陕西省渭南市白水县白水中学2024-2025学年高二下学期入学考试 数学试题（含解析）

这是一份陕西省渭南市白水县白水中学2024-2025学年高二下学期入学考试 数学试题（含解析），共12页。试卷主要包含了 已知，并且，则方差，由此可得答案等内容，欢迎下载使用。
一､单项选择题（共8小题，每小题5分，共40分）
1. 已知，并且，则方差（ ）
A B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据二项分布方差的计算方法，，结合，可得结果.
【详解】由题可知：
所以：
又因为，所以
故选：A
【点睛】本题考查二项分布方差的计算，掌握二项分布的期望与方差计算，，同时对，则，属基础题.
2. 将5本不同的书分给4人,每人至少1本,不同的分法种数有( )
A. 120种B. 5种C. 240种D. 180种
【答案】C
【解析】
【分析】5本书分给4人，每人至少1本，说明其中1人得2本，其他三个各得1本，由此可分配．
【详解】由题意分法种数为，故选C．
【点睛】本题考查排列组合中的分配问题，由于元素与位置都不相同，因此可把其中两个元素捆绑在一起为一个元素，然后4个元素进行排列即可．
3. 4张奖券中只有1张能中奖，现分别由4名同学无放回地抽取．若已知第一名同学没有抽到中奖券，则最后一名同学抽到中奖券概率是（ ）
A. B. C. D. 1
【答案】B
【解析】
【分析】第一名同学没有抽到中奖券后剩下3张奖券，1张能中奖，由题意可得中奖概率和抽取顺序无关，故直接可得概率
【详解】因为第一名同学没有抽到中奖券，所以问题变为3张奖券，1张能中奖，又中奖概率和抽取顺序无关，故最后一名同学抽到中奖券的概率是．
故选：B
4. 已知直线l过原点O，且点，到直线l的距离相等，则直线l的方程为（ ）
A. B.
C. 或D. 或
【答案】D
【解析】
【分析】根据点到直线距离公式即可.
【详解】∵直线l过原点，并且选项中的直线的斜率都是存在的，
故设所求直线的方程为，
由已知及点到直线的距离公式可得，
解得或，即所求直线方程为或；
故选：D
5. 某地区有名学生参加某次考试，考试后数学成绩近似服从正态分布，若，则估计该地区学生本次考试数学成绩在分以上的人数为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】利用正态分布曲线的对称性求出的值，再乘以即可得解.
【详解】由正态分布曲线的对称轴为，以及，
得，
因此，
故估计该地区学生本次考试数学成绩在130分以上的人数为．
故选：B．
6. 若展开式的系数之和等于展开式的二项式系数之和，则的值为．
A. 15B. 10C. 8D. 5
【答案】D
【解析】
【分析】二项式的展开式的各项系数的和为，的二项式系数之和为，由m=k，即可求得n的值.
【详解】设二项式的展开式的各项系数的和为m，即x=1时满足题意，
，又设的二项式系数之和为k，
则，
因为m=k，所以，解得n=5.
故选D.
【点睛】本题考查二项式系数的性质，关键在于理解好二项式各项系数的和与二项式系数之和的含义，属基础题.
7. 已知是夹角为的两个单位向量，则与的夹角是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】借助向量模长与数量积的关系及夹角公式计算即可得.
【详解】，
，
则，
因为，所以，
即与的夹角是.
故选：B.
8. 已知，是圆上的点，点在双曲线的右支上，则的最小值为（ ）
A. 9B. C. 8D. 7
【答案】C
【解析】
【分析】根据题意作出示意图，利用双曲线的定义以及圆外的点到圆上点的最近距离计算方法，求解出的最小值.
【详解】如图所示：设圆心为，双曲线右焦点为，且，，
所以，当且仅当，，三点共线时取得等号．
故选：C.
【点睛】本题考查根据双曲线的定义求解线段和的最小值，难度一般.（1）求解和椭圆、双曲线有关的长度和的最值问题，都可以通过相应的圆锥曲线的定义去分析问题；（2）圆外一定点到圆上点的距离的最值，可通过连接圆外的点与圆心来分析求解.
二､多项选择题（共3小题，每小题6分，共18分.每小题给出的四个选项中，不止一项是符合题目要求的，每题错选0分，漏选2分.）
9. 若是空间向量的一组基，则下列各组中能构成空间向量的一组基的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】ABC
【解析】
【分析】根据空间向量基本定理逐一分析即可.
【详解】对A，因为是空间向量的一组基，则可以构成空间向量的一组基，故A正确；
对B，设，其中，
则，无解，则能构成空间向量的一组基，故B正确；
对C，显然不存在实数使得成立，
则能构成空间向量的一组基，故C正确；
对D，因为，则不能构成空间向量的一组基，故D错误.
故选：ABC.
10. 已知分别是正方体的棱和的中点，则（ ）

