2020年中考数学第一轮复习 第25课时 圆的性质 讲义(无答案)

初三中考第一轮复习

课题25：圆的性质（1）

【课前练习】

1.（2018·聊城市） 如图，⊙O 中，弦BC与半径OA相交于点D ，连接AB，OC .若∠A=60°∠ADC=85°，则∠C的度数是（   ）

A．25°   B．27.5°   C．30°   D．35°

（1）    （2） （3）

2.（2018·烟台）如图，四边形ABCD内接于⊙O，点I是△ABC的内心，∠AIC=124°，点E在AD的延长线上，则∠CDE 的度数为（    ）

A．56°        B．62°        C．68°        D．78°

3.(2018·枣庄)如图，AB是⊙O的直径，弦CD交AB于点P，AP＝2，BP＝6，∠APC＝30°，则CD的长为(　　)

A.     B．2    C．2    D．8

4.（2018·菏泽）如图，在⊙O中，OC⊥AB，∠ADC＝32°，则∠OBA的度数是（    ）

A．64°    B．58°    C．32°    D．26°

5.(2018·安顺)已知⊙O的直径CD＝10 cm，AB是⊙O的弦，AB⊥CD，垂足为M，且AB＝8 cm，则AC的长为    

6.（2018·广州市）如图4，AB是⊙O的弦，OC⊥AB，交⊙O于点C，连接OA、OB、BC，若∠ABC=20°，则∠AOB的度数是             

（4）（6）     （7）

7.(2018·咸宁)如图，已知⊙O的半径为5，弦AB，CD所对的圆心角分别是∠AOB，∠COD，若∠AOB与∠COD互补，弦CD＝6，则弦AB的长为              

8. (2018安徽)如图，⊙O为锐角△ABC的外接圆，半径为5．

    （1）用尺规作图作出∠BAC的平分线，并标出它与劣弧的交点E(保留作图痕迹，不写作法)；

    （2）若（1）中的点E到弦BC的距离为3，求弦CE的长．

【知识点一】圆以及圆的附属概念

①圆的概念：

圆是到一定点距离等于定长的所有点组成的图形。这个定点叫圆心定长叫半径；

平面内一条线段绕着一个端点旋转一周，另一个端点所形成的图形叫圆，固定的端点叫圆心，这条线段叫半径。

②弧：圆上两点之间的部分叫弧。优弧，半圆，劣弧

③弦：连接圆上两点的线段叫弦；经过圆心的弦叫直径。

④等圆：半径相等的圆；等弧：在同圆或等圆中，能够重合的弧

⑤圆的对称性：

轴对称图形，对称轴无数条，每一条经过圆心的直线；

中心对称图形，对称中心为圆心

旋转对称图形，旋转中心为圆心

【知识点二】垂径定理及推论

垂径定理：垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧

推论①平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧

②弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧

③平分弦所对的一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧

④圆的两条平行弦所夹的弧相等

【知识点三】圆心角，弧，弦，弦心距的关系定理

定理：在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，弦相等，弦心距也相等

推论: 在同圆或等圆中,（1）相等的圆心角，（2）相等的弦，（3）相等的弧，（4）相等的弦心距，若四项中有一项成立，其他三项也成立

弧的度数就是这条弧所对的圆心角的度数。

【知识点四】圆周角的性质

在同圆或等圆中，一条弧所对的圆周角等于这条弧所对的圆心角的一半

在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等。反之，相等的圆周角所对的弧相等

半圆或直径所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径

圆内接四边形对角互补。

【精练精讲】

一、连半径

1．(2018·随州)如图，点A，B，C在⊙O上，∠A＝40°，∠C＝20°，则∠B＝________.

（1）       （2）

2.(2017·大庆)如图，点M，N在半圆的直径AB上，点P，Q在上，四边形MNPQ为正方形．若半圆的半径为，则正方形的边长为________．

3.在⊙O中，直径AB＝6，BC是弦，∠ABC＝30°，点P在BC上，点Q在⊙O上，且OP⊥PQ.

