和公式.通过向量运算法则分别对每个选项进行分析判断.
【详解】对于A，在平行六面体中，根据向量加法的三角形法则，，
由于，，所以，选项A正确.
对于B，已知以顶点为端点的三条棱长均为，且它们彼此的夹角都是.
，则
.所以，选项B正确.
对于C，，
，
因为，所以，选项C正确.
对于D，，设向量与的夹角为
，
，
所以，选项D错误.
故选：D.
6. 已知复数z满足，则的最大值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】设，由可得，，故的最大值为点到圆上的点的最大距离，继而即可求解.
【详解】设，由，可得，
所以，
故的最大值为点到圆上的点的最大距离，
即.

故选：.
7. 下列说法正确的个数是（ ）．
①从10名男生，5名女生中选取4人，则其中至少有一名女生的概率为
②若随机变量，则方差
③若随机变量，，则
④已如随机变量X的分布列为，则
A. 1B. 2C. 3D. 4
【答案】C
【解析】
【分析】根据对立事件的概率可判断①；根据二项分布的方差以及方差的性质即可判断②，根据正态分布的对称性可判断③，根据随机变量的分布列即可判④.
【详解】设至少有一名女生为事件 ，则，则，①错误；
因为随机变量，所以，，②正确；
根据正态分布的性质，，所以，，③正确；
，得，
可得，解得，所以，④正确；
综上，正确命题的个数为3.
故选：C.
8. 已知抛物线的焦点F是双曲线的右焦点，抛物线的准线与双曲线的渐近线交于A，B两点.若是等边三角形，则双曲线的方程为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】求出抛物线的焦点、准线方程，由已知求出点的坐标，进而求出即可求解得答案.
【详解】依题意，抛物线的焦点，准线方程为，
即直线，不妨令点在第二象限，
由是等边三角形，得直线的方程为，
于是点，
显然点在双曲线的渐近线上，则，
又，解得，，
所以双曲线的方程为.
故选：C
二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9. 已知椭圆的两个焦点分别为，，P是C上任意一点，则（ ）
A. 长轴长为6B. 两个焦点的坐标分别为，
C. 的最大值是5D. 的周长为12
【答案】AC
【解析】
【分析】先把椭圆C方程化为，然后结合椭圆定义和性质等一一判断即可.
【详解】椭圆化为，
于是，，所以长轴长为，A正确；
由方程可知，椭圆C的两个焦点在y轴上，
又，所以两个焦点的坐标分别为，，B错误;
由椭圆的性质知的最大值为，C正确;
根据椭圆的定义知的周长，D错误.
故选：AC.
10. 甲罐中有5个红球，2个白球和3个黑球，乙罐中有4个红球，3个白球和3个黑球（球除颜色外，大小质地均相同）．先从甲罐中随机取出一球放入乙罐，分别以，和表示由甲罐中取出的球是红球，白球和黑球的事件；再从乙罐中随机取出一球，以B表示由乙罐中取出的球是红球的事件．下列结论正确的是（ ）
A. 事件与相互独立；B. ；
C. ；D. ，，是两两互斥事件
【答案】BCD
【解析】
【分析】求出各事件的概率，即可得出结论.
【详解】由题意，
，和表示由甲罐中取出的球是红球，白球和黑球的事件；再从乙罐中随机取出一球，以B表示由乙罐中取出的球是红球的事件．
显然，，，是两两互斥的事件，D正确
且，，
而，A错误，
，，
所以，B正确；
，C正确；
故选：BCD.
11. 如图，在四棱锥中，底面是边长为2的正方形，平面，则（ ）

A. B.
C. 平面D. 异面直线与夹角的余弦值为
【答案】ACD
【解析】
【分析】建立空间直角坐标系，根据向量的线性运算判断A，由向量模的坐标表示判断B，根据数量积为0证明垂直判断C，由异面直线所成角的向量求法判断D.
