内蒙古科尔沁右翼前旗第二中学2024-2025学年高二下学期开学考试 数学试题（含解析）

这是一份内蒙古科尔沁右翼前旗第二中学2024-2025学年高二下学期开学考试 数学试题（含解析），共17页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题(每题5分，共15分），解答题等内容，欢迎下载使用。
1. 等差数列满足，，则（ ）
A. 6B. 10C. 12D. 24
【答案】C
【解析】
【分析】设数列公差为d，然后由题意及等差数列通项公式可得答案.
【详解】设数列公差为d，由，，
可得，解得，，
则．
故选：C
2. 设直线倾斜角为，则的值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据直线方程可得，结合同角三角关系运算求解.
【详解】由题意可知：直线的斜率，
则，可得，且，
又因为，可得，
由可知，所以.
故选：C.
3. 已知抛物线的焦点为F，抛物线上一点满足，则抛物线方程为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】由抛物线的焦半径公式可得，即可求得，从而求解.
【详解】由题意，得，即，
所以抛物线方程为.
故选：D.
4. 设，则“直线与直线平行”是“”的（ ）
A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件
C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件
【答案】A
【解析】
【分析】利用充分不必要条件的定义以及两直线平行求参数的方法求解.
【详解】因为，所以，则有，解得，
当时，，，则重合，
当时，，，则平行，
所以等价于，
所以“直线与直线平行”能推出“”，
“”不能推出“直线与直线平行”，
所以“直线与直线平行”是“”的充分不必要条件，
故选：A.
5 已知数列满足，且，则（ ）
A. B. 0C. 1D. 2
【答案】C
【解析】
【分析】根据递推公式，逐项求解，可得答案.
【详解】由，则，，，.
故选：C.
6. 如图，在直三棱柱中，，分别为棱，的中点.设，，，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据给定的几何体，利用空间向量的线性运算求出.
【详解】在直三棱柱中，，分别为棱，的中点，
.
故选：D
7. 已知椭圆的中心是坐标原点，是椭圆的焦点.若椭圆上存在点，使是等边三角形，则椭圆的离心率为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】设点为椭圆上位于第一象限内的点，设为椭圆的左焦点，计算出、，利用椭圆的定义可得出关于、的等式，进而可求得椭圆的离心率.
【详解】设点为椭圆上位于第一象限内的点，设为椭圆的左焦点，
因为是等边三角形，则，，
，所以，，，
所以，，
由椭圆的定义可得，
因此，椭圆的离心率为.
故选：C.
【点睛】方法点睛：求解椭圆或双曲线的离心率的方法如下：
（1）定义法：通过已知条件列出方程组，求得、的值，根据离心率的定义求解离心率的值；
（2）齐次式法：由已知条件得出关于、的齐次方程，然后转化为关于的方程求解；
（3）特殊值法：通过取特殊位置或特殊值，求得离心率.
8. 在平面直角坐标系中，已知直线与圆相交于两点，则的最小值为（ ）
A. 1B. C. 2D.
【答案】D
【解析】
【分析】写出的表达式，求出的最小值，再根据勾股定理求出的最小值
【详解】圆的圆心为半径，
圆心到直线距离，当且仅当，即时等号成立，
所以的最小值为.
故选：D
二、多选题（每题6分，共18分）
9. 已知双曲线的实轴长是虚轴长的3倍，则下列关于双曲线的说法正确的是（ ）
A. 实轴长为6B. 虚轴长为2C. 焦距为D. 离心率为
【答案】AB
【解析】
【分析】对含参数的双曲线方程，一般先考虑焦点位置，再确定的值，利用条件求出各个基本量，再逐一判断选项即可.
【详解】由双曲线方程可知，且，由题意，，代入解得：，
故实轴长为，虚轴长为，故A项，B项都正确；
焦距，故C项错误；离心率为，故D项错误.
故选：AB.
10. 已知空间中三点，，，则（ ）
A.
B. 方向上的单位向量坐标是
C. 是平面ABC的一个法向量
D. 在上的投影向量的模为
【答案】BC
【解析】
【分析】对于A：求出的坐标，进而可求模；对于B：根据求单位向量；对于C：通过计算来判断；对于D：通过计算来判断.
【详解】对于A：，则，A错误；
对于B：方向上的单位向量坐标是，B正确；
对于C：，，
又与不平行，故是平面ABC的一个法向量，C正确；
对于D：在上的投影向量的模为，D错误.
故选：BC.
11. 已知圆，动直线过点，下列结论正确的是（ ）
A. 当与圆相切于点时，
B. 点到圆上点的距离的最大值为5
C. 点到圆上点的距离的最小值为2
D. 若点在上，与圆相交于点，则
【答案】AB
【解析】
【分析】结合切线长公式计算可判断A项，运用圆上的点到圆外一定点的距离的最大值为，最小值为（为圆心到圆外定点的距离）可判断B项、C项，运用圆内弦长公式计算可判断D项.
【详解】由题意得，圆的圆心为，半径为2，
对于A项，如图所示，

