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2019年全国各地中考数学真题分类汇编 专题33 弧长与扇形面积(含解析)
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专题训练33 弧长与扇形面积
一.选择题
1.（2019•四川省广安市•3分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝30°，BC＝4，以BC为直径的半圆O交斜边AB于点D，则图中阴影部分的面积为（ ）
A．π﹣ B．π﹣ C．π﹣ D．π﹣
【分析】根据三角形的内角和得到∠B＝60°，根据圆周角定理得到∠COD＝120°，∠CDB＝90°，根据扇形和三角形的面积公式即可得到结论．
【解答】解：∵在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝30°，
∴∠B＝60°，
∴∠COD＝120°，
∵BC＝4，BC为半圆O的直径，
∴∠CDB＝90°，
∴OC＝OD＝2，
∴CD＝BC＝2，
图中阴影部分的面积＝S扇形COD﹣S△COD＝﹣2×1＝﹣，
故选：A．
【点评】本题考查扇形面积公式、直角三角形的性质、解题的关键是学会分割法求面积，属于中考常考题型．
2.（2019•四川省凉山州•4分）如图，在△AOC中，OA＝3cm，OC＝1cm，将△AOC绕点O顺时针旋转90°后得到△BOD，则AC边在旋转过程中所扫过的图形的面积为（ ）cm2．
A． B．2π C．π D．π
【分析】根据旋转的性质可以得到阴影部分的面积＝扇形OAB的面积﹣扇形OCD的面积，利用扇形的面积公式即可求解．
【解答】解：∵△AOC≌△BOD，
∴阴影部分的面积＝扇形OAB的面积﹣扇形OCD的面积＝﹣＝2π，故选：B．
【点评】本题考查了旋转的性质以及扇形的面积公式，正确理解：阴影部分的面积＝扇形OAB的面积﹣扇形OCD的面积是解题关键．
3.（2019浙江丽水3分）如图物体由两个圆锥组成．其主视图中，∠A＝90°，∠ABC＝105°，若上面圆锥的侧面积为1，则下面圆锥的侧面积为（ ）
A．2 B． C． D．
【分析】先证明△ABD为等腰直角三角形得到∠ABD＝45°，BD＝AB，再证明△CBD为等边三角形得到BC＝BD＝AB，利用圆锥的侧面积的计算方法得到上面圆锥的侧面积与下面圆锥的侧面积的比等于AB：CB，从而得到下面圆锥的侧面积．
【解答】解：∵∠A＝90°，AB＝AD，
∴△ABD为等腰直角三角形，
∴∠ABD＝45°，BD＝AB，
∵∠ABC＝105°，
∴∠CBD＝60°，
而CB＝CD，
∴△CBD为等边三角形，
∴BC＝BD＝AB，
∵上面圆锥与下面圆锥的底面相同，
∴上面圆锥的侧面积与下面圆锥的侧面积的比等于AB：CB，
∴下面圆锥的侧面积＝×1＝．
故选：D．
【点评】本题考查了圆锥的计算：圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长．也考查了等腰直角三角形和等边三角形的性质．
4.（2019云南4分）一个圆锥的侧面展开图是半径为8的半圆，则该圆锥的全面积是( )
A.48π B.45π C.36π D.32π
【解析】设圆锥底面圆的半径为r，母线长为l，则底面圆的周长等于半圆的弧长8π，∴
，∴，圆锥的全面积等于，
故选A
5.（2019云南4分）如图，△ABC的内切圆⊙O与BC、CA、AB分别相切于点D、E、F，且AB＝5，BC＝13，CA＝12，则阴影部分（即四边形AEOF）的面积是( )
A.4 B.6.25 C.7. 5D.9
【解析】，∵AB=5，BC=13，CA=12，∴AB2+AC2=BC2，∴△ABC为直角三角形，且∠A=90°，∵⊙O为△ABC内切圆，∴∠AFO=∠AEO=90°，且AE=AF，∴四边形AEOF为正方形，设⊙O的半径为r，∴OE=OF=r，∴S四边形AEOF=r²，连接AO，BO，CO，∴S△ABC=S△AOB+S△AOC+S△BOC，∴，∴r=2，∴S四边形AEOF=r²=4，故选A
6．（2019•山东临沂•3分）如图，⊙O中，＝，∠ACB＝75°，BC＝2，则阴影部分的面积是（ ）
A．2+π B．2++π C．4+π D．2+π
【分析】连接OB、OC，先利用同弧所对的圆周角等于所对的圆心角的一半，求出扇形的圆心角为60度，即可求出半径的长2，利用三角形和扇形的面积公式即可求解；
【解答】解：∵＝，
∴AB＝AC，
∵∠ACB＝75°，
∴∠ABC＝∠ACB＝75°，
∴∠BAC＝30°，
∴∠BOC＝60°，
∵OB＝OC，
∴△BOC是等边三角形，
∴OA＝OB＝OC＝BC＝2，
作AD⊥BC，
∵AB＝AC，
∴BD＝CD，
∴AD经过圆心O，
∴OD＝OB＝，
∴AD＝2+，
∴S△ABC＝BC•AD＝2+，S△BOC＝BC•OD＝，
∴S阴影＝S△ABC+S扇形BOC﹣S△BOC＝2++﹣＝2+，
故选：A．