(1)如图①，当PQ∥AB时，求PQ的长；

(2)如图②，当点P在BC上移动时，求PQ长的最大值．

二、作垂直

1.(2017·金华)如图，在半径为13 cm的圆形铁片上切下一块高为8 cm的弓形铁片，则弓形弦AB的长为(　　)

A．10 cm   B．16 cm  C．24 cm  D．26 cm

（1）  （2）    （3）

2.(2017·遵义)如图，AB为⊙O的直径，AB＝4，M是OA的中点，过点M的直线与⊙O交于C，D两点．若∠CMA＝45°，则弦CD的长为________．

3．如图，在平面直角坐标系中，⊙P的圆心P的坐标为(2，a)(a>2)，半径为2，函数y＝x的图象被⊙P截得的弦AB的长为2，则a的值为________．

三、见直径，构直角；见直角，想直径

1．如图，AB是⊙O的直径，点C，D在⊙O上．若∠ABD＝42°，则∠BCD的度数是________．

  （1）              （2）

2．如图，点P(1,2)，⊙P经过原点O，交y轴正半轴于点A.

(1)该圆的直径长为________；

(2)若点B在⊙P上，∠AOB＝45°，则点B的坐标是________．

四、辅助圆

1．如图，AE＝BE＝DE＝BC＝DC，若∠C＝100°，则∠BAD＝________.

（1）（2）（3）（4）

2．如图，四边形ABCD中，AB＝AC＝AD，∠CBD＝20°，∠BDC＝30°，则∠BAD＝________.

3．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝4，BC＝6，点D是边BC的中点，点E是边AB上的任意一点(点E不与点B重合)，沿DE翻折△DBE，使点B落在点F处，连接AF，则线段AF长的最小值为________．

4.如图，在直角三角形ABC中，∠ACB＝90°，AC＝6，BC＝4，在△ABC内部以AC为斜边任意作Rt△ACD，连接BD，则线段BD长的最小值是________．

