江西省上犹中学2024-2025学年高二下学期开学考试 数学试题（物理方向）（含解析）

这是一份江西省上犹中学2024-2025学年高二下学期开学考试 数学试题（物理方向）（含解析），共19页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1. .若随机变量的分布列为，其中，则下列结果中正确的是
A.
B.
C.
D
【答案】C
【解析】
【详解】试题分析：由离散型随机变量的概率关系可知：.则.
考点：离散型随机变量的概率、数学期望和方差.
2. 已知，则（ ）
A. 1B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】先计算z，再求
【详解】解：因为，所以，
所以，则，所以
故选：
3. 如图，在四面体中，，，，，，且（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据已知条件，结合空间向量的线性运算法则，即可求解．
【详解】，，
，
即.
故选：D.
4. 若，，则的值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据已知条件利用赋值法，令和即可求解.
【详解】因为，，
所以令，可得，
又令，可得，
所以，
故选：D.
5. 已知直线与圆交于不同的两点，O是坐标原点，且有，则实数k的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】设中点为C，由条件得出与的关系结合点到直线的距离解不等式即可.
【详解】设中点为C，则，
∵，
∴，∴，
∵，即，
又∵直线与圆交于不同的两点，
∴，故，
则，
.
故选：C．
6. 某医疗仪器上有、两个易耗元件，每次使用后，需要更换元件的概率为，需要更换元件的概率为，则在第一次使用后就要更换元件的条件下，、两个元件都要更换的概率是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】记事件第一次使用后就要更换元件，事件、两个元件都要更换，计算出、的值，利用条件概率公式可求得的值.
【详解】记事件第一次使用后就要更换元件，事件、两个元件都要更换，
则，，
由条件概率公式可得.
故选：C.
7. 某校有5名大学生打算前往观看冰球，速滑，花滑三场比赛，每场比赛至少有1名学生且至多2名学生前往，则甲同学不去观看冰球比赛的方案种数有（ ）
A. 48B. 54C. 60D. 72
【答案】C
【解析】
【分析】先分组，再考虑甲特殊情况.
【详解】将5名大学生分为1-2-2三组，即第一组1个人，第二组2个人，第三组2个人，
共有 种方法；
由于甲不去看冰球比赛，故甲所在的组只有2种选择，剩下的2组任意选，
所以由 种方法；
按照分步乘法原理，共有 种方法；
故选：C.
8. 已知圆与双曲线，若在双曲线上存在一点，使得过点能作圆的两条切线，切点为，且，则双曲线的离心率的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据切线求得，根据双曲线的性质可得的不等式，从而得出的不等式，结合离心率公式求解即可．
【详解】如图，，又，所以，
而是圆切线，则，
在中，，因此有，
从而，而，所以，
在双曲线上，因此，所以，
∴，从而，
∴双曲线的离心率.
故选：B．
二、多选题
9. 如图，已知正方体的棱长为2，则下列说法正确的是（ ）
A.
B. 平面
C. 直线与平面所成的角为
D. 点与平面的距离为
【答案】ABD
【解析】
【分析】A选项，建立空间直角坐标系，计算出，得到；B选项，证明出四边形为平行四边形，故，从而得到线面平行；C选项，求出平面的法向量，由线面角的求解公式进行求解；D选项，求出平面的法向量，由点到平面的距离公式求出答案.
【详解】A选项，以为坐标原点，所在直线分别为轴，建立空间直角坐标系，
，
故，
故，所以，
故，A正确；
B选项，因为，，所以四边形为平行四边形，
故，
又平面，平面，故平面，B正确；
C选项，平面的一个法向量为，
又，故
设直线与平面所成的角大小为，
则，
故直线与平面所成的角不为，C错误；
D选项，，
则，，
设平面的一个法向量为，
则，
令，则，故，
故点与平面的距离为，D正确.
故选：ABD
10. 某高校甲、乙两个班级举行团建活动，在活动中甲、乙两个班各派出由6人组成的一支队伍参加一项游戏．甲班的队伍由2个女生和4个男生组成，乙班的队伍由4个女生和2个男生组成，为了增加游戏的趣味性，先从甲班的队伍中抽取一名同学加入乙班的队伍，以分别表示由甲班队伍中抽出的是女生和男生；再从乙班的队伍中随机抽取一名同学加入甲班的队伍，以表示从乙班队伍中抽出的是女生，则下列结论正确的是（ ）
A. 事件与事件互斥B. 事件与事件B相互独立
C. D.
【答案】ACD
【解析】
【分析】根据条件概率，全概率公式，互斥事件和相互独立事件的概念逐一分析判断即可.
