2020年中考数学第一轮复习课时18三角形多边形 学案（无答案）
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课题18 三角形和多边形
【知识点一】三角形
1.分类：
①三角形按边分为：不等边三角形和等腰三角形，等腰三角形分为：等边三角形和腰和底不等的等腰三角形
②三角形按角分为直角三角形和斜三角形．斜三角形又分为锐角三角形和钝角三角形
2. 三角形的中线、高线、角平分线
三角形中，连结一个顶点和它所对边的中点的连线段叫做三角形的中线．
从三角形一个顶点向它的对边(或对边所在的直线)作垂线，顶点和垂足的间的线段叫做三角形的高线，简称为高．
三角形的一个角的平分线与这个角的对边相交，连结这个角的顶点和交点的线段叫做三角形的角平分线．
3.三角形边角关系：
①三角形的任意两边之和大于第三边；
②三角形的任意两边之差小于第三边．
4.三角形内角和定理：三角形的三个内角的和等于180度
①三角形的任意一个外角等于和它不相邻的两个内角之和；
②三角形的任意一个外角大于任何一个与它不相邻的内角；
【解题突破口】
- 当题目中有“中点”或“中线”时，可以联想到
① 两条分线段相等，等于总线段的一半。
② 三角形或梯形的中位线：三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半；梯形的中位线平行于两底，并且等于两底和的一半。
③ 直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半。
④ 倍长中线。
⑤ 等腰三角形的三线合一：等腰三角形底边的中线、底边的高、顶角的平分线三线合一。
当题目中有“角平分线”时，可以联想到
① 两个小角相等，等于大角的一半。
② 角平分线所在的直线是角的对称轴。
③ 角平分线上的点到角两边的距离相等；到角两边距离相等的点在这个角的平分线上。
④ 等腰三角形的三线合一：等腰三角形底边的中线、底边的高、顶角的平分线三线合一。
⑤ 角平分线与平行线能得等腰三角形。
⑥ 三角形的内心：三角形角平分线的交点，到三边的距离相等。
【精讲精练】
1. （2018·长沙市） 下列长度的三条线段,能组成三角形的是
A．4cm，5cm，9cm B．8cm，8cm，15cm C．5cm，5cm，10cm D．6cm，7cm，14cm
2. （2018·威武)已知，，是的三边长，，满足，为奇数，则 ．
3.(2018·临沂)如图，AB∥CD，∠D＝42°，∠CBA＝64° ，则∠CBD的度数是( )
A．42° B．64° C．74° D．106°
（3）（4） （5）（6）
4. (2018，福建B卷)如图，等边三角形ABC中，AD⊥BC，垂足为D，点E在线段AD上，∠EBC＝45°，则∠ACE等于（ ）
A．15° B．30° C．45° D．60°
5.（2018·聊城市）如图，将一张三角形纸片ABC的一角折叠，使点A落在△ABC外的A′处，折痕为DE.如果∠A=α ， ∠CEA′=β，∠BDA′= γ，那么下列式子中正确的是（ ）
A. γ=2α+β B. γ=α+2β C. γ=α+β D. γ=180°﹣α﹣β
6. （2018·眉山市）将一副直角三角板按如图所示的位置放置，使含30°角的三角板的一条直角边和含45°角的三角板的一条直角边放在同一条直线上，则∠α的度数是______．
7.(2018·黄石市)如图，△ABC中，AD是BC边上的高，AE、BF分别是∠BAC、∠ABC的平分线，∠BAC＝50°，∠ABC＝60°，则∠EAD＋∠ACD＝______．
（7） （8）（9）（10）
8. (2018·青岛)如图，三角形纸片ABC，AB＝AC，∠BAC＝90°，点E为AB中点．沿过点E的直线折叠，使点B与点A重合，折痕EF交BC于点F．已知EF＝，则BC的长是______．
9. （2018·福建）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝6，D是AB的中点，则CD＝______．
10. （2018·娄底市）如图，P是△ABC的内心，连接PA、PB、PC，则△PAB、△PBC、△PAC的面积分别为S1、S2、S3，则S1 S2＋S3．（填“<”或“＝”或“>”）
11. （2018·淄博）已知：如图，是任意三角形. 求证：.
