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初中数学人教七下期末数学试卷(2)
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这是一份人教版七年级下册综合与测试达标测试，共21页。试卷主要包含了选择题，填空题，计算题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、选择题
1．下列调查中，适合进行普查的是（ ）
A．《新闻联播》电视栏目的收视率
B．我国中小学生喜欢上数学课的人数
C．一批灯泡的使用寿命
D．一个班级学生的体重
2．下列各点中，在第二象限的点是（ ）
A．（2，3）B．（2，﹣3）C．（﹣2，﹣3）D．（﹣2，3）
3．二元一次方程2x+y=5的正整数解有（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
4．如图，图中的同位角的对数是（ ）
A．4B．6C．8D．12
5．在下列各式中，计算正确的是（ ）
A．（2）2=6B．=±3C．=﹣6D．=2﹣
6．在﹣2，，，3.14，，，这6个数中，无理数共有（ ）
A．4个B．3个C．2个D．1个
7．下列各组数中，互为相反数的组是（ ）
A．﹣2与B．﹣2和C．﹣与2D．|﹣2|和2
8．如图，直线a∥b，点B在直线b上，且AB⊥BC，∠1=55°，则∠2的度数为（ ）
A．35°B．45°C．55°D．125°
9．若点P（a，b）在第四象限，则点Q（﹣a，b﹣1）在（ ）
A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限
10．如图，AB∥CD，若∠2=135°，则∠1的度数是（ ）
A．30°B．45°C．60°D．75°
二、填空题
11．1﹣的相反数与的平方根的和是 ．
12．请写出一个以x=1，y=2为解的二元一次方程 ．
13．如图要证明AD∥BC，只需要知道∠B= ．
14．华润苏果的账目记录显示，某天卖出39支牙刷和21盒牙膏，收入396元；另一天以同样的价格卖出同样的52支牙刷和28盒牙膏，收入应该是 元．
15．不等式组的解集是 ．
16．为了解我校八年级同学的视力情况，从中随机抽查了30名学生的视力．在这个问题中，样本是 ．
三、计算题
17．计算：
（1）﹣++
（2）﹣|2﹣|﹣．
18．解方程组：
（1）．
（2）．
四、解答题
19．某校举行书法比赛，为奖励优胜学生，购买了一些钢笔和毛笔，毛笔单价是钢笔单价的1.5倍，购买钢笔用了1500元，购买毛笔用了1800元，购买的钢笔支数比毛笔多30支，钢笔、毛笔的单价分别为多少元？
20．如图，△ABC在直角坐标系中，
（1）请写出△ABC各点的坐标；
（2）求出S△ABC；
（3）若把△ABC向上平移2个单位，再向右平移2个单位得△A′B′C′，在图中画出△ABC变化位置，并写出A′、B′、C′的坐标．
21．甲、乙两地间铁路长2400千米，经技术改造后，列车实现了提速．提速后比提速前速度增加20千米/时，列车从甲地到乙地行驶时间减少4小时．已知列车在现有条件下安全行驶的速度不超过140千米/时．请你用学过的数学知识说明这条铁路在现有条件下是否还可以再次提速？
22．如图，O是直线AB上一点，OD平分∠BOC，∠COE=90°．若∠AOC=40°，求∠DOE的度数．
23．根据题意结合图形填空：如图，点E在DF上，点B在AC上，∠1=∠2，∠C=∠D．试说明：AC∥DF．将过程补充完整．
解：∵∠1=∠2（已知）
且∠1=∠3
∴∠2=∠3（等量代换）
∴ ∥
∴∠C=∠ABD
又∵∠C=∠D（已知）
∴ = （等量代换 ）
∴AC∥DF ．
24．同庆中学为丰富学生的校园生活，准备从军跃体育用品商店一次性购买若干个足球和篮球（每个足球的价格相同，每个篮球的价格相同），若购买3个足球和2个篮球共需310元，购买2个足球和5个篮球共需500元．
（1）购买一个足球、一个篮球各需多少元？
（2）根据同庆中学的实际情况，需从军跃体育用品商店一次性购买足球和篮球共96个，要求购买足球和篮球的总费用不超过5720元，这所中学最多可以购买多少个篮球？
参考答案与试题解析
一、选择题
1．下列调查中，适合进行普查的是（ ）
A．《新闻联播》电视栏目的收视率
B．我国中小学生喜欢上数学课的人数
C．一批灯泡的使用寿命
D．一个班级学生的体重
【考点】V2：全面调查与抽样调查．
【分析】适合普查的方式一般有以下几种：①范围较小；②容易掌控；③不具有破坏性；④可操作性较强．
据此即可作出判断．
【解答】解：A、B、C、《新闻联播》电视栏目的收视率、我国中小学生喜欢上数学课的人数，进行一次全面的调查，费大量的人力物力是得不偿失的，采取抽样调查即可；了解一批灯泡的使用寿命，会给被调查对象带来损伤破坏，适用于采用抽样调查；
D、了解一个班级学生的体重，要求精确、难度相对不大、实验无破坏性，应选择普查方式．
故选D．
【点评】本题属于基础题，考查了调查方式的选择能力，一些学生往往对这几种调查方式的适用情况不清楚而误选其它选项．解答这类题须明确各种调查方式的意义、适用情况，再结合对具体问题的分析作出判断．
2．下列各点中，在第二象限的点是（ ）
A．（2，3）B．（2，﹣3）C．（﹣2，﹣3）D．（﹣2，3）
【考点】D1：点的坐标．
【分析】点在第二象限的条件是：横坐标是负数，纵坐标是正数，以此进行判断即可．