【点评】本题主要考查了扇形的面积公式，圆周角定理，垂径定理等，明确S阴影＝S△ABC+S扇形BOC﹣S△BOC是解题的关键．
7．（2019•山东泰安•4分）如图，将⊙O沿弦AB折叠，恰好经过圆心O，若⊙O的半径为3，则的长为（ ）
A．π B．π C．2π D．3π
【分析】连接OA、OB，作OC⊥AB于C，根据翻转变换的性质得到OC＝OA，根据等腰三角形的性质、三角形内角和定理求出∠AOB，根据弧长公式计算即可．
【解答】解：连接OA、OB，作OC⊥AB于C，
由题意得，OC＝OA，
∴∠OAC＝30°，
∵OA＝OB，
∴∠OBA＝∠OAC＝30°，
∴∠AOB＝120°，
∴的长＝＝2π，
故选：C．
【点评】本题考查的是弧长的计算、直角三角形的性质、翻转变换的性质，掌握弧长公式是解题的关键．
8．(2019•云南•4分)一个圆锥的侧面展开图是半径为8的半圆，则该圆锥的全面积是( )
A．48π B．45π C．36π D．32π
【考点】圆锥的侧面积与全面积．
【分析】根据圆锥的侧面积与全面积公式即可求解．
【解答】解：设圆锥底面圆的半径为r，母线长为l，则底面圆的周长等于半圆的弧长8π，∴，∴，圆锥的全面积等于，故选A．
【点评】此题主要考查了圆锥的侧面积与全面积公式．解决此类问题，关键是掌握圆锥与它的侧面展开图之间的对应关系，即圆锥的侧面展开图是扇形，扇形的半径是圆锥的母线长，扇形的弧长是圆锥的底面圆的周长．
9．(2019•云南•4分)如图，△ABC的内切圆⊙O与BC、CA、AB分别相切于点D、E、F，且AB＝5，BC＝13，CA＝12，则阴影部分(即四边形AEOF)的面积是( )
A．4 B．6.25 C．7.5 D．9
【考点】直角三角形的内切圆．
【分析】由勾股定理的逆定理可知△ABC是直角三角形，由切线长定理，可知直角三角形内切圆的半径等于．
【解答】解：∵AB=5，BC=13，CA=12，∴AB2+AC2=BC2，∴△ABC为直角三角形，且∠A=90°，
∵⊙O为△ABC内切圆，∴∠AFO=∠AEO=90°，且AE=AF，∴四边形AEOF为正方形，设⊙O的半径为r，则OE=OF=AE=AF=r，∴BD=BF=AB－r，CD=CE=AC－r，
∴BC=BD+CD= AB－r+ AC－r，∴r==2，
∴S四边形AEOF=r²=4，故选A．
【点评】此题主要考查了已知直角三角形三边的长，如何求其内切圆的半径．由切线长定理可知Rt△ABC(a、b为直角边，c为斜边)的内切圆半径r=，也可根据面积公式求直角三角形内切圆的半径．
10．(2019•浙江丽水•3分)如图物体由两个圆锥组成．其主视图中，∠A＝90°，∠ABC＝105°，若上面圆锥的侧面积为1，则下面圆锥的侧面积为( )
A．2 B． C． D．
【考点】圆锥的侧面积．
【分析】先证明△ABD为等腰直角三角形得到∠ABD＝45°，BD＝AB，再证明△CBD为等边三角形得到BC＝BD＝AB，利用圆锥的侧面积的计算方法得到上面圆锥的侧面积与下面圆锥的侧面积的比等于AB：CB，从而得到下面圆锥的侧面积．
【解答】解：∵∠A＝90°，AB＝AD，∴△ABD为等腰直角三角形，
∴∠ABD＝45°，BD＝AB，
∵∠ABC＝105°，∴∠CBD＝60°，
而CB＝CD，∴△CBD为等边三角形，
∴BC＝BD＝AB，
∵上面圆锥与下面圆锥的底面相同，
∴上面圆锥的侧面积与下面圆锥的侧面积的比等于AB：CB，
∴下面圆锥的侧面积＝×1＝．故选D．
【点评】本题考查了圆锥的计算：圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长．也考查了等腰直角三角形和等边三角形的性质．
二.填空题
1.（2019•湖北省鄂州市•3分）一个圆锥的底面半径r＝5，高h＝10，则这个圆锥的侧面积是 ．
【分析】利用勾股定理易得圆锥的母线长，进而利用圆锥的侧面积＝π×底面半径×母线长，把相应数值代入即可求解．
【解答】解：∵圆锥的底面半径r＝5，高h＝10，
∴圆锥的母线长为＝5，
∴圆锥的侧面积为π×5×5＝，
故答案为：．
【点评】本题考查圆锥侧面积公式的运用，注意运用圆锥的高，母线长，底面半径组成直角三角形这个知识点．
2.（2019•湖北省荆门市•3分）如图，等边三角形ABC的边长为2，以A为圆心，1为半径作圆分别交AB，AC边于D，E，再以点C为圆心，CD长为半径作圆交BC边于F，连接E，F，那么图中阴影部分的面积为 +﹣ ．
【分析】过A作AM⊥BC于M，EN⊥BC于N，根据等边三角形的性质得到AM＝BC＝×2＝，求得EN＝AM＝，根据三角形的面积和扇形的面积公式即可得到结论．
【解答】解：过A作AM⊥BC于M，EN⊥BC于N，
∵等边三角形ABC的边长为2，∠BAC＝∠B＝∠ACB＝60°，
∴AM＝BC＝×2＝，
∵AD＝AE＝1，
∴AD＝BD，AE＝CE，
∴EN＝AM＝，
∴图中阴影部分的面积＝S△ABC﹣S扇形ADE﹣S△CEF﹣（S△BCD﹣S扇形DCF）＝×2×﹣﹣×﹣（×﹣）＝+﹣，
故答案为：+﹣．
