2020年中考数学专题复习教案：一元二次方程的基本概念

2020年中考数学人教版专题复习：一元二次方程的基本概念

一、教学内容

一元二次方程

1. 一元二次方程的概念及一般形式．

2. 进行简单的一元二次方程的试解．

3. 一元二次方程的简单应用．

4. 简单的实际问题中估算方程的解．

二、知识要点

1. 一元二次方程

（1）定义：等号两边都是整式，只含有一个未知数（一元），并且未知数的最高次数是2（二次）的方程，叫做一元二次方程．

（2）一般地，任何一个关于x的一元二次方程，经过整理，都能化成如下形式：ax2＋bx＋c＝0（a≠0）．这种形式叫做一元二次方程的一般形式．其中ax2是二次项，a是二次项系数；bx是一次项，b是一次项系数；c是常数项．

2. 能使方程左右两边的值相等的未知数的值，叫做方程的解．求方程的解的过程，叫做解方程．

3. 一般地，要检验某个值是不是方程的解，可以用这个值代替未知数代入方程，看方程左右两边的值是否相等．

4. 估算很实用，对于某些比较简单的一元二次方程可以通过估算得到方程的解．但是对于比较复杂的一元二次方程用估算求解就比较困难了．

三、重点难点

本讲重点是对于一元二次方程及其有关概念的认识，难点是对简单实际问题列方程，正确识别一般式中的“项”及“系数”．

【典型例题】

例1. 观察下列各方程：

①－x2－2x＝；②x2＋－2＝0；③（x＋1）（2x＋1）＝0；④x＋＝1；⑤x2＋5＝（x＋1）（x＋4）；⑥ax2＋bx＝0．

其中是一元二次方程的是__________；不是一元二次方程的是__________．

分析：方程①③的两边都是整式，只含有一个未知数x，且x的最高次数是2，方程②④的左边不是整式，⑤是一元一次方程，⑥中a的取值不确定．

解：①③；②④⑤⑥

评析：一元二次方程的判定方法：（1）形如ax2＋bx＋c＝0（a≠0）的形式．判断一元二次方程的关键是二次项的系数a不为零．当a＝0，b≠0时，方程为一元一次方程；（2）是否是整式方程；（3）是否含有一个未知数．

例2. 把方程（2y＋1）（3y－2）＝y2＋2化成一元二次方程的一般形式，并写出其中的二次项系数，一次项系数，常数项．

分析：左边有括号应用多项式乘法去括号，要使右边为0．

解：去括号，得6y2－4y＋3y－2＝y2＋2，

移项，合并同类项，得一元二次方程的一般形式5y2－y－4＝0，其中二次项系数是5，一次项系数是－1，常数项是－4．

评析：将一元二次方程化成一般形式是今后学习的基础，要熟练，在写系数时要注意符号，如一次项系数是－1．

[来源:学#科#网Z#X#X#K]

例3. 试写出下列方程的根，并检验你的结论．

（1）9x2－16＝0；（2）（x－3）2＝2．

分析：（1）可化成（3x）2＝42，由平方根的意义可知3x＝±＝±4；（2）x－3＝±．

解：（1）9x2－16＝0的根为x＝与x＝－．

把x＝代入方程，左边＝9×（）2－16＝9×－16＝0＝右边；

把x＝－代入方程左边＝9×（－）2－16＝0＝右边．

所以x＝，x＝－都是原方程的根．

（2）（x－3）2＝2的根是x1＝3＋，x2＝3－．

把x＝3＋代入方程，左边＝（3＋－3）2＝2＝右边；

把x＝3－代入方程，左边＝（3－－3）2＝（）2＝2＝右边．

所以x1＝3＋，x2＝3－都是原方程的根．

评析：检验一个数是不是方程的根要代入原方程的左边与右边，分别计算，当左边的值＝右边的值时，它是原方程的根，当左边的值≠右边的值时，它就不是原方程的根．

例4. 如果x2＝a（a≥0），则x是a的平方根，即x＝或x＝－，试用平方根的有关知识写出下列方程的根．

（1）x2＝9；（2）（x－3）2＝9；

（3）4（x－3）2＝9；（4）x2－6x＋9＝1．

分析：（1）x是9的平方根，±＝±3；（2）x－3＝±＝±3；（3）4（x－3）2＝[2（x－2）]2，2·（x－3）＝±＝±3；（4）x2－6x＋9＝（x－3）2．