12. （2018·宜昌市）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝40°，△ABC的外角∠CBD的平分线BE交AC的延长线于点E．
（1）求∠CBE的度数；
（2）过点D作DF∥BE，交AC的延长线于点F，求∠F的度数．
【知识点二】多边形
1.多边形的内角和：n边形的内角和等于180（n﹣2）
2.多边形的外角和：n边形的外角和等于360度
3.多边形的对角线：n边形的对角线等于
4.与正多边形有关的概念：正多边形的中心，正多边形的半径，边心距
＋r2=R2；每个外角都相等，=。每个内角都相等=180﹣
正三角形，正四边形，正五边形 ，正六边形，正八边形等
【精练精讲】
1.（2019•白银）如图，足球图片正中的黑色正五边形的内角和是（ ）
A．180° B．360° C．540° D．720°
（1）（2）（3）（4）
2.（2019•鞍山）如图，某人从点A出发，前进8m后向右转60°，再前进8m后又向右转60°，按照这样的方式一直走下去，当他第一次回到出发点A时，共走了（ ）
A．24m B．32m C．40m D．48m
3.（2018秋•商州区期末）如图，五边形ABCDE中，AB∥CD，∠1，∠2，∠3分别是∠BAE，∠AED，∠EDC的外角，则∠1+∠2+∠3＝（ ）
A．90° B．180° C．120° D．270°
4.（2019•广安）如图，正五边形ABCDE中，对角线AC与BE相交于点F，则∠AFE＝ 度．
5.（2019•枣庄）用一条宽度相等的足够长的纸条打一个结（如图1所示），然后轻轻拉紧、压平就可以得到如图2所示的正五边形ABCDE．图中，∠BAC＝ 度．
（5） （6）
6.（2018•山西）图1是我国古代建筑中的一种窗格，其中冰裂纹图案象征着坚冰出现裂纹并开始消溶，形状无一定规则，代表一种自然和谐美．图2是从图1冰裂纹窗格图案中提取的由五条线段组成的图形，则∠1+∠2+∠3+∠4+∠5＝ 度．
【课后训练】
一、选择题
2.（2018·河北省）下列图形具有稳定性的是（ ）．
2.(2018·常德)已知三角形两边的长分别是3和7，则此三角形第三边的长可能是（ ）
A．1 B．2 C．8 D．11
3. （2018·柳州）如图，图中直角三角形共有( )
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
（3）（4）（5）（6）
4.（2018·宿迁）如图，点D在△ABC边AB的延长线上，DE∥BC，若∠A＝35°，∠C＝24°，则∠D的度数是（ ）
A．24° B．59° C．60° D．69°
5.（2018·贵阳）如图，在△ABC中有四条线段DE，BE，EF，FG，其中有一条线段是△ABC的中线，则该线段是（ ）
A．线段DE B．线段BE C．线段EF D．线段FG
6．（2019•铁岭）如图，在△CEF中，∠E＝80°，∠F＝50°，AB∥CF，AD∥CE，连接BC，CD，则∠A的度数是（ ）
A．45° B．50° C．55° D．80°
7．（2019•营口）如图，AD是△ABC的外角∠EAC的平分线，AD∥BC，∠B＝32°，则∠C的度数是（ ）
A．64° B．32° C．30° D．40°
（7）（8）（9）（11）
8．（2019•朝阳）把Rt△ABC与Rt△CDE放在同一水平桌面上，摆放成如图所示的形状，使两个直角顶点重合，两条斜边平行，若∠B＝25°，∠D＝58°，则∠BCE的度数是（ ）
A．83° B．57° C．54° D．33°
9．（2019•大庆）如图，在△ABC中，BE是∠ABC的平分线，CE是外角∠ACM的平分线，BE与CE相交于点E，若∠A＝60°，则∠BEC是（ ）
A．15° B．30° C．45° D．60°
10．（2019•徐州）下列长度的三条线段，能组成三角形的是（ ）
A．2，2，4 B．5，6，12 C．5，7，2 D．6，8，10
11．（2019•赤峰）如图，点D在BC的延长线上，DE⊥AB于点E，交AC于点F．若∠A＝35°，∠D＝15°，则∠ACB的度数为（ ）
A．65° B．70° C．75° D．85°
12．（2019•广西）将一副三角板按如图所示的位置摆放在直尺上，则∠1的度数为（ ）
A．60° B．65° C．75° D．85°
（12）（13）（14）（18）
13．（2019•荆门）将一副直角三角板按如图所示的位置摆放，使得它们的直角边互相垂直，则∠1的度数是（ ）
A．95° B．100° C．105° D．110°
14．（2019•眉山）如图，在△ABC中，AD平分∠BAC交BC于点D，∠B＝30°，∠ADC＝70°，则∠C的度数是（ ）
A．50° B．60° C．70° D．80°
15．（2019•福建）已知正多边形的一个外角为36°，则该正多边形的边数为（ ）
A．12 B．10 C．8 D．6
16．（2019•扬州）已知n是正整数，若一个三角形的3边长分别是n+2、n+8、3n，则满足条件的n的值有（ ）
A．4个 B．5个 C．6个 D．7个
17．（2019•杭州）在△ABC中，若一个内角等于另外两个内角的差，则（ ）
A．必有一个内角等于30° B．必有一个内角等于45°
C．必有一个内角等于60° D．必有一个内角等于90°
18．（2019•枣庄）将一副直角三角板按如图所示的位置放置，使含30°角的三角板的一条直角边和含45°角的三角板的一条直角边放在同一条直线上，则∠α的度数是（ ）
A．45° B．60° C．75° D．85°
19．（2019•梧州）正九边形的一个内角的度数是（ ）
A．108° B．120° C．135° D．140°
20.（2019•湘西州）已知一个多边形的内角和是1080°，则这个多边形是（ ）
A．五边形 B．六边形 C．七边形 D．八边形
二。、填空题
1. （2018·泰州市）已知三角形两边的长分别为1、5，第三边长为整数，则第三边的长为 .