【详解】由题意知，不可能同时发生，所以互斥，故A正确；
，，故C正确；
所以，，
所以，
则，
所以事件与事件B不相互独立，故B错误，D正确.
故选：ACD.
【点睛】思路点睛：用定义法求条件概率的步骤：
（1）分析题意，弄清概率模型；
（2）计算、；
（3）代入公式求.
11. 已知椭圆的左右两个焦点分别为，左右两个顶点分别为，点是椭圆上任意一点（与不重合），，则下列命题中，正确的命题是（ ）
A. B. 的最大面积为
C. 存在点，使得D. 的周长最大值是
【答案】AD
【解析】
【分析】设，表示出和，利用椭圆方程化简即可判断AC；结合图形求解可判断B；利用椭圆定义将的周长转化为，结合图形求解可判断D.
【详解】对A，由题知，，则，
设，，
则，A正确；
对B，易知当点为短轴端点时，的面积最大，最大值为，B错误；
对C，，
则，C错误；
对D，由椭圆定义可知，，所以，
又，
所以，
当三点共线，且在线段上时，等号成立，D正确.
故选：AD
三、填空题
12. 已知圆和圆，观察可得它们都经过坐标原点，除此之外，它们还相交于一点，这点的坐标是______．
【答案】
【解析】
【分析】将两圆方程联立解方程组即可求得该点坐标.
【详解】联立两圆方程，解得或，
即可得这点的坐标为.
故答案为：
13. 曲线C是平面内与两个定点和的距离的积等于常数的点的轨迹．给出下列五个结论：
①曲线C过坐标原点；
②曲线C关于坐标原点对称；
③若点P在曲线C上，则的面积不大于．
④曲线C与椭圆只有两个公共点；
其中，所有正确结论的序号是_________．
【答案】②③④
【解析】
【分析】由题意曲线是平面内与两个定点和的距离的积等于常数，利用直接法，设动点坐标为，及可得到动点的轨迹方程，然后由方程特点即可加以判断．
【详解】对于①，由题意设动点坐标为，
则利用题意及两点间的距离公式的得：，
将原点代入验证，此方程不过原点，所以①错；
对于②，把方程中的被代换，被代换，方程不变，
故此曲线关于原点对称，故②正确；
对于③，若点在曲线上，则，
，当且仅当时等号成立，
故的面积不大于，故③正确．
对于④，椭圆上任意一点到和的距离之和为，即.
又曲线C上任意点与两个定点和的距离的积等于常数，即.
由基本不等式，即，当且仅当时取等号.
故曲线C与椭圆只有两个公共点，即椭圆的上下顶点.
故④正确.
故答案为：②③④
14. 如图，正方形与正方形所在平面互相垂直，，，分别是对角线，上的动点，则线段的最小长度为_________．
【答案】##
【解析】
【分析】根据面面垂直的性质和线面垂直的性质可得，由题意建立如图空间直角坐标系，设，()，，，，利用空间向量的坐标表示可得，结合基本不等式计算即可求解.
【详解】由题意知，，
由正方形正方形，正方形正方形，正方形，
得正方形，又正方形，所以，
建立如图空间直角坐标系，
设，()，，，
则，，
得，，
所以，，
得，
有
，
当且仅当即即时，等号成立，
所以，即线段MN的最小长度为.
故答案为：.
四、解答题
15. 回答下列问题，请写出必要的答题步骤：
（1）若（a，b为有理数），请求出的值．
（2）已知，求．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）根据展开式的通项公式计算即可；
（2）根据题干中展开式的特征，将变形为，再求系数即可.
【小问1详解】
因为展开式的通项公式为：，
所以，
，
因此，.
【小问2详解】
因为，
所以，，
因此，.
16. （1）①计算：；
②已知，求.
（2）一场小型晚会有2个唱歌节目和3个相声节目，要求排出一个节目单.
①.3个相声节目要排在一起，有多少种排法？（结果用数值表示）
②.2个唱歌节目不相邻，有多少种排法？（结果用数值表示）
（3）如图，
从左到右共有5个空格，用4种不同颜色给5个空格涂色，要求相邻空格用不同的颜色涂色，一共有多少种涂色方案？（结果用数值表示）
【答案】（1）①；②；2或3（2）①36；②72；（3）324
【解析】
【分析】（1）①直接按照算符展开计算即可；②根据组合数相等的情形分两种情况讨论即可；（2）①相邻问题用捆绑法，②不相邻插空法即可；（3）从左往右依次对每个空格涂色，然后用乘法原则即可.