解：（1）x＝±3．

（2）x－3＝±＝±3即x－3＝3或x－3＝－3，

∴x1＝6，x2＝0．

（3）∵4（x－3）2＝[2（x－3）]2＝9，

∴2（x－3）＝±3，

2（x－3）＝3或2（x－3）＝－3，

∴x1＝，x2＝．

（4）原方程化为（x－3）2＝1，

∴x－3＝±1，

即x－3＝1或x－3＝－1．

∴x1＝4，x2＝2．

评析：形如（x＋a）2＝b（b≥0）的方程可以用直接开方的方法．注意：负数没有平方根．

例5. 已知关于x的方程ax2＋bx＋6＝0的两个根为x1＝2，x2＝3，求出该方程的二次项系数a与一次项系数b．

分析：把x＝2与x＝3分别代入方程得a×22＋b×2＋6＝0与a×32＋b×3＋6＝0．

解：∵x1＝2与x2＝3是方程ax2＋bx＋6＝0的根，

∴．

解这个方程组得：．

评析：已知方程的根求系数的值，通常用根的定义，代入方程得到关于a、b的方程．

例6. （1）如图①所示，一个长为10m的梯子斜靠在墙上，梯子的顶端距地面的垂直距离为8m，如果梯子的顶端下滑1m，那么梯子的底端滑动多少米？请列出方程．

（2）从前有一天，两个醉汉拿着竹竿进屋，横拿竖拿都进不去，横着比门框宽4尺，竖着比门框高2尺．另一个醉汉教他沿着门的两个对角斜着拿竿，这个醉汉一试，不多不少刚好进去了．你知道竹竿有多长吗？请列出方程．

分析：（1）问题中存在两个不变量：梯子的长度10m，梯子、墙、地面所形成的直角三角形，所以可以利用勾股定理列出方程．（2）用竹竿的长度x表示出门框的宽和门框的高，再利用勾股定理列出方程．

解：（1）设梯子底端滑动x米，那么滑动后梯子底端距墙（6＋x）米，根据题意，利用勾股定理，可得方程：

（x＋6）2＋（8－1）2＝102，

即（x＋6）2＋72＝102．

（2）设竹竿长为x尺，则门框宽为（x－4）尺，门框高为（x－2）尺，根据题意，得：

x2＝（x－4）2＋（x－2）2，

即x2－12x＋20＝0．

评析：列方程时要找出有关量与未知数x的关系，用x的代数式表示出来，再根据题中相等的关系就可列出方程．

【方法总结】

1. 判断一个方程是否为一元二次方程注意三个条件：①整式方程，即方程两边都是整式；②一元，即只有一个未知数；③二次，即未知数的最高次数为2．

2. 把一个一元二次方程化成一般形式为ax2＋bx＋c＝0（a≠0）时通常要去括号、去分母、移项、合并同类项．

3. 检验一个数是否为方程的根要把它代入方程的两边，分别计算并观察左右两边的值是否相等．

4. 根据实际问题列方程，一般用字母x表示未知数，把与未知数有关的量用x的代数式表示出来，找出题中的相等关系，列出方程．

5. 对于简单的一元二次方程可以利用求平方根的运算解方程．

【模拟试题】（答题时间：45分钟）

一、选择题[来源:学科网ZXXK]

