2019年全国各地中考数学真题分类汇编 专题21 全等三角形(含解析)

专题训练21 全等三角形

一.选择题

1. （2019·贵州安顺·3分）如图，点B、F、C、E在一条直线上，AB∥ED，AC∥FD，那么添加下列一个条件后，仍无法判定△ABC≌△DEF的是（　　）

A．∠A＝∠D B．AC＝DF C．AB＝ED D．BF＝EC

【解答】解：选项A、添加∠A＝∠D不能判定△ABC≌△DEF，故本选项正确；

选项B、添加AC＝DF可用AAS进行判定，故本选项错误；

选项C、添加AB＝DE可用AAS进行判定，故本选项错误；

选项D、添加BF＝EC可得出BC＝EF，然后可用ASA进行判定，故本选项错误．

故选：A．

2．（2019•山东临沂•3分）如图，D是AB上一点，DF交AC于点E，DE＝FE，FC∥AB，若AB＝4，CF＝3，则BD的长是（　　）

A．0.5 B．1 C．1.5 D．2

【分析】根据平行线的性质，得出∠A＝∠FCE，∠ADE＝∠F，根据全等三角形的判定，得出△ADE≌△CFE，根据全等三角形的性质，得出AD＝CF，根据AB＝4，CF＝3，即可求线段DB的长．

【解答】解：∵CF∥AB，

∴∠A＝∠FCE，∠ADE＝∠F，

在△ADE和△FCE中，

∴△ADE≌△CFE（AAS），

∴AD＝CF＝3，

∵AB＝4，

∴DB＝AB﹣AD＝4﹣3＝1．

故选：B．

【点评】本题考查了全等三角形的性质和判定，平行线的性质的应用，能判定△ADE≌△FCE是解此题的关键，解题时注意运用全等三角形的对应边相等，对应角相等．

3．（2019•山东青岛•3分）如图，BD是△ABC的角平分线，AE⊥BD，垂足为F．若∠ABC＝35°，∠C＝50°，则∠CDE的度数为（　　）

A．35° B．40° C．45° D．50°

【分析】根据角平分线的定义和垂直的定义得到∠ABD＝∠EBD，∠AFB＝∠EFB，根据全等三角形的性质得到AF＝EF，AB＝BE，求得AD＝DE，根据三角形的内角和得到∠BAC＝180°﹣∠ABC﹣∠C＝95°，根据全等三角形的性质得到∠BED＝∠BAD＝95°，根据四边形的内角和平角的定义即可得到结论．

【解答】解：∵BD是△ABC的角平分线，AE⊥BD，

∴∠ABD＝∠EBD，∠AFB＝∠EFB，

∵BF＝BF，

∴△ABF∽△EBF（ASA），

∴AF＝EF，AB＝BE，

∴AD＝DE，

∵∠ABC＝35°，∠C＝50°，

∴∠BAC＝180°﹣∠ABC﹣∠C＝95°，

在△DAB与△DEB中，

∴△ABD≌△EAD（SSS），

∴∠BED＝∠BAD＝95°，

∴∠ADE＝360°﹣95°﹣95°﹣35°＝145°，

∴∠CDE＝180°﹣∠ADE＝35°，

故选：A．

【点评】本题考查了三角形的内角和，全等三角形的判定和性质，三角形的外角的性质，熟练掌握全等三角形的判定和性质是解题的关键．

二.填空题

1 （2019•黑龙江省齐齐哈尔市•3分）如图，已知在△ABC和△DEF中，∠B＝∠E，BF＝CE，点B、F、C、E在同一条直线上，若使△ABC≌△DEF，则还需添加的一个条件是　   　（只填一个即可）．

【分析】添加AB＝DE，由BF＝CE推出BC＝EF，由SAS可证△ABC≌△DEF．

【解答】解：添加AB＝DE；

∵BF＝CE，

∴BC＝EF，

在△ABC和△DEF中，，

∴△ABC≌△DEF（SAS）；

故答案为：AB＝DE．

2．（2019•山东临沂•3分）如图，在△ABC中，∠ACB＝120°，BC＝4，D为AB的中点，DC⊥BC，则△ABC的面积是　8　．

【分析】根据垂直的定义得到∠BCD＝90°，得到长CD到H使DH＝CD，由线段中点的定义得到AD＝BD，根据全等三角形的性质得到AH＝BC＝4，∠H＝∠BCD＝90°，求得CD＝2，于是得到结论．