【详解】因为平面平面，所以，
在正方形中，有，所以两两互相垂直，所以以为坐标原点，所在直线分别为轴建立如图所示的空间直角坐标系，

而，从而，，，
对于A，，故A正确；
对于B，，故B错误；
对于C，，平面的一个法向量为，故C正确；
对于D，，所以异面直线与夹角的余弦值为，故D正确．
故选：ACD．
三、填空题：本题共3个小题，每小题5分，共15分.
12. 某中学2400名学生参加一分钟跳绳测试.经统计，成绩近似服从正态分布，已知成绩小于76的有300人，则可估计该校一分钟跳绳成绩在108~140之间的人数约为________.
【答案】900
【解析】
【分析】利用正态曲线的对称性可求得答案.
【详解】由题意可知，,
因为成绩服从正态分布，
所以
所以跳绳成绩在108~140之间的人数约为.
故答案为：900.
13. 直三棱柱中，是中点，则与CD所成角的余弦值为______.
【答案】##
【解析】
【分析】建立空间直角坐标系，利用向量法求线线角.
【详解】设，
以为坐标原点，所在直线分别为轴，建立空间直角坐标系,
则，
.
，
，.
设直线与CD所成角为，
则.
故与CD所成角的余弦值为.
故答案为：.
14. 已知双曲线的一条渐近线与双曲线的一条渐近线关于直线对称，且这两条渐近线的夹角为30°，则双曲线与的离心率之积为______.
【答案】##
【解析】
【分析】根据条件可得渐近线的倾斜角，进而计算渐近线的斜率，根据离心率与渐近线斜率之间的关系可得结果.
【详解】
不妨设双曲线的一条渐近线方程为，且在第一象限内在直线下方，
双曲线的一条渐近线方程为，且在第一象限内在直线上方，
因为这两条渐近线关于直线对称，夹角为，直线的倾斜角为，
所以渐近线的倾斜角为，渐近线的倾斜角为，
所以，
故双曲线的离心率为，
双曲线的离心率为，
故与的离心率之积为.
故答案为：.
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.
15. 已知圆经过两点，且圆心在直线上.
（1）求圆的标准方程；
（2）过点直线与圆相交于两点，且为直角三角形，求的方程.
【答案】（1）
（2）或.
【解析】
【分析】（1）由待定系数法即可求解；
（2）根据题意可得圆心到直线的距离，结合点到直线的距离公式即可求解.
【小问1详解】
∵圆心在直线上，
∴设圆的标准方程为，
∵圆经过两点，
∴，解得，，
∴圆的标准方程为.
【小问2详解】
∵为直角三角形，,
∴圆心到直线距离.
当直线斜率不存在时，直线的方程为，
则圆心到直线的距离，不符合题意；
所以直线的斜率存在，设直线的方程为，即，
∵圆心到直线的距离，
∴，解得，
∴直线的方程为或.
16. 已知.
（1）求n的值；
（2）求的值；
（3）求的值（结果用数字表示）.
【答案】（1）
（2）
（3）
【解析】
【分析】（1）根据题目条件，令，化简可得的值.
（2）根据题目条件，令，化简可得结果.
（3）结合二项式展开式通项公式可得，结合组合数性质求值可得结果.
【小问1详解】
在中，
令，得，所以.
【小问2详解】
在中，
令，得，
所以.
【小问3详解】
∵的展开式的通项公式为，
∴.
17. 如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是矩形，M是PA的中点，N是BC的中点，PD⊥平面ABCD，且，．
（1）求证：平面PCD；
（2）求AP与平面CMB所成角的正弦值；
（3）求二面角的余弦值．
【答案】（1）证明见解析
（2）
（3）
【解析】
【分析】（1）取中点为，分别连接，利用中位线性质得，再根据线面平行的判定即可.
（2）以为原点，分别以所在直线为轴，轴，轴建立空间直角坐标系，求平面的法向量，用向量的方法求直线与平面所成角的正弦值；
（3）求平面的法向量，用向量的方法求二面角的余弦值．
【小问1详解】
取中点为，分别连接，
又因为是PA的中点，N是BC的中点，所以，
，所以，，所以四边形为平行四边形，
所以，又因为平面，平面，
所以平面PCD.
