【数学】2021年高考真题——全国甲卷（理科）

这是一份【数学】2021年高考真题——全国甲卷（理科），共12页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、选择题(本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．设集合M＝{x|01或f(x)eq \f(1,2)或cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x－\f(π,6)))0，则eq \r(S2)－eq \r(S1)＝eq \r(4a1)－eq \r(a1)＝d，得a1＝d2，所以eq \r(Sn)＝eq \r(S1)＋(n－1)d＝nd，所以Sn＝n2d2，
所以an＝Sn－Sn－1＝n2d2－(n－1)2d2＝2d2n－d2(n≥2)，是关于n的一次函数，且a1＝d2满足上式，所以数列{an}是等差数列．
19．(12分)已知直三棱柱ABC－A1B1C1中，侧面AA1B1B为正方形，AB＝BC＝2，E，F分别为AC和CC1的中点，D为棱A1B1上的点，BF⊥A1B1.
(1)证明：BF⊥DE；
(2)当B1D为何值时，平面BB1C1C与平面DFE所成的二面角的正弦值最小？
(1)证明 因为E，F分别是AC和CC1的中点，且AB＝BC＝2，
所以CF＝1，BF＝eq \r(5).
如图，连接AF，由BF⊥A1B1，AB∥A1B1，得BF⊥AB，于是AF＝eq \r(BF2＋AB2)＝3，所以AC＝eq \r(AF2－CF2)＝2eq \r(2).由AB2＋BC2＝AC2，得BA⊥BC，故以B为坐标原点，以BA，BC，BB1所在直线分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系，
则B(0,0,0)，E(1,1,0)，F(0,2,1)，eq \(BF,\s\up6(→))＝(0,2,1)．
设B1D＝m(0≤m≤2)，则D(m,0,2)，
于是eq \(DE,\s\up6(→))＝(1－m,1，－2)．
所以eq \(BF,\s\up6(→))·eq \(DE,\s\up6(→))＝0，所以BF⊥DE.
(2)解 易知平面BB1C1C的一个法向量为n1＝(1,0,0)．
设平面DFE的一个法向量为n2＝(x，y，z)，
则eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(\(DE,\s\up6(→))·n2＝0，,\(EF,\s\up6(→))·n2＝0，))
又eq \(DE,\s\up6(→))＝(1－m,1，－2)，eq \(EF,\s\up6(→))＝(－1,1,1)，
所以eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(1－mx＋y－2z＝0，,－x＋y＋z＝0，))
令x＝3，得y＝m＋1，z＝2－m，
于是平面DFE的一个法向量为n2＝(3，m＋1,2－m)，
所以cs〈n1，n2〉＝eq \f(3,\r(2\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(m－\f(1,2)))2＋\f(27,2))).
设平面BB1C1C与平面DFE所成的二面角为θ，
则sin θ＝eq \r(1－cs2〈n1，n2〉)，
故当m＝eq \f(1,2)时，平面BB1C1C与平面DFE所成的二面角的正弦值最小，为eq \f(\r(3),3)，即当B1D＝eq \f(1,2)时，平面BB1C1C与平面DFE所成的二面角的正弦值最小．
20．(12分)抛物线C的顶点为坐标原点O，焦点在x轴上，直线l：x＝1交C于P，Q两点，且OP⊥OQ.已知点M(2,0)，且⊙M与l相切．
(1)求C，⊙M的方程；
(2)设A1，A2，A3是C上的三个点，直线A1A2，A1A3均与⊙M相切．判断直线A2A3与⊙M的位置关系，并说明理由．
解 (1)由题意知，直线x＝1与C交于P，Q两点，且OP⊥OQ，设C的焦点为F，P在第一象限，
则根据抛物线的对称性，∠POF＝∠QOF＝45°，
所以P(1,1)，Q(1，－1)．
设C的方程为y2＝2px(p>0)，则1＝2p，得p＝eq \f(1,2)，
所以C的方程为y2＝x.
因为圆心M(2,0)到l的距离即⊙M的半径，且距离为1，
所以⊙M的方程为(x－2)2＋y2＝1.
(2)直线A2A3与⊙M相切，理由如下：
设A1(x1，y1)，A2(x2，y2)，A3(x3，y3)，
当A1，A2，A3中有一个为坐标原点，另外两个点的横坐标均为3时，满足条件，此时直线A2A3与⊙M相切．
当x1≠x2≠x3时，直线A1A2：x－(y1＋y2)y＋y1y2＝0，
则eq \f(|2＋y1y2|,\r(y1＋y22＋1))＝1，即(yeq \\al(2,1)－1)yeq \\al(2,2)＋2y1y2＋3－yeq \\al(2,1)＝0，
同理可得(yeq \\al(2,1)－1)yeq \\al(2,3)＋2y1y3＋3－yeq \\al(2,1)＝0，
所以y2，y3是方程(yeq \\al(2,1)－1)y2＋2y1y＋3－yeq \\al(2,1)＝0的两个根，
则y2＋y3＝eq \f(－2y1,y\\al(2,1)－1)，y2y3＝eq \f(3－y\\al(2,1),y\\al(2,1)－1).
直线A2A3的方程为x－(y2＋y3)y＋y2y3＝0，
设点M到直线A2A3的距离为d(d>0)，则d2＝eq \f(2＋y2y32,1＋y2＋y32)＝eq \f(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2＋\f(3－y\\al(2,1),y\\al(2,1)－1)))2,1＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(－2y1,y\\al(2,1)－1)))2)＝1，即d＝1，
所以直线A2A3与⊙M相切．
综上可得，直线A2A3与⊙M相切．
21．(12分)已知a>0且a≠1，函数f(x)＝eq \f(xa,ax)(x>0)．
(1)当a＝2时，求f(x)的单调区间；
(2)若曲线y＝f(x)与直线y＝1有且仅有两个交点，求a的取值范围．
解 (1)当a＝2时，f(x)＝eq \f(x2,2x)(x>0)，
f′(x)＝eq \f(x2－xln 2,2x)(x>0)，
令f′(x)>0，则00)，则g′(x)＝eq \f(1－ln x,x2)(x>0)，
令g′(x)＝eq \f(1－ln x,x2)＝0，得x＝e，
当0e时，g′(x)e时，g(x)∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(1,e)))，
又g(1)＝0，所以0