初中数学人教版八年级下册第十八章 平行四边形综合与测试精品单元测试一课一练

这是一份初中数学人教版八年级下册第十八章 平行四边形综合与测试精品单元测试一课一练，共16页。试卷主要包含了下列命题中，真命题是等内容，欢迎下载使用。

一．选择题（共8小题，满分24分，每小题3分）


1．如图，▱ABCD中，下列说法一定正确的是（ ）





A．AC＝BDB．AC⊥BDC．AO＝COD．AB＝BC


2．如图，CD是△ABC的边AB上的中线，且CD＝AB，则下列结论错误的是（ ）





A．∠B＝30°B．AD＝BD


C．∠ACB＝90°D．△ABC是直角三角形


3．如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，添加下列条件，不能判定四边形ABCD是平行四边形的是（ ）





A．AB＝CDB．BC∥ADC．∠A＝∠CD．BC＝AD


4．下列命题中，真命题是（ ）


A．对角线相等的四边形是矩形


B．对角线互相垂直的四边形是菱形


C．对角线互相平分的四边形是平行四边形


D．对角线互相垂直平分的四边形是正方形


5．如图，矩形ABCD中，AD＝4，对角线AC与BD交于点O，OE⊥AC交BC于点E，CE＝3，则矩形ABCD的面积为（ ）





A．B．C．12D．32


6．如图所示，以正方形ABCD中AD边为一边向外作等边△ADE，则∠AEB＝（ ）





A．10°B．15°C．20°D．12.5°


7．如图，△ABC中，D是AB的中点，DE∥BC，连接BE．若AE＝6，DE＝5，∠BEC＝90°，则△BCE的周长是（ ）





A．12B．24C．36D．48


8．如图，在矩形COED中，点D的坐标是（1，3），则CE的长是（ ）





A．3B．C．D．4


二．填空题（共6小题，满分24分，每小题4分）


9．▱ABCD中，∠A+∠C＝220°，则∠A＝ ．


10．如图，在△ABC中，点D、E分別是AB，AC的中点，若BC＝6，则DE＝ ．





11．如图，四边形ABCD是平行四边形，AC与BD相交于点O，添加一个条件： ，可使它成为菱形．





12．如图，在▱ABCD中，E是AD边的中点．若BE平分∠ABC，AB＝3，则▱ABCD的周长是 ．





13．菱形的两条对角线长分别为2cm和2cm，则该菱形的面积为 cm2．


14．如图，已知菱形OABC的边OA在x轴上，∠AOC＝60°，点A的坐标为（6，0），则点B的坐标为 ．





三．解答题（共7小题，满分52分）


15．已知，如图E、F是四边形ABCD的对角线AC上的两点，AF＝CE，DF＝BE，DF∥BE，四边形ABCD是平行四边形吗？请说明理由．














16．如图，E、F、G、H分别是边AB、BC、CD、DA的中点．当BD、AC满足什么条件时，四边形EFGH是正方形．














17．如图，在平行四边形ABCD中，过点D做DE⊥AB于E，点F在边CD上，DF＝BE，连接AF、BF．


（1）求证：四边形BFDE是矩形；


（2）若CF＝3，BE＝5，AF平分∠DAB，求平行四边形ABCD的面积．














18．在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，D是BC的中点，E是AD的中点，过点A作AF∥BC交BE的延长线于点F．


（1）求证：△AEF≌△DEB；


（2）证明四边形ADCF是菱形．











19．在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，D是BC的中点，E是AD的中点，过点A作AF∥BC交BE的延长线于点F．


（1）求证：△AEF≌△DEB；


（2）证明四边形ADCF是菱形；


（3）若AC＝4，AB＝5，求菱形ADCF的面积．























20．四边形ABCD为正方形，点E为线段AC上一点，连接DE，过点E作EF⊥DE，交射线BC于点F，以DE、EF为邻边作矩形DEFG，连接CG．


（1）如图1，求证：矩形DEFG是正方形；


（2）若AB＝2，CE＝，求CG的长度；


（3）当线段DE与正方形ABCD的某条边的夹角是30°时，直接写出∠EFC的度数．























21．已知，矩形ABCD中，AB＝4cm，BC＝8cm，AC的垂直平分线EF分别交AD、BC于点E、F，垂足为O．


（1）如图1，连接AF、CE．求证四边形AFCE为菱形，并求AF的长；


（2）如图2，动点P、Q分别从A、C两点同时出发，沿△AFB和△CDE各边匀速运动一周．即点P自A→F→B→A停止，点Q自C→D→E→C停止．在运动过程中，


①已知点P的速度为每秒5cm，点Q的速度为每秒4cm，运动时间为t秒，当A、C、P、Q四点为顶点的四边形是平行四边形时，求t的值．


②若点P、Q的运动路程分别为a、b（单位：cm，ab≠0），已知A、C、P、Q四点为顶点的四边形是平行四边形，求a与b满足的数量关系式．
























































参考答案


一．选择题（共8小题，满分24分，每小题3分）


1．解：在▱ABCD中，可得：AO＝OC，


故选：C．


2．解：∵CD是△ABC的边AB上的中线，


∴AD＝BD，故B选项正确；


又∵CD＝AB，


∴AD＝CD＝BD，


∴∠A＝∠ACD，∠B＝∠BCD，


∴∠ACB＝180°×＝90°，故C选项正确；


∴△ABC是直角三角形，故D选项正确；


故选：A．





3．解：当AB∥CD，AB＝CD时，依据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，能判定四边形ABCD是平行四边形，故A选项不合题意；


