2020年九年级数学中考专题复习：推理与证明

2020年中考数学人教版专题复习：推理与证明
一、教学目标：
1. 了解证明的基本步骤和书写格式．
2. 能从“同位角相等，两直线平行” “两直线平行，同位角相等”这个基本事实出发，证明平行线的判定定理、性质定理，三角形内角和定理以及三角形内角和定理的推论，并能简单应用这些结论．
3. 感受数学的严谨、结论的确定，初步养成言之有理、落笔有据的推理习惯，发展初步的演绎推理能力．感受欧几里得的演绎体系对数学发展和人类文明的价值．
4. 正确的理解互逆命题和逆命题的概念，会根据已知命题写出它的逆命题，会举反例证明一个命题是假命题

二、教学重点：
1. 从“同位角相等，两直线平行” “两直线平行，同位角相等”这个基本事实出发，证明平行线的判定定理、三角形内角和定理以及三角形内角和定理的推论，并能简单应用这些结论．
2. 理解逆命题的意义
教学难点：
1. 证明的基本步骤和书写格式，发展初步的演绎推理能力．
2. 证明一个命题是假命题

三、课堂教学：
（一）知识要点：
知识点1：公理、证明
公理：在《原本》里欧几里得创建了公理体系——在众多的数学名词和数学命题中，挑选了数学名词和真命题，其中的数学名词称为原名，真命题作为公理．本教材有如下公理：
（1）同位角相等，两直线平行．
（2）两直线平行，同位角相等．
（3）两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等．
（4）两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等．
（5）三边对应相等的两个三角形全等．
（6）全等三角形的对应边相等，对应角相等．
（7）等式的有关性质和不等式的有关性质也都看作基本事实．可以看作公理．
证明：
用推理的方法证实真命题的过程叫做证明．
证明与图形有关的命题的步骤：
（1）根据命题，画出图形；
（2）根据命题，结合图形，写出已知、求证．已知部分是已知事项（即命题的条件），求证部分是论证的事项（即命题的结论）；
（3）写出证明过程．
说明：证明的步骤主要适应于有文字叙述的证明题，而那些已经给出已知，求证和图形的证明题，只需要写出过程即可．

知识点2：定理
经过证明的真命题称为定理．
本节的定理有：
（1）内错角相等，两直线平行．
（2）同旁内角互补，两直线平行．
（3）两直线平行，内错角相等．
（4）两直线平行，同旁内角互补．
（5）三角形三个内角的和等于180°．三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和．
三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角．
已经证明的定理也可以作为以后推理的依据．

知识点3：互逆命题，逆命题．
两个命题中，如果第一个命题的条件是第二个命题的结论，而第一个命题的结论又是第二个命题的条件，那么这两个命题叫做互逆命题．其中一个命题称为另一个命题的逆命题．
一个命题条件和结论互换就得到它的逆命题，所以每个命题都有它的逆命题

知识点4：反例
举出一个例子说明一个命题是假命题，这样的例子称为反例
例：如果a2=b2，那么a=b正确吗？
不正确，反例如：当a=2，b=－2时，虽然a2=b2，但是a≠b，这样的例子称为反例．
在数学中，说明一个命题是假命题，通常只需要举一个反例即可．而要说明一个命题是真命题，就必须经过证明．几个正确的例子是不能说明这个命题的真实性的．证明与反例是解决数学问题的两种不可分割的重要的方法．

【典型例题】
例1. 填空题
（1）命题：“两直线平行，内错角相等．”的条件是 ，结论是____________________________，这个命题的逆命题的条件是 ，结论是 ．
（2）命题：“等边三角形是锐角三角形”是 命题；写出其逆命题
，该命题是 命题．
解：略

例2. 判断下列命题：
①等腰三角形是轴对称图形；
②若a>1且b>1，则a+b>2
③全等三角形对应角的平分线相等；
④直角三角形的两锐角互余
其中逆命题正确的有A.
A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 0个
解：①，②，③的逆命题不正确 ④的逆命题正确

例3. 如图，AB∥CD，AB与DE相交于点G，∠B=∠D．
问题：你由这些条件得到什么结论？如何证明这些结论？

解：结论是 DE∥BF
证明：因为AB∥CD（已知）
所以∠EGA=∠D（两直线平行，同位角相等）
又因为∠B=∠D（已知）
所以∠EGA=∠B（等量代换）
所以DE∥BF（同位角相等 ，两直线平行）
上面的推理过程用符号“”表达为：
AB∥CD∥BF
问题1：还有不同的方法可以证明DE∥BF吗？
问题2：在图中，如果DE∥BF，∠B=∠D，那么你得到什么结论？证明你的结论．
说明：问题2构造了原命题的逆命题，实质是在不断依据有关平行线的互逆命题进行推理的．