则，故A项正确；
对于B项，

如图所示，点到圆上点的距离的最大值为，故B项正确；
对于C项，

如图所示，点到圆上点的距离的最小值为，故C项错误．
对于D项，

直线的方程为，则点到直线的距离，
所以，故D项错误．
故选：AB.
三、填空题(每题5分，共15分）
12. 已知抛物线上一点，则点到该抛物线的焦点的距离为________．
【答案】
【解析】
【分析】由点在抛物线上代入得，再由定义转化为到准线距离可求.
【详解】由在抛物线上，得，所以．
又焦点的坐标为，准线为，
所以．
故答案为：.
13. 设数列前项和，则______．
【答案】8
【解析】
【分析】根据数列前项和与的关系来求解的值.
【详解】已知，将代入到中，可得： ，
将代入到中，可得：，
则.
故答案为：.
14. 已知、、，若的周长为，则的最大值为__________，此时点的坐标为__________．
【答案】 ①. ②.
【解析】
【分析】分析可知，点的轨迹为，数形结合可知，当且仅当点为直线与椭圆的交点，且、方向相同时，取最大值，求出该最值，然后将直线的方程与椭圆方程联立，可求得点的坐标.
【详解】由题意可得，，
所以，点的轨迹是以点、为焦点，长轴长为的椭圆（除去长轴的端点），
设其方程为，则，，
所以，点轨迹方程为，如下图所示：