当AB∥CD，BC∥AD时，依据两组对边分别平行的四边形是平行四边形，能判定四边形ABCD是平行四边形，故B选项不合题意；


当AB∥CD，∠A＝∠C时，可得AD∥BC，依据两组对边分别平行的四边形是平行四边形，能判定四边形ABCD是平行四边形，故C选项不合题意；


当AB∥CD，BC＝AD时，不能判定四边形ABCD是平行四边形；


故选：D．


4．解：A、两条对角线相等且相互平分的四边形为矩形；故本选项错误；


B、对角线互相垂直的平行四边形是菱形；故本选项错误；


C、对角线互相平分的四边形是平行四边形；故本选项正确；


D、对角线互相垂直平分且相等的四边形是正方形；故本选项错误；


故选：C．


5．解：连接AE，如图所示：


∵四边形ABCD是矩形，


∴OA＝OC，∠ABC＝90°，BC＝AD＝4，


∵OE⊥AC，


∴AE＝CE＝3，


∴BE＝BC﹣CE＝1，


∴AB＝＝＝2，


∴矩形ABCD的面积＝AB×BC＝2×4＝8；


故选：B．





6．解：∵四边形ABCD是正方形，


∴AB＝AD，∠BAD＝90°，


∵三角形ADE是等边三角形，


∴∠EAD＝60°，AD＝AE＝AB，


∴∠ABE＝∠AEB，


∵∠ABE+∠AEB+∠BAE＝180°，


∴∠AEB＝×（180°﹣90°﹣60°）＝15°，


故选：B．


7．解：∵D是AB的中点，DE∥BC，


∴DE是△ABC的中位线．


∴点E是AC中点，


∴CE＝AE＝6．


∵DE＝5，


∴BC＝10．


∵∠BEC＝90°，


∴△BCE是直角三角形，


∴根据勾股定理得，BE＝8，


∴△BCE的周长为BC+CE+BE＝10+6+8＝24．


故选：B．





8．解：∵四边形COED是矩形，


∴CE＝OD，


∵点D的坐标是（1，3），


∴OD＝＝，


∴CE＝，


故选：C．


二．填空题（共6小题，满分24分，每小题4分）


9．解：∵四边形ABCD是平行四边形


∴∠A＝∠C


∵∠A+∠C＝220°，


∴∠A＝∠C＝110°


故答案为：110°


10．解：∵点D、E分別是AB，AC的中点，


∴DE＝BC＝×6＝3，


故答案为：3．


11．解：∵四边形ABCD是平行四边形，


∴当AB＝BC时，平行四边形ABCD是菱形，


当AC⊥BD时，平行四边形ABCD是菱形．


故答案为：AB＝BC或AC⊥BD等．


12．解：∵ABCD为平行四边形，


∴AD∥BC，∠AEB＝∠EBC，


又BE平分∠ABC，∠ABE＝∠AEB，


故△ABE为等腰三角形，


∴AE＝AB＝3，可知AD＝6，


∴▱ABCD的周长＝2（AB+AD）＝18．


故答案为：18．


13．解：∵菱形的面积＝对角线积的一半


∴菱形的面积＝×2×2＝2cm2，


故答案为：2


14．解：如图：过点B作BD⊥OA于点D





∵点A的坐标为（6，0），


∴OA＝6


∵四边形OABC是菱形


∴OA＝AB＝6，AB∥OC


∴∠BAD＝∠AOC＝60°


∵∠BAD＝60°，BD⊥AO


∴∠ABD＝30°


∴AD＝AB＝3，BD＝AD＝3


∴OD＝OA+AD＝9


∴点B坐标（9，3）


故答案为：（9，3）


三．解答题（共7小题）


15．解：结论：四边形ABCD是平行四边形，


证明：∵DF∥BE，


∴∠AFD＝∠CEB，


又∵AF＝CE DF＝BE，


∴△AFD≌△CEB（SAS），


∴AD＝CB，∠DAF＝∠BCE，


∴AD∥CB，


∴四边形ABCD是平行四边形．


16．解：当AC＝BD且AC⊥BD时，四边形EFGH是正方形．理由如下：


在△ABC中，E、F分别是边AB、BC中点，


所以EF∥AC，且EF＝AC，


同理有GH∥AC，且GH＝AC，


∴EF∥GH且EF＝GH，


故四边形EFGH是平行四边形．


EH∥BD且EH＝BD，


若AC＝BD，则有EH＝EF，


又因为四边形EFGH是平行四边形，


∴四边形EFGH是菱形，


∵AC⊥BD，


∴∠EHG＝90°，


即：当AC＝BD且AC⊥BD时，四边形EFGH是正方形．





17．证明：（1）∵四边形ABCD是平行四边形，