【解答】解：因为第二象限的点的坐标是（﹣，+），符合此条件的只有（﹣2，3）．
故选D．
【点评】解决本题的关键是记住平面直角坐标系中各个象限内点的符号，四个象限的符号特点分别是：第一象限（+，+）；第二象限（﹣，+）；第三象限（﹣，﹣）；第四象限（+，﹣）．
3．二元一次方程2x+y=5的正整数解有（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
【考点】93：解二元一次方程．
【专题】11 ：计算题．
【分析】方程变形后表示出y，确定出正整数解的个数即可．
【解答】解：方程2x+y=5，
解得：y=﹣2x+5，
当x=1时，y=3；x=2时，y=1，
则方程的正整数解有2个．
故选B．
【点评】此题考查了解二元一次方程，解题的关键是将x看做已知数求出y．
4．如图，图中的同位角的对数是（ ）
A．4B．6C．8D．12
【考点】J6：同位角、内错角、同旁内角．
【分析】两直线被第三条直线所截形成4对同位角，据此即可直接求解．
【解答】解：两直线被第三条直线所截形成4对同位角，则图中同位角的对数是3×4=12．
故选D．
【点评】本题考查了同位角的定义，解答此类题确定三线八角是关键，可直接从截线入手．对平面几何中概念的理解，一定要紧扣概念中的关键词语，要做到对它们正确理解，对不同的几何语言的表达要注意理解它们所包含的意义．
5．在下列各式中，计算正确的是（ ）
A．（2）2=6B．=±3C．=﹣6D．=2﹣
【考点】76：分母有理化；73：二次根式的性质与化简；75：二次根式的乘除法．
【分析】计算出各个选项中的正确结果，即可得到哪个选项是正确的．
【解答】解：A、（2）2=12，故选项A错误；
B、，故选项B错误；
C、，故选项C错误；
D、=，故选项D正确；
故选D．
【点评】本题考查分母有理化、二次根式的性质与化简、二次根式的乘除法，解题的关键是明确它们各自的计算方法．
6．在﹣2，，，3.14，，，这6个数中，无理数共有（ ）
A．4个B．3个C．2个D．1个
【考点】26：无理数．
【专题】1 ：常规题型．
【分析】要确定题目中的无理数，在明确无理数的定义的前提下，知道无理数分为3大类：π类，开方开不尽的数，无限不循环的小数，根据这3类就可以确定无理数的个数．从而得到答案．
【解答】解：根据判断无理数的3类方法，可以直接得知：
是开方开不尽的数是无理数，
属于π类是无理数，
因此无理数有2个．
故选：C．
【点评】本题考查了无理数的定义，判断无理数的方法，要求学生对无理数的概念的理解要透彻．
7．下列各组数中，互为相反数的组是（ ）
A．﹣2与B．﹣2和C．﹣与2D．|﹣2|和2
【考点】28：实数的性质．
【分析】根据相反数的概念及性质逐项分析得出答案即可．
【解答】解：A、﹣2与=2，符合相反数的定义，故选项正确；
B、﹣2与=﹣2不互为相反数，故选项错误；
C、﹣与2不互为相反数，故选项错误；
D、|﹣2|=2，2与2不互为相反数，故选项错误．
故选：A．
【点评】此题主要考查了相反数的定义，只有符号不同的两个数互为相反数，在本题中要注意理解求|﹣2|的相反数就是求2的相反数，不要受绝对值中的符号的影响．
8．如图，直线a∥b，点B在直线b上，且AB⊥BC，∠1=55°，则∠2的度数为（ ）
A．35°B．45°C．55°D．125°
【考点】JA：平行线的性质；IL：余角和补角．
【专题】11 ：计算题．
【分析】根据两条直线平行，同位角相等，得∠1的同位角是55°．再根据平角的定义即可求得∠2．
【解答】解：∵a∥b，
∴BC与b所夹锐角等于∠1=55°，
又AB⊥BC，
∴∠2=180°﹣90°﹣55°=35°．
故选A．
【点评】考查了平行线的性质以及平角的概念．
9．若点P（a，b）在第四象限，则点Q（﹣a，b﹣1）在（ ）
A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限
【考点】D1：点的坐标．
【分析】因为点P（a，b）在第四象限，可确定a、b的取值范围，从而可得﹣a，b﹣1的符号，即可得出Q所在的象限．
【解答】解：∵点P（a，b）在第四象限，
∴a＞0，b＜0，
∴﹣a＜0，b﹣1＜0，
∴点Q（﹣a，b﹣1）在第三象限．
故选C．
【点评】此题主要考查平面直角坐标系中象限内的点的坐标的符号特征：第一象限（+，+）；第二象限（﹣，+）；第三象限（﹣，﹣）；第四象限（+，﹣）．
10．如图，AB∥CD，若∠2=135°，则∠1的度数是（ ）
A．30°B．45°C．60°D．75°
【考点】JA：平行线的性质；J2：对顶角、邻补角．
【专题】11 ：计算题．
【分析】要求∠1的度数，只需根据两直线平行，同位角相等的性质求得∠1的邻补角．
【解答】解：∵AB∥CD，若∠2=135°，
∴∠2的同位角为135°．
∴∠1=180°﹣135°=45°．
故选B．
【点评】本题主要考查平行线的性质以及邻补角的性质．
二、填空题
11．1﹣的相反数与的平方根的和是 2+或﹣4 ．
【考点】28：实数的性质；21：平方根．
【分析】根据相反数的意义，平方根的意义，可得答案．
【解答】解：1﹣的相反数为﹣1；的平方根为±3，
当的平方根为3时，3+﹣1=2+
当的平方根为﹣3时，﹣3﹣1=﹣4，
故答案为：2+或﹣4．
【点评】本题考查了实数的性质，利用相反数的意义、平方根的意义是解题关键，要分类讨论，以防遗漏．
12．请写出一个以x=1，y=2为解的二元一次方程 x+y=3（答案不唯一） ．
