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11.2021年高考数学(理)总复习(高考研究课件 高考达标检测 教师用书)第十一单元 空间位置关系 (6份打包)
展开高考达标检测(三十) 平行问题3角度——线线、线面、面面一、选择题1.(2017·惠州模拟)设直线l,m,平面α,β,则下列条件能推出α∥β的是( )A.l⊂α,m⊂α,且l∥β,m∥βB.l⊂α,m⊂β,且l∥mC.l⊥α,m⊥β,且l∥mD.l∥α,m∥β,且l∥m解析:选C 借助正方体模型进行判断.易排除选项A,B,D,故选C.2.如图,在长方体ABCDA′B′C′D′中,下列直线与平面AD′C平行的是( )A.B′C′ B.A′BC.A′B′ D.BB′解析:选B 连接A′B,∵A′B∥CD′,∴A′B∥平面AD′C.3.(2017·台州模拟)设l为直线,α,β是两个不同的平面.下列命题中正确的是( )A.若l∥α,l∥β,则α∥β B.若l⊥α,l⊥β,则α∥βC.若l⊥α,l∥β,则α∥β D.若α⊥β,l∥α,则l⊥β解析:选B 画出一个长方体ABCDA1B1C1D1.对于A,C1D1∥平面ABB1A1,C1D1∥平面ABCD,但平面ABB1A1与平面ABCD相交;对于C,BB1⊥平面ABCD,BB1∥平面ADD1A1,但平面ABCD与平面ADD1A1相交;对于D,平面ABB1A1⊥平面ABCD,CD∥平面ABB1A1,但CD⊂平面ABCD;易知B正确.4.设α,β是两个不同的平面,m,n是平面α内的两条不同直线,l1,l2是平面β内的两条相交直线,则α∥β的一个充分不必要条件是( )A.m∥l1且n∥l2 B.m∥β且n∥l2C.m∥β且n∥β D.m∥β且l1∥α解析:选A 由m∥l1,m⊂α,l1⊂β,得l1∥α,同理l2∥α,又l1,l2相交,所以α∥β,反之不成立,所以m∥l1且n∥l2是α∥β的一个充分不必要条件.5.已知直线a,b,平面α,则以下三个命题:①若a∥b,b⊂α,则a∥α;②若a∥b,a∥α,则b∥α;③若a∥α,b∥α,则a∥b.其中真命题的个数是( )A.0 B.1C.2 D.3解析:选A 对于①,若a∥b,b⊂α,则应有a∥α或a⊂α,所以①是假命题;对于②,若a∥b,a∥α,则应有b∥α或b⊂α,因此②是假命题;对于③,若a∥α,b∥α,则应有a∥b或a与b相交或a与b异面,因此③是假命题.综上,在空间中,以上三个命题都是假命题.6.(2016·福州模拟)已知直线a,b异面,给出以下命题:①一定存在平行于a的平面α使b⊥α;②一定存在平行于a的平面α使b∥α;③一定存在平行于a的平面α使b⊂α;④一定存在无数个平行于a的平面α与b交于一定点.则其中论断正确的是( )A.①④ B.②③C.①②③ D.②③④解析:选D 对于①,若存在平面α使得b⊥α,则有b⊥a,而直线a,b未必垂直,因此①不正确;对于②,注意到过直线a,b外一点M分别引直线a,b的平行线a1,b1,显然由直线a1,b1可确定平面α,此时平面α与直线a,b均平行,因此②正确;对于③,注意到过直线b上的一点B作直线a2与直线a平行,显然由直线b与a2可确定平面α,此时平面α与直线a平行,且b⊂α,因此③正确;对于④,在直线b上取一定点N,过点N作直线c与直线a平行,经过直线c的平面(除由直线a与c所确定的平面及直线c与b所确定的平面之外)均与直线a平行,且与直线b相交于一定点N,因此④正确.综上所述,②③④正确.二、填空题7.如图,在四面体ABCD中,若截面PQMN是正方形,则下列结论中正确的序号为________.①AC⊥BD;②AC∥截面PQMN;③AC=BD;④异面直线PM与BD所成的角为45°.解析:∵MN∥PQ,MN⊂平面ACD,PQ平面ACD,∴PQ∥平面ACD.