13.2021届高考数学（文）大一轮复习（课件 教师用书 课时分层训练）_热点探究课4 立体几何中的高考热点问题 （3份打包）

热点探究训练(四)

立体几何中的高考热点问题

1．如图7，四边形ABCD是菱形，四边形MADN是矩形，平面MADN⊥平面ABCD，E，F分别为MA，DC的中点，求证：

图7

(1)EF∥平面MNCB；

(2)平面MAC⊥平面BDN.

[证明]　(1)取NC的中点G，连接FG，MG.

因为ME∥ND且ME＝ND，

又因为F，G分别为DC，NC的中点，FG∥ND且FG＝ND，

所以FG綊ME，所以四边形MEFG是平行四边形，所以EF∥MG.4分

又MG⊂平面MNCB，EF⊄平面MNCB，

所以EF∥平面MNCB.

6分

(2)连接BD，MC，因为四边形MADN是矩形，

所以ND⊥AD，又因为平面MADN⊥平面ABCD，平面ABCD∩平面MADN＝AD，

ND⊂平面MADN，所以ND⊥平面ABCD，

所以ND⊥AC.8分

因为四边形ABCD是菱形，所以AC⊥BD.10分

因为BD∩ND＝D，所以AC⊥平面BDN.

又因为AC⊂平面MAC，

所以平面MAC⊥平面BDN.12分

2．(2017·合肥质检)如图8，直角三角形ABC中，A＝60°，沿斜边AC上的高BD将△ABD折起到△PBD的位置，点E在线段CD上．

图8

(1)求证：BD⊥PE；

(2)过点D作DM⊥BC交BC于点M，点N为PB的中点，若PE∥平面DMN，求的值．

[解]　(1)证明：∵BD⊥PD，BD⊥CD且PD∩DC＝D，

∴BD⊥平面PCD，而PE⊂平面PCD，∴BD⊥PE.5分

(2)由题意得BM＝BC，

取BC的中点F，则PF∥MN，∴PF∥平面DMN，7分

由条件PE∥平面DMN，PE∩PF＝P，

∴平面PEF∥平面DMN，∴EF∥DM.10分

∴＝＝.12分

3．(2017·西安调研)如图9①，在直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠BAD＝，AB＝BC＝AD＝a，E是AD的中点，O是AC与BE的交点．将△ABE沿BE折起到图②中△A1BE的位置，得到四棱锥A1­BCDE.

 【导学号：31222266】

①　　　　　　　　　　②

图9

(1)证明：CD⊥平面A1OC；

(2)当平面A1BE⊥平面BCDE时，四棱锥A1­BCDE的体积为36，求a的值．

[解]　(1)证明：在图①中，因为AB＝BC＝AD＝a，E是AD的中点，∠BAD＝，所以BE⊥AC.2分

则在图②中，BE⊥A1O，BE⊥OC，且A1O∩OC＝O，

从而BE⊥平面A1OC.

又CD∥BE，所以CD⊥平面A1OC.5分

(2)由已知，平面A1BE⊥平面BCDE，

且平面A1BE∩平面BCDE＝BE，

又由(1)可得A1O⊥BE，

所以A1O⊥平面BCDE.8分

即A1O是四棱锥A1­BCDE的高．

由图①知，A1O＝AB＝a，平行四边形BCDE的面积S＝BC·AB＝a2，

从而四棱锥A1­BCDE的体积为

V＝S·A1O＝·a2·a＝a3.

由a3＝36，得a＝6.12分

4．(2017·贵阳模拟)已知如图10，△ABC和△DBC所在的平面互相垂直，且AB＝BC＝BD＝1，∠ABC＝∠DBC＝120°.

图10

(1)在直线BC上求作一点O，使BC⊥平面AOD，写出作法并说明理由；

(2)求三棱锥A­BCD的体积. 【导学号：31222267】

[解]　(1)作AO⊥BC，交CB延长线于点O，连接DO，则BC⊥平面AOD.1分

证明如下：

∵AB＝DB，OB＝OB，∠ABO＝∠DBO，

∴△AOB≌△DOB，3分

则∠AOB＝∠DOB＝90°，即OD⊥BC.

又∵AO∩OD＝O，∴BC⊥平面AOD.5分

(2)∵△ABC和△DBC所在的平面互相垂直，

∴AO⊥平面BCD，即AO是三棱锥A­BCD底面BCD上的高，7分

在Rt△AOB中，AB＝1，∠ABO＝60°，

∴AO＝ABsin 60°＝.10分

又∵S△BCD＝BC·BD·sin∠CBD＝，

∴V三棱锥A­BCD＝·S△BCD·AO＝××＝.12分

5.如图11，三棱锥P­ABC中，PA⊥平面ABC，PA＝1，AB＝1，AC＝2，∠BAC＝60°.

图11

(1)求三棱锥P­ABC的体积；

(2)在线段PC上是否存在点M，使得AC⊥BM，若存在点M，求出的值；若不存在，请说明理由．

[解]　(1)由题知AB＝1，AC＝2，∠BAC＝60°，

可得S△ABC＝·AB·AC·sin 60°＝.2分

由PA⊥平面ABC，可知PA是三棱锥P­ABC的高．又PA＝1，

所以三棱锥P­ABC的体积V＝·S△ABC·PA＝.5分

(2)证明：在平面ABC内，过点B作BN⊥AC，垂足为N.在平面PAC内，过点N作MN∥PA交PC于点M，连接BM.7分

由PA⊥平面ABC知PA⊥AC，所以MN⊥AC.

由于BN∩MN＝N，故AC⊥平面MBN.

又BM⊂平面MBN，所以AC⊥BM.10分

在Rt△BAN中，AN＝AB·cos ∠BAC＝，

从而NC＝AC－AN＝.由MN∥PA，得＝＝.12分

6.(2015·湖南高考)如图12，直三棱柱ABC­A1B1C1的底面是边长为2的正三角形，E，F分别是BC，CC1的中点．

图12

(1)证明：平面AEF⊥平面B1BCC1；

(2)若直线A1C与平面A1ABB1所成的角为45°，求三棱锥F­AEC的体积．

[解]　(1)证明：如图，因为三棱柱ABC­A1B1C1是直三棱柱，所以AE⊥BB1.又E是正三角形ABC的边BC的中点，所以AE⊥BC.3分

因此AE⊥平面B1BCC1.

而AE⊂平面AEF，所以平面AEF⊥平面B1BCC1.5分

(2)设AB的中点为D，连接A1D，CD.因为△ABC是正三角形，所以CD⊥AB.

又三棱柱ABC­A1B1C1是直三棱柱，所以CD⊥AA1.

因此CD⊥平面A1ABB1，于是∠CA1D为直线A1C与平面A1ABB1所成的角.8分

由题设，∠CA1D＝45°，所以A1D＝CD＝AB＝.

在Rt△AA1D中，AA1＝＝＝，所以FC＝AA1＝.

故三棱锥F­AEC的体积

V＝S△AEC·FC＝××＝.12分