千题百炼——高考数学100个热点问题（一）：第12炼 复合函数零点问题

第12炼 复合函数零点问题

一、基础知识：

1、复合函数定义：设，，且函数的值域为定义域的子集，那么通过的联系而得到自变量的函数，称是的复合函数，记为

2、复合函数函数值计算的步骤：求函数值遵循“由内到外”的顺序，一层层求出函数值。例如：已知，计算

解：  

3、已知函数值求自变量的步骤：若已知函数值求的解，则遵循“由外到内”的顺序，一层层拆解直到求出的值。例如：已知，，若，求

解：令，则解得

当，则

当，则

综上所述：

由上例可得，要想求出的根，则需要先将视为整体，先求出的值，再求对应的解，这种思路也用来解决复合函数零点问题，先回顾零点的定义：

4、函数的零点：设的定义域为，若存在，使得，则称为的一个零点

5、复合函数零点问题的特点：考虑关于的方程根的个数，在解此类问题时，要分为两层来分析，第一层是解关于的方程，观察有几个的值使得等式成立；第二层是结合着第一层的值求出每一个被几个对应，将的个数汇总后即为的根的个数

6、求解复合函数零点问题的技巧：

（1）此类问题与函数图象结合较为紧密，在处理问题的开始要作出的图像

（2）若已知零点个数求参数的范围，则先估计关于的方程中解的个数，再根据个数与的图像特点，分配每个函数值被几个所对应，从而确定的取值范围，进而决定参数的范围

复合函数：

二、典型例题

例1：设定义域为的函数 ，若关于的方程由3个不同的解，则______

思路：先作出的图像如图：观察可发现对于任意的，满足的的个数分别为2个（）和3个（），已知有3个解，从而可得必为 的根，而另一根为或者是负数。所以，可解得：，所以

答案：5

例2：关于的方程的不相同实根的个数是（     ）

A.  3                  B.  4                 C.  5               D.  8

思路：可将视为一个整体，即，则方程变为可解得：或，则只需作出的图像，然后统计与与的交点总数即可，共有5个

答案：C

例3：已知函数，关于的方程（）恰有6个不同实数解，则的取值范围是      ．

思路：所解方程可视为，故考虑作出的图像：， 则的图像如图，由图像可知，若有6个不同实数解，则必有，所以，解得

答案：

例4：已知定义在上的奇函数，当时，，则关于的方程的实数根个数为（     ）

A.                 B.               C.              D. 

思路：已知方程可解，得，只需统计与的交点个数即可。由奇函数可先做出的图像，时，，则的图像只需将的图像纵坐标缩为一半即可。正半轴图像完成后可再利用奇函数的性质作出负半轴图像。通过数形结合可得共有7个交点

答案：B

小炼有话说：在作图的过程中，注意确定分段函数的边界点属于哪一段区间。

例5：若函数有极值点，且，则关于的方程的不同实根的个数是（      ）

A．3       B．4      C．5        D．6

思路：由极值点可得：为 ①的两根，观察到方程①与结构完全相同，所以可得的两根为，其中，若，可判断出是极大值点，是极小值点。且，所以与有两个交点，而与有一个交点，共计3个；若，可判断出是极小值点，是极大值点。且，所以与有两个交点，而与有一个交点，共计3个。综上所述，共有3个交点

答案：A

例6：已知函数，若方程恰有七个不相同的实根，则实数的取值范围是（     ）

A.              B.            C.            D. 

思路：考虑通过图像变换作出的图像（如图），因为最多只能解出2个，若要出七个根，则，所以，解得：

答案：B

例7：已知函数，若关于的方程恰有4个不相等的实数根，则实数的取值范围是（     ）

A.        B.         C.        D.

思路：，分析的图像以便于作图，时，，从而在单调递增，在单调递减，，且当，所以正半轴为水平渐近线；当时，，所以在单调递减。由此作图，从图像可得，若恰有4个不等实根，则关于的方程中，，从而将问题转化为根分布问题，设，则的两根，设，则有，解得

答案：C

小炼有话说：本题是作图与根分布综合的题目，其中作图是通过分析函数的单调性和关键点来进行作图，在作图的过程中还要注意渐近线的细节，从而保证图像的准确。

例8：已知函数，则下列关于函数的零点个数判断正确的是（    ）

A. 当时，有4个零点；当时，有1个零点

B. 当时，有3个零点；当时，有2个零点

C. 无论为何值，均有2个零点

D. 无论为何值，均有4个零点

思路：所求函数的零点，即方程的解的个数，先作出的图像，直线为过定点的一条直线，但需要对的符号进行分类讨论。当时，图像如图所示，先拆外层可得，而有两个对应的，也有两个对应的，共计4个；当时，的图像如图所示，先拆外层可得，且只有一个满足的，所以共一个零点。结合选项，可判断出A正确

答案：A

例9：已知函数，则方程（为正实数）的实数根最多有___________个

思路：先通过分析的性质以便于作图，，从而在单增，在单减，且，为分段函数，作出每段图像即可，如图所示，若要实数根最多，则要优先选取能对应较多的情况，由图像可得，当时，每个可对应3个。只需判断中，能在取得的值的个数即可，观察图像可得，当时，可以有2个，从而能够找到6个根，即最多的根的个数

答案：6个

例10：已知函数和在的图像如下，给出下列四个命题：

（1）方程有且只有6个根

（2）方程有且只有3个根

（3）方程有且只有5个根

（4）方程有且只有4个根

则正确命题的个数是（      ）

A.   1                B.  2             C.  3               D.  4

思路：每个方程都可通过图像先拆掉第一层，找到内层函数能取得的值，从而统计出的总数。

（1）中可得，进而有2个对应的 ，有3个，有2个，总计7个，（1）错误；

（2）中可得，进而有1个对应的，有3个，总计4个，（2）错误；

（3）中可得，进而有1个对应的 ，有3个，有1个，总计5个，（3）正确；

（4）中可得：，进而有2个对应的 ，有2个，共计4个，（4）正确

则综上所述，正确的命题共有2个

答案：B