【考点】92：二元一次方程的解．
【分析】先令mx+ny=b，其中m、n为不为零的常数，然后将x=1，y=2代入求得b的值即可．
【解答】解：设符合条件的方程为x+y=b．
将x=1，y=2代入得：b=3，
∴符合条件的方程为x+y=3．
故答案为：x+y=3（答案不唯一）．
【点评】本题主要考查的是二元一次方程的解，掌握解答此类问题的方法是解题的关键．
13．如图要证明AD∥BC，只需要知道∠B= ∠EAD ．
【考点】J9：平行线的判定．
【分析】根据同位角相等，两直线平行填上即可．
【解答】解：∠B=∠EAD，
理由是：∵∠B=∠EAD，
∴AD∥BC（同位角相等，两直线平行），
故答案为：∠EAD．
【点评】本题考查了平行线的判定定理的应用，注意：平行线的判定定理有①同位角相等，两直线平行，②内错角相等，两直线平行，③同旁内角互补，两直线平行．
14．华润苏果的账目记录显示，某天卖出39支牙刷和21盒牙膏，收入396元；另一天以同样的价格卖出同样的52支牙刷和28盒牙膏，收入应该是 528 元．
【考点】95：二元一次方程的应用．
【分析】设一支牙刷收入x元，一盒牙膏收入y元，根据39支牙刷和21盒牙膏，收入396元建立方程通过变形就可以求出52x+28y的值．
【解答】解：设一支牙刷收入x元，一盒牙膏收入y元，由题意，得
39x+21y=396，
∴13x+7y=132，
∴52x+28y=528，
故答案为：528．
【点评】本题考查了列二元一次方程解实际问题的运用，整体数学思想在解实际问题的运用，解答时表示出卖出39支牙刷和21盒牙膏的收入为396元是关键．
15．不等式组的解集是 1＜x＜4 ．
【考点】CB：解一元一次不等式组．
【专题】11 ：计算题．
【分析】分别求出不等式组中两不等式的解集，找出两解集的公共部分即可．
【解答】解：，
由①得：x＜4；
由②得：x＞1，
则不等式组的解集为1＜x＜4．
故答案为：1＜x＜4．
【点评】此题考查了解一元一次不等式组，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
16．为了解我校八年级同学的视力情况，从中随机抽查了30名学生的视力．在这个问题中，样本是 30名学生的视力 ．
【考点】V3：总体、个体、样本、样本容量．
【分析】总体是指考查的对象的全体，个体是总体中的每一个考查的对象，样本是总体中所抽取的一部分个体，而样本容量则是指样本中个体的数目．我们在区分总体、个体、样本、样本容量，这四个概念时，首先找出考查的对象．从而找出总体、个体．再根据被收集数据的这一部分对象找出样本，最后再根据样本确定出样本容量．
【解答】解：从中随机抽查了30名学生的视力．在这个问题中，样本是30名学生的视力，
故答案为：30名学生的视力．
【点评】此题考查了总体、个体、样本、样本容量，解题要分清具体问题中的总体、个体与样本，关键是明确考查的对象．总体、个体与样本的考查对象是相同的，所不同的是范围的大小．样本容量是样本中包含的个体的数目，不能带单位．
三、计算题（题型注释）
17．计算：
（1）﹣++
（2）﹣|2﹣|﹣．
【考点】2C：实数的运算．
【专题】11 ：计算题；511：实数．
【分析】（1）原式利用平方根、立方根的定义计算即可得到结果；
（2）原式利用平方根、立方根定义，以及绝对值的代数意义计算即可得到结果．
【解答】解：（1）原式=4﹣3﹣+=5﹣3=2；
（2）原式=2﹣2++2=2+．
【点评】此题考查了实数的运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
18．解方程组：
（1）．
（2）．
【考点】CB：解一元一次不等式组；98：解二元一次方程组．
【专题】11 ：计算题．
【分析】（1）利用加减消元法解方程组；
（2）分别解两个不等式得到x≥2.5和x＜4，然后根据大小小大中间找确定不等式组的解集．
【解答】解：（1）①×3+②得：11x=11，即x=1，
把x=1代入①得：y=﹣1，
则方程组的解；
（2），
解①得x≥2.5，
解②得x＜4，
所以不等式组的解集为2.5≤x＜4．
【点评】本题考查了解一元一次不等式组：解一元一次不等式组时，一般先求出其中各不等式的解集，再求出这些解集的公共部分，利用数轴可以直观地表示不等式组的解集．解集的规律：同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到．也考查了解二元依次方程组．
四、解答题
19．某校举行书法比赛，为奖励优胜学生，购买了一些钢笔和毛笔，毛笔单价是钢笔单价的1.5倍，购买钢笔用了1500元，购买毛笔用了1800元，购买的钢笔支数比毛笔多30支，钢笔、毛笔的单价分别为多少元？
【考点】B7：分式方程的应用．
【分析】首先设钢笔单价x元/支，则毛笔单价1.5x元/支，根据题意可得：1500元购买的钢笔数量﹣1800元购买的毛笔数量=30支，根据等量关系列出方程，再解即可．
【解答】解：设钢笔单价x元/支，由题意得：
﹣=30，
解得：x=10，
经检验：x=10是原分式方程的解，
1.5x=1.5×10=15．
答：钢笔、毛笔的单价分别为10元，15元．
【点评】此题主要考查了分式方程的应用，关键是正确理解题意，找出题目中的等量关系，列出方程．
20．如图，△ABC在直角坐标系中，
（1）请写出△ABC各点的坐标；
（2）求出S△ABC；
