四川省高县中学校2024-2025学年高一下学期入学考试 数学试题（含解析）

这是一份四川省高县中学校2024-2025学年高一下学期入学考试 数学试题（含解析），共14页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1．设集合，，则（ ）
A．B．C．D．
2．命题“，”的否定是（ ）
A．，B．，
C．，D．，
3．下列函数中，既是奇函数又是减函数的是（ ）
A．B．C．D．
4．已知角的终边经过点，则的值为（ ）
A．B．C．D．
5．若，则的最小值是（ ）
A．B．2C．3D．
6．二次函数在区间上单调递增的一个充分不必要条件为（ ）
A．B．C．D．
7．猪血木又名阳春红檀，是中国特有的单种属濒危植物，属于国家一级保护植物和极小种群野生植物．某地引种猪血木1000株，假设该地的猪血木数量以每年的比例增加，且该地的猪血木数量超过2000株至少需要经过年，则（ ）（参考数据：，）
A．7B．8C．9D．10
8．已知函数，设，，，则a，b，c的大小关系是（ ）
A．B．C．D．
二、多选题
9．下列命题正确的是（ ）
A．若，则B．若，则
C．若，则D．若，则
10．已知，则下列计算正确的是（ ）
A．B．
C．D．
11．已知函数，函数，则（ ）
A．函数的值域为
B．不存在实数，使得
C．若恒成立，则实数的取值范围为
D．若函数恰好有5个零点，则函数的5个零点之积的取值范围是
三、填空题
12．已知函数，则的值为 .
13．已知幂函数在区间上单调递减，则 ．
14．已知函数，方程有三个不同根，且满足，则的取值范围是 .
四、解答题
15．已知集合或，，.
(1)若，求和；
(2)若，求实数的取值范围.
16．已知函数，.
(1)求函数的最小正周期和单调递增区间；
(2)求函数在区间上的最小值和最大值，并求出取得最值时x的值.
17．若函数为上的奇函数．
(1)求的值，并判断函数的单调性（不用证明）；
(2)若对任意，不等式恒成立，求实数的最大值．
18．某公司制定了一个激励销售人员的奖励方案：当销售利润不超过20万元时，按销售利润的10%进行奖励；当销售利润超过20万元时，若超出万元，则超出部分按进行奖励，记奖金为（单位：万元），销售利润为（单位：万元）.
(1)写出奖金关于销售利润的关系式；
(2)如果业务员老江获得10万元的奖金，那么他的销售利润是多少万元？
19．已知函数，若对于其定义域中任意给定的实数，都有，就称函数满足性质.
(1)判断函数：①；②是否满足性质？（直接写出判断结果，不用证明）
(2)若满足性质在定义域上单调，且对都成立，解关于的不等式；
(3)在（2）的条件下，已知，若，证明：.
《高县中学高2024级高一下学期入学考试（数学）》参考答案
1．C
【分析】根据并集概念求出答案.
【详解】.
故选：C
2．D
【分析】根据存在量词命题的否定为全称量词命题可得结果.
【详解】根据题意，命题“，”是存在量词命题，
其否定是“，”.
故选：D.
3．D
【分析】根据函数的奇偶性和单调性来确定正确答案.
【详解】A选项，的定义域是，且在上单调递增，不符合题意.
B选项，的定义域是，且在上单调递减，不符合题意.
C选项，的定义域是，是非奇非偶函数，不符合题意.
D选项，的定义域是，，
所以是奇函数，且在上单调递减，符合题意.
故选：D
4．D
【分析】利用三角函数定义求解即可.
【详解】因为角的终边经过点，
所以.
故选：D
5．C
【分析】利用基本基本不等式求出最小值.
【详解】，当且仅当，即时，取等号，
所以的最小值为3.
故选：C
6．C
【分析】根据给定条件，求出在指定区间上单调递增的的范围，再利用充分不必要条件的定义判断得解.
【详解】二次函数在区间上单调递增，则，解得，
显然选项ABD中条件都不能推出，而真包含于，
所以所求的一个充分不必要条件为.
故选：C
7．B
【分析】由题意得，然后求解不等式，利用换底公式代入求解即可.
【详解】由题意得：，即，
所以，两边取对数得：，
因为，所以的最小值为，所以.
故选：B
8．B
【分析】先判断函数的单调性，根据对数的单调性比较，即可根据单调性比较大小.
【详解】由于函数均为上的单调递增函数，故在单调递增，
，
故，
所以
故选：B.
9．AC
【分析】利用不等式的性质、特殊值、的单调性、作差法、依次判断各选项即可得出结果.
【详解】对于A，由可得，又，因此可得，即A正确；
对于B，若，此时，即B错误；
对于C，若，在上单调递减，所以，即C正确；
对于D，由可得，即，
同理，由可得，即，所以，即D错误.
故选：AC
10．AC
【分析】根据诱导公式、同角三角函数的基本关系式求得正确答案.
【详解】依题意，，
所以，
所以，A选项正确；
，B选项错误；
，C选项正确.
，D选项错误.
故选：AC
11．ACD
【分析】根据指数以及对数函数的性质即可求解A，根据即可求解B，根据二次函数的性质即可求解C，根据函数图象，结合对数的运算即可求解D.
【详解】对于A，由于,，故函数的值域为，A正确，
对于B，当时，有，故B错误，
对于C，
由于，要使恒成立，则或，解得，故C正确
对于D，
令，则或，
作出的图象如下：要使有5个零点，如图，则，
由于，同理可得，
故，故D正确，

