2020届中考数学第二轮复习专题专题复习四：作图与计算

专题四：网格作图与计算

【问题解析】

网格是同学们熟悉的图形，在网格中研究格点图形(在正方形的方格纸中，每个小方格的顶点叫做格点，我们把以格点的连线为边的图形叫做格点图形)，具有很强的可操作性，这和新课程的理念相符合，安徽中考中的“格点问题”也秉承了“狠抓基础，注重过程，渗透思想，突出能力，强调应用，着重创新”这一精神，既突出了“数形结合”的数学思想方法，考查了学生对图形的敏锐观察力和对数学规律的发现探究能力，又考查了学生的创新意识、决策意识和实践能力．

【热点探究】

类型一：平移与轴对称问题

【例题1】（2016·福建龙岩·12分）图1是某公交公司1路车从起点站A站途经B站和C站，最终到达终点站D站的格点站路线图．（8×8的格点图是由边长为1的小正方形组成）

（1）求1路车从A站到D站所走的路程（精确到0.1）；

（2）在图2、图3和图4的网格中各画出一种从A站到D站的路线图．（要求：①与图1路线不同、路程相同；②途中必须经过两个格点站；③所画路线图不重复）

【考点】作图—应用与设计作图；勾股定理的应用．

【分析】（1）先根据网格求得AB、BC、CD三条线段的长，再相加求得所走的路程的近似值；

（2）根据轴对称、平移或中心对称等图形的变换进行作图即可．

【解答】解：（1）根据图1可得：，，CD=3

∴A站到B站的路程=≈9.7；

（2）从A站到D站的路线图如下：

【同步练】

（2016·黑龙江哈尔滨·7分）图1、图2是两张形状和大小完全相同的方格纸，方格纸中每个小正方形的边长均为1，线段AC的两个端点均在小正方形的顶点上．

（1）如图1，点P在小正方形的顶点上，在图1中作出点P关于直线AC的对称点Q，连接AQ、QC、CP、PA，并直接写出四边形AQCP的周长；

（2）在图2中画出一个以线段AC为对角线、面积为6的矩形ABCD，且点B和点D均在小正方形的顶点上．

类型二：旋转问题

【例题2】（郴州市 2014 中考 -19）在13×13的网格图中，已知△ABC和点M（1，2）．

（1）以点M为位似中心，位似比为2，画出△ABC的位似图形△A′B′C′；

（2）写出△A′B′C′的各顶点坐标．

思路分析：

（1）根据已知条件，利用位似图形的性质即可位似比为2，进而得出各对应点位置；

（2）利用所画图形得出对应点坐标即可．

解题过程：

解：（1）如图所示：△A′B′C′即为所求；

（2）△A′B′C′的各顶点坐标分别为：A′（3，6），B′（5，2），C′（11，4）．

规律总结：

解此类问题关键是利用位似图形的性质得出对应点坐标．

【同步练】

（ 2014•广西玉林市、防城港市，第21题6分）如图，已知：BC与CD重合，∠ABC=∠CDE=90°，△ABC≌△CDE，并且△CDE可由△ABC逆时针旋转而得到．请你利用尺规作出旋转中心O（保留作图痕迹，不写作法，注意最后用墨水笔加黑），并直接写出旋转角度是　　．

类型三：相似问题

【例题3】

如图，已知△ABC，∠BAC=90°，请用尺规过点A作一条直线，使其将△ABC分成两个相似的三角形（保留作图痕迹，不写作法）

【考点】作图—相似变换．

【分析】过点A作AD⊥BC于D，利用等角的余角相等可得到∠BAD=∠C，则可判断△ABD与△CAD相似．

【解答】解：如图，AD为所作．

【同步练】

（枣庄市 2015 中考 -20）已知：△ABC在直角坐标平面内，三个顶点的坐标分别为A（0，3）、B（3，4）、C（2，2）（正方形网格中每个小正方形的边长是一个单位长度）．

（1）画出△ABC向下平移4个单位长度得到的△A1B1C1，点C1的坐标是　   　；

（2）以点B为位似中心，在网格内画出△A2B2C2，使△A2B2C2与△ABC位似，且位似比为2：1，点C2的坐标是　   　；

（3）△A2B2C2的面积是　  　平方单位．

类型四：图形变换综合问题

【例题4】（2016·四川眉山）已知：如图△ABC三个顶点的坐标分别为A（0，﹣3）、B（3，﹣2）、C（2，﹣4），正方形网格中，每个小正方形的边长是1个单位长度．