（3）若把△ABC向上平移2个单位，再向右平移2个单位得△A′B′C′，在图中画出△ABC变化位置，并写出A′、B′、C′的坐标．
【考点】Q4：作图﹣平移变换．
【分析】（1）根据各点所在象限的符号和距坐标轴的距离可得各点的坐标；
（2）S△ABC=边长为4，5的长方形的面积减去直角边长为2，4的直角三角形的面积，减去直角边长为3，5的直角三角形的面积，减去边长为1，3的直角三角形面积；
（3）把三角形ABC的各顶点向上平移2个单位，再向右平移2个单位得到平移后的坐标，顺次连接平移后的各顶点即为平移后的三角形，根据各点所在象限的符号和距坐标轴的距离可得各点的坐标．
【解答】解：（1）A（﹣1，﹣1），B（4，2），C（1，3）；
（2）S△ABC=4×5﹣×2×4﹣×1×3﹣×3×5=7；
（3）A′（1，1），B′（6，4），C′（3，5）．
【点评】格点中的三角形的面积通常整理为长方形的面积与几个三角形的面积的差；图形的平移要归结为各顶点的平移；
平移作图的一般步骤为：
①确定平移的方向和距离，先确定一组对应点；
②确定图形中的关键点；
③利用第一组对应点和平移的性质确定图中所有关键点的对应点；
④按原图形顺序依次连接对应点，所得到的图形即为平移后的图形．
21．甲、乙两地间铁路长2400千米，经技术改造后，列车实现了提速．提速后比提速前速度增加20千米/时，列车从甲地到乙地行驶时间减少4小时．已知列车在现有条件下安全行驶的速度不超过140千米/时．请你用学过的数学知识说明这条铁路在现有条件下是否还可以再次提速？
【考点】B7：分式方程的应用；A8：解一元二次方程﹣因式分解法．
【专题】127：行程问题．
【分析】应算出现在的速度，和140千米/时进行比较．关键描述语是：“列车从甲地到乙地行驶时间减少4小时”；等量关系为：原来所用时间﹣现在所用时间=4．
【解答】解：设提速后列车速度为x千米/时，则：．（4分）
解之得：x1=120，x2=﹣100（舍去）．（7分）
经检验x=120是原方程的根．
∵120＜140，∴仍可再提速．
答：这条铁路在现有条件下仍可再次提速．（9分）
【点评】本题考查分式方程的应用，分析题意，找到关键描述语，找到合适的等量关系是解决问题的关键．
22．如图，O是直线AB上一点，OD平分∠BOC，∠COE=90°．若∠AOC=40°，求∠DOE的度数．
【考点】IJ：角平分线的定义．
【分析】先由邻补角定义求出∠BOC=180°﹣∠AOC=140°，再根据角平分线定义得到∠COD=∠BOC=70°，那么∠DOE=∠COE﹣∠COD=20°．
【解答】解：∵O是直线AB上一点，∠AOC=40°，
∴∠BOC=180°﹣∠AOC=140°．
∵OD平分∠BOC，
∴∠COD=∠BOC=70°．
∵∠COE=90°，
∴∠DOE=∠COE﹣∠COD=20°．
【点评】本题主要考查了角的度数的计算，正确理解角平分线的定义，以及邻补角的定义是解题的关键．
23．根据题意结合图形填空：如图，点E在DF上，点B在AC上，∠1=∠2，∠C=∠D．试说明：AC∥DF．将过程补充完整．
解：∵∠1=∠2（已知）
且∠1=∠3 对顶角相等
∴∠2=∠3（等量代换）
∴ BD ∥ CE
∴∠C=∠ABD 两条直线平行，同位角相等
又∵∠C=∠D（已知）
∴ ∠ABD = ∠D （等量代换 ）
∴AC∥DF 内错角相等，两条直线平行 ．
【考点】JB：平行线的判定与性质．
【分析】由条件可先证明EC∥DB，可得到∠D=∠ABD，再结合条件两直线平行的判定可证明AC∥DF，依次填空即可．
【解答】解：∵∠1=∠2（已知）
且∠1=∠3（对顶角相等）
∴∠2=∠3（等量代换）
∴EC∥DB（同位角相等，两直线平行）
∴∠C=∠ABD（两直线平行，同位角相等）
又∵∠C=∠D（已知）
∴∠D=∠ABD（等量代换）
∴AC∥DF（内错角相等，两直线平行）
故答案为：对顶角相等；BD，CE；两条直线平行，同位角相等；∠ABD，∠D；内错角相等，两条直线平行．
【点评】本题主要考查了平行线的判定与性质的运用，解题时注意：平行线的判定是由角的数量关系判断两直线的位置关系，平行线的性质是由平行关系来寻找角的数量关系．
24．同庆中学为丰富学生的校园生活，准备从军跃体育用品商店一次性购买若干个足球和篮球（每个足球的价格相同，每个篮球的价格相同），若购买3个足球和2个篮球共需310元，购买2个足球和5个篮球共需500元．
（1）购买一个足球、一个篮球各需多少元？
（2）根据同庆中学的实际情况，需从军跃体育用品商店一次性购买足球和篮球共96个，要求购买足球和篮球的总费用不超过5720元，这所中学最多可以购买多少个篮球？
【考点】C9：一元一次不等式的应用；9A：二元一次方程组的应用．
【分析】（1）根据费用可得等量关系为：购买3个足球和2个篮球共需310元；购买2个足球和5个篮球共需500元，把相关数值代入可得一个足球、一个篮球的单价；
（2）不等关系为：购买足球和篮球的总费用不超过5720元，列式求得解集后得到相应整数解，从而求解．
【解答】（1）解：设购买一个足球需要x元，购买一个篮球需要y元，
根据题意得，
解得，
∴购买一个足球需要50元，购买一个篮球需要80元．
（2）方法一：
解：设购买a个篮球，则购买（96﹣a）个足球．
80a+50（96﹣a）≤5720，
a≤30．
∵a为正整数，
∴a最多可以购买30个篮球．
∴这所学校最多可以购买30个篮球．
方法二：
解：设购买n个足球，则购买（96﹣n）个篮球．
50n+80（96﹣n）≤5720，
n≥65
∵n为整数，