【解答】解：∵DC⊥BC，

∴∠BCD＝90°，

∵∠ACB＝120°，

∴∠ACD＝30°，

延长CD到H使DH＝CD，

∵D为AB的中点，

∴AD＝BD，

在△ADH与△BCD中，，

∴△ADH≌△BCD（SAS），

∴AH＝BC＝4，∠H＝∠BCD＝90°，

∵∠ACH＝30°，

∴CH＝AH＝4，

∴CD＝2，

∴△ABC的面积＝2S△BCD＝2××4×2＝8，

故答案为：8．

【点评】本题考查了全等三角形的判定和性质，解直角三角形，三角形的面积的计算，正确的作出辅助线是解题的关键．

3．（2019•山东威海•3分）如图，在四边形ABCD中，AB∥DC，过点C作CE⊥BC，交AD于点E，连接BE，∠BEC＝∠DEC，若AB＝6，则CD＝　3　．

【分析】延长BC、AD相交于点F，可证△EBC≌△EFC，可得BC＝CF，则CD为△ABF的中位线，故CD＝可求出．

【解答】解：如图，延长BC、AD相交于点F，

∵CE⊥BC，

∴∠BCE＝∠FCE＝90°，

∵∠BEC＝∠DEC，CE＝CE，

∴△EBC≌△EFC（ASA），

∴BC＝CF，

∵AB∥DC，

∴AD＝DF，

∴DC＝．

故答案为：3．

【点评】本题考查了平行线的性质，全等三角形的判定与性质，三角形的中位线定理等知识，解题的关键是正确作出辅助线．2.

三.解答题

1.（2019•四川省广安市•9分）如图，线段、相交于点, ,.求证：.

证明：在和中，

，, …………………3分

    ≌，         …………………………………7分

    故，得证.          …………………………………9分

2.（2019湖北宜昌7分）如图，在△ABC中，D是BC边上的一点，AB＝DB，BE平分∠ABC，交AC边于点E，连接DE．

（1）求证：△ABE≌△DBE；

（2）若∠A＝100°，∠C＝50°，求∠AEB的度数．

【分析】（1）由角平分线定义得出∠ABE＝∠DBE，由SAS证明△ABE≌△DBE即可；

（2）由三角形内角和定理得出∠ABC＝30°，由角平分线定义得出∠ABE＝∠DBE＝∠ABC＝15°，在△ABE中，由三角形内角和定理即可得出答案．

【解答】（1）证明：∵BE平分∠ABC，

∴∠ABE＝∠DBE，

在△ABE和△DBE中，，

∴△ABE≌△DBE（SAS）；

（2）解：∵∠A＝100°，∠C＝50°，

∴∠ABC＝30°，

∵BE平分∠ABC，

∴∠ABE＝∠DBE＝∠ABC＝15°，

在△ABE中，∠AEB＝180°﹣∠A﹣∠ABE＝180°﹣100°﹣15°＝65°．

【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质、角平分线的定义、三角形内角和定理；熟练掌握三角形内角和定理和角平分线定义，证明三角形全等是解题的关键．

3.（2019湖南益阳8分）已知，如图，AB＝AE，AB∥DE，∠ECB＝70°，∠D＝110°，求证：△ABC≌△EAD．

【分析】由∠ECB＝70°得∠ACB＝110°，再由AB∥DE，证得∠CAB＝∠E，再结合已知条件AB＝AE，可利用AAS证得△ABC≌△EAD．

【解答】证明：由∠ECB＝70°得∠ACB＝110°

又∵∠D＝110°

∴∠ACB＝∠D

∵AB∥DE

∴∠CAB＝∠E

∴在△ABC和△EAD中

∴△ABC≌△EAD（AAS）．

【点评】本题是全等三角形证明的基础题型，在有些条件还需要证明时，应先把它们证出来，再把条件用大括号列出来，根据等三角形证明的方法判定即可．

4.（2019云南6分）

如图，AB＝AD，CB＝CD.

求证：∠B＝∠D.

【解析】证明：在△ABC和△ADC中，

……………………………………………3分

∴△ABC≌ADC（SSS）…………………………………4分

∴∠B＝∠D.…………………………………………………6分

5. （2019•广东广州•9分）如图，D是AB上一点，DF交AC于点E，DE＝FE，FC∥AB，求证：△ADE≌CFE．

【分析】利用AAS证明：△ADE≌CFE．

【解答】证明：∵FC∥AB，

∴∠A＝∠FCE，∠ADE＝∠F，

在△ADE与△CFE中：

∵，

∴△ADE≌△CFE（AAS）．

【点评】本题考查了三角形全等的判定，熟练掌握三角形全等的判定方法是关键，三角形全等的判定方法有：AAS，SSS，SAS．

6. （2019•贵州省铜仁市•10分）如图，AB＝AC，AB⊥AC，AD⊥AE，且∠ABD＝∠ACE．

求证：BD＝CE．

\

证明：∵AB⊥AC，AD⊥AE，

∴∠BAE+∠CAE＝90°，∠BAE+∠BAD＝90°，

∴∠CAE＝∠BAD．

又AB＝AC，∠ABD＝∠ACE，

∴△ABD≌△ACE（ASA）．

∴BD＝CE．

7. （2019•河北省•9分）如图，△ABC和△ADE中，AB＝AD＝6，BC＝DE，∠B＝∠D＝30°，边AD与边BC交于点P（不与点B，C重合），点B，E在AD异侧，I为△APC的内心．

