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秘密★启用前

2020年普通高等学校招生全国统一考试适应性考试（一）

数  学（文）

 注意事项：

1．答卷前，考生务必将自己的姓名和座位号填写在答题卡上。

2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。

3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

第Ⅰ卷（选择题  共60分）

一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四

个选项中，只有一项是符号题目要求的）.

1． (     )

A．   B．  C．      D．

2． 要得到函数的图象，只需将函数的图象（     ）

A．向右平移个单位                  B．向左平移个单位

C．向左平移个单位                  D．向右平移个单位

3． 设集合，则满足的集合的个数是（   ）

A．1         B．3         C．4          D．8

4． 已知，则（     ）

A．      B．与同向    C．与反向   D．为单位向量

5． “”是“”的（     ）

A．充分而不必要条件                     B．必要而不充分条件

C．充要条件                             D．既不充分也不必要条件

6． 已知正三角形的顶点，，顶点在第一象限，若点在

内部，则的取值范围是（     ）

A．        B．           C．      D．

7． 若，，则（     ）

A．    B．   C．        D．

8． 等差数列的公差不为零，其前项和为，若，则的值为（     ）

A．               B．             C．            D．

9． 设椭圆的两个焦点分别为、，过作椭圆长轴的垂线交椭圆于点，若

 为等腰直角三角形，则椭圆的离心率是（     ）

A．              B．          C．         D．

10．如图，正方体的棱长为，线段

上有两个动点，，且，则下列结

论中错误的是

A．      

B．

C．三棱锥的体积为定值

D．

11．函数，则下列结论错误的是（    ）

A．的图象关于中心对称    B．的图象关于直线对称

C．的最大值为            D．既是奇函数，又是周期函数

12．已知函数，若关于的方程恰有三个不同的实根，则的取值范围为（     ）

A．  B．       C．          D．

第Ⅱ卷（非选择题  共90分）

二、填空题：本大题共4个小题，每小题5分，共20分.把答案填在答题卡中的横线上.

13．木星的表面积约是地球表面积的120倍，则它的体积约是地球体积的      倍.

14．设是公比为的等比数列，，令，若数列有

连续四项在集合中，则=      . 

15．偶函数的图关于直线对称，，则      .

16．为双曲线的右支上一点，，分别是圆和

上的点，则的最大值为      .

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第17－21题为必考题，每个试题考生都必须作答。第22、23题为选考题，考生根据要求作答。

（一）必考题：共60分.

17．（12分）某央企在一个社区随机采访男性和女性用户各50名，统计他（她）们一天

（）使用手机的时间，其中每天使用手机超过6小时（含6小时）的用户称为

“手机迷”，否则称其为“非手机迷”，调查结果如下：

男性用户的频数分布表

女性用户的频数分布表

（1）分别估计男性用户，女性用户“手机迷”的频率；

（2）求男性用户每天使用手机所花时间的中位数；

（3）求女性用户每天使用手机所花时间的平均数与标准差（同一组中的数据用该组

 区间的中点值作代表）.

18．（12分）在中，角所对的边分别为.已知.

（1）证明：；

（2）若，，求的周长.

19．（12分）如图，为空间四点．在中，

．等边三角形以为轴运

动．

（1）当平面平面时，求；

（2）当转动时,是否总有？证明你的结论．

20．（12分）在平面直角坐标系中， 抛物线上异于坐标原点的两不同动点

、满足．

（1）求的重心（即三角形三条中线的交点）的轨迹方程；

（2）的面积是否存在最小值？若存在，请求出最小值；若不存在，请说明理由．

21．（12分）设函数.

（1）求的单调区间；

（2）若对任意，都有，求的取值范围.

（二）选考题：共10分.请考生在第22、23题中选一题作答。如果多做,则按所做的第

一题计分。

22．(10分）[选修4-4：坐标系与参数方程]

在平面直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数）.以坐标原

点为极点，轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为.

（1）求曲线的极坐标方程和曲线的直角坐标方程；

（2）求曲线与交点的极坐标.

23．(10分）[选修4-5：不等式选讲]

已知函数，.

（1）若，解不等式；

（2）若不等式至少有一个负数解，求实数的取值范围.