例4. 试判断命题：“如果一个角的两边分别与另一个角的两边互相平行，那么这两个角相等．”的真假性，若为假命题，请举反例说明．
解：这是一个假命题．
虽然第一个图满足条件，也满足结论
但是第二个图也满足条件却不满足结论


例5. 写出下列命题的逆命题，并判断它是真命题还是假命题．
（1）若ac2＞bc2，则a＞b；
（2）角平分线上的点到这个角的两边距离相等；
（3）若ab=0，则a=0．
分析：写出一个命题的逆命题，只需将命题的条件与结论交换一下就行．判断一个命题的真假，说它真，必须有根有据；而说它假，只要举一个反例，千万不能想当然．
解答：（1）逆命题为：若a＞b，则ac2＞bc2
假命题，如c=0，ac2=bc2
（2）逆命题为：到角的两边距离相等的点在这个角的平分线上，真命题．
（3）逆命题为：若a=0，则ab=0，真命题．

例6. 如图，△ABC中，AB=AC，D在BC上，且BD=AD，DC=AC，求∠B的度数．

分析：图中有三个等腰三角形，可用等边对等角的性质，再用方程的思想解题，列方程的依据是三角形内角和定理．体会在解答求解中的推理及书写格式．
解：∵AB=AC（已知）
∴∠B=∠C（等边对等角）
同理，∠B=∠BAD，∠CAD=∠CDA．
设∠B=x°，则∠C=x°，∠BAD=x°，
∴∠ADC=2x°， ∠CAD=2x°．
在△ADC中，∵∠C+∠CAD+∠ADC=180°．
∴x°+2 x°+ 2x°=180 °．
∴x°=36 °．
答：∠B的度数为36°．

例7. 给下面的证明过程注明理由
已知AB=DC，∠BAD=∠CDA
求证：∠ABC=∠DCB

证明：连结AC、BD交点为O
在△ADB与△DAC中
因为∠BAD=∠ADC（已知）
AD=DA（公共边）
AB=DC（已知）
所以△ADB≌△DAC（SAS）
所以BD=CA（全等三角形对应边相等）
又在△ABC与△DCB中
因为BD=CA（已证）
AB=DC（已知）
BC=BC（公共边）
所以△ABC≌△DCB（SSS）
所以∠ABC=∠DCB（全等三角形对应角相等）
说明：要体验在证明题中的推理及书写格式

例8. 如图，⊿ABC中，D、E分别是AC、AB上的点，BD与CE交于O，给出下列三个条件：
①∠EBO=∠DCO；②∠BEO=∠CDO；③BE=CD；④OB=OC．
（1）上述三个条件中，哪两个条件可判定⊿ABC是等腰三角形（用序号写出所有情形）；
（2）选择第（1）小题中一种情形，证明⊿ABC是等腰三角形．

分析：本题第（1）小题属于条件开放性问题，也是制造命题的问题，经过探索补全条件，然后写出证明；第（2）小题若选择情形一，即条件①③，由于条件都集中在⊿BOE和⊿COD中，故可通过⊿BOE≌⊿COD，证得OB=OC，这样∠OBC=∠OCB，从而可证得∠ABC=∠ACB，进而得AB=AC．
解：（1）可判定⊿ABC是等腰三角形的两个条件是①③或①④或②③或②④
（2）选择情形一，即条件①③
在⊿BOE和⊿COD中
∠BOE=∠COD，∠EBO=∠DCO，BE=CD，
∴⊿BOE≌⊿COD（AAS）．
∴OB=OC．
∴∠OBC=∠OCB．
∵∠EBO=∠DCO，
∴∠ABC=∠ACB．
∴AB=AC．
即⊿ABC是等腰三角形．
说明：本题第（1）小题是开放性问题， 属于条件开放型，需解题者经过探索补全条件，然后完成解答，本题还着重考查了全等三角形的识别﹑等腰三角形的识别与性质，以及数学中的分类思想．

例9. 已知：如图，AB∥CD，求证：∠B+∠D=∠BED．

1
分析：可以考虑把∠BED变成两个角的和．如图，过E点引一条直线EF∥AB，则有∠B=∠1，再设法证明∠D=∠2，需证EF∥CD，这可通过已知AB∥CD和EF∥AB得到．
证明：过点E作EF∥AB，（已作图），则∠B=∠1（两直线平行，内错角相等）．
∵AB∥CD（已知），
又∵EF∥AB（已作），
∴EF∥CD（平行于同一直线的两条直线互相平行）．
∴∠D=∠2（两直线平行，内错角相等）．
又∵∠BED=∠1+∠2，
∴∠BED=∠B+∠D（等量代换）．

