2020年中考数学一轮复习学案 圆有关的概念

课时22  圆有关的概念

【考点提炼】

知识点1．圆的对称性

    圆是轴对称图形，任何一条直径所在直线都是它的对称轴，圆有无数条对称轴；

    圆是以圆心为对称中心的中心对称图形；

    圆具有旋转不变性．

知识点2．圆的确定

    不在同一直线上的三个点确定一个圆．

知识点3.点和圆的位置关系

    设⊙O的半径为r，点P到圆心的距离OP＝d，则有：

点P在圆外d＞r；点P在圆上d＝r；点P在圆内d＜r．

知识点4. 圆心角、弧、弦之间的关系（一等全等）

    定理  在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等．

    推论  在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量也相等．

知识点5.圆周角

    圆周角定理  在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．

    推论1  在同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧也相等．

推论2  半圆(或直径)所对的圆周角是直角；90°的圆周角所对的弦是直径．

知识点6．垂直于弦的直径

    垂径定理  垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧．

    推论  平分弦(不是直径)的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧．

知识点7.圆内接四边形

（1）定义: 圆内接四边形：顶点都在圆上的四边形，叫圆内接四边形．

   （2）性质：圆内接四边形对角互补，外角等于内对角（即它的一个外角等于它相邻内角的对角）．

【基础训练】

1、如图, ⊙O中,AB是直径,∠AOC=100˚,则∠D=____    ___

2、如图，∠1的正切值等于________  __．

3、如图,AB是⊙O的直径，AB=4，AC是弦，AC=.则∠AOC=            .

4、 如图，AB是⊙O的直径，C是⊙O一点，若AC=8，AB=10，OD⊥BC于点D，则BD长为       ．

5、如图所示,小华从一个圆形场地的A点出发,沿着与半径OA夹角为α的方向行走，走到场地边缘B后,再沿着与半径OB夹角为α的方向折向行走.按照这种方式,小华第五次走到场地边缘时处于弧AB上,此时∠AOE＝56°,则α的度数是             .

【问题研讨】

例1、如图，在矩形ABCD中，AB=4，AD=3，以顶点D为圆心作半径为r的圆，若要求另外三个顶点A、B、C中至少有一个点在圆内，且至少有一个点在圆外，则r的取值范围是    ．

例2、如图，在⊙O的内接五边形ABCDE中，∠CAD=35°，则∠B+∠E=         ．

例3、如图，AB为⊙O的直径，C为⊙O上一点，弦AD平分∠BAC，交BC于点E，AB=6，AD=5，则AE的长为（     ）

A. 2.5       B. 2.8       C. 3       D. 3.2

例4、如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB，垂足为E，连接AC，若∠CAB=22．5°，CD=8cm，则⊙O的半径为         cm．

例5、如图，在⊙O的内接四边形ABCD中，AB=3，AD=5，∠BAD=60°，点C为弧BD的中点，则AC的长是        ．

例6、【发现】

如图∠ACB=∠ADB=90°，那么点D在经过A，B，C三点的圆上（如图①）

【思考】

如图②，如果∠ACB=∠ADB=（≠90°）（点C，D在AB的同侧），那么点D还在经过A，B，C三点的圆上吗？

请证明点D也不在⊙O内．

【应用】

利用【发现】和【思考】中的结论解决问题：

若四边形ABCD中，AD∥BC，∠CAD=90°，点E在边AB上，CE⊥DE．

（1）作∠ADF=∠AED，交CA的延长线于点F（如图④），求证：DF为Rt△ACD的外接圆的切线；

（2）如图⑤，点G在BC的延长线上，∠BGE=∠BAC，已知             ，AD=1，求DG的长．

【强化训练】

1、如图，线段AB是⊙O的直径，弦CD丄AB，∠CAB＝20°，则∠AOD等于（    ）

A．160°      B．150°      C．140°      D．120°

2.如图，已知⊙O的半径为13，弦AB长为24，则点O到AB的距离是（    ）

A．6      B．5      C．4      D．3

3.如图是以△ABC的边AB为直径的半圆O，点C恰好在半圆上，过C作CD⊥AB交AB于D．已知cos∠ACD=，BC=4，则AC的长为（    ）

A．1      B．      C．3      D．

4.如图，边长为2的正方形ABCD中，P是CD的中点，连接AP并延长交BC的延长线于点F，作△CPF的外接圆⊙O，连接BP并延长交⊙O于点E，连接EF，则EF的长为（    ）

A．       B．       C．       D．

5.如图，若锐角△ABC内接于⊙O，点D在⊙O外（与点C在AB同侧），  则下列三个结论：①；②；③中，正确的结论为（    ）

A. ①②       B. ②③       C. ①②③       D. ①③

6.如图，AB是⊙O的直径，C、D是⊙O上两点，CD⊥AB，若∠DAB=65°，则∠BOC=（    ）

A. 25°        B. 50°        C.130°        D.155°

7.如图，平行四边形ABCD的顶点A、B、D在⊙O上，顶点C在⊙O的直径BE上，连接AE，∠E=360，则∠ADC的度数是（    ）

1. 440    B．540      C．720    D．530

8.如图，△ABC的顶点A、B、C、均在⊙O上，若∠ABC+∠AOC=90°，则∠AOC的大小是（    ）

A. 30°         B. 45°              C. 60°           D. 70°

9.如图，四边形ABCD是圆O的内接四边形，若，则∠C的度数是（    ）

A. 100°       B. 110°       C. 120°       D. 130°

10.如图，AB、CD是⊙O两条弦，AB=8，CD=6，MN是直径，AB⊥MN于E,CD⊥MN于点F,P为EF上任意一点,，则PA+PC的最小值为        ．

11.如图，在⊙O中，CD是直径，弦ABCD，垂足为E，连接BC，若AB=cm，，则圆O的半径为        cm.

12.如图，以的边BC为直径的圆O分别交AB、AC于点D、E,连接OD、OE,若，则.

13、已知：⊙O上两个定点A，B和两个动点C，D，AC与BD交于点E．

（1）如图1，求证：EA•EC=EB•ED；

（2）如图2，若，AD是⊙O的直径，求证：AD•AC=2BD•BC；

（3）如图3，若AC⊥BD，点O到AD的距离为2，求BC的长．

14、已知：平面直角坐标系中，四边形OABC的顶点分别为O(0，0)、A（5，0）、B(m，2)、C(m－5，2)．

（1）问：是否存在这样的m，使得在边BC上总存在点P，使∠OPA＝90°？若存在，求出m的取值范围，若不存在，请说明理由；

（2）当∠AOC与∠OAB的平分线的交点Q在边BC上时，求m的值．