2019年全国各地中考数学真题分类汇编 专题27 锐角三角函数与特殊角(含解析)

专题训练27 锐角三角函数与特殊角

一.选择题

1.2019湖北宜昌3分）如图，在5×4的正方形网格中，每个小正方形的边长都是1，△ABC的顶点都在这些小正方形的顶点上，则sin∠BAC的值为（　　）

A． B． C． D．

【分析】过C作CD⊥AB于D，首先根据勾股定理求出AC，然后在Rt△ACD中即可求出sin∠BAC的值．

【解答】解：如图，过C作CD⊥AB于D，则∠ADC＝90°，

∴AC＝＝＝5．

∴sin∠BAC＝＝．

故选：D．

【点评】本题考查了勾股定理的运用以及锐角三角函数，正确作出辅助线是解题的关键．

2．（2019•山东威海•3分）如图，一个人从山脚下的A点出发，沿山坡小路AB走到山顶B点．已知坡角为20°，山高BC＝2千米．用科学计算器计算小路AB的长度，下列按键顺序正确的是（　　）

A． B． 

C． D．

【分析】在△ABC中，通过解直角三角形可得出sinA＝，则AB＝，即可得出结论．

【解答】解：在△ABC中，sinA＝sin20°＝，

∴AB＝＝，

∴按键顺序为：2÷sin20＝

故选：A．

【点评】本题主要考查解直角三角形的应用﹣坡度坡角问题以及计算器，熟练应用计算器是解题关键．

3．（2019•山东潍坊•3分）如图，四边形ABCD内接于⊙O，AB为直径，AD＝CD，过点D作DE⊥AB于点E，连接AC交DE于点F．若sin∠CAB＝，DF＝5，则BC的长为（　　）

A．8 B．10 C．12 D．16

【分析】连接BD，如图，先利用圆周角定理证明∠ADE＝∠DAC得到FD＝FA＝5，再根据正弦的定义计算出EF＝3，则AE＝4，DE＝8，接着证明△ADE∽△DBE，利用相似比得到BE＝16，所以AB＝20，然后在Rt△ABC中利用正弦定义计算出BC的长．

【解答】解：连接BD，如图，

∵AB为直径，

∴∠ADB＝∠ACB＝90°，

∵∠AD＝CD，

∴∠DAC＝∠DCA，

而∠DCA＝∠ABD，

∴∠DAC＝∠ABD，

∵DE⊥AB，

∴∠ABD+∠BDE＝90°，

而∠ADE+∠BDE＝90°，

∴∠ABD＝∠ADE，

∴∠ADE＝∠DAC，

∴FD＝FA＝5，

在Rt△AEF中，∵sin∠CAB＝＝，

∴EF＝3，

∴AE＝＝4，DE＝5+3＝8，

∵∠ADE＝∠DBE，∠AED＝∠BED，

∴△ADE∽△DBE，

∴DE：BE＝AE：DE，即8：BE＝4：8，

∴BE＝16，

∴AB＝4+16＝20，

在Rt△ABC中，∵sin∠CAB＝＝，

∴BC＝20×＝12．

故选：C．

【点评】本题考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．推论：半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径．也考查了解直角三角形．

二.填空题

1.（2019•湖北省荆门市•3分）计算+|sin30°﹣π0|+＝　1﹣　．

【分析】直接利用二次根式的性质以及零指数幂的性质、立方根的性质分别化简得出答案．

【解答】解：原式＝2﹣+1﹣﹣

＝1﹣．

故答案为：1﹣．

【点评】此题主要考查了实数运算，正确化简各数是解题关键．

2.（2019•湖北省随州市•3分）计算：（π-2019）0-2cos60°=______．

【答案】0

【解析】解：原式=1-2×=1-1=0，故答案为：0

原式利用零指数幂法则，以及特殊角的三角函数值计算即可求出值．

此题考查了实数的运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．

3．（2019•山东临沂•3分）计算：×﹣tan45°＝　﹣1　．

【分析】根据二次根式的乘法运算的法则和特殊角的三角函数值计算即可．

【解答】解：×﹣tan45°＝﹣1＝﹣1，

故答案为：﹣1．

【点评】本题考查了二次根式的混合运算，特殊角的三角函数值，熟记法则是解题的关键．

4．（2019•山东潍坊•3分）如图，Rt△AOB中，∠AOB＝90°，顶点A，B分别在反比例函数y＝（x＞0）与y＝（x＜0）的图象上，则tan∠BAO的值为　　．