1. 下列方程中，是关于未知数x的整式方程的是（    ）

A. ＝3x＋1 B. ＝1 C. 3x2＋＝ D. ＝3[来源:学&科&网Z&X&X&K]

2. 一元二次方程x2－4＝0的根是（    ）

A. x＝2 B. x＝－2 C. x＝2或x＝－2 D. x＝4

3. 将方程3x－2＝－x2化为ax2＋bx＋c＝0的形式后，a、b、c的值分别为（    ）

A. 3，－2，，－1 B. 0，3，－2 C. －1，－3，－2 D. 1，3，－2

4. 若方程（mx）2－（m－x）x＝4是关于x的一元二次方程，则m的取值范围是（    ）

A. m≠0 B. m≠1 C. m≠1且m≠－1 D. m为任意实数

*5. 下列方程中一定是关于x的一元二次方程的是（    ）

A. ax2＋bx＋c＝0  B. （m2＋1）x2＋（m－1）x＋m＝0

C. x2－＋2＝0  D. px2－3x＝（x－1）＋2[来源:学。科。网Z。X。X。K]

*6. 若一元二次方程ax2＋bx＋c＝0有一个根为1，则（    ）

A. a＋b＋c＝1 B. a－b＋c＝0 C. a＋b＋c＝0 D. a－b＋c＝－1

**7. 方程x2＋1＝0的根是（    ）

A. x＝－ B. x＝ C. x＝± D. 无实数根[来源:学科网ZXXK]

二、填空题

1. 若（m＋1）x2＋（m－1）x＋3m－5＝0，那么当m＝__________时，此方程为关于x的一元一次方程；当m__________时，此方程为关于x的一元二次方程．

2. 一元二次方程2x2＋4x＝1的二次项系数与常数项之和为__________．

3. 把方程（2－x）（2＋x）＝（3－x）2化成一般形式为__________．

*4. 若方程ax2＋bx＋c＝0的一个根为0，则c＝__________；若方程2x2－3x＋m＝0的一个根是，则m＝__________．

三、解答题

1. 用直接开方法解下列方程：

（1）3（y－3）2＝147；

（2）125＝（y＋）2；

（3）（2x＋1）2＝2；

（4）（3x－1）2－8＝0．

2. a为何值时，方程ax2＋5x＝5x2－3是关于x的一元二次方程？

3. 方程x2＋（m－1）x－3＝0的一个根是－1，求m的值．

**4. 关于x的一元二次方程（a－1）x2＋a2－1＝0的一个根为0，求a的值．

5. 根据问题列方程，并将其化成一元二次方程的一般形式．

（1）学校组织一次乒乓球比赛，参赛的每两个选手都要比赛一场，所有比赛一共有36场，问有多少名同学参赛？

（2）有大小两个正方形，大正方形的边长比小正方形的边长的2倍大3，大正方形面积是小正方形面积的6.25倍，求小正方形的边长．

【试题答案】

一、选择题

1. C  2. C  3. D  4. D  5. B  6. C  7. D

二、填空题

1. －1，≠－1  2. 1  3. 2x2－6x－3＝0  4. 0，3－6

三、解答题

1. （1）y1＝10，y2＝－4（2）y1＝－＋5，y2＝－－5（3）x1＝－＋，x2＝－－（4）x1＝，x2＝－1

2. a≠5

3. m＝－1

4. 因为（a－1）x2＋a2－1＝0是一元二次方程，所以a≠1，且当x＝0时，原方程成立．即a2－1＝0，解得a＝1（舍去），a＝－1．

5. （1）设有x名同学参赛，则共赛x（x－1）场，由总场数为36，得x（x－1）＝36，化成一般形式为x2－x－72＝0．

（2）设小正方形的边长为x，则大正方形边长为（2x＋3），由大正方形面积等于小正方形面积的6.25倍，得6.25x2＝（2x＋3）2，化成一般形式为2.25x2－12x－9＝0，即3x2－16x－12＝0．