例10. 已知：如图，AB∥CD，求证：∠BED=360°－（∠B+∠D）．

分析：此题与例9的区别在于E点的位置及结论．我们通常所说的∠BED都是指小于平角的角，如果把∠BED看成是大于平角的角，可以认为此题的结论与例9的结论是一致的．因此，我们模仿例9作辅助线，不难解决此题．
证明：过点E作EF∥AB，则∠B+∠1=180°（两直线平行，同旁内角互补）．
∵AB∥CD（已知），
∵EF∥AB（已作），
∴EF∥CD（平行于同一直线的两条直线互相平行）．
∴∠D+∠2=180°（两直线平行，同旁内角互补）．
∴∠B+∠1+∠D+∠2=180°+180°（等式的性质）．
又∵∠BED=∠1+∠2，
∴∠B+∠D+∠BED=360°（等量代换）．
∴∠BED=360°－（∠B+∠D）（等式的性质）．

例11. 已知：如图，AB∥CD，求证：∠BED=∠D－∠B．

分析：此题与例9的区别在于E点的位置不同，从而结论也不同．模仿例9作辅助线的方法，可以解决此题．
证明：过点E作EF∥AB，则∠FEB=∠B（两直线平行，内错角相等）．
∵AB∥CD（已知），
又∵EF∥AB（已作），
∴EF∥CD（平行于同一直线的两条直线互相平行）．
∴∠FED=∠D（两直线平行，内错角相等）．
∵∠BED=∠FED－∠FEB，
∴∠BED=∠D－∠B（等量代换）．

例12. 已知：如图，AB∥CD，求证：∠BED=∠B－∠D．

分析：此题与例9类似，只是∠B、∠D的大小发生了变化．
证明：过点E作EF∥AB，则∠1+∠B=180°（两直线平行，同旁内角互补）．
∵AB∥CD（已知），
又∵EF∥AB（已作），
∴EF∥CD（平行于同一直线的两条直线互相平行）．
∴∠FED+∠D=180°（两直线平行，同旁内角互补）．
∴∠1+∠2+∠D=180°．
∴∠1+∠2+∠D－（∠1+∠B）=180°－180°（等式的性质）．
∴∠2=∠B－∠D（等式的性质）．
即∠BED=∠B－∠D．

例13. 已知：如图1，AB∥CD，∠ABF=∠DCE．求证：∠BFE=∠FEC．

图1
证法一：过F点作FG∥AB ，则∠ABF=∠1（两直线平行，内错角相等）．
过E点作EH∥CD ，则∠DCE=∠4（两直线平行，内错角相等）．
∵FG∥AB（已作），AB∥CD（已知），
∴FG∥CD（平行于同一直线的两条直线互相平行）．
又∵EH∥CD （已知），
∴FG∥EH（平行于同一直线的两条直线互相平行）．
∴∠2=∠3（两直线平行，内错角相等）．
∴∠1+∠2=∠3+∠4（等式的性质）
即∠BFE=∠FEC．
证法二：如图2，延长BF、DC相交于G点．
∵AB∥CD（已知），
∴∠1=∠ABF（两直线平行，内错角相等）．
又∵∠ABF=∠DCE（已知），
∴∠1=∠DCE（等量代换）．
∴BG∥EC（同位角相等，两直线平行）．
∴∠BFE=∠FEC（两直线平行，内错角相等）．

图2
证法三：（如图3）连结BC．
∵AB∥CD（已知），
∴∠ABC=∠BCD（两直线平行，内错角相等）．
又∵∠ABF=∠DCE（已知），
∴∠ABC－∠ABF =∠BCD－∠DCE（等式的性质）．
即∠FBC=∠BCE．
∴BF∥EC（内错角相等，两直线平行）．
∴∠BFE=∠FEC（两直线平行，内错角相等）．

图3

【模拟试题（答题时间：45分钟）
一、填空题
1. 命题：①直角都相等；
②若ab>0且a+b>0，则a>0且b>0；
③一个角的补角大于这个角；
④直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半．
其中原命题和逆命题都为真命题的有 ．
2. △ABC中，∠B=45º，∠C=72º，那么与∠A相邻的一个外角等于 ．
3. 如下图，AD、AE分别是△ABC的角平分线和高，∠B=50º，∠C=70º，则∠EAD= ．

4. △ABC中，BP平分∠B，CP平分∠C，若∠A=60º，则∠BPC= ．
5. ⊿ABC中，∠A是∠B的2倍，∠C比∠A + ∠B还大，那么∠A = 度
6. 在方格纸上有一三角形ABC，它的顶点位置如图所示，则这个三角形是 三角形．

7. 在△ABC中，边AB、BC、AC的垂直平分线相交于P，则PA、PB、PC的大小关系是
8. 如图是2002年8月在北京召开的第24届国际数学家大会的会标，它是由4个相同的直角三角形拼和而成．若图中大小正方形的面积分别为52cm2和4cm2，则直角三角形的两条直角边的积是 cm2．