故选：ACD
【点睛】方法点睛：已知函数有零点求参数取值范围常用的方法和思路
(1)直接法：直接根据题设条件构建关于参数的不等式，再通过解不等式确定参数范围；
(2)分离参数法：先将参数分离，转化成求函数值域问题加以解决；
(3)数形结合法：先对解析式变形，在同一平面直角坐标系中，画出函数的图象，然后数形结合求解．
12．
【分析】利用函数解析式代入计算可得结果.
【详解】易知，
所以.
故答案为：
13．
【分析】利用幂函数的定义及单调性求解即得.
【详解】
由幂函数的定义知，，即，解得或，
当时，在区间上单调递增，不符合题意，
当时，在区间上单调递减，符合题意，所以.
故答案为：
14．
【分析】作出函数的图象，结合图象，根据方程的根的个数得到的范围，将变形为，利用韦达定理得到，，最后根据的范围求解即可.
【详解】作出函数图象如下，

因为方程有三个不同根，
即函数y=fx与的图象有三个不同的交点，由图知，
由题意两解为，，
即的两解为，，
由韦达定理得，，
由得，
则.
又，在上均为单调递增函数，
则在上单调递增，
当时，；当时，，
所以，
即的取值范围是.
故答案为：.
15．(1)或；
(2)或．
【分析】（1）根据并集、补集和交集的运算可得结果；
（2）根据，分别讨论和的情况分别得到结果.
【详解】（1）时，，
或，
，.
（2）因为，
当时，，
解得，，满足；
当时，，解得，
综上所述：实数的取值范围是或．
16．(1)
(2)最大值为，；最小值为－1，.
【分析】（1）利用函数的周期公式，及整体代入求得增区间.
（2）利用整体代入法求得函数的最大值最小值以及取得最值时的x的值.
【详解】（1）函数的最小正周期，
由，，
解得：，，
所以函数的单调递增区间是.
（2）由，得，
则当，即时，
；
当，即时，
，
所以函数在上的最大值为，此时；
最小值为－1，此时.
17．(1)，函数在上单调递增，
(2)
【分析】（1）结合奇函数的定义可得关系，列方程求，结合指数函数单调性判断函数的单调性，
（2）根据函数性质化简不等式可得，令，换元可得，结合基本不等式可求的范围，由此可得结论.
【详解】（1）函数的定义域为，定义域关于原点对称，
所以，
所以.
所以，
因为函数为增函数，又，
所以函数为减函数，
所以函数为增函数，即函数在上单调递增，
（2）因为在恒成立，
所以，
因为为奇函数，所以原不等式等价于，
因为为增函数，所以原不等式等价于，
令，所以原不等式可化简为，
即当，恒成立，
根据基本不等式，，当且仅当时等号成立，
所以，即的最大值为.
18．(1)
(2)
【分析】（1）利用分段函数模型写出解析式即可得出奖金关于销售利润的关系式；
（2）显然销售利润大于20万元，解对数方程可得销售利润是多少万元.
【详解】（1）根据题意可知，当销售利润时，；
当时，；
所以可得奖金关于销售利润的关系式为；
（2）易知当时，奖金不可能为10万元，
所以令，即，解得；
即业务员老江的销售利润是多少万元.
19．(1)①不是；②是；
(2)答案见解析
(3)证明见解析
【分析】（1）根据题中所给新定义，可直接判断结果；
（2）由满足性质，结合条件，得到，再结合函数单调性，将不等式化为，分类讨论求解不等式即可；
（3）根据函数满足性质，先得到，再由函数单调性得出，结合基本不等式，即可证明结论成立.
【详解】（1）①不满足性质；②满足性质；理由如下：
①由中，可取零，而中，不能取零，因此不满足性质；
②由得对其定义域内任意给定的实数都成立，因此满足性质.
（2）若满足性质，且定义域为，
令时，得到，
在上单调，在时恒有，
所以在上单调递减，
由得到，
即，因为在上是单调减函数，
所以，即，即，
①当时，不等式为，不等式解集为；
②时，不等式解集为.
③当时，即时，不等式为，不等式解集为；
④当时，，不等式解集为；
⑤当时，，不等式解集为.
（3）已知，若，
，，
∵在上是单调函数，∴，，
∵，∴.
【点睛】方法点睛：求解函数新定义问题，关键在于理解所给新定义，结合新定义以及函数相关性质求解即可.
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
答案
C
D
D
D
C
C
B
B
AC
AC
题号
11









答案
ACD