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    人教版高数选修1-2第5讲:复数的运算(教师版) 教案
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    人教版新课标A选修1-23.2复数代数形式的四则运算教学设计

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    这是一份人教版新课标A选修1-23.2复数代数形式的四则运算教学设计,共8页。

    数系的扩充与复数的概念

    1掌握复数的代数形式的加法、减法运算法则并熟练地进行化简、求值.

    2了解复数的代数形式的加法、减法运算的几何意义.

    3理解复数代数形式的乘、除运算法则.

    4会进行复数代数形式的乘、除运算.

    5了解互为共轭复数的概念.

    .复数的加法与减法.

    1.复数的加、减法法则.

    (a+bi)+(c+di)=(a+c)+(b+d)i;(a+bi)-(cdi)=(a-c)+(b-d)i

    即两个复数相加(减)就是实部与实部虚部与虚部分别相加(减)

    2.复数加法的运算律.

    复数的加法满足交换律、结合律即对任意z1,z2,z3C有z1+z2z2+z1(z1+z2)+z3z1+(z2+z3)

    二.复数加、减法的几何意义.

    复数z1,z2对应的向量不共线.

    1复数加法的几何意义:复数z1+z2是以为两邻边的平行四边形的对角线所对应的复数.因此复数的加法可以按照向量的加法来进行.

    2复数减法的几何意义:复数z1-z2是连结向量终点并指被减向量所对应的复数.

     

    三.复数代数形式的乘法法则

    (1)复数代数形式的乘法法则

    已知z1=a+bi,z2=c+di,a,b,c,d∈R则z1·z2=(a+bi)(c+di)=(ac-bd)+(ad+bc)i

    (2)复数乘法的运算律

    对于任意z1,z2,z3C有z1·z2z2·z1(z1·z2)·z3z1·(z2·z3),z1(z2+z3)=z1z2+z1z3

    四.共轭复数

    已知z1=a+bi,z2=c+di,a,b,c,d∈R则z1,z2互为共轭复数的充要条件是a=c且b=-d,z1,z2互为共轭虚数的充要条件是a=c且b=-d≠0

    五.复数代数形式的除法法则

    (a+bi)÷(c+di)=i(c+di≠0).

     

    类型一.复数的加减运算

    例1:若复数z满足z(34i)1,则z的虚部是(  )

    A.-2 B4 C3 D.-4

    解析:z1(34i)=-24i,故选B.

    答案:B

     

    2已知z1=2+i,z2=1-2i,则复数z=z2-z1对应的点位于(  )

    A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限

    解析:z=z2-z1=(1-2i)-(2+i)=-1-3i,故z对应的点为(-1,-3),在第三象限.

    答案:C

     

    练习1:3.若复数z1=a-i,z2=-4+bi,z1-z2=6+i,z1+z2+z3=1(a,bR),z3(  )

    A.-1-5i B.-1+5i C.3-4i D.3+3i

    解析:z1-z2=(a-i)-(-4+bi)=a+4-(1+b)i=6+i,

    a=2,b=-2,

    z3=1-z1-z2=1-2+i+4+2i=3+3i.故选D.

    答案:D

     

    练习2:已知复数z1=(a2-2)+(a-4)i,z2=a-(a2-2)i(aR),z1-z2为纯虚数,a=________.

    解析:z1-z2=(a2-a-2)+(a-4+a2-2)i=(a2-a-2)+(a2+a-6)i(aR)为纯虚数,

    所以解得a=-1.

    答案:a=-1.

     

    类型二.复数的几何意义

    3若复平面上的ABCD,对应复数6+8i,对应复数为-4+6i,则对应的复数是(  )

    A.-1-7i B.2+14i C.1+7i D.2-14i

     

    解析设对应的复数分别为z1z2,则有于是2z2=2+14i,z2=1+7i,故对应的复数是-1-7i.

    答案:A

     

    练习1:A,B分别是复数z1,z2在复平面内对应的点,O是原点,|z1+z2|=|z1-z2|,则三角形AOB一定是(  )

    A.等腰三角形 B.直角三角形

    C.等边三角形 D.等腰直角三角形

    解析:根据复数加(减)法的几何意义知,以为邻边所作的平行四边形的对角线相等,则此平行四边形为矩形,故三角形OAB为直角三角形.

    答案:B

     

    类型三.复数的乘除运算

    4(2014·郑州六校质量检测)设复数zabi(abR),若2i成立,则点P(ab)(  )

    A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限

    解析:2iz(2i)(1i)3ia3b1P(ab)在第一象限.

    答案:A

     

    练习1:(2014·新课标理,2)设复数z1z2在复平面内的对应点关于虚轴对称,z12i,则z1z2(  )

    A.-5 B5 C.-4i D.-4i

    解析:本题考查复数的乘法,复数的几何意义.

    z1=2+i,z1与z2关于虚轴对称,z2=-2+i,

    z1z2=-1-4=-5,故选B.

    答案:B

    练习2:(2015·泰安市高二期末)设a,b为实数,若复数=1+i,则(  )

    A.a=,b= B.a=3,b=1 Cab Da1b3

    解析:=1+i可得1+2i=(a-b)+(a+b)i,

    所以解得a=,b=,故选A.

    答案:A

     

     

     

     

    类型四.共轭复数

    (2015·衡阳二模)设复数z=-1-i(i为虚数单位),z的共轭复数是,则等于(  )

    A.-1-2i B.-2+I C.-1+2i D.1+2i

    解析:由题意可得=-12i,故选C.

    答案:C

     

    练习1:(2014·东北三省三校联考)已知复数z=-i,则|z|(  )

    A.-i B.-I C.i D.i

    解析:因为z=-i,所以|z|=-ii.