【分析】过A作AC⊥x轴，过B作BD⊥x轴于D，于是得到∠BDO＝∠ACO＝90°，根据反比例函数的性质得到S△BDO＝，S△AOC＝，根据相似三角形的性质得到＝（）2＝＝5，求得＝，根据三角函数的定义即可得到结论．

【解答】解：过A作AC⊥x轴，过B作BD⊥x轴于D，

则∠BDO＝∠ACO＝90°，

∵顶点A，B分别在反比例函数y＝（x＞0）与y＝（x＜0）的图象上，

∴S△BDO＝，S△AOC＝，

∵∠AOB＝90°，

∴∠BOD+∠DBO＝∠BOD+∠AOC＝90°，

∴∠DBO＝∠AOC，

∴△BDO∽△OCA，

∴＝（）2＝＝5，

∴＝，

∴tan∠BAO＝＝，

故答案为：．

【点评】此题考查了相似三角形的判定与性质、反比例函数的性质以及直角三角形的性质．解题时注意掌握数形结合思想的应用，注意掌握辅助线的作法．

三.解答题

1.(2019•四川省绵阳市•8分)（1）计算：2+|（-）-1|-2tan30°-（π-2019）0；

【答案】解：（1）2+|（-）-1|-2tan30°-（π-2019）0

=+2-2×-1=+2--1=1；

【解析】

（1）根据二次根式的性质、负整数指数幂、零指数幂的运算法则、特殊角的三角函数值计算；

2.（2019•四川省凉山州•5分）计算：tan45°+（﹣）0﹣（﹣）﹣2+|﹣2|．

【分析】分别进行特殊角的三角函数值的运算，任何非零数的零次幂等于1，负整数指数幂以及绝对值的意义化简，然后按照实数的运算法则进行计算求得结果．

【解答】解：原式＝1+1﹣2+（2﹣）＝．

【点评】本题考查了实数的运算法则，属于基础题，解答本题的关键是熟练掌握负整数指数幂、特殊角的三角函数值等知识．

3.（2019湖南益阳8分）计算：4sin60°+（﹣2019）0﹣（）﹣1+|﹣2|．

【分析】原式利用特殊角的三角函数值，零指数幂、负整数指数幂法则，以及绝对值的代数意义计算即可求出值．

【解答】解：原式＝4×+1﹣2+2＝4﹣1．

【点评】此题考查了实数的运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．

4.（2019浙江丽水6分）计算：|﹣3|﹣2tan60°++（）﹣1．

【分析】按顺序依次计算，先把绝对值化简，再算出2tan60°＝，然后根据二次根式的性质以及负指数幂化简即可求解．

【解答】解：原式＝．

【点评】本题考查了二次根式的混合运算和分式的加减法，设计到的知识点有零指数幂、特殊角的三角函数值，一定要牢记．

5. （2019•贵州省铜仁市•10分）（1）计算：|﹣|+（﹣1）2019+2sin30°+（﹣）0

【解答】解：（1）|﹣|+（﹣1）2019+2sin30°+（﹣）0

＝+（﹣1）+2×+1

＝+（﹣1）+1+1

＝；

6 （2019•黑龙江省齐齐哈尔市•5分）（1）计算：（）﹣1+﹣6tan60°+|2﹣4|

【分析】（1）根据实数运算的法则计算即可；

【解答】解：（1）（）﹣1+﹣6tan60°+|2﹣4|＝3+2﹣6×+4﹣2＝1；