【点评】本题考查了扇形的面积的计算，等边三角形的性质，正确的作出辅助线是解题的关键．
3.（2019•湖北省仙桃市•3分）75°的圆心角所对的弧长是2.5πcm，则此弧所在圆的半径是 6 cm．
【分析】由弧长公式：l＝计算．
【解答】解：由题意得：圆的半径R＝180×2.5π÷（75π）＝6cm．
故本题答案为：6．
【点评】本题考查了弧长公式．
4.（2019•湖北省咸宁市•3分）如图，半圆的直径AB＝6，点C在半圆上，∠BAC＝30°，则阴影部分的面积为 3 （结果保留π）．
【分析】根据题意，作出合适的辅助线，即可求得CD和∠COB的度数，即可得到阴影部分的面积是半圆的面积减去△AOC和扇形BOC的面积．
【解答】解：连接OC.BC，作CD⊥AB于点D，
∵直径AB＝6，点C在半圆上，∠BAC＝30°，
∴∠ACB＝90°，∠COB＝60°，
∴AC＝3，
∵∠CDA＝90°，
∴CD＝，
∴阴影部分的面积是：＝3π﹣，
故答案为：3π﹣．
【点评】本题考查扇形面积的计算、圆周角定理，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．
5成如图所示的恒星图形，那么这个恒星图形的面积等于 4﹣π ．
【分析】恒星的面积＝边长为2的正方形面积﹣半径为1的圆的面积，依此列式计算即可．
【解答】解：如图：
新的正方形的边长为1+1＝2，
∴恒星的面积＝2×2﹣π＝4﹣π．
故答案为4﹣π．
【点评】本题考查了扇形面积的计算，关键是理解恒星的面积＝边长为2的正方形面积﹣半径为1的圆的面积．
6. （2019•广东广州•3分）如图放置的一个圆锥，它的主视图是直角边长为2的等腰直角三角形，则该圆锥侧面展开扇形的弧长为 ．（结果保留π）
【分析】根据圆锥侧面展开扇形的弧长＝底面圆的周长即可解决问题．
【解答】解：∵某圆锥的主视图是一个腰长为2的等腰直角三角形，
∴斜边长为2，
则底面圆的周长为2π，
∴该圆锥侧面展开扇形的弧长为2π，
故答案为2π．
【点评】本题考查三视图，圆锥等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．
7. （2019·广西贺州·3分）已知圆锥的底面半径是1，高是，则该圆锥的侧面展开图的圆心角是 90 度．
【分析】先根据勾股定理求出圆锥的母线为4，进而求得展开图的弧长，然后根据弧长公式即可求解．
【解答】解：设圆锥的母线为a，根据勾股定理得，a＝4，
设圆锥的侧面展开图的圆心角度数为n°，
根据题意得2π•1＝，解得n＝90，
即圆锥的侧面展开图的圆心角度数为90°．
故答案为：90．
【点评】本题考查了圆锥的计算：圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长．
8. （2019·贵州安顺·4分）如图，沿一条母线将圆锥侧面剪开并展平，得到一个扇形，若圆锥的底面圆的半径r＝2，扇形的圆心角θ＝120°，则该圆锥母线l的长为 ．
【解答】解：根据题意得2π×2＝，
解德l＝6，
即该圆锥母线l的长为6．
故答案为6．
9. （2019·贵州贵阳·4分）如图，用等分圆的方法，在半径为OA的圆中，画出了如图所示的四叶幸运草，若OA＝2，则四叶幸运草的周长是 8π ．
【分析】由题意得出：四叶幸运草的周长为4个半圆的弧长＝2个圆的周长，由圆的周长公式即可得出结果．
【解答】解：由题意得：四叶幸运草的周长为4个半圆的弧长＝2个圆的周长，
∴四叶幸运草的周长＝2×2π×2＝8π；
故答案为：8π．
【点评】本题考查了正多边形和圆、正方形的性质以及圆周长公式；由题意得出四叶幸运草的周长＝2个圆的周长是解题的关键．
10 （2019•黑龙江省绥化市•3分）用一个圆心角为120°的扇形作一个圆锥的侧面，若这个圆锥的底面半径恰好等于4，则这个圆锥的母线长为 ．
答案：12
考点：圆锥的侧面展图。
解析：依题意，有：，
解得：＝12
2. （2019•黑龙江省齐齐哈尔市•3分）将圆心角为216°，半径为5cm的扇形围成一个圆锥的侧面，那么围成的这个圆锥的高为 cm．
【分析】圆锥的底面圆的半径为r，利用圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长和弧长公式得到2πr＝，解得r＝3，然后根据勾股定理计算出圆锥的高．
【解答】解：设圆锥的底面圆的半径为r，
根据题意得2πr＝，解得r＝3，
所以圆锥的高＝＝4（cm）．
故答案为4．
11．（2019•山东泰安•4分）如图，∠AOB＝90°，∠B＝30°，以点O为圆心，OA为半径作弧交AB于点A、点C，交OB于点D，若OA＝3，则阴影都分的面积为 π ．
【分析】连接OC，作CH⊥OB于H，根据直角三角形的性质求出AB，根据勾股定理求出BD，证明△AOC为等边三角形，得到∠AOC＝60°，∠COB＝30°，根据扇形面积公式、三角形面积公式计算即可．
【解答】解：连接OC，作CH⊥OB于H，
∵∠AOB＝90°，∠B＝30°，
∴∠OAB＝60°，AB＝2OA＝6，