A. 与是异面直线
B. 与所成角的大小为45°
C. 与平面所成角的余弦值为
D. 平面与平面所成角的余弦值为
【答案】AD
【解析】
【分析】根据异面直线定义判断A，应用空间向量法求异面直线所成角判断B， 应用空间向量法求线面角正弦值再求余弦值判断C， 应用空间向量法求面面角余弦值判断D.
【详解】对于选项A，因为平面，平面，，
所以与是异面直线，故A正确；
以D为原点的方向分别为x，y，z轴正方向，建立空间直角坐标系，
设正方体棱长为2，

则，
，
对于选项B，因为，，
设与所成角为，则，
又因为，所以，故B错误；
对于选项C，由题知平面的一个法向量为，
因为，，
设与平面所成角为α，
则，
，故C错误；
对于选项D，，，
设平面的法向量为，
则
令得，
设平面的法向量为，，
则
令得，
设平面与平面所成角的角为β，
所以平面与平面所成角的余弦值为，故D正确．
故选：AD.
11. 已知曲线C：，下列说法正确的是（ ）
A. 若，则C为双曲线
B. 若且，则C为焦点在x轴上的椭圆
C. 若，则C不可能表示圆
D. 若，则C为两条直线
【答案】AB
【解析】
【分析】根据题意，由双曲线的标准方程即可判断AD，由椭圆的标准方程即可判断B，由圆的标准方程即可判断C.
【详解】若，则C为双曲线，所以A正确；
若且，则，，所以C为焦点在x轴上的椭圆，所以B正确；
若，当时，C是单位圆，所以C不正确；
若，则C为双曲线，所以D不正确.
故选：AB
三､填空题（共3小题，每小题5分，共15分》
12. 已知向量，，且与互相垂直，则的值是______.
【答案】##
【解析】
【分析】向量的垂直用坐标表示为，代入即可求出答案.
【详解】，
，
因为与互相垂直，
所以,
即，
解得：.
故答案为：
13. 一批产品共50件，有5件次品，其余均为合格品.从这批产品中任意抽取2件，出现次品的概率为________.
【答案】
【解析】
【分析】设抽取的2件产品中次品的件数为X，则P(X＝k)＝ (k＝0,1,2).由此可得答案.
【详解】设抽取的2件产品中次品的件数为X，则P(X＝k)＝ (k＝0,1,2).
所以P(X>0)＝P(X＝1)＋P(X＝2)＝＋＝.
故答案：.
14. 若椭圆的离心率为，则双曲线的渐近线方程为_________．
【答案】
【解析】
【分析】根据离心率可求的值，从而可求渐近线方程.
【详解】因为的离心率为，故，
故，故双曲线的渐近线方程为：，
故答案为：.
四､解答题（共3小题，共27分.其中第15题7分，16､17各题均10分）
15. 袋中装有4个红球，5个白球，从中不放回地任取两次，每次取一球.
（1）求在第一次取出红球的条件下，第二次取出红球的概率.
（2）求第二次才取到红球的概率.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）利用条件概率的定义并结合古典概型即可得到答案；
（2）利用条件概率公式即可.
【小问1详解】
若第一次取出红球，此时袋中有3个红球，5个白球，
则第二次取出红球的概率为.
【小问2详解】
用表示第次取到红球，
则第二次才取到红球的概率为.
16. 已知抛物线，焦点为，准线为，抛物线上一点的横坐标为3，且点到准线的距离为5.
（1）求抛物线的方程；
（2）若为抛物线上的动点，求线段的中点的轨迹方程.
【答案】（1）抛物线的方程为；（2）线段的中点的轨迹方程为．
【解析】
【分析】（1）由抛物线的定义简单计算可得结果.
（2）由相关点法，设，表示出，代入抛物线方程得，整理得，即为的轨迹方程.
【详解】（1）有题意可得，所以，故抛物线方程为：；
（2）由（1）知，设，
则，即，
而点在抛物线C上，，
，即，
此即所求点M的轨迹方程.
17. 如图，在四棱锥中，底面ABCD为菱形，，底面ABCD，，E是PC上任一点，.
（1）求证：平面平面PAC：
（2）若E是PC的中点，求ED与平面EBC所成角的正弦值.
【答案】（1）证明见解析；（2）
【解析】
【分析】（1）依题意可得，再由线面垂直的性质得到，即可得到平面，从而得到平面；
（2）建立空间直角坐标系，利用空间向量法求出线面角的正弦值；
【详解】解：（1）在四棱锥中，底面ABCD为菱形，所以，又因为底面ABCD，底面ABCD，所以，，平面，所以平面，因为平面，所以平面平面；
（2）取的中点，连接，因为底面ABCD为菱形且，所以为等边三角形，所以，所以，如图建立空间直角坐标系，令，则，，，，所以，，，设平面的法向量为，所以即，令则，，所以，设直线ED与平面EBC所成角为，则
所以直线ED与平面EBC所成角的正弦值为
【点睛】本题考查了立体几何中的面面垂直的判定和线面角的求解问题，意在考查学生的空间想象能力和逻辑推理能力；解答本题关键在于能利用直线与直线、直线与平面、平面与平面关系的相互转化，通过严密推理，同时对于立体几何中角的计算问题，往往可以利用空间向量法，通过求解平面的法向量，利用向量的夹角公式求解.