∴n最少是66
96﹣66=30个．
∴这所学校最多可以购买30个篮球．
【点评】考查二元一次方程组及一元一次不等式的应用；得到相应总费用的关系式是解决本题的关键．
一、选择题
1．下列调查中，适合进行普查的是（ ）
A．《新闻联播》电视栏目的收视率
B．我国中小学生喜欢上数学课的人数
C．一批灯泡的使用寿命
D．一个班级学生的体重
2．下列各点中，在第二象限的点是（ ）
A．（2，3）B．（2，﹣3）C．（﹣2，﹣3）D．（﹣2，3）
3．二元一次方程2x+y=5的正整数解有（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
4．如图，图中的同位角的对数是（ ）
A．4B．6C．8D．12
5．在下列各式中，计算正确的是（ ）
A．（2）2=6B．=±3C．=﹣6D．=2﹣
6．在﹣2，，，3.14，，，这6个数中，无理数共有（ ）
A．4个B．3个C．2个D．1个
7．下列各组数中，互为相反数的组是（ ）
A．﹣2与B．﹣2和C．﹣与2D．|﹣2|和2
8．如图，直线a∥b，点B在直线b上，且AB⊥BC，∠1=55°，则∠2的度数为（ ）
A．35°B．45°C．55°D．125°
9．若点P（a，b）在第四象限，则点Q（﹣a，b﹣1）在（ ）
A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限
10．如图，AB∥CD，若∠2=135°，则∠1的度数是（ ）
A．30°B．45°C．60°D．75°
二、填空题
11．1﹣的相反数与的平方根的和是 ．
12．请写出一个以x=1，y=2为解的二元一次方程 ．
13．如图要证明AD∥BC，只需要知道∠B= ．
14．华润苏果的账目记录显示，某天卖出39支牙刷和21盒牙膏，收入396元；另一天以同样的价格卖出同样的52支牙刷和28盒牙膏，收入应该是 元．
15．不等式组的解集是 ．
16．为了解我校八年级同学的视力情况，从中随机抽查了30名学生的视力．在这个问题中，样本是 ．
三、计算题
17．计算：
（1）﹣++
（2）﹣|2﹣|﹣．
18．解方程组：
（1）．
（2）．
四、解答题
19．某校举行书法比赛，为奖励优胜学生，购买了一些钢笔和毛笔，毛笔单价是钢笔单价的1.5倍，购买钢笔用了1500元，购买毛笔用了1800元，购买的钢笔支数比毛笔多30支，钢笔、毛笔的单价分别为多少元？
20．如图，△ABC在直角坐标系中，
（1）请写出△ABC各点的坐标；
（2）求出S△ABC；
（3）若把△ABC向上平移2个单位，再向右平移2个单位得△A′B′C′，在图中画出△ABC变化位置，并写出A′、B′、C′的坐标．
21．甲、乙两地间铁路长2400千米，经技术改造后，列车实现了提速．提速后比提速前速度增加20千米/时，列车从甲地到乙地行驶时间减少4小时．已知列车在现有条件下安全行驶的速度不超过140千米/时．请你用学过的数学知识说明这条铁路在现有条件下是否还可以再次提速？
22．如图，O是直线AB上一点，OD平分∠BOC，∠COE=90°．若∠AOC=40°，求∠DOE的度数．
23．根据题意结合图形填空：如图，点E在DF上，点B在AC上，∠1=∠2，∠C=∠D．试说明：AC∥DF．将过程补充完整．
解：∵∠1=∠2（已知）
且∠1=∠3
∴∠2=∠3（等量代换）
∴ ∥
∴∠C=∠ABD
又∵∠C=∠D（已知）
∴ = （等量代换 ）
∴AC∥DF ．
24．同庆中学为丰富学生的校园生活，准备从军跃体育用品商店一次性购买若干个足球和篮球（每个足球的价格相同，每个篮球的价格相同），若购买3个足球和2个篮球共需310元，购买2个足球和5个篮球共需500元．
（1）购买一个足球、一个篮球各需多少元？
（2）根据同庆中学的实际情况，需从军跃体育用品商店一次性购买足球和篮球共96个，要求购买足球和篮球的总费用不超过5720元，这所中学最多可以购买多少个篮球？
参考答案与试题解析
一、选择题
1．下列调查中，适合进行普查的是（ ）
A．《新闻联播》电视栏目的收视率
B．我国中小学生喜欢上数学课的人数
C．一批灯泡的使用寿命
D．一个班级学生的体重
【考点】V2：全面调查与抽样调查．
【分析】适合普查的方式一般有以下几种：①范围较小；②容易掌控；③不具有破坏性；④可操作性较强．
据此即可作出判断．
【解答】解：A、B、C、《新闻联播》电视栏目的收视率、我国中小学生喜欢上数学课的人数，进行一次全面的调查，费大量的人力物力是得不偿失的，采取抽样调查即可；了解一批灯泡的使用寿命，会给被调查对象带来损伤破坏，适用于采用抽样调查；
D、了解一个班级学生的体重，要求精确、难度相对不大、实验无破坏性，应选择普查方式．
故选D．
【点评】本题属于基础题，考查了调查方式的选择能力，一些学生往往对这几种调查方式的适用情况不清楚而误选其它选项．解答这类题须明确各种调查方式的意义、适用情况，再结合对具体问题的分析作出判断．
2．下列各点中，在第二象限的点是（ ）
A．（2，3）B．（2，﹣3）C．（﹣2，﹣3）D．（﹣2，3）
【考点】D1：点的坐标．
【分析】点在第二象限的条件是：横坐标是负数，纵坐标是正数，以此进行判断即可．
【解答】解：因为第二象限的点的坐标是（﹣，+），符合此条件的只有（﹣2，3）．
故选D．
【点评】解决本题的关键是记住平面直角坐标系中各个象限内点的符号，四个象限的符号特点分别是：第一象限（+，+）；第二象限（﹣，+）；第三象限（﹣，﹣）；第四象限（+，﹣）．