由勾股定理得，OB＝＝3，
∵OA＝OC，∠OAB＝60°，
∴△AOC为等边三角形，
∴∠AOC＝60°，
∴∠COB＝30°，
∴CO＝CB，CH＝OC＝，
∴阴影都分的面积＝﹣×3×3×+×3×﹣＝π，
故答案为：π．
【点评】本题考查的是扇形面积计算、等边三角形的判定和性质，掌握扇形面积公式、三角形的面积公式是解题的关键．
12．（2019湖北省鄂州市）（3分）一个圆锥的底面半径r＝5，高h＝10，则这个圆锥的侧面积是 ．
【分析】利用勾股定理易得圆锥的母线长，进而利用圆锥的侧面积＝π×底面半径×母线长，把相应数值代入即可求解．
【解答】解：∵圆锥的底面半径r＝5，高h＝10，
∴圆锥的母线长为＝5，
∴圆锥的侧面积为π×5×5＝，
故答案为：．
【点评】本题考查圆锥侧面积公式的运用，注意运用圆锥的高，母线长，底面半径组成直角三角形这个知识点．
13 ．(2019湖北荆门)（3分）如图，等边三角形ABC的边长为2，以A为圆心，1为半径作圆分别交AB，AC边于D，E，再以点C为圆心，CD长为半径作圆交BC边于F，连接E，F，那么图中阴影部分的面积为 +﹣ ．
【分析】过A作AM⊥BC于M，EN⊥BC于N，根据等边三角形的性质得到AM＝BC＝×2＝，求得EN＝AM＝，根据三角形的面积和扇形的面积公式即可得到结论．
【解答】解：过A作AM⊥BC于M，EN⊥BC于N，
∵等边三角形ABC的边长为2，∠BAC＝∠B＝∠ACB＝60°，
∴AM＝BC＝×2＝，
∵AD＝AE＝1，
∴AD＝BD，AE＝CE，
∴EN＝AM＝，
∴图中阴影部分的面积＝S△ABC﹣S扇形ADE﹣S△CEF﹣（S△BCD﹣S扇形DCF）＝×2×﹣﹣×﹣（×﹣）＝+﹣，
故答案为：+﹣．
【点评】本题考查了扇形的面积的计算，等边三角形的性质，正确的作出辅助线是解题的关键．
14. (2019湖北仙桃)（3分）75°的圆心角所对的弧长是2.5πcm，则此弧所在圆的半径是 6 cm．
【分析】由弧长公式：l＝计算．
【解答】解：由题意得：圆的半径R＝180×2.5π÷（75π）＝6cm．
故本题答案为：6．
【点评】本题考查了弧长公式．
15．（2019黑龙江省绥化3分）用一个圆心角为120°的扇形作一个圆锥的侧面，若这个圆锥的底面半径恰好等于4，则这个圆锥的母线长为 ．
答案：12
考点：圆锥的侧面展图。
解析：依题意，有：，
解得：＝12
16. (2019湖北咸宁市3分)如图，半圆的直径AB＝6，点C在半圆上，∠BAC＝30°，则阴影部分的面积为 3 （结果保留π）．
【分析】根据题意，作出合适的辅助线，即可求得CD和∠COB的度数，即可得到阴影部分的面积是半圆的面积减去△AOC和扇形BOC的面积．
【解答】解：连接OC.BC，作CD⊥AB于点D，
∵直径AB＝6，点C在半圆上，∠BAC＝30°，
∴∠ACB＝90°，∠COB＝60°，
∴AC＝3，
∵∠CDA＝90°，
∴CD＝，
∴阴影部分的面积是：＝3π﹣，
故答案为：3π﹣．
【点评】本题考查扇形面积的计算、圆周角定理，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．
三.解答题
1. （2019•广西北部湾•8分）如图，△ABC是⊙O的内接三角形，AB为⊙O直径，AB=6，AD平分∠BAC，交BC于点E，交⊙O于点D，连接BD.
⌒
（1）求证：∠BAD=∠CBD；
（2）若∠AEB=1250，求BD的长.（结果保留π）.
【答案】（1）证明：∵AD平分∠BAC，
∴∠CAD=∠BAD，
∵∠CAD=∠CBD，
∴∠BAD=∠CBD；
（2）解：连接OD，
∵∠AEB=125°，
∴∠AEC=55°，
∵AB为⊙O直径，
∴∠ACE=90°，
∴∠CAE=35°，
∴∠DAB=∠CAE=35°，
∴∠BOD=2∠BAD=70°，
∴的长==π．
【解析】
（1）根据角平分线的定义和圆周角定理即可得到结论；
（2）连接OD，根据平角定义得到∠AEC=55°，根据圆周角定理得到∠ACE=90°，求得∠CAE=35°，得到∠BOD=2∠BAD=70°，根据弧长公式即可得到结论．
本题考查了三角形的外接圆与外心，圆周角定理，弧长的计算，正确的识别图形是解题的关键．
2. （2019•黑龙江省齐齐哈尔市•8分）如图，以△ABC的边BC为直径作⊙O，点A在⊙O上，点D在线段BC的延长线上，AD＝AB，∠D＝30°．
（1）求证：直线AD是⊙O的切线；
（2）若直径BC＝4，求图中阴影部分的面积．
【分析】（1）连接OA，则得出∠COA＝2∠B＝2∠D＝60°，可求得∠OAD＝90°，可得出结论；
（2）可利用△OAD的面积﹣扇形AOC的面积求得阴影部分的面积．
【解答】（1）证明：连接OA，则∠COA＝2∠B，
∵AD＝AB，
∴∠B＝∠D＝30°，
∴∠COA＝60°，
∴∠OAD＝180°﹣60°﹣30°＝90°，
∴OA⊥AD，
即CD是⊙O的切线；
（2）解：∵BC＝4，
∴OA＝OC＝2，
在Rt△OAD中，OA＝2，∠D＝30°，
∴OD＝2OA＝4，AD＝2，