（1）画出△ABC向上平移6个单位得到的△A1B1C1；

（2）以点C为位似中心，在网格中画出△A2B2C2，使△A2B2C2与△ABC位似，且△A2B2C2与△ABC的位似比为2：1，并直接写出点A2的坐标．[来源:学科网]

【分析】（1）直接利用平移的性质得出对应点位置进而得出答案；

（2）利用位似图形的性质得出对应点位置进而得出．

【解答】解：（1）如图所示：△A1B1C1，即为所求；

（2）如图所示：△A2B2C2，即为所求，A2坐标（﹣2，﹣2）．

【点评】此题主要考查了位似变换和平移变换，根据题意正确得出对应点位置是解题关键．

【同步练】

【例题1】（枣庄市 2015中考 -10）如图，在4×4的正方形网格中，每个小正方形的顶点称为格点，左上角阴影部分是一个以格点为顶点的正方形（简称格点正方形）．若再作一个格点正方形，并涂上阴影，使这两个格点正方形无重叠面积，且组成的图形是轴对称图形，又是中心对称图形，则这个格点正方形的作法共有（　　）

A．2种    B．3种    C．4种      Ｄ．5种 

【达标检测】

1. （2013福建福州，8，4分）如图，已知△ABC，以点B为圆心，AC长为半径画弧；以点C为圆心，AB长为半径画弧，两弧交于点D，且点A，点D在BC异侧，连结AD，量一量线段AD的长，约为（     ）

A．2.5cm          

B．3.0cm        

C．3.5cm          

D．4.0cm

2. (2014年天津市，第18题3分)如图，将△ABC放在每个小正方形的边长为1的网格中，点A，点B，点C均落在格点上．

（Ⅰ）计算AC2+BC2的值等于　   　；

（Ⅱ）请在如图所示的网格中，用无刻度的直尺，画出一个以AB为一边的矩形，使该矩形的面积等于AC2+BC2，并简要说明画图方法（不要求证明）　       　．

3. （2014•浙江湖州，第8题3分）如图，已知在Rt△ABC中，∠ABC=90°，点D是BC边的中点，分别以B、C为圆心，大于线段BC长度一半的长为半径圆弧，两弧在直线BC上方的交点为P，直线PD交AC于点E，连接BE，则下列结论：①ED⊥BC；②∠A=∠EBA；③EB平分∠AED；④ED=AB中，一定正确的是（　　）

A．①②③ B． ①②④ C． ①③④ D． ②③④

4. （2016·四川眉山）已知：如图△ABC三个顶点的坐标分别为A（0，﹣3）、B（3，﹣2）、C（2，﹣4），正方形网格中，每个小正方形的边长是1个单位长度．

（1）画出△ABC向上平移6个单位得到的△A1B1C1；

（2）以点C为位似中心，在网格中画出△A2B2C2，使△A2B2C2与△ABC位似，且△A2B2C2与△ABC的位似比为2：1，并直接写出点A2的坐标．

5. 已知：如图△ABC三个顶点的坐标分别为A（0，﹣3）、B（3，﹣2）、C（2，﹣4），正方形网格中，每个小正方形的边长是1个单位长度．

（1）画出△ABC向上平移6个单位得到的△A1B1C1；

（2）以点C为位似中心，在网格中画出△A2B2C2，使△A2B2C2与△ABC位似，且△A2B2C2与△ABC的位似比为2：1，并直接写出点A2的坐标．

6. （2016·四川眉山）已知：如图△ABC三个顶点的坐标分别为A（0，﹣3）、B（3，﹣2）、C（2，﹣4），正方形网格中，每个小正方形的边长是1个单位长度．