二、选择题
1. 下面有3个命题：①同旁内角互补；②两直线平行，内错角相等；③垂直于同一直线的两直线互相平行．其中真命题为（ ）．
A. ① B. ③ C. ②③ D. ②
2. 下面有3个判断：①一个三角形的3个内角中最多有1个直角；②一个三角形的3个内角中至少有两个锐角；③一个三角形的3个内角中至少有1个钝角．其中正确的有（ ）．
A .0个 B. 1个 C. 2个 D. 3个
3. 一个三角形的一个内角等于另外两个内角的和，则这个三角形是（ ）．
A. 直角三角形 B. 锐角三角形
C. 钝角三角形 D. 何类三角形不能确定
4. 已知点A在点B的北偏东40°方向，则点B在点A的（ ）．
A. 北偏东50°方向 B. 南偏西50°方向
C. 南偏东40°方向 D. 南偏西40°方向
5. 如图，已知AB∥CD∥EF，∠ABC=50°，∠CEF=150°，则∠BCE的值为（ ）．
A. 50° B. 30° C. 20° D. 60°

6. 如图，已知FD∥BE，则∠1+∠2－∠A=（ ）．
A. 90° B. 135° C. 150° D. 180°

7. 下面有2句话：（1）真命题的逆命题一定是真命题．（2）假命题的逆命题不一定是假命题，其中，正确的（ ）．
A. 只有（1） B. 只有（2） C. 只有（1）和（2） D. 一个也没有
8. 锐角三角形中，最大角α的取值范围是（ ）
A. 0º＜α＜90º B. 60º＜α＜90º
C. 60º＜α＜180º D. 60º≤α＜90º
9. 下列命题中的真命题是（ ）
A. 锐角大于它的余角 B. 锐角大于它的补角
C. 钝角大于它的补角 D. 锐角与钝角之和等于平角
10. 已知下列命题：
①相等的角是对顶角；
②互补的角就是平角；
③互补的两个角一定是一个锐角，另一个为钝角；
④平行于同一条直线的两直线平行；⑤邻补角的平分线互相垂直．
其中，正确命题的个数为（ ）
A. 0个 B. 1个 C. 2个 D. 3个
11. 如图，如果AB∥CD，则角α、 β、γ之间的关系式为（ ）
A. α＋β＋γ=360º
B. α－β＋γ=180º
C. α＋β＋γ=180º
D. α＋β－γ=180º


三、解答题
1. 如图，在△ABC和△DEF中，B、E、C、F在同一直线上，下面有四个条件，请你在其中选3个作为题设，余下的1个作为结论，写一个真命题，并加以证明．
①AB=DE，②AC = DF，③∠ABC=∠DEF，④BE=CF．
已知：
求证：
证明：

2. 写出下列命题的逆命题，并指出其真假
（1）若ab=0，则a=0
（2）角平分线上的点到这个角的两边相等
（3）等腰三角形两底角相等
（4）四边相等的四边形是菱形
3. 用符号“”写出下题的证明过程：
已知：CE为△ABC外角∠ACD的平分线，CE交BA的延长线于E．求证：∠BAC＞∠B

4. 举反例说明下列命题是假命题．
（1）如果a+b＞0，那么a＞0，b＞0；
（2）面积相等的三角形是全等三角形．
（3）4条边相等的四边形是正方形．
（4）相等的角是对顶角．
（5）两边和其中一边的对角对应相等的两个三角形全等．


【试题答案】
一、填空题
1. ②，④ 2. 117° 3. 10° 4. 120°
5. 56 6. 等腰 7. PA=PB=PC 8. 24

二、选择题
1. D 2. C 3. A 4. D 5. C 6. D
7. B 8. D 9. C 10. C 11. D

三、解答题
1. 已知：AB=DE，AC=DF，BE=CF
求证：∠ABC=∠DEF
证明：∵BE=CF
∴BE+EC=CF+EC
即BC=EF
在△ABC和△DEF中
AB=DE，AC=DF（已知）BC=EF（已证）
∴△ABC≌△DEF（SSS）
∴∠ABC=∠DEF（全等三角形对应角相等）
2. （1）若 a＝0则ab=0，真命题
（2）到一个角的两边相等的点在这个角的平分线上，真命题
（3）两个角相等的三角形是等腰三角形，真命题
（4）菱形的四边相等，真命题
3. 证明：


4. （1）当a=2，时，虽然a+b＞0 但是 b=0
（2）如图
虽然S△ABD=S△ADC，但是△ABD与△ADC不全等

（3）如图，菱形四条边相等但是不是正方形

（4）如图，∠AOC=∠PQR，但是它们不是对顶角

（5）AB=AB，AD=AC，∠B=∠B，但是△ABD与△ABC不全等