所以S△OAD＝OA•AD＝×2×2＝2，
因为∠COA＝60°，
所以S扇形COA＝＝π，
所以S阴影＝S△OAD﹣S扇形COA＝2﹣．
专题训练33 弧长与扇形面积
一.选择题
1.（2019•四川省广安市•3分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝30°，BC＝4，以BC为直径的半圆O交斜边AB于点D，则图中阴影部分的面积为（ ）
A．π﹣ B．π﹣ C．π﹣ D．π﹣
【分析】根据三角形的内角和得到∠B＝60°，根据圆周角定理得到∠COD＝120°，∠CDB＝90°，根据扇形和三角形的面积公式即可得到结论．
【解答】解：∵在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝30°，
∴∠B＝60°，
∴∠COD＝120°，
∵BC＝4，BC为半圆O的直径，
∴∠CDB＝90°，
∴OC＝OD＝2，
∴CD＝BC＝2，
图中阴影部分的面积＝S扇形COD﹣S△COD＝﹣2×1＝﹣，
故选：A．
【点评】本题考查扇形面积公式、直角三角形的性质、解题的关键是学会分割法求面积，属于中考常考题型．
2.（2019•四川省凉山州•4分）如图，在△AOC中，OA＝3cm，OC＝1cm，将△AOC绕点O顺时针旋转90°后得到△BOD，则AC边在旋转过程中所扫过的图形的面积为（ ）cm2．
A． B．2π C．π D．π
【分析】根据旋转的性质可以得到阴影部分的面积＝扇形OAB的面积﹣扇形OCD的面积，利用扇形的面积公式即可求解．
【解答】解：∵△AOC≌△BOD，
∴阴影部分的面积＝扇形OAB的面积﹣扇形OCD的面积＝﹣＝2π，故选：B．
【点评】本题考查了旋转的性质以及扇形的面积公式，正确理解：阴影部分的面积＝扇形OAB的面积﹣扇形OCD的面积是解题关键．
3.（2019浙江丽水3分）如图物体由两个圆锥组成．其主视图中，∠A＝90°，∠ABC＝105°，若上面圆锥的侧面积为1，则下面圆锥的侧面积为（ ）
A．2 B． C． D．
【分析】先证明△ABD为等腰直角三角形得到∠ABD＝45°，BD＝AB，再证明△CBD为等边三角形得到BC＝BD＝AB，利用圆锥的侧面积的计算方法得到上面圆锥的侧面积与下面圆锥的侧面积的比等于AB：CB，从而得到下面圆锥的侧面积．
【解答】解：∵∠A＝90°，AB＝AD，
∴△ABD为等腰直角三角形，
∴∠ABD＝45°，BD＝AB，
∵∠ABC＝105°，
∴∠CBD＝60°，
而CB＝CD，
∴△CBD为等边三角形，
∴BC＝BD＝AB，
∵上面圆锥与下面圆锥的底面相同，
∴上面圆锥的侧面积与下面圆锥的侧面积的比等于AB：CB，
∴下面圆锥的侧面积＝×1＝．
故选：D．
【点评】本题考查了圆锥的计算：圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长．也考查了等腰直角三角形和等边三角形的性质．
4.（2019云南4分）一个圆锥的侧面展开图是半径为8的半圆，则该圆锥的全面积是( )
A.48π B.45π C.36π D.32π
【解析】设圆锥底面圆的半径为r，母线长为l，则底面圆的周长等于半圆的弧长8π，∴
，∴，圆锥的全面积等于，
故选A
5.（2019云南4分）如图，△ABC的内切圆⊙O与BC、CA、AB分别相切于点D、E、F，且AB＝5，BC＝13，CA＝12，则阴影部分（即四边形AEOF）的面积是( )
A.4 B.6.25 C.7. 5D.9
【解析】，∵AB=5，BC=13，CA=12，∴AB2+AC2=BC2，∴△ABC为直角三角形，且∠A=90°，∵⊙O为△ABC内切圆，∴∠AFO=∠AEO=90°，且AE=AF，∴四边形AEOF为正方形，设⊙O的半径为r，∴OE=OF=r，∴S四边形AEOF=r²，连接AO，BO，CO，∴S△ABC=S△AOB+S△AOC+S△BOC，∴，∴r=2，∴S四边形AEOF=r²=4，故选A
6．（2019•山东临沂•3分）如图，⊙O中，＝，∠ACB＝75°，BC＝2，则阴影部分的面积是（ ）
A．2+π B．2++π C．4+π D．2+π
【分析】连接OB、OC，先利用同弧所对的圆周角等于所对的圆心角的一半，求出扇形的圆心角为60度，即可求出半径的长2，利用三角形和扇形的面积公式即可求解；
【解答】解：∵＝，
∴AB＝AC，
∵∠ACB＝75°，
∴∠ABC＝∠ACB＝75°，
∴∠BAC＝30°，
∴∠BOC＝60°，
∵OB＝OC，
∴△BOC是等边三角形，
∴OA＝OB＝OC＝BC＝2，
作AD⊥BC，
∵AB＝AC，
∴BD＝CD，
∴AD经过圆心O，
∴OD＝OB＝，
∴AD＝2+，
∴S△ABC＝BC•AD＝2+，S△BOC＝BC•OD＝，
∴S阴影＝S△ABC+S扇形BOC﹣S△BOC＝2++﹣＝2+，
故选：A．
【点评】本题主要考查了扇形的面积公式，圆周角定理，垂径定理等，明确S阴影＝S△ABC+S扇形BOC﹣S△BOC是解题的关键．