    答案D

    练习2:(2015·石家庄市二模)已知复数z满足(1i)zi2015(其中i为虚数单位),则的虚部为(  )

    A. B.- C.i D.-i

    解析:20154×5033i2015i3=-i.zi.z的虚部为-.故选B.

    答案:B

     

     

    1.(2014·浙江台州中学期中)xR,则x1复数z(x21)(x1)i为纯虚数(  )

    A.充分必要条件 B.必要不充分条件

    C.充分不必要条件 D.既不充分也不必要条件

    答案:A

    2.z12iz23ai(aR),且z1z2所对应的点在实轴上,则a的值为(  )

    A3 B2 C1 D.-1

    答案:D

    3.已知复数z132iz213i,则复数zz1z2在复平面内对应的点Z位于复平面内的(  )

    A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限

    答案:A

    4.(20142015·洛阳市高二期中)已知i为虚数单位,z为复数,下面叙述正确的是(  )

    Az为纯虚数

    B.任何数的偶数次幂均为非负数

    Ci1的共轭复数为i1

    D23i的虚部为3

    答案:D

    5.(2015·北京市东城区高二期末)已知复数z1aiz21i,其中aR是纯虚数,则实数a的值为(  )

    A.-1 B1 C.-2 D2

    答案:A

    6.设复数z满足i,则|1z|(  )

    A0 B1 C. D2

    答案:C

    (2015·海南文昌中学高二期中)已知复平面上正方形的三个顶点对应的复数分别为12i,-2i,-12i,那么第四个顶点对应的复数是________________

    答案:2i

    .i是虚数单位,复数为纯虚数,则实数a的值为________________

    答案:2

    .已知平行四边形ABCD中,对应的复数分别是32i14i,两对角线ACBD相交于P点.

    (1)对应的复数;

    (2)对应的复数;

    (3)APB的面积.

    答案:(1)由于ABCD是平行四边形,所以A,于是,而(14i)(32i)=-22i,即A对应的复数是-22i.

    (2)由于,而(3+2i)-(-2+2i)=5,即对应的复数是5.

    (3)由于=-

    于是·=-,而||=,||=

    所以··cosAPB=-

    因此cosAPB=-,故sinAPB=

    故SAPB||||sinAPB=×××.

    APB的面积为.

     

    _________________________________________________________________________________

    _________________________________________________________________________________

    基础巩固

    已知=2+i则复数z=(  )

    A-1-3i B.1-3i C3I D.3i

    答案:B

    2.(2014·高考江西卷)若复数z满足z(1+i)=2i(i为虚数单位)则|z|=(  )

    A.1 B.2 C. D.

    答案:C

    .若θ,则复数(cosθ+sinθ)+(sinθ-cosθ)i在复平面内所对应的点在(  )

    A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限

    答案:B

    4.(2015·重庆理,11)设复数a+bi(a,bR)的模为,则(a+bi)(a-bi)=________.

    答案:3

    5.设θ[0,2π],当θ=________________时,z=1+sinθ+i(cosθ-sinθ)是实数.

    答案:π

    .在复平面内,z=cos10+isin10的对应点在第________________象限.

    答案:

    .在复平面内,O是原点,对应的复数分别为-2+i、3+2i、1+5i,那么B对应的复数为______________.

    答案:4-4i

    .已知z1=cosα+isinα,z2=cosβ-isinβ且z1-z2i,则cos(α+β)的值为____.

    答案:

    9.(2015·长春外国语学校高二期中)设复数z=lg(m22m-2)+(m23m+2)i(mR),试求m取何值时

    (1)z是实数.

    (2)z是纯虚数.

    (3)z对应的点位于复平面的第一象限.

    答案:(1)由m23m+2=0且m22m-2>0,解得m=-1,或m=-2,复数表示实数.

    (2)当实部等于零且虚部不等于零时,复数表示纯虚数.

    由lg(m22m-2)=0,且m23m+2≠0,

    求得m=3,故当m=3时,复数z为纯虚数.

    (3)由lg(m22m-2)>0,且m23m+2>0,解得m<-2,或m>3,故当m<-2,或m>3时,复数z对应的点位于复平面的第一象限.

    能力提升

    10.ABC的三个顶点所对应的复数分别为z1,z2,z3,复数z满足|z-z1|=|z-z2|=|z-z3|,则z对应的点是ABC的(  )

    A.外心 B.内心 C.重心 D.垂心

    答案:A

    11.(2015·陕西理,11)设复数z=(x-1)+yi(xyR),若|z|≤1,则yx的概率为(  )

    A. B. C. D.

    答案:D

    12.设复数z1z2满足z12=-1+i,z1=(a+2)+(a2a-2)为不等于0的实数,则|z2|=(  )

    A. B. C. D.

    答案:C

    13.(2014·新乡、许昌、平顶山调研)复数z1、z2满足z1=m+(4-m2)i,z2=2cosθ+(λ+3sinθ)i(m、λ、θR),并且z1=z2,则λ的取值范围是(  )

    A.[-1,1] B.[-,1] C.[-,7] D.[,1]

    答案:C

    1.已知关于x的方程x2+(k+2i)x+2+ki=0有实根,则这个实根以及实数k的值分别为____________和____________.

    答案:

    15.设z=a+bi(a、bR),且4(a+bi)+2(a-bi)=3+i,又ω=sinθ-icosθ,求z的值和|z-ω|的取值范围.

    答案:4(abi)+2(abi)=3+i,

    6a+2bi=3+i,

    zi,

    zω-(sinθ-icosθ)=i

    |zω|=

    -1≤sin≤1,0≤2-2sin≤4

    0≤|zω|≤2,故所求得zi,

    |zω|的取值范围是[0,2].

     

     

     

     

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