（1）画出△ABC向上平移6个单位得到的△A1B1C1；

（2）以点C为位似中心，在网格中画出△A2B2C2，使△A2B2C2与△ABC位似，且△A2B2C2与△ABC的位似比为2：1，并直接写出点A2的坐标．

【参考答案】

类型一：平移与轴对称问题

【同步练】

（2016·黑龙江哈尔滨·7分）图1、图2是两张形状和大小完全相同的方格纸，方格纸中每个小正方形的边长均为1，线段AC的两个端点均在小正方形的顶点上．

（1）如图1，点P在小正方形的顶点上，在图1中作出点P关于直线AC的对称点Q，连接AQ、QC、CP、PA，并直接写出四边形AQCP的周长；

（2）在图2中画出一个以线段AC为对角线、面积为6的矩形ABCD，且点B和点D均在小正方形的顶点上．

【考点】作图-轴对称变换．

【分析】（1）直接利用网格结合勾股定理得出符合题意的答案；

（2）直接利用网格结合矩形的性质以及勾股定理得出答案．

【解答】解：（1）如图1所示：四边形AQCP即为所求，它的周长为：4×=4；

（2）如图2所示：四边形ABCD即为所求．

类型二：旋转问题

【同步练】

（ 2014•广西玉林市、防城港市，第21题6分）如图，已知：BC与CD重合，∠ABC=∠CDE=90°，△ABC≌△CDE，并且△CDE可由△ABC逆时针旋转而得到．请你利用尺规作出旋转中心O（保留作图痕迹，不写作法，注意最后用墨水笔加黑），并直接写出旋转角度是　90°　．

【解析】作图-旋转变换．分别作出AC，CE的垂直平分线进而得出其交点O，进而得出答案．

【解答】解：如图所示：旋转角度是90°．

故答案为：90°．

【点评】此题主要考查了旋转变换，得出旋转中心的位置是解题关键．

类型三：相似问题

【同步练】

（枣庄市 2015 中考 -20）已知：△ABC在直角坐标平面内，三个顶点的坐标分别为A（0，3）、B（3，4）、C（2，2）（正方形网格中每个小正方形的边长是一个单位长度）．

（1）画出△ABC向下平移4个单位长度得到的△A1B1C1，点C1的坐标是　   　；

（2）以点B为位似中心，在网格内画出△A2B2C2，使△A2B2C2与△ABC位似，且位似比为2：1，点C2的坐标是　   　；

（3）△A2B2C2的面积是　  　平方单位．

【解析】此题主要考查了位似图形的性质以及平移的性质和三角形面积求法等知识，那对于题（1）利用平移的性质得出平移后图象进而得出答案；

对于题（2）可利用位似图形的性质得出对应点位置即可；

对于题（3）可利用等腰直角三角形的性质得出△A2B2C2的面积．

解题过程：

【解答】（1）如图所示：C1（2，﹣2）；

故答案为：（2，﹣2）；

（2）如图所示：C2（1，0）；

故答案为：（1，0）；

（3）∵A2C22=20，B2 C22=20，A2 B22=40，

∴△A2B2C2是等腰直角三角形，

∴△A2B2C2的面积是：×20=10平方单位．

故答案为：10．

规律总结：

解决此类问题关键是把握位似图形的性质以及平移的性质和三角形面积求法等知识，并能得出对应点坐标．

类型四：图形变换综合问题

【同步练】

【例题1】（枣庄市 2015中考 -10）如图，在4×4的正方形网格中，每个小正方形的顶点称为格点，左上角阴影部分是一个以格点为顶点的正方形（简称格点正方形）．若再作一个格点正方形，并涂上阴影，使这两个格点正方形无重叠面积，且组成的图形是轴对称图形，又是中心对称图形，则这个格点正方形的作法共有（　　）

A．2种    B．3种    C．4种      Ｄ．5种 

思路分析：

根据有关轴对称的定义，利用轴对称图形的性质以及中心对称图形的性质分析得出符合题意的图形即可．

解题过程：

解：如图所示：组成的图形是轴对称图形，又是中心对称图形，

则这个格点正方形的作法共有4种．

故选：C．

规律总结：

正确把握利用轴对称以及旋转设计图案所涉及到的定义是解题关键．

【达标检测】

1. （2013福建福州，8，4分）如图，已知△ABC，以点B为圆心，AC长为半径画弧；以点C为圆心，AB长为半径画弧，两弧交于点D，且点A，点D在BC异侧，连结AD，量一量线段AD的长，约为（     ）

A．2.5cm          

B．3.0cm        

C．3.5cm          

D．4.0cm

【答案】B

【解析】首先根据题意画出图形，由“两组对边分别相等的四边形是平行四边形”，可知四边形ABCD是平行四边形，再根据平行四边形的性质对角线相等，得出AD＝BC．最后利用刻度尺进行测量即可．