因为，故点在椭圆外，
由椭圆的定义可得，
所以，，
当且仅当点为直线与椭圆的交点，且、方向相同时，等号成立，
因为，直线的方程为，
联立，解得，即点.
故答案为：；.
【点睛】关键点点睛：利用二次曲线的定义求解线段和的最小值，有如下方法：
（1）求解椭圆、双曲线有关的线段长度和、差的最值，都可以通过相应的圆锥曲线的定义分析问题；
（2）圆外一点到圆上的点的距离的最值，可通过连接圆外的点与圆心来分析求解.
四、解答题（共77分）
15. 记为等差数列的前项和，已知，．
（1）求的通项公式；
（2）求，并求的最小值．
【答案】（1）；（2），最小值为–16．
【解析】
【分析】（1）方法一：根据等差数列前n项和公式，求出公差，再代入等差数列通项公式即得结果；
（2）方法二：根据等差数列前n项和公式得，根据二次函数的性质即可求出.
【详解】（1）[方法一]：【通性通法】【最优解】 公式法
设等差数列的公差为，由得，，解得：，所以．
[方法二]：函数+待定系数法
设等差数列通项公式为，易得，由，即，即，解得：，所以．
（2）[方法1]：邻项变号法
由可得．当，即，解得，所以的最小值为，
所以的最小值为．
[方法2]：函数法
由题意知，即，
所以的最小值为，所以的最小值为．
【整体点评】（1）方法一：直接根据基本量的计算，利用等差数列前n项和公式求出公差，即可得到通项公式，是该题的通性通法，也是最优解；
方法二：根据等差数列的通项公式的函数形式特征，以及等差数列前n项和的性质，用待定系数法解方程组求解；
（2）方法一：利用等差数列前n项和公式求，再利用邻项变号法求最值；
方法二：利用等差数列前n项和公式求，再根据二次函数性质求最值．
16. 已知直线，圆
（1）若，求直线l截圆M所得的弦长;
（2）已知直线l过定点若过点P作圆M的切线，求点P的坐标及该切线方程.
【答案】（1）4 （2），或
【解析】
【分析】（1）根据点到直线的距离公式可求圆心到直线l的距离，再利用圆的弦长公式即可求解；
（2）根据直线方程可得定点坐标，设切线方程，利用圆心到直线的距离等于半径列方程，即可解k，从而得切线方程.
【小问1详解】
当时，直线，
圆M的圆心为，半径为3，
则圆心M到直线l的距离为，
则直线l截圆M所得的弦长为；
【小问2详解】
由得，所以定点，
由题意得切线的斜率存在，
则设切线的方程为，即，
所以，
解得，
故所求切线方程为，即或
17. 根据下列条件，求双曲线的标准方程：
（1）半焦距为，经过点，且焦点在轴上；
（2）两个焦点的坐标分别为，，双曲线上一点到，的距离之差的绝对值等于6；
（3）与双曲线有公共焦点，且过点．
【答案】（1）
（2）
（3）
【解析】
【分析】（1）可设双曲线的标准方程为，将点代入，求得，即可得出答案；
（2）设标准方程为，根据题意可得，求得，即可得解；
（2）方法一：设双曲线的标准方程为，利用待定系数法求得，即可得解；
方法二：设双曲线的标准方程为（，且），将点代入方程，求得，即可得解.
【小问1详解】
因为半焦距为，且焦点在轴上，
所以可设双曲线的标准方程为，
因为双曲线经过点，所以，
解得或（舍去）．
于是双曲线的标准方程为；
【小问2详解】
因为双曲线的焦点在轴上，
所以设它的标准方程为，
因为，，所以，．
于是双曲线的标准方程为；
【小问3详解】
方法一：设双曲线的标准方程为，
点在双曲线上，故．
又，所以，，
则双曲线的标准方程为．
方法二：设双曲线的标准方程为（，且），
将点代入方程，解得或（舍去），则双曲线的标准方程为．
18. 如图， 在四棱锥，平面， 底面是直角梯形， 其中， ， ，E为棱上的点，且 .

（1）求证: 平面；
（2）求平面与平面所成夹角的正弦值.
【答案】（1）证明见解析
（2）
【解析】
【分析】（1）由题意建系，写出相关点的坐标，计算向量坐标和平面的法向量的坐标，由即可证得；
（2）分别求两平面的法向量坐标，由空间向量的夹角公式计算即得.
【小问1详解】

因平面，且,故可以点为坐标原点，
所在直线分别为轴，建立空间直角坐标系(如图所示).
则.
于是，,
设平面的法向量为，
则，令，可得；
又，显然，，故得平面；
【小问2详解】
由（1）建系，则，
设平面的法向量为，
则，令，可得.
设平面与平面所成夹角为，
因，
则.
即平面与平面所成夹角的正弦值为
19. 已知椭圆的方程为，其右顶点，离心率．
（1）求椭圆的方程；
（2）若直线与椭圆交于不同的两点，（，不与左、右顶点重合），且．求证：直线过定点，并求出定点的坐标．
【答案】（1）
（2）证明见解析，．
【解析】
【分析】（1）由焦点坐标及离心率求出，得出方程；
（2）设M，N的坐标，联立直线和椭圆的方程，消去，化简得关于的一元二次方程，由韦达定理可得，的值，利用得出m与k的关系式，最后检验直线所经过的定点，求出坐标．
【小问1详解】
右顶点是，离心率为，
所以，，
，则，
椭圆的标准方程为．
【小问2详解】
直线方程与椭圆方程联立，
得，
设，，
，，
，
，，
即，
，则，
即，
整理得，
或，
均满足
直线或，
直线过定点或（与题意矛盾，舍去）
综上知直线过定点．