3．二元一次方程2x+y=5的正整数解有（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
【考点】93：解二元一次方程．
【专题】11 ：计算题．
【分析】方程变形后表示出y，确定出正整数解的个数即可．
【解答】解：方程2x+y=5，
解得：y=﹣2x+5，
当x=1时，y=3；x=2时，y=1，
则方程的正整数解有2个．
故选B．
【点评】此题考查了解二元一次方程，解题的关键是将x看做已知数求出y．
4．如图，图中的同位角的对数是（ ）
A．4B．6C．8D．12
【考点】J6：同位角、内错角、同旁内角．
【分析】两直线被第三条直线所截形成4对同位角，据此即可直接求解．
【解答】解：两直线被第三条直线所截形成4对同位角，则图中同位角的对数是3×4=12．
故选D．
【点评】本题考查了同位角的定义，解答此类题确定三线八角是关键，可直接从截线入手．对平面几何中概念的理解，一定要紧扣概念中的关键词语，要做到对它们正确理解，对不同的几何语言的表达要注意理解它们所包含的意义．
5．在下列各式中，计算正确的是（ ）
A．（2）2=6B．=±3C．=﹣6D．=2﹣
【考点】76：分母有理化；73：二次根式的性质与化简；75：二次根式的乘除法．
【分析】计算出各个选项中的正确结果，即可得到哪个选项是正确的．
【解答】解：A、（2）2=12，故选项A错误；
B、，故选项B错误；
C、，故选项C错误；
D、=，故选项D正确；
故选D．
【点评】本题考查分母有理化、二次根式的性质与化简、二次根式的乘除法，解题的关键是明确它们各自的计算方法．
6．在﹣2，，，3.14，，，这6个数中，无理数共有（ ）
A．4个B．3个C．2个D．1个
【考点】26：无理数．
【专题】1 ：常规题型．
【分析】要确定题目中的无理数，在明确无理数的定义的前提下，知道无理数分为3大类：π类，开方开不尽的数，无限不循环的小数，根据这3类就可以确定无理数的个数．从而得到答案．
【解答】解：根据判断无理数的3类方法，可以直接得知：
是开方开不尽的数是无理数，
属于π类是无理数，
因此无理数有2个．
故选：C．
【点评】本题考查了无理数的定义，判断无理数的方法，要求学生对无理数的概念的理解要透彻．
7．下列各组数中，互为相反数的组是（ ）
A．﹣2与B．﹣2和C．﹣与2D．|﹣2|和2
【考点】28：实数的性质．
【分析】根据相反数的概念及性质逐项分析得出答案即可．
【解答】解：A、﹣2与=2，符合相反数的定义，故选项正确；
B、﹣2与=﹣2不互为相反数，故选项错误；
C、﹣与2不互为相反数，故选项错误；
D、|﹣2|=2，2与2不互为相反数，故选项错误．
故选：A．
【点评】此题主要考查了相反数的定义，只有符号不同的两个数互为相反数，在本题中要注意理解求|﹣2|的相反数就是求2的相反数，不要受绝对值中的符号的影响．
8．如图，直线a∥b，点B在直线b上，且AB⊥BC，∠1=55°，则∠2的度数为（ ）
A．35°B．45°C．55°D．125°
【考点】JA：平行线的性质；IL：余角和补角．
【专题】11 ：计算题．
【分析】根据两条直线平行，同位角相等，得∠1的同位角是55°．再根据平角的定义即可求得∠2．
【解答】解：∵a∥b，
∴BC与b所夹锐角等于∠1=55°，
又AB⊥BC，
∴∠2=180°﹣90°﹣55°=35°．
故选A．
【点评】考查了平行线的性质以及平角的概念．
9．若点P（a，b）在第四象限，则点Q（﹣a，b﹣1）在（ ）
A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限
【考点】D1：点的坐标．
【分析】因为点P（a，b）在第四象限，可确定a、b的取值范围，从而可得﹣a，b﹣1的符号，即可得出Q所在的象限．
【解答】解：∵点P（a，b）在第四象限，
∴a＞0，b＜0，
∴﹣a＜0，b﹣1＜0，
∴点Q（﹣a，b﹣1）在第三象限．
故选C．
【点评】此题主要考查平面直角坐标系中象限内的点的坐标的符号特征：第一象限（+，+）；第二象限（﹣，+）；第三象限（﹣，﹣）；第四象限（+，﹣）．
10．如图，AB∥CD，若∠2=135°，则∠1的度数是（ ）
A．30°B．45°C．60°D．75°
【考点】JA：平行线的性质；J2：对顶角、邻补角．
【专题】11 ：计算题．
【分析】要求∠1的度数，只需根据两直线平行，同位角相等的性质求得∠1的邻补角．
【解答】解：∵AB∥CD，若∠2=135°，
∴∠2的同位角为135°．
∴∠1=180°﹣135°=45°．
故选B．
【点评】本题主要考查平行线的性质以及邻补角的性质．
二、填空题
11．1﹣的相反数与的平方根的和是 2+或﹣4 ．
【考点】28：实数的性质；21：平方根．
【分析】根据相反数的意义，平方根的意义，可得答案．
【解答】解：1﹣的相反数为﹣1；的平方根为±3，
当的平方根为3时，3+﹣1=2+
当的平方根为﹣3时，﹣3﹣1=﹣4，
故答案为：2+或﹣4．
【点评】本题考查了实数的性质，利用相反数的意义、平方根的意义是解题关键，要分类讨论，以防遗漏．
12．请写出一个以x=1，y=2为解的二元一次方程 x+y=3（答案不唯一） ．
【考点】92：二元一次方程的解．
【分析】先令mx+ny=b，其中m、n为不为零的常数，然后将x=1，y=2代入求得b的值即可．
【解答】解：设符合条件的方程为x+y=b．
将x=1，y=2代入得：b=3，
∴符合条件的方程为x+y=3．