【方法指导】此题主要考查了复杂作图以及平行四边形的判定和性质，关键是正确理解题意，画出图形．

2. (2014年天津市，第18题3分)如图，将△ABC放在每个小正方形的边长为1的网格中，点A，点B，点C均落在格点上．

（Ⅰ）计算AC2+BC2的值等于　   　；

（Ⅱ）请在如图所示的网格中，用无刻度的直尺，画出一个以AB为一边的矩形，使该矩形的面积等于AC2+BC2，并简要说明画图方法（不要求证明）　       　．

【解析】 作图—应用与设计作图．（1）直接利用勾股定理求出即可；

（2）首先分别以AC、BC、AB为一边作正方形ACED，正方形BCNM，正方形ABHF；进而得出答案．

【解答】 解：（Ⅰ）AC2+BC2=（）2+32=11；

故答案为：11；

（2）分别以AC、BC、AB为一边作正方形ACED，正方形BCNM，正方形ABHF；

延长DE交MN于点Q，连接QC，平移QC至AG，BP位置，直线GP分别交AF，BH于点T，S，

则四边形ABST即为所求．

【点评】 此题主要考查了应用设计与作图，借助网格得出正方形是解题关键．

3. （2014•浙江湖州，第8题3分）如图，已知在Rt△ABC中，∠ABC=90°，点D是BC边的中点，分别以B、C为圆心，大于线段BC长度一半的长为半径圆弧，两弧在直线BC上方的交点为P，直线PD交AC于点E，连接BE，则下列结论：①ED⊥BC；②∠A=∠EBA；③EB平分∠AED；④ED=AB中，一定正确的是（　　）

A．①②③ B． ①②④ C． ①③④ D． ②③④

【解析】根据作图过程得到PB=PC，然后利用D为BC的中点，得到PD垂直平分BC，从而利用垂直平分线的性质对各选项进行判断即可．

【解答】：根据作图过程可知：PB=CP，∵D为BC的中点，

∴PD垂直平分BC，∴①ED⊥BC正确；∵∠ABC=90°，∴PD∥AB，

∴E为AC的中点，∴EC=EA，∵EB=EC，

∴②∠A=∠EBA正确；③EB平分∠AED错误；④ED=AB正确，

故正确的有①②④，故选B．

【点评】本题考查了基本作图的知识，解题的关键是了解如何作已知线段的垂直平分线，难度中等．

4. （2016·四川眉山）已知：如图△ABC三个顶点的坐标分别为A（0，﹣3）、B（3，﹣2）、C（2，﹣4），正方形网格中，每个小正方形的边长是1个单位长度．

（1）画出△ABC向上平移6个单位得到的△A1B1C1；

（2）以点C为位似中心，在网格中画出△A2B2C2，使△A2B2C2与△ABC位似，且△A2B2C2与△ABC的位似比为2：1，并直接写出点A2的坐标．

【分析】（1）直接利用平移的性质得出对应点位置进而得出答案；

（2）利用位似图形的性质得出对应点位置进而得出．

【解答】解：（1）如图所示：△A1B1C1，即为所求；

（2）如图所示：△A2B2C2，即为所求，A2坐标（﹣2，﹣2）．

【点评】此题主要考查了位似变换和平移变换，根据题意正确得出对应点位置是解题关键．

5. 已知：如图△ABC三个顶点的坐标分别为A（0，﹣3）、B（3，﹣2）、C（2，﹣4），正方形网格中，每个小正方形的边长是1个单位长度．

（1）画出△ABC向上平移6个单位得到的△A1B1C1；

（2）以点C为位似中心，在网格中画出△A2B2C2，使△A2B2C2与△ABC位似，且△A2B2C2与△ABC的位似比为2：1，并直接写出点A2的坐标．

【分析】（1）直接利用平移的性质得出对应点位置进而得出答案；

（2）利用位似图形的性质得出对应点位置进而得出．

【解答】解：（1）如图所示：△A1B1C1，即为所求；

（2）如图所示：△A2B2C2，即为所求，A2坐标（﹣2，﹣2）．

【点评】此题主要考查了位似变换和平移变换，根据题意正确得出对应点位置是解题关键．

6. （2016·四川眉山）已知：如图△ABC三个顶点的坐标分别为A（0，﹣3）、B（3，﹣2）、C（2，﹣4），正方形网格中，每个小正方形的边长是1个单位长度．

（1）画出△ABC向上平移6个单位得到的△A1B1C1；

（2）以点C为位似中心，在网格中画出△A2B2C2，使△A2B2C2与△ABC位似，且△A2B2C2与△ABC的位似比为2：1，并直接写出点A2的坐标．[来源:学科网]

【分析】（1）直接利用平移的性质得出对应点位置进而得出答案；

（2）利用位似图形的性质得出对应点位置进而得出．

【解答】解：（1）如图所示：△A1B1C1，即为所求；

（2）如图所示：△A2B2C2，即为所求，A2坐标（﹣2，﹣2）．

【点评】此题主要考查了位似变换和平移变换，根据题意正确得出对应点位置是解题关键．