（1）求证：∠BAD＝∠CAE；

（2）设AP＝x，请用含x的式子表示PD，并求PD的最大值；

（3）当AB⊥AC时，∠AIC的取值范围为m°＜∠AIC＜n°，分别直接写出m，n的值．

【解答】解：（1）在△ABC和△ADE中，（如图1）

∴△ABC≌△ADE（SAS）

∴∠BAC＝∠DAE

即∠BAD+∠DAC＝∠DAC+∠CAE

∴∠BAD＝∠CAE．

（2）∵AD＝6，AP＝x，

∴PD＝6﹣x

当AD⊥BC时，AP＝AB＝3最小，即PD＝6﹣3＝3为PD的最大值．

（3）如图2，设∠BAP＝α，则∠APC＝α+30°，

∵AB⊥AC

∴∠BAC＝90°，∠PCA＝60°，∠PAC＝90°﹣α，

∵I为△APC的内心

∴AI、CI分别平分∠PAC，∠PCA，

∴∠IAC＝∠PAC，∠ICA＝∠PCA

∴∠AIC＝180°﹣（∠IAC+∠ICA）

＝180°﹣（∠PAC+∠PCA）

＝180°﹣（90°﹣α+60°）

＝α+105°

∵0＜α＜90°，

∴105°＜α+105°＜150°，即105°＜∠AIC＜150°，

∴m＝105，n＝150．

8．(2019•云南•6分)如图，AB＝AD，CB＝CD，求证：∠B＝∠D．

【考点】全等三角形．

【分析】本题已知AB＝AD，CB＝CD，还有隐含条件公共边相等，即AC=AC，则“SSS”可证明△ABC≌ADC，从而∠B＝∠D．

【解答】证明：在△ABC和△ADC中， ，

∴△ABC≌ADC(SSS)，∴∠B＝∠D．

【点评】本题是全等三角形证明的基础题型，证明两个三角形全等时，应注意题目中的隐含条件，如“对顶角相等”，“公共边相等”等．

9．(2019•湖南益阳•8分)已知，如图，AB＝AE，AB∥DE，∠ECB＝70°，∠D＝110°，求证：△ABC≌△EAD．

【考点】全等三角形．

【分析】由∠ECB＝70°得∠ACB＝110°，再由AB∥DE，证得∠CAB＝∠E，再结合已知条件AB＝AE，可利用AAS证得△ABC≌△EAD．

【解答】证明：由∠ECB＝70°得∠ACB＝110°，

又∵∠D＝110°，∴∠ACB＝∠D，

∵AB∥DE，∴∠CAB＝∠E，

∴在△ABC和△EAD中

∴△ABC≌△EAD(AAS)．

【点评】本题是全等三角形证明的基础题型，在有些条件还需要证明时，应先把它们证出来，再把条件用大括号列出来，根据等三角形证明的方法判定即可．

10．(2019•湖北宜昌•7分)如图，在△ABC中，D是BC边上的一点，AB＝DB，BE平分∠ABC，交AC边于点E，连接DE．

(1)求证：△ABE≌△DBE；

(2)若∠A＝100°，∠C＝50°，求∠AEB的度数．

【考点】全等三角形．

【分析】(1)由角平分线定义得出∠ABE＝∠DBE，由SAS证明△ABE≌△DBE即可；(2)由三角形内角和定理得出∠ABC＝30°，由角平分线定义得出∠ABE＝∠DBE＝∠ABC＝15°，在△ABE中，由三角形内角和定理即可得出答案．

【解答】(1)证明：∵BE平分∠ABC，∴∠ABE＝∠DBE，

在△ABE和△DBE中，，∴△ABE≌△DBE（SAS）；

(2)解：∵∠A＝100°，∠C＝50°，∴∠ABC＝30°，

∵BE平分∠ABC，∴∠ABE＝∠DBE＝∠ABC＝15°，

在△ABE中，∠AEB＝180°－∠A－∠ABE＝180°－100°－15°＝65°．

【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质、角平分线的定义、三角形内角和定理；熟练掌握三角形内角和定理和角平分线定义，证明三角形全等是解题的关键．