2020年普通高等学校招生全国统一考试适应性考试（一）

数学参考答案及评分标准（文科）

一、选择题

二、填空题

13．          14．           15．           16．

三、解答题

17.（1）男性用户“手机迷”的频率为；...............................................................................2分

女性用户“手机迷”的频率为................................................................................................4分

（2）设男性用户每天使用手机所花时间的中位数为，则......................6分

解得..........................................................................................................................................8分

（3）设女性用户每天使用手机所花时间的平均数为，标准差为

，............................................................................10分

............................12分

18.（1）证明：因为，

所以，即，..........................................2分

所以，

即，则................................................................4分

所以或（舍去），所以；..................................................................6分

（漏掉扣1分）

（2）由（1）得，

由正弦定理有,即.......................................................7分

所以.....................................................................................................................8分

由余弦定理得，................................................................................................9分

所以，即，

所以，解得或.......................................................................................10分

当时，的周长为；.................................................................................11分

当时，的周长为；.................................................................................12分

综上，的周长为28或30.

（未写综上不扣分）

19．（1）取的中点，连结，.......................................................................................1分

因为是等边三角形，所以．.........................................................................................2分

当平面平面时，

因为平面平面，

所以平面，............................................................................................................................3分

可知...........................................................................................................................................4分

由已知可得，在中，．.............................6分

（2）当以为轴转动时，总有．......................................................................7分

证明：

（ⅰ）当在平面内时，因为，所以都在线段的垂直平分线上，

即．...........................................................................................................................................9分

（ⅱ）当不在平面内时，由（1）知．

又因，所以．

又为相交直线，所以平面，..............................................................................11分

由平面，得．

综上所述，总有．...................................................................................................................12分

20．（1）因为，所以， .......................1分

观察可得，..............................................................................................................................2分

又，所以在上为增函数，.................................................................3分

即只有唯一的零点.......................................................................................................4分

所以当时，； 当时，． .......................................5分

所以的单调递减区间是，单调递增区间是． ...............................................6分

另解：（1）因为，所以， ...................1分

所以当时，；....................................................................3分

当时，． ..........................................................................5分

所以的单调递减区间是，单调递增区间是． ...............................................6分

（2）由（1）知，在上单调递减，在上单调递增， .......................................7分

所以，．.......................................................8分

所以对于任意的，的充要条件为

，即        ①...............................................................9分

设函数，则．

当时，；当时，，

故在上单调递减，在上单调递增．.................................................................10分

又，，，

所以当时，，即①式成立，

综上所述，的取值范围是．.....................................................................................................12分

21．解法一：

（1）∵直线的斜率显然存在，∴设直线的方程为，.......................................1分

，依题意得，①

∴，②   ③.................................................................................................2分

∵，∴，即 ，④

由③④得，，∴.............................................................................3分

∴设直线的方程为

∴①可化为    ，∴     ⑤， ..............................................................4分

设的重心G为，则

    ⑥ ，

     ⑦，.....................................................................5分

由⑥⑦得   ，即，

这就是得重心的轨迹方程．..................................................................................................6分

（2）由弦长公式得

把②⑤代入上式，得   ，........................................................................7分

设点到直线的距离为，则，............................................................................8分

∴ ， ...............................................................................................10分

∴ 当，有最小值，................................................................................................... ........11分

∴的面积存在最小值，最小值是 ．......................................................................................12分

解法二：

（Ⅰ）∵  , 直线，的斜率显然存在，

∴设、的直线方程分别为，，..................................................................1分

设，，依题意可得

由得 ，由得 ，............................................3分

设的重心G为，则

    ① ， ②， ............................5分

由①②可得，，即为所求的轨迹方程............................................................................6分

（Ⅱ）由（Ⅰ）得，，，.......................................................8分

∴.....................................................................9分

，...........................................................................................10分

当且仅当，即时，有最小值，........................................................................11分

∴的面积存在最小值，最小值是 .........................................................................................12分

22．（1）由题意，将与两式平方相减可得.

因为所以，

即曲线的极坐标方程为.........................................................................................3分

将曲线的极坐标方程化为直角坐标方程为.................................................5分

（2）由题意得，故，......................................................................6分

所以或或或，即或或或

所以两曲线交点的极坐标为，，，.....................10分

（漏一个扣1分）

23．（1）若，则不等式+化为．

当时，，即，.........................................................................1分

因为不等式对应的一元二次方程，故不等式无解； .................................................3分

当时，，即，解得． ..............................................4分

综上，不等式+≥3的解集为． ............................................................5分

（2）作出的图象如图所示，当时，的图象如折线①所示，

由，得，

若相切，则，得，..............................................................................6分

数形结合知，当时，不等式无负数解，则−． ..............................................7分

当时，满足>至少有一个负数解． ....................................................................8分

当时，的图象如折线②所示，

此时当时恰好无负数解，数形结合知，

当时，不等式无负数解，则． ..............................................................................9分

综上所述，若不等式>至少有一个负数解，

则实数的取值范围是．.........................................................................................................10分

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