7．（2019•山东泰安•4分）如图，将⊙O沿弦AB折叠，恰好经过圆心O，若⊙O的半径为3，则的长为（ ）
A．π B．π C．2π D．3π
【分析】连接OA、OB，作OC⊥AB于C，根据翻转变换的性质得到OC＝OA，根据等腰三角形的性质、三角形内角和定理求出∠AOB，根据弧长公式计算即可．
【解答】解：连接OA、OB，作OC⊥AB于C，
由题意得，OC＝OA，
∴∠OAC＝30°，
∵OA＝OB，
∴∠OBA＝∠OAC＝30°，
∴∠AOB＝120°，
∴的长＝＝2π，
故选：C．
【点评】本题考查的是弧长的计算、直角三角形的性质、翻转变换的性质，掌握弧长公式是解题的关键．
8．(2019•云南•4分)一个圆锥的侧面展开图是半径为8的半圆，则该圆锥的全面积是( )
A．48π B．45π C．36π D．32π
【考点】圆锥的侧面积与全面积．
【分析】根据圆锥的侧面积与全面积公式即可求解．
【解答】解：设圆锥底面圆的半径为r，母线长为l，则底面圆的周长等于半圆的弧长8π，∴，∴，圆锥的全面积等于，故选A．
【点评】此题主要考查了圆锥的侧面积与全面积公式．解决此类问题，关键是掌握圆锥与它的侧面展开图之间的对应关系，即圆锥的侧面展开图是扇形，扇形的半径是圆锥的母线长，扇形的弧长是圆锥的底面圆的周长．
9．(2019•云南•4分)如图，△ABC的内切圆⊙O与BC、CA、AB分别相切于点D、E、F，且AB＝5，BC＝13，CA＝12，则阴影部分(即四边形AEOF)的面积是( )
A．4 B．6.25 C．7.5 D．9
【考点】直角三角形的内切圆．
【分析】由勾股定理的逆定理可知△ABC是直角三角形，由切线长定理，可知直角三角形内切圆的半径等于．
【解答】解：∵AB=5，BC=13，CA=12，∴AB2+AC2=BC2，∴△ABC为直角三角形，且∠A=90°，
∵⊙O为△ABC内切圆，∴∠AFO=∠AEO=90°，且AE=AF，∴四边形AEOF为正方形，设⊙O的半径为r，则OE=OF=AE=AF=r，∴BD=BF=AB－r，CD=CE=AC－r，
∴BC=BD+CD= AB－r+ AC－r，∴r==2，
∴S四边形AEOF=r²=4，故选A．
【点评】此题主要考查了已知直角三角形三边的长，如何求其内切圆的半径．由切线长定理可知Rt△ABC(a、b为直角边，c为斜边)的内切圆半径r=，也可根据面积公式求直角三角形内切圆的半径．
10．(2019•浙江丽水•3分)如图物体由两个圆锥组成．其主视图中，∠A＝90°，∠ABC＝105°，若上面圆锥的侧面积为1，则下面圆锥的侧面积为( )
A．2 B． C． D．
【考点】圆锥的侧面积．
【分析】先证明△ABD为等腰直角三角形得到∠ABD＝45°，BD＝AB，再证明△CBD为等边三角形得到BC＝BD＝AB，利用圆锥的侧面积的计算方法得到上面圆锥的侧面积与下面圆锥的侧面积的比等于AB：CB，从而得到下面圆锥的侧面积．
【解答】解：∵∠A＝90°，AB＝AD，∴△ABD为等腰直角三角形，
∴∠ABD＝45°，BD＝AB，
∵∠ABC＝105°，∴∠CBD＝60°，
而CB＝CD，∴△CBD为等边三角形，
∴BC＝BD＝AB，
∵上面圆锥与下面圆锥的底面相同，
∴上面圆锥的侧面积与下面圆锥的侧面积的比等于AB：CB，
∴下面圆锥的侧面积＝×1＝．故选D．
【点评】本题考查了圆锥的计算：圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长．也考查了等腰直角三角形和等边三角形的性质．
二.填空题
1.（2019•湖北省鄂州市•3分）一个圆锥的底面半径r＝5，高h＝10，则这个圆锥的侧面积是 ．
【分析】利用勾股定理易得圆锥的母线长，进而利用圆锥的侧面积＝π×底面半径×母线长，把相应数值代入即可求解．
【解答】解：∵圆锥的底面半径r＝5，高h＝10，
∴圆锥的母线长为＝5，
∴圆锥的侧面积为π×5×5＝，
故答案为：．
【点评】本题考查圆锥侧面积公式的运用，注意运用圆锥的高，母线长，底面半径组成直角三角形这个知识点．
2.（2019•湖北省荆门市•3分）如图，等边三角形ABC的边长为2，以A为圆心，1为半径作圆分别交AB，AC边于D，E，再以点C为圆心，CD长为半径作圆交BC边于F，连接E，F，那么图中阴影部分的面积为 +﹣ ．
【分析】过A作AM⊥BC于M，EN⊥BC于N，根据等边三角形的性质得到AM＝BC＝×2＝，求得EN＝AM＝，根据三角形的面积和扇形的面积公式即可得到结论．
【解答】解：过A作AM⊥BC于M，EN⊥BC于N，
∵等边三角形ABC的边长为2，∠BAC＝∠B＝∠ACB＝60°，
∴AM＝BC＝×2＝，
∵AD＝AE＝1，
∴AD＝BD，AE＝CE，
∴EN＝AM＝，
∴图中阴影部分的面积＝S△ABC﹣S扇形ADE﹣S△CEF﹣（S△BCD﹣S扇形DCF）＝×2×﹣﹣×﹣（×﹣）＝+﹣，
故答案为：+﹣．
【点评】本题考查了扇形的面积的计算，等边三角形的性质，正确的作出辅助线是解题的关键．
3.（2019•湖北省仙桃市•3分）75°的圆心角所对的弧长是2.5πcm，则此弧所在圆的半径是 6 cm．