故答案为：x+y=3（答案不唯一）．
【点评】本题主要考查的是二元一次方程的解，掌握解答此类问题的方法是解题的关键．
13．如图要证明AD∥BC，只需要知道∠B= ∠EAD ．
【考点】J9：平行线的判定．
【分析】根据同位角相等，两直线平行填上即可．
【解答】解：∠B=∠EAD，
理由是：∵∠B=∠EAD，
∴AD∥BC（同位角相等，两直线平行），
故答案为：∠EAD．
【点评】本题考查了平行线的判定定理的应用，注意：平行线的判定定理有①同位角相等，两直线平行，②内错角相等，两直线平行，③同旁内角互补，两直线平行．
14．华润苏果的账目记录显示，某天卖出39支牙刷和21盒牙膏，收入396元；另一天以同样的价格卖出同样的52支牙刷和28盒牙膏，收入应该是 528 元．
【考点】95：二元一次方程的应用．
【分析】设一支牙刷收入x元，一盒牙膏收入y元，根据39支牙刷和21盒牙膏，收入396元建立方程通过变形就可以求出52x+28y的值．
【解答】解：设一支牙刷收入x元，一盒牙膏收入y元，由题意，得
39x+21y=396，
∴13x+7y=132，
∴52x+28y=528，
故答案为：528．
【点评】本题考查了列二元一次方程解实际问题的运用，整体数学思想在解实际问题的运用，解答时表示出卖出39支牙刷和21盒牙膏的收入为396元是关键．
15．不等式组的解集是 1＜x＜4 ．
【考点】CB：解一元一次不等式组．
【专题】11 ：计算题．
【分析】分别求出不等式组中两不等式的解集，找出两解集的公共部分即可．
【解答】解：，
由①得：x＜4；
由②得：x＞1，
则不等式组的解集为1＜x＜4．
故答案为：1＜x＜4．
【点评】此题考查了解一元一次不等式组，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
16．为了解我校八年级同学的视力情况，从中随机抽查了30名学生的视力．在这个问题中，样本是 30名学生的视力 ．
【考点】V3：总体、个体、样本、样本容量．
【分析】总体是指考查的对象的全体，个体是总体中的每一个考查的对象，样本是总体中所抽取的一部分个体，而样本容量则是指样本中个体的数目．我们在区分总体、个体、样本、样本容量，这四个概念时，首先找出考查的对象．从而找出总体、个体．再根据被收集数据的这一部分对象找出样本，最后再根据样本确定出样本容量．
【解答】解：从中随机抽查了30名学生的视力．在这个问题中，样本是30名学生的视力，
故答案为：30名学生的视力．
【点评】此题考查了总体、个体、样本、样本容量，解题要分清具体问题中的总体、个体与样本，关键是明确考查的对象．总体、个体与样本的考查对象是相同的，所不同的是范围的大小．样本容量是样本中包含的个体的数目，不能带单位．
三、计算题（题型注释）
17．计算：
（1）﹣++
（2）﹣|2﹣|﹣．
【考点】2C：实数的运算．
【专题】11 ：计算题；511：实数．
【分析】（1）原式利用平方根、立方根的定义计算即可得到结果；
（2）原式利用平方根、立方根定义，以及绝对值的代数意义计算即可得到结果．
【解答】解：（1）原式=4﹣3﹣+=5﹣3=2；
（2）原式=2﹣2++2=2+．
【点评】此题考查了实数的运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
18．解方程组：
（1）．
（2）．
【考点】CB：解一元一次不等式组；98：解二元一次方程组．
【专题】11 ：计算题．
【分析】（1）利用加减消元法解方程组；
（2）分别解两个不等式得到x≥2.5和x＜4，然后根据大小小大中间找确定不等式组的解集．
【解答】解：（1）①×3+②得：11x=11，即x=1，
把x=1代入①得：y=﹣1，
则方程组的解；
（2），
解①得x≥2.5，
解②得x＜4，
所以不等式组的解集为2.5≤x＜4．
【点评】本题考查了解一元一次不等式组：解一元一次不等式组时，一般先求出其中各不等式的解集，再求出这些解集的公共部分，利用数轴可以直观地表示不等式组的解集．解集的规律：同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到．也考查了解二元依次方程组．
四、解答题
19．某校举行书法比赛，为奖励优胜学生，购买了一些钢笔和毛笔，毛笔单价是钢笔单价的1.5倍，购买钢笔用了1500元，购买毛笔用了1800元，购买的钢笔支数比毛笔多30支，钢笔、毛笔的单价分别为多少元？
【考点】B7：分式方程的应用．
【分析】首先设钢笔单价x元/支，则毛笔单价1.5x元/支，根据题意可得：1500元购买的钢笔数量﹣1800元购买的毛笔数量=30支，根据等量关系列出方程，再解即可．
【解答】解：设钢笔单价x元/支，由题意得：
﹣=30，
解得：x=10，
经检验：x=10是原分式方程的解，
1.5x=1.5×10=15．
答：钢笔、毛笔的单价分别为10元，15元．
【点评】此题主要考查了分式方程的应用，关键是正确理解题意，找出题目中的等量关系，列出方程．
20．如图，△ABC在直角坐标系中，
（1）请写出△ABC各点的坐标；
（2）求出S△ABC；
（3）若把△ABC向上平移2个单位，再向右平移2个单位得△A′B′C′，在图中画出△ABC变化位置，并写出A′、B′、C′的坐标．
【考点】Q4：作图﹣平移变换．
【分析】（1）根据各点所在象限的符号和距坐标轴的距离可得各点的坐标；
（2）S△ABC=边长为4，5的长方形的面积减去直角边长为2，4的直角三角形的面积，减去直角边长为3，5的直角三角形的面积，减去边长为1，3的直角三角形面积；
