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千题百炼——高考数学100个热点问题（一）：第2炼充分条件与必要条件

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第2炼充分条件与必要条件

一、基础知识

1、定义：

（1）对于两个条件，如果命题“若则”是真命题，则称条件能够推出条件，记为，

（2）充分条件与必要条件：如果条件满足，则称条件是条件的充分条件；称条件是条件的必要条件

2、对于两个条件而言，往往以其中一个条件为主角，考虑另一个条件与它的关系，这种关系既包含充分方面，也包含必要方面。所以在判断时既要判断“若则”的真假，也要判断“若则”真假

3、两个条件之间可能的充分必要关系：

（1）能推出，但推不出，则称是的充分不必要条件

（2）推不出，但能推出，则称是的必要不充分条件

（3）能推出，且能推出，记为，则称是的充要条件，也称等价

（4）推不出，且推不出，则称是的既不充分也不必要条件

4、如何判断两个条件的充分必要关系

（1）通过命题手段，将两个条件用“若……，则……”组成命题，通过判断命题的真假来判断出条件能否相互推出，进而确定充分必要关系。例如，构造命题：“若，则”为真命题，所以，但“若，则”为假命题（还有可能为），所以不能推出；综上，是的充分不必要条件

（2）理解“充分”，“必要”词语的含义并定性的判断关系

① 充分：可从日常用语中的“充分”来理解，比如“小明对明天的考试做了充分的准备”，何谓“充分”？这意味着小明不需要再做任何额外的工作，就可以直接考试了。在逻辑中充分也是类似的含义，是指仅由就可以得到结论，而不需要再添加任何说明与补充。以上题为例，对于条件，不需再做任何说明或添加任何条件，就可以得到所以可以说对是“充分的”，而反观对，由，要想得到，还要补充一个前提：不能取，那既然还要补充，则说明是“不充分的”

② 必要：也可从日常用语中的“必要”来理解，比如“心脏是人的一个必要器官”，何谓“必要”？没有心脏，人不可活，但是仅有心脏，没有其他器官，人也一定可活么？所以“必要”体现的就是“没它不行，但是仅有它也未必行”的含义。仍以上题为例：如果不成立，那么必然不为1，但是仅靠想得到也是远远不够的，还需要更多的补充条件，所以仅仅是“必要的”

（3）运用集合作为工具

先看一个问题：已知 ,那么条件“”是“”的什么条件？

由可得到：，且推不出，所以“”是“”充分不必要条件。通过这个问题可以看出，如果两个集合存在包含关系，那么其对应条件之间也存在特定的充分必要关系。在求解时可以将满足条件的元素构成对应集合，判断出两个集合间的包含关系，进而就可确定条件间的关系了。相关结论如下：

① ：是的充分不必要条件，是的必要不充分条件

② ：是的充分条件

③ ：是的充要条件

此方法适用范围较广，尤其涉及到单变量取值范围的条件时，不管是判断充分必要关系还是利用关系解参数范围，都可将问题转化为集合的包含问题，进而快捷求解。例如在中，满足的取值集合为，而满足的取值集合为

所以，进而判断出是的充分不必要条件

5、关于“”的充分必要关系：可从命题的角度进行判断。例如：是的充分不必要条件，则命题“若，则”为真命题，根据四类命题的真假关系，可得其逆否命题“若，则”也为真命题。所以是的充分不必要条件

二、典型例题：

例1：已知，则是的（）

A. 充要条件 B. 必要不充分条件

C. 充分不必要条件 D. 既不充分也不必要条件

思路：考虑利用集合求解：分别解不等式得到对应集合。，解得：，即；或，即。所以，进而是的充分不必要条件

答案：C

例2：已知，那么是的（）

A. 充要条件 B. 必要不充分条件

C. 充分不必要条件 D. 既不充分也不必要条件

思路：本题若觉得不方便从条件中直接找到联系，可先从一个条件入手推出其等价条件，再进行判断，比如“”等价于，所以只需判断与的关系即可。根据的单调性可得：如果，则，但是若，在大于零的前提下，才有，而题目中仅说明。所以不能推出。综上可判断是的充分不必要条件