【分析】由弧长公式：l＝计算．
【解答】解：由题意得：圆的半径R＝180×2.5π÷（75π）＝6cm．
故本题答案为：6．
【点评】本题考查了弧长公式．
4.（2019•湖北省咸宁市•3分）如图，半圆的直径AB＝6，点C在半圆上，∠BAC＝30°，则阴影部分的面积为 3 （结果保留π）．
【分析】根据题意，作出合适的辅助线，即可求得CD和∠COB的度数，即可得到阴影部分的面积是半圆的面积减去△AOC和扇形BOC的面积．
【解答】解：连接OC.BC，作CD⊥AB于点D，
∵直径AB＝6，点C在半圆上，∠BAC＝30°，
∴∠ACB＝90°，∠COB＝60°，
∴AC＝3，
∵∠CDA＝90°，
∴CD＝，
∴阴影部分的面积是：＝3π﹣，
故答案为：3π﹣．
【点评】本题考查扇形面积的计算、圆周角定理，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．
5成如图所示的恒星图形，那么这个恒星图形的面积等于 4﹣π ．
【分析】恒星的面积＝边长为2的正方形面积﹣半径为1的圆的面积，依此列式计算即可．
【解答】解：如图：
新的正方形的边长为1+1＝2，
∴恒星的面积＝2×2﹣π＝4﹣π．
故答案为4﹣π．
【点评】本题考查了扇形面积的计算，关键是理解恒星的面积＝边长为2的正方形面积﹣半径为1的圆的面积．
6. （2019•广东广州•3分）如图放置的一个圆锥，它的主视图是直角边长为2的等腰直角三角形，则该圆锥侧面展开扇形的弧长为 ．（结果保留π）
【分析】根据圆锥侧面展开扇形的弧长＝底面圆的周长即可解决问题．
【解答】解：∵某圆锥的主视图是一个腰长为2的等腰直角三角形，
∴斜边长为2，
则底面圆的周长为2π，
∴该圆锥侧面展开扇形的弧长为2π，
故答案为2π．
【点评】本题考查三视图，圆锥等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．
7. （2019·广西贺州·3分）已知圆锥的底面半径是1，高是，则该圆锥的侧面展开图的圆心角是 90 度．
【分析】先根据勾股定理求出圆锥的母线为4，进而求得展开图的弧长，然后根据弧长公式即可求解．
【解答】解：设圆锥的母线为a，根据勾股定理得，a＝4，
设圆锥的侧面展开图的圆心角度数为n°，
根据题意得2π•1＝，解得n＝90，
即圆锥的侧面展开图的圆心角度数为90°．
故答案为：90．
【点评】本题考查了圆锥的计算：圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长．
8. （2019·贵州安顺·4分）如图，沿一条母线将圆锥侧面剪开并展平，得到一个扇形，若圆锥的底面圆的半径r＝2，扇形的圆心角θ＝120°，则该圆锥母线l的长为 ．
【解答】解：根据题意得2π×2＝，
解德l＝6，
即该圆锥母线l的长为6．
故答案为6．
9. （2019·贵州贵阳·4分）如图，用等分圆的方法，在半径为OA的圆中，画出了如图所示的四叶幸运草，若OA＝2，则四叶幸运草的周长是 8π ．
【分析】由题意得出：四叶幸运草的周长为4个半圆的弧长＝2个圆的周长，由圆的周长公式即可得出结果．
【解答】解：由题意得：四叶幸运草的周长为4个半圆的弧长＝2个圆的周长，
∴四叶幸运草的周长＝2×2π×2＝8π；
故答案为：8π．
【点评】本题考查了正多边形和圆、正方形的性质以及圆周长公式；由题意得出四叶幸运草的周长＝2个圆的周长是解题的关键．
10 （2019•黑龙江省绥化市•3分）用一个圆心角为120°的扇形作一个圆锥的侧面，若这个圆锥的底面半径恰好等于4，则这个圆锥的母线长为 ．
答案：12
考点：圆锥的侧面展图。
解析：依题意，有：，
解得：＝12
2. （2019•黑龙江省齐齐哈尔市•3分）将圆心角为216°，半径为5cm的扇形围成一个圆锥的侧面，那么围成的这个圆锥的高为 cm．
【分析】圆锥的底面圆的半径为r，利用圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长和弧长公式得到2πr＝，解得r＝3，然后根据勾股定理计算出圆锥的高．
【解答】解：设圆锥的底面圆的半径为r，
根据题意得2πr＝，解得r＝3，
所以圆锥的高＝＝4（cm）．
故答案为4．
11．（2019•山东泰安•4分）如图，∠AOB＝90°，∠B＝30°，以点O为圆心，OA为半径作弧交AB于点A、点C，交OB于点D，若OA＝3，则阴影都分的面积为 π ．
【分析】连接OC，作CH⊥OB于H，根据直角三角形的性质求出AB，根据勾股定理求出BD，证明△AOC为等边三角形，得到∠AOC＝60°，∠COB＝30°，根据扇形面积公式、三角形面积公式计算即可．
【解答】解：连接OC，作CH⊥OB于H，
∵∠AOB＝90°，∠B＝30°，
∴∠OAB＝60°，AB＝2OA＝6，
由勾股定理得，OB＝＝3，
∵OA＝OC，∠OAB＝60°，
∴△AOC为等边三角形，
∴∠AOC＝60°，
∴∠COB＝30°，
∴CO＝CB，CH＝OC＝，