（3）把三角形ABC的各顶点向上平移2个单位，再向右平移2个单位得到平移后的坐标，顺次连接平移后的各顶点即为平移后的三角形，根据各点所在象限的符号和距坐标轴的距离可得各点的坐标．
【解答】解：（1）A（﹣1，﹣1），B（4，2），C（1，3）；
（2）S△ABC=4×5﹣×2×4﹣×1×3﹣×3×5=7；
（3）A′（1，1），B′（6，4），C′（3，5）．
【点评】格点中的三角形的面积通常整理为长方形的面积与几个三角形的面积的差；图形的平移要归结为各顶点的平移；
平移作图的一般步骤为：
①确定平移的方向和距离，先确定一组对应点；
②确定图形中的关键点；
③利用第一组对应点和平移的性质确定图中所有关键点的对应点；
④按原图形顺序依次连接对应点，所得到的图形即为平移后的图形．
21．甲、乙两地间铁路长2400千米，经技术改造后，列车实现了提速．提速后比提速前速度增加20千米/时，列车从甲地到乙地行驶时间减少4小时．已知列车在现有条件下安全行驶的速度不超过140千米/时．请你用学过的数学知识说明这条铁路在现有条件下是否还可以再次提速？
【考点】B7：分式方程的应用；A8：解一元二次方程﹣因式分解法．
【专题】127：行程问题．
【分析】应算出现在的速度，和140千米/时进行比较．关键描述语是：“列车从甲地到乙地行驶时间减少4小时”；等量关系为：原来所用时间﹣现在所用时间=4．
【解答】解：设提速后列车速度为x千米/时，则：．（4分）
解之得：x1=120，x2=﹣100（舍去）．（7分）
经检验x=120是原方程的根．
∵120＜140，∴仍可再提速．
答：这条铁路在现有条件下仍可再次提速．（9分）
【点评】本题考查分式方程的应用，分析题意，找到关键描述语，找到合适的等量关系是解决问题的关键．
22．如图，O是直线AB上一点，OD平分∠BOC，∠COE=90°．若∠AOC=40°，求∠DOE的度数．
【考点】IJ：角平分线的定义．
【分析】先由邻补角定义求出∠BOC=180°﹣∠AOC=140°，再根据角平分线定义得到∠COD=∠BOC=70°，那么∠DOE=∠COE﹣∠COD=20°．
【解答】解：∵O是直线AB上一点，∠AOC=40°，
∴∠BOC=180°﹣∠AOC=140°．
∵OD平分∠BOC，
∴∠COD=∠BOC=70°．
∵∠COE=90°，
∴∠DOE=∠COE﹣∠COD=20°．
【点评】本题主要考查了角的度数的计算，正确理解角平分线的定义，以及邻补角的定义是解题的关键．
23．根据题意结合图形填空：如图，点E在DF上，点B在AC上，∠1=∠2，∠C=∠D．试说明：AC∥DF．将过程补充完整．
解：∵∠1=∠2（已知）
且∠1=∠3 对顶角相等
∴∠2=∠3（等量代换）
∴ BD ∥ CE
∴∠C=∠ABD 两条直线平行，同位角相等
又∵∠C=∠D（已知）
∴ ∠ABD = ∠D （等量代换 ）
∴AC∥DF 内错角相等，两条直线平行 ．
【考点】JB：平行线的判定与性质．
【分析】由条件可先证明EC∥DB，可得到∠D=∠ABD，再结合条件两直线平行的判定可证明AC∥DF，依次填空即可．
【解答】解：∵∠1=∠2（已知）
且∠1=∠3（对顶角相等）
∴∠2=∠3（等量代换）
∴EC∥DB（同位角相等，两直线平行）
∴∠C=∠ABD（两直线平行，同位角相等）
又∵∠C=∠D（已知）
∴∠D=∠ABD（等量代换）
∴AC∥DF（内错角相等，两直线平行）
故答案为：对顶角相等；BD，CE；两条直线平行，同位角相等；∠ABD，∠D；内错角相等，两条直线平行．
【点评】本题主要考查了平行线的判定与性质的运用，解题时注意：平行线的判定是由角的数量关系判断两直线的位置关系，平行线的性质是由平行关系来寻找角的数量关系．
24．同庆中学为丰富学生的校园生活，准备从军跃体育用品商店一次性购买若干个足球和篮球（每个足球的价格相同，每个篮球的价格相同），若购买3个足球和2个篮球共需310元，购买2个足球和5个篮球共需500元．
（1）购买一个足球、一个篮球各需多少元？
（2）根据同庆中学的实际情况，需从军跃体育用品商店一次性购买足球和篮球共96个，要求购买足球和篮球的总费用不超过5720元，这所中学最多可以购买多少个篮球？
【考点】C9：一元一次不等式的应用；9A：二元一次方程组的应用．
【分析】（1）根据费用可得等量关系为：购买3个足球和2个篮球共需310元；购买2个足球和5个篮球共需500元，把相关数值代入可得一个足球、一个篮球的单价；
（2）不等关系为：购买足球和篮球的总费用不超过5720元，列式求得解集后得到相应整数解，从而求解．
【解答】（1）解：设购买一个足球需要x元，购买一个篮球需要y元，
根据题意得，
解得，
∴购买一个足球需要50元，购买一个篮球需要80元．
（2）方法一：
解：设购买a个篮球，则购买（96﹣a）个足球．
80a+50（96﹣a）≤5720，
a≤30．
∵a为正整数，
∴a最多可以购买30个篮球．
∴这所学校最多可以购买30个篮球．
方法二：
解：设购买n个足球，则购买（96﹣n）个篮球．
50n+80（96﹣n）≤5720，
n≥65
∵n为整数，
∴n最少是66
96﹣66=30个．
∴这所学校最多可以购买30个篮球．
【点评】考查二元一次方程组及一元一次不等式的应用；得到相应总费用的关系式是解决本题的关键．
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