答案：C

小炼有话说：（1）如果所给条件不方便直接判断，那么可以寻找它们的等价条件（充要条件），再进行判断即可

（2）在推中，因为是条件，表达式成立要求，但是在推中，是条件，且对取值没有特殊要求，所以，那么作为结论的就不一定有意义了。在涉及到变量取值时要首先分清谁是条件，谁是结论。作为条件的一方默认式子有意义，所以会对变量取值有一定的影响。

例3：已知，如果是的充分不必要条件，则的取值范围是_____

思路：设，因为是的充分不必要条件，所以，利用数轴可而判断出

答案：

例4：下面四个条件中，使成立的充分而不必要的条件是（）

A. B. C. D.

思路：求的充分不必要条件，则这个条件能够推出，且不能被推出。可以考虑验证四个选项。A选项可以推出，而不一定能够得到（比如），所以A符合条件。对于B，C两个选项均不能推出A，所以直接否定。而D选项虽然可以得到，但是也能推出，所以D是A的充要条件，不符题意

答案：A

例5：（2015浙江温州中学高二期中考试）设集合，则“”是“”的（）

A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件

C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件

思路：先解出两个解集：，的解集与的取值有关：若，则；若，则，观察条件，若，则，所以成立；若，则通过数轴观察区间可得的取值为多个（比如），所以“”是“”的充分不必要条件

答案：A

例6：对于函数，“的图象关于轴对称”是“是奇函数”的（）

A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件

C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件

思路：如果是奇函数，图像关于原点对称，则中位于轴下方的部分沿轴对称翻上来，恰好图像关于轴对称，但的图象关于轴对称未必能得到是奇函数（例如），所以“的图象关于轴对称”是“是奇函数”的必要不充分条件

答案：B

例7：已知，则“”是“”的（）

A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件

C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件

思路一：可以考虑利用特殊值来进行判断。比如考虑左右，可以举出反例，则不成立，所以左边无法得到右边。而右左能够成立，所以“”是“”的必要不充分条件

思路二：本题也可以运用集合的思想，将视为一个点的坐标，则条件所对应的集合为，作出两个集合在坐标系中的区域，观察两个区域可得，所以“”是“”的必要不充分条件

答案：B

例8（2015菏泽高三期中考试）：设条件：实数满足；条件：实数满足且是的必要不充分条件，则实数的取值范围是_________

思路：本题如果先将，写出，再利用条件关系运算，尽管可行，但，容易书写错误。所以优先考虑使用原条件。“是的必要不充分条件”等价于“是的必要不充分条件”，而为两个不等式，所以考虑求出解集再利用集合关系求解。

解：设，可解得：，

设可解得：，

是的必要不充分条件是的必要不充分条件

答案：

例9：数列满足，则“”是“数列成等差数列”的（）

A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件

C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件

思路：当时，可得，即成等差数列。所以“”是“数列成等差数列”的充分条件。另一方面，如果成等差数列，则成等差数列，所以有，代入可得：，解得或，经检验，时，，利用数学归纳法可证得，则也为等差数列（公差为0），所以符合题意。从而由“数列成等差数列”无法推出“”，所以“”是“数列成等差数列”的不必要条件

答案: A

例10：设，则是的（）

A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件

C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件

思路：因为，所以。故由可得，即，对于能否推出，可考虑寻找各自等价条件：，，通过数形结合可以得到符合的的集合是的集合的子集。所以是的必要不充分条件

答案：B

三、近年模拟题题目精选

1、（2014，江西赣州高三摸底考试）若，则“”是“”的（）

A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件

C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件

2、（2014南昌一模，3）设为向量，则“”是“”的（）