【小问2详解】
以为原点，分别以所在直线为轴，轴，轴建立空间直角坐标系，如图所示
则，
，
设平面的法向量，则
，即，令，则，.
设直线与平面所成的角为，则
.
所以与平面所成角的正弦值为.
【小问3详解】
.
设平面的法向量，则
，即，
令，则..
又平面的法向量.
设二面角的大小为，则为锐角，
，
所以二面角的余弦值为．
18. 巴黎奥运会于2024年7月26日至8月11日举行．某体育局为普及奥运知识，组织了答题活动．设置一个抽题箱，箱中有若干装有题目的小球，小球大小、颜色、质量都一样．每个小球内只有一道题目，每道题目只有一个分值，题目分值分别为2分、10分．抽取规则：每次从抽题箱抽取一个小球，对小球中题目作答后将该题目放回原球内，并把小球放回抽题箱，摇匀后，再抽取．已知2分题目小球被抽到的概率为，10分题目小球被抽到的概率为．
（1）若甲抽取3次，记表示甲3次抽取题目分值之和，求的分布列和数学期望．
（2）若甲、乙各抽取4次，已知甲前两次抽出题目分值之和为20，记事件“乙抽出题目分值之和大于甲抽出题目分值之和”，求．
【答案】（1）分布列见解析，12
（2）
【解析】
【分析】（1）根据题意列出的所有可能取值，利用独立重复试验的概率计算公式求解即可；
（2）根据条件概率，全概率公式计算即可.
【小问1详解】
的所有可能取值为．
，，
，，
所以的分布列为
所以．
小问2详解】
记“甲抽出题目分值之和为”，，
则，．
当甲抽出题目分值之和为24时，乙抽出题目分值之和需为32或40，
所以；
当甲抽出题目分值之和为32时，乙抽出题目分值之和需为40，
所以．
故
．
【点睛】关键点点睛：本题以巴黎奥运会为背景，以摸球答题为情境，贴近学生实际生活，提高了学生的学习兴趣，激发了学生的探究热情．第（1）小题考查二项分布的分布列和数学期望，抽象出二项分布的模型是解题关键，相对而言比较基础，也是大部分学生的得分点；第（2）小题考查全概率公式，注意正确地进行分类讨论，确定好分类标准是关键，同时还要做到不重不漏．
19. 如图，已知椭圆的上、下焦点分别为，，焦距为2，离心率为，称圆心在椭圆上运动，且半径为的圆是椭圆的“环绕圆”.
（1）求椭圆的标准方程；
（2）记直线与椭圆的另一个交点为点，“环绕圆”的面积为，三角形的面积为，试判断，是否存在点，使，若存在，求满足条件的直线的条数，若不存在，请说明理由；
（3）若过原点可作“环绕圆”的两条切线，分别交椭圆于、两点，直线，的斜率存在，记为，，求的最小值.
【答案】（1）；
（2）存在，2条； （3）.
【解析】
【分析】（1）根据焦距、离心率及参数关系求标准方程；
（2）设直线为，，联立椭圆并应用韦达定理得，，根据及已知列方程求参数k，即可得答案.
（3）设切线方程为，切线方程为，且，根据相切关系得到是的两个不相等实根，由韦达定理求出.
【小问1详解】
由椭圆的焦距为，离心率为，得，，
所以椭圆的标准方程为.
【小问2详解】
由（1）知：，显然直线不与轴重合，设直线为，，
由消去得，，
则，圆半径为1，则，
于是，即，解得，
所以满足条件的直线有2条.
【小问3详解】
设切线方程为，切线方程为，且，，
由圆与相切，得，化简得，
同理，于是是的两个不相等实根，
则，由在椭圆上，得，
因此，而，则当时，取得最小值，
所以的最小值为.
【点睛】关键点点睛：求出两条切线方程，再构造一元二次方程是求解第3问的关键.6
14
22
30