5．如图，Rt△ABC中，AB⊥BC，AB＝6，BC＝4，P是△ABC内部的一个动点，且满足∠PAB＝∠PBC，则线段CP长的最小值为________．

（5）    （6）   （7）

6．如图，已知边长为2的正△ABC的两顶点A，B分别在直角∠MON的两边上滑动，点C在∠MON内部，则OC长的最大值为________．

7．如图，在△ABC中，∠BAC＝45°，BC＝4，则△ABC面积的最大值为________．

【课后训练】

一、选择题

1．（2019•营口）如图，BC是⊙O的直径，A，D是⊙O上的两点，连接AB，AD，BD，若∠ADB＝70°，则∠ABC的度数是（　　）

A．20° B．70° C．30° D．90°

（1）（2）（3）（4）

2．（2019•陕西）如图，AB是⊙O的直径，EF，EB是⊙O的弦，且EF＝EB，EF与AB交于点C，连接OF，若∠AOF＝40°，则∠F的度数是（　　）

A．20° B．35° C．40° D．55°

3．（2019•广元）如图，AB，AC分别是⊙O的直径和弦，OD⊥AC于点D，连接BD，BC，且AB＝10，AC＝8，则BD的长为（　　）

A．2 B．4 C．2 D．4.8

4．（2019•柳州）如图，A，B，C，D是⊙O上的点，则图中与∠A相等的角是（　　）

A．∠B B．∠C C．∠DEB D．∠D

5．（2019•十堰）如图，四边形ABCD内接于⊙O，AE⊥CB交CB的延长线于点E，若BA平分∠DBE，AD＝5，CE＝，则AE＝（　　）

A．3 B．3 C．4 D．2

（5）（6）（7）

6．（2019•宜昌）如图，点A，B，C均在⊙O上，当∠OBC＝40°时，∠A的度数是（　　）

A．50° B．55° C．60° D．65°

7．（2019•眉山）如图，⊙O的直径AB垂直于弦CD，垂足是点E，∠CAO＝22.5°，OC＝6，则CD的长为（　　）

A．6 B．3 C．6 D．12

8．（2019•兰州）如图，四边形ABCD内接于⊙O，若∠A＝40°，则∠C＝（　　）

A．110° B．120° C．135° D．140°

（8）（9）（10）

9．（2019•威海）如图，⊙P与x轴交于点A（﹣5，0），B（1，0），与y轴的正半轴交于点C．若∠ACB＝60°，则点C的纵坐标为（　　）

A．+ B．2+ C．4 D．2+2

10．（2019•聊城）如图，BC是半圆O的直径，D，E是上两点，连接BD，CE并延长交于点A，连接OD，OE．如果∠A＝70°，那么∠DOE的度数为（　　）

A．35° B．38° C．40° D．42°

二、填空题

1．（2019•辽阳）如图，A，B，C，D是⊙O上的四点，且点B是的中点，BD交OC于点E，∠AOC＝100°，∠OCD＝35°，那么∠OED＝　   　．

（1）（2）（3）（4）

2．（2019•娄底）如图，C、D两点在以AB为直径的圆上，AB＝2，∠ACD＝30°，则AD＝　   　．

3．（2019•铜仁市）如图，四边形ABCD为⊙O的内接四边形，∠A＝100°，则∠DCE的度数为　   　；

4．（2019•鸡西）如图，在⊙O中，半径OA垂直于弦BC，点D在圆上且∠ADC＝30°，则∠AOB的度数为　   　．

5．（2019•广西）《九章算术》作为古代中国乃至东方的第一部自成体系的数学专著，与古希腊的《几何原本》并称现代数学的两大源泉．在《九章算术》中记载有一问题“今有圆材埋在壁中，不知大小．以锯锯之，深一寸，锯道长一尺，问径几何？”小辉同学根据原文题意，画出圆材截面图如图所示，已知：锯口深为1寸，锯道AB＝1尺（1尺＝10寸），则该圆材的直径为　   　寸．

（5）（6）（7）（8）

6．（2019•随州）如图，点A，B，C在⊙O上，点C在优弧上，若∠OBA＝50°，则∠C的度数为　   　．

7．（2019•东营）如图，AC是⊙O的弦，AC＝5，点B是⊙O上的一个动点，且∠ABC＝45°，若点M、N分别是AC、BC的中点，则MN的最大值是　   　．

8．（2019•宜宾）如图，⊙O的两条相交弦AC、BD，∠ACB＝∠CDB＝60°，AC＝2，则⊙O的面积是　   　．

三、解答题

1．（2019•绵阳）如图，AB是⊙O的直径，点C为的中点，CF为⊙O的弦，且CF⊥AB，垂足为E，连接BD交CF于点G，连接CD，AD，BF．

（1）求证：△BFG≌△CDG；

（2）若AD＝BE＝2，求BF的长．

2．（2018•宜昌）如图，在△ABC中，AB＝AC，以AB为直径的圆交AC于点D，交BC于点E，延长AE至点F，使EF＝AE，连接FB，FC．

（1）求证：四边形ABFC是菱形；

（2）若AD＝7，BE＝2，求半圆和菱形ABFC的面积．

3．（2016•宁夏）已知△ABC，以AB为直径的⊙O分别交AC于D，BC于E，连接ED，若ED＝EC．

（1）求证：AB＝AC；

（2）若AB＝4，BC＝2，求CD的长．

4．（2015•佛山）如图，⊙O的内接四边形ABCD两组对边的延长线分别交于点E、F．

（1）若∠E＝∠F时，求证：∠ADC＝∠ABC；

（2）若∠E＝∠F＝42°时，求∠A的度数；

（3）若∠E＝α，∠F＝β，且α≠β．请你用含有α、β的代数式表示∠A的大小．