【详解】（1）①：
②或解之：或
（2）①将三个相声节目看成一个整体，总共三个节目排列：（种）；
②先将相声节目排好，然后再将唱歌节目插入其中的空中：（种）；
（3）从左往右依次涂色：（种）
17. 某学校组织游戏活动，规则是学生从盒子中有放回的摸球且每次只能摸取1个球，每次摸球结果相互独立，盒中有1分和2分的球若干，摸到1分球的概率为，摸到2分球的概率为．
（1）学生甲和乙各摸一次球，求两人得分相等的概率；
（2）若学生甲摸球2次，其总得分记为X，求随机变量X的分布列与期望；
（3）学生甲、乙各摸5次球，最终得分若相同，则都不获得奖励；若不同，则得分多者获得奖励．已知甲前3次摸球得了6分，求乙获得奖励的概率．
【答案】（1）
（2）分布列见解析，期望为
（3）
【解析】
【分析】（1）根据题意，甲乙同时摸到1分球或2分球，结合概率的乘法公式，即可求解；
（2）根据题意，变量可能取值为，求得相应的概率，列出分布列，结合期望的公式，即可求解；
（3）记“甲最终得分为分”，其中，“乙获得奖励”，结合相互独立事件的概率公式以及条件概率和全概率公式，即可求解.
【小问1详解】
解：由题意，摸到1分球的概率为，摸到2分球的概率为，
若学生甲和乙各摸一次球，甲乙的得分相同，则甲乙同时摸到1分球或2分球，
所以两人得分相等的概率为.
【小问2详解】
解：由题意知，学生甲摸球2次的总得分的可能取值为，
可得，
所以随机变量的分布列为：
所以，期望为.
【小问3详解】
解：记“甲最终得分为分”，其中，“乙获得奖励”，
可得，
当甲的最终得分为9分时，乙获得奖励需要最终得分为10分，
则；
当甲最终得分为8分时，乙获得奖励需要最终得分为10分或9分，
则，
所以，
所以乙获得奖励的概率为.
18. 如图所示，在四棱锥中，底面为梯形，且满足，，平面平面.
（1）求证：；
（2）若，点在线段上，当二面角大小为时，求四棱锥的体积.
【答案】（1）证明见解析
（2）
【解析】
【分析】（1）由面面垂直的性质定理得到，再由线面垂直的判定定理证明平面可得到；
（2）建立如图所示的空间直角坐标系，求出平面和平面的一个法向量，代入空间二面角公式解出，再由棱锥的体积公式求解即可.
【小问1详解】
证明：连接BD，直角梯形ABCD中，易得，
又，
又平面平面，平面平面，平面，
平面平面，
，又，平面，
平面平面，
.
【小问2详解】
如图，取的中点的中点，连接，
由题意可得，
平面平面平面平面，平面，
平面，
以为坐标原点，以所在直线分别为轴建立空间直角坐标系，
则，
设，则，
设平面的一个法向量为，
则，
令得，
又平面平面的一个法向量，
，令，解得或（舍）.
即为的靠近的三等分点时，二面角的平面角为，
平面，且，
到平面的距离为，又四边形的面积为3，
四棱锥的体积.
19. 设抛物线的焦点为为上一点．已知点的纵坐标为，且点到焦点的距离是．点为圆上的点，过点作拋物线的两条切线，切点分别为，记两切线的斜率分别为．
（1）求抛物线的方程；
（2）若点的坐标为，求值；
（3）设直线与轴分别交于点，求的取值范围．
【答案】（1）
（2）
（3）
【解析】
【分析】（1）利用点在抛物线上及抛物线的定义即可求解；
（2）利用直线的点斜式方程设出切线方程，切线方程与抛物线的方程联立，利用切线与抛物线的位置关系即可求解；
（3）利用直线的点斜式方程设直线线方程，切线方程与抛物线的方程联立，利用切线与抛物线的位置关系，求出直线，同理即可得出,进而求出直线的方程，利用两点间的距离公式及点在圆上即可求解.
【小问1详解】
将代入中，得，所以，
由题意可知，，
因为点到焦点的距离是，
所以,解得，
故抛物线的方程为.
【小问2详解】
设切线方程为，
由，消去，得，
因为切线与抛物线有一个交点，
所以，得，
所以.
【小问3详解】
设，设直线的方程为，
，消去，得，
因为直线与抛物线有一个交点，
，解得，
所以直线的方程为，令，则，，
同理直线的方程为,令，则，，
设代入，得，则直线的方程为，
由，消去，得，
所以，
所以，，
所以
又在圆上，
所以，即，
故.
综上可知，的取值范围为.
2
3
4