∴AB∥DC，


∵DF＝BE，


∴四边形BFDE是平行四边形，


∵DE⊥AB，


∴∠DEB＝90°，


∴四边形BFDE是矩形；


（2）∵AF平分∠DAB，


∴∠DAF＝∠FAB，


∵平行四边形ABCD，


∴AB∥CD，


∴∠FAB＝∠DFA，


∴∠DFA＝∠DAF，


∴AD＝DF＝5，


在Rt△ADE中，DE＝，


∴平行四边形ABCD的面积＝AB•DE＝4×8＝32，


18．证明：（1）∵AF∥BC，


∴∠AFE＝∠DBE，


∵E是AD的中点，AD是BC边上的中线，


∴AE＝DE，BD＝CD，


在△AFE和△DBE中，


，


∴△AFE≌△DBE（AAS）；


（2）由（1）知，△AFE≌△DBE，则AF＝DB．


∵DB＝DC，


∴AF＝CD．


∵AF∥BC，


∴四边形ADCF是平行四边形，


∵∠BAC＝90°，D是BC的中点，E是AD的中点，


∴AD＝DC＝BC，


∴四边形ADCF是菱形．


19．（1）证明：∵AF∥BC，


∴∠AFE＝∠DBE，


∵E是AD的中点，


∴AE＝DE，


在△AFE和△DBE中，





∴△AFE≌△DBE（AAS）；


（2）证明：由（1）知，△AFE≌△DBE，则AF＝DB．


∵AD为BC边上的中线


∴DB＝DC，


∴AF＝CD．


∵AF∥BC，


∴四边形ADCF是平行四边形，


∵∠BAC＝90°，D是BC的中点，E是AD的中点，


∴AD＝DC＝BC，


∴四边形ADCF是菱形；


（3）连接DF，


∵AF∥BD，AF＝BD，


∴四边形ABDF是平行四边形，


∴DF＝AB＝5，


∵四边形ADCF是菱形，


∴S菱形ADCF＝AC▪DF＝×4×5＝10．





20．（1）证明：作EP⊥CD于P，EQ⊥BC于Q，


∵∠DCA＝∠BCA，


∴EQ＝EP，


∵∠QEF+∠FEC＝45°，∠PED+∠FEC＝45°，


∴∠QEF＝∠PED，


在Rt△EQF和Rt△EPD中，


，


∴Rt△EQF≌Rt△EPD，


∴EF＝ED，


∴矩形DEFG是正方形；


（2）如图2中，在Rt△ABC中．AC＝AB＝2，


∵EC＝，


∴AE＝CE，


∴点F与C重合，此时△DCG是等腰直角三角形，易知CG＝．





（3）①当DE与AD的夹角为30°时，∠EFC＝120°，


②当DE与DC的夹角为30°时，∠EFC＝30°


综上所述，∠EFC＝120°或30°．





21．解：（1）①∵四边形ABCD是矩形，


∴AD∥BC，


∴∠CAD＝∠ACB，∠AEF＝∠CFE，


∵EF垂直平分AC，垂足为O，


∴OA＝OC，


∴△AOE≌△COF，


∴OE＝OF，


∴四边形AFCE为平行四边形，


又∵EF⊥AC，


∴四边形AFCE为菱形，


②设菱形的边长AF＝CF＝xcm，则BF＝（8﹣x）cm，


在Rt△ABF中，AB＝4cm，


由勾股定理得42+（8﹣x）2＝x2，


解得x＝5，


∴AF＝5cm．


（2）①显然当P点在AF上时，Q点在CD上，此时A、C、P、Q四点不可能构成平行四边形；


同理P点在AB上时，Q点在DE或CE上或P在BF，Q在CD时不构成平行四边形，也不能构成平行四边形．


因此只有当P点在BF上、Q点在ED上时，才能构成平行四边形，


∴以A、C、P、Q四点为顶点的四边形是平行四边形时，PC＝QA，


∵点P的速度为每秒5cm，点Q的速度为每秒4cm，运动时间为t秒，


∴PC＝5t，QA＝CD+AD﹣4t＝12﹣4t，即QA＝12﹣4t，


∴5t＝12﹣4t，


解得，


∴以A、C、P、Q四点为顶点的四边形是平行四边形时，秒．


②由题意得，四边形APCQ是平行四边形时，点P、Q在互相平行的对应边上．


分三种情况：


i）如图1，当P点在AF上、Q点在CE上时，AP＝CQ，即a＝12﹣b，得a+b＝12；


ii）如图2，当P点在BF上、Q点在DE上时，AQ＝CP，即12﹣b＝a，得a+b＝12；


iii）如图3，当P点在AB上、Q点在CD上时，AP＝CQ，即12﹣a＝b，得a+b＝12．


综上所述，a与b满足的数量关系式是a+b＝12（ab≠0）．