∴阴影都分的面积＝﹣×3×3×+×3×﹣＝π，
故答案为：π．
【点评】本题考查的是扇形面积计算、等边三角形的判定和性质，掌握扇形面积公式、三角形的面积公式是解题的关键．
12．（2019湖北省鄂州市）（3分）一个圆锥的底面半径r＝5，高h＝10，则这个圆锥的侧面积是 ．
【分析】利用勾股定理易得圆锥的母线长，进而利用圆锥的侧面积＝π×底面半径×母线长，把相应数值代入即可求解．
【解答】解：∵圆锥的底面半径r＝5，高h＝10，
∴圆锥的母线长为＝5，
∴圆锥的侧面积为π×5×5＝，
故答案为：．
【点评】本题考查圆锥侧面积公式的运用，注意运用圆锥的高，母线长，底面半径组成直角三角形这个知识点．
13 ．(2019湖北荆门)（3分）如图，等边三角形ABC的边长为2，以A为圆心，1为半径作圆分别交AB，AC边于D，E，再以点C为圆心，CD长为半径作圆交BC边于F，连接E，F，那么图中阴影部分的面积为 +﹣ ．
【分析】过A作AM⊥BC于M，EN⊥BC于N，根据等边三角形的性质得到AM＝BC＝×2＝，求得EN＝AM＝，根据三角形的面积和扇形的面积公式即可得到结论．
【解答】解：过A作AM⊥BC于M，EN⊥BC于N，
∵等边三角形ABC的边长为2，∠BAC＝∠B＝∠ACB＝60°，
∴AM＝BC＝×2＝，
∵AD＝AE＝1，
∴AD＝BD，AE＝CE，
∴EN＝AM＝，
∴图中阴影部分的面积＝S△ABC﹣S扇形ADE﹣S△CEF﹣（S△BCD﹣S扇形DCF）＝×2×﹣﹣×﹣（×﹣）＝+﹣，
故答案为：+﹣．
【点评】本题考查了扇形的面积的计算，等边三角形的性质，正确的作出辅助线是解题的关键．
14. (2019湖北仙桃)（3分）75°的圆心角所对的弧长是2.5πcm，则此弧所在圆的半径是 6 cm．
【分析】由弧长公式：l＝计算．
【解答】解：由题意得：圆的半径R＝180×2.5π÷（75π）＝6cm．
故本题答案为：6．
【点评】本题考查了弧长公式．
15．（2019黑龙江省绥化3分）用一个圆心角为120°的扇形作一个圆锥的侧面，若这个圆锥的底面半径恰好等于4，则这个圆锥的母线长为 ．
答案：12
考点：圆锥的侧面展图。
解析：依题意，有：，
解得：＝12
16. (2019湖北咸宁市3分)如图，半圆的直径AB＝6，点C在半圆上，∠BAC＝30°，则阴影部分的面积为 3 （结果保留π）．
【分析】根据题意，作出合适的辅助线，即可求得CD和∠COB的度数，即可得到阴影部分的面积是半圆的面积减去△AOC和扇形BOC的面积．
【解答】解：连接OC.BC，作CD⊥AB于点D，
∵直径AB＝6，点C在半圆上，∠BAC＝30°，
∴∠ACB＝90°，∠COB＝60°，
∴AC＝3，
∵∠CDA＝90°，
∴CD＝，
∴阴影部分的面积是：＝3π﹣，
故答案为：3π﹣．
【点评】本题考查扇形面积的计算、圆周角定理，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．
三.解答题
1. （2019•广西北部湾•8分）如图，△ABC是⊙O的内接三角形，AB为⊙O直径，AB=6，AD平分∠BAC，交BC于点E，交⊙O于点D，连接BD.
⌒
（1）求证：∠BAD=∠CBD；
（2）若∠AEB=1250，求BD的长.（结果保留π）.
【答案】（1）证明：∵AD平分∠BAC，
∴∠CAD=∠BAD，
∵∠CAD=∠CBD，
∴∠BAD=∠CBD；
（2）解：连接OD，
∵∠AEB=125°，
∴∠AEC=55°，
∵AB为⊙O直径，
∴∠ACE=90°，
∴∠CAE=35°，
∴∠DAB=∠CAE=35°，
∴∠BOD=2∠BAD=70°，
∴的长==π．
【解析】
（1）根据角平分线的定义和圆周角定理即可得到结论；
（2）连接OD，根据平角定义得到∠AEC=55°，根据圆周角定理得到∠ACE=90°，求得∠CAE=35°，得到∠BOD=2∠BAD=70°，根据弧长公式即可得到结论．
本题考查了三角形的外接圆与外心，圆周角定理，弧长的计算，正确的识别图形是解题的关键．
2. （2019•黑龙江省齐齐哈尔市•8分）如图，以△ABC的边BC为直径作⊙O，点A在⊙O上，点D在线段BC的延长线上，AD＝AB，∠D＝30°．
（1）求证：直线AD是⊙O的切线；
（2）若直径BC＝4，求图中阴影部分的面积．
【分析】（1）连接OA，则得出∠COA＝2∠B＝2∠D＝60°，可求得∠OAD＝90°，可得出结论；
（2）可利用△OAD的面积﹣扇形AOC的面积求得阴影部分的面积．
【解答】（1）证明：连接OA，则∠COA＝2∠B，
∵AD＝AB，
∴∠B＝∠D＝30°，
∴∠COA＝60°，
∴∠OAD＝180°﹣60°﹣30°＝90°，
∴OA⊥AD，
即CD是⊙O的切线；
（2）解：∵BC＝4，
∴OA＝OC＝2，
在Rt△OAD中，OA＝2，∠D＝30°，
∴OD＝2OA＝4，AD＝2，
所以S△OAD＝OA•AD＝×2×2＝2，
因为∠COA＝60°，
所以S扇形COA＝＝π，
所以S阴影＝S△OAD﹣S扇形COA＝2﹣．