又平面ACD∩平面ABC=AC,∴PQ∥AC,从而AC∥截面PQMN,②正确;同理可得MQ∥BD,∵MQ⊥PQ,PQ∥AC,∴AC⊥BD,①正确;∵MQ∥BD,∠PMQ=45°,∴异面直线PM与BD所成的角为45°,故④正确;根据已知条件无法得到AC,BD长度之间的关系,故③不正确.故填①②④.答案:①②④8.在正四棱柱ABCD A1B1C1D1中,O为底面ABCD的中心,P是DD1的中点,设Q是CC1上的点,则点Q满足条件________时,有平面D1BQ∥平面PAO.解析:如图所示,假设Q为CC1的中点,因为P为DD1的中点,所以QB∥PA.连接DB,因为P,O分别是DD1,DB的中点,所以D1B∥PO,又D1B⊄平面PAO,QB⊄平面PAO,所以D1B∥平面PAO,QB∥平面PAO,又D1B∩QB=B,所以平面D1BQ∥平面PAO.故Q满足条件Q为CC1的中点时,有平面D1BQ∥平面PAO.答案:Q为CC1的中点9.如图,在四棱锥VABCD中,底面ABCD为正方形,E,F分别为侧棱VC,VB上的点,且满足VC=3EC,AF∥平面BDE,则=________.解析:连接AC交BD于点O,连接EO,取VE的中点M,连接AM,MF,由VC=3EC⇒VM=ME=EC,又AO=CO⇒AM∥EO⇒AM∥平面BDE,又由题意知AF∥平面BDE,∴平面AMF∥平面BDE⇒MF∥平面BDE⇒MF∥BE⇒VF=FB⇒=2.答案:2三、解答题10.(2017·陕西质检)如图所示,在三棱柱ABC A1B1C1中,侧棱AA1⊥底面ABC,AB⊥BC,D为AC的中点,AA1=AB=2.(1)求证:AB1∥平面BC1D;(2)设BC=3,求四棱锥B DAA1C1的体积.解:(1)证明:连接B1C,设B1C与BC1相交于点O,连接OD,如图所示.∵四边形BCC1B1是平行四边形,∴点O为B1C的中点.∵D为AC的中点,∴OD为△AB1C的中位线,∴OD∥AB1.∵OD⊂平面BC1D,AB1⊄平面BC1D,∴AB1∥平面BC1D.(2)∵AA1⊥平面ABC,AA1⊂平面AA1C1C,∴平面ABC⊥平面AA1C1C.∵平面ABC∩平面AA1C1C=AC,作BE⊥AC,垂足为E,则BE⊥平面AA1C1C.∵AB=AA1=2,BC=3,AB⊥BC,∴在Rt△ABC中,AC===,∴BE==,∴四棱锥B AA1C1D的体积V=×(A1C1+AD)·AA1·BE=××2×=3.11.如图,四边形ABCD中,AB⊥AD,AD∥BC,AD=6,BC=4,E,F分别在BC,AD上,EF∥AB.现将四边形ABCD沿EF折起,使平面ABEF⊥平面EFDC.若BE=1,在折叠后的线段AD上是否存在一点P,且=λ,使得CP∥平面ABEF?若存在,求出λ的值,若不存在,说明理由.解:AD上存在一点P,使得CP∥平面ABEF,此时λ=.理由如下:当λ=时, =,可知=,如图,过点P作MP∥FD交AF于点M,连接EM,PC,则有==,又BE=1,可得FD=5,故MP=3,又EC=3,MP∥FD∥EC,故有MP綊EC,故四边形MPCE为平行四边形,所以CP∥ME,又CP⊄平面ABEF,ME⊂平面ABEF,故有CP∥平面ABEF.12.(2016·山东高考)在如图所示的几何体中,D是AC的中点,EF∥DB.(1)已知AB=BC,AE=EC,求证:AC⊥FB;(2)已知G,H分别是EC和FB的中点,求证:GH∥平面ABC.证明:(1)因为EF∥DB,所以EF与DB确定平面BDEF.如图,连接DE.因为AE=EC,D为AC的中点,所以DE⊥AC.同理可得BD⊥AC.又BD∩DE=D,所以AC⊥平面BDEF.因为FB⊂平面BDEF,所以AC⊥FB.(2)如图,设FC的中点为I,连接GI,HI.在△CEF中,因为G是CE的中点,所以GI∥EF.又EF∥DB,所以GI∥DB.在△CFB中,因为H是FB的中点,所以HI∥BC.又HI∩GI=I,BC∩DB=B,所以平面GHI∥平面ABC.因为GH⊂平面GHI,所以GH∥平面ABC.