2. （2018·滨州）在△ABC中，若∠A＝30°，∠B＝50°，则∠C＝___________
3.（2018·盐城）将一个含有45°角的直角三角板摆放在矩形上，如图所示，若∠1＝40°，则∠2＝ °．
（3）（7）（12）（13）
4．（2019•哈尔滨）在△ABC中，∠A＝50°，∠B＝30°，点D在AB边上，连接CD，若△ACD为直角三角形，则∠BCD的度数为 度．
5．（2019•南京）在△ABC中，AB＝4，∠C＝60°，∠A＞∠B，则BC的长的取值范围是 ．
6．（2018•绥化）三角形三边长分别为3，2a﹣1，4．则a的取值范围是 ．
7．（2018•巴中）如图，在△ABC中，BO、CO分别平分∠ABC、∠ACB．若∠BOC＝110°，则∠A＝ ．
8．（2019•济南）一个n边形的内角和等于720°，则n＝ ．
9．（2018•菏泽）若正多边形的每一个内角为135°，则这个正多边形的边数是 ．
10.（2018•怀化）一个多边形的每一个外角都是36°，则这个多边形的边数是 ．
11.（2019•益阳）若一个多边形的内角和与外角和之和是900°，则该多边形的边数是 ．
12.（2019•济宁）如图，该硬币边缘镌刻的正九边形每个内角的度数是 ．
13．（2019•宜宾）如图，六边形ABCDEF的内角都相等，AD∥BC，则∠DAB＝ °．
14．（2019•资阳）若正多边形的一个外角是60°，则这个正多边形的内角和是 ．
15.（2018•抚顺）将两张三角形纸片如图摆放，量得∠1+∠2+∠3+∠4＝220°，则∠5＝ ．
（15）（16）（17）（18）
16.（2018•邵阳）如图所示，在四边形ABCD中，AD⊥AB，∠C＝110°，它的一个外角∠ADE＝60°，则∠B的大小是 ．
17.（2019•徐州）如图，A、B、C、D为一个外角为40°的正多边形的顶点．若O为正多边形的中心，则∠OAD＝ ．
18．（2019•株洲）如图所示，过正五边形ABCDE的顶点B作一条射线与其内角∠EAB的角平分线相交于点P，且∠ABP＝60°，则∠APB＝ 度．
三、解答题
1．已知正n边形的周长为60，边长为a
（1）当n＝3时，请直接写出a的值；
（2）把正n边形的周长与边数同时增加7后，假设得到的仍是正多边形，它的边数为n+7，周长为67，边长为b．有人分别取n等于3，20，120，再求出相应的a与b，然后断言：“无论n取任何大于2的正整数，a与b一定不相等．”你认为这种说法对吗？若不对，请求出不符合这一说法的n的值．
2．平面内的两条直线有相交和平行两种位置关系．
（1）如图a，若AB∥CD，点P在AB、CD外部，则有∠B＝∠BOD，又因∠BOD是△POD的外角，故∠BOD＝∠BPD+∠D，得∠BPD＝∠B﹣∠D．将点P移到AB、CD内部，如图b，以上结论是否成立？若成立，说明理由；若不成立，则∠BPD、∠B、∠D之间有何数量关系？请证明你的结论；
（2）在图b中，将直线AB绕点B逆时针方向旋转一定角度交直线CD于点Q，如图c，则∠BPD、∠B、∠D、∠BQD之间有何数量关系？（不需证明）
（3）根据（2）的结论求图d中∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F的度数．
3．提出问题：如图①，在四边形ABCD中，P是AD边上任意一点，△PBC与△ABC和△DBC的面积之间有什么关系？
探究发现：为了解决这个问题，我们可以先从一些简单的、特殊的情形入手：
（1）当AP＝AD时（如图②）：
∵AP＝AD，△ABP和△ABD的高相等， ∴S△ABP＝S△ABD．
∵PD＝AD﹣AP＝AD，△CDP和△CDA的高相等， ∴S△CDP＝S△CDA．
∴S△PBC＝S四边形ABCD﹣S△ABP﹣S△CDP＝S四边形ABCD﹣S△ABD﹣S△CDA＝S四边形ABCD﹣（S四边形ABCD﹣S△DBC）﹣（S四边形ABCD﹣S△ABC）
＝S△DBC+S△ABC．
（2）当AP＝AD时，探求S△PBC与S△ABC和S△DBC之间的关系，写出求解过程；
（3）当AP＝AD时，S△PBC与S△ABC和S△DBC之间的关系式为： ；
（4）一般地，当AP＝AD（n表示正整数）时，探求S△PBC与S△ABC和S△DBC之间的关系，写出求解过程；
问题解决：当AP＝AD（0≤≤1）时，S△PBC与S△ABC和S△DBC之间的关系式为： ．
