北师大版八年级下册3 线段的垂直平分线优质课件ppt

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1.经历探索、猜测、证明的过程,进一步发展学生的推理证明的意识和能力.(难点)2.能够证明线段垂直平分线的性质定理、判定定理,并利用这些定理进行有关的证明和计算.(难点)
一、线段的垂直平分线的性质及判定如图,已知线段AB,点P在直线MN上.1.如果MN垂直平分AB,那么PA=PB吗?为什么?提示:PA=PB.∵MN垂直平分AB,∴OA=OB,∠POA=∠POB=90°,又∵PO=PO,∴△POA≌△POB(SAS),∴PA=PB.
2.如果PA=PB,那么点P在线段AB的垂直平分线上吗?为什么?提示:在.过点P作PO⊥AB,垂足为O,∵PO⊥AB,∴∠POA=∠POB=90°.∵PA=PB,PO=PO,∴Rt△POA≌Rt△POB(HL).∴AO=BO,所以点P在线段AB的垂直平分线上.
【总结】1.线段垂直平分线的性质定理:线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离_____.2.线段垂直平分线的判定定理:到一条线段两个端点距离相等的点,在这条线段的___________上.
二、用尺规作线段的垂直平分线用尺规作线段AB的垂直平分线CD的步骤是:(1)分别以点____为圆心,以 的长为半径作弧,两弧相交于点C和点D.(2)作直线CD,则直线CD就是线段AB的垂直平分线.
(1)如果有两个点到线段端点距离相等,那么经过这两个点的直线就是这条线段的垂直平分线.　( )(2)到一条线段两个端点距离相等的点有两个.　( )(3)线段垂直平分线上的点到这条线段上两个点的距离相等.　( )(4)若EA=EB,则过点E的直线垂直平分线段AB.( )
知识点 1 线段垂直平分线的性质和判定 【例1】已知:如图,在△ABC中,MN是边AB的垂直平分线,∠MAC=50°,∠C=3∠B,求∠B的度数.【思路点拨】根据线段垂直平分线的性质得出AM=BM,推出∠BAM=∠B,设∠B=x,则∠BAM=x,∠C=3x,在△ABC中,由三角形内角和定理得出方程x+x+3x+50°=180°,求出即可.
【自主解答】∵MN是边AB的垂直平分线,∴AM=BM,∴∠BAM=∠B,设∠B=x,则∠BAM=x,∵∠C=3∠B,∴∠C=3x.在△ABC中,由三角形内角和定理,得x+x+3x+50°=180°,∴x=26°,即∠B=26°.
【总结提升】线段垂直平分线的应用特征(1)线段垂直平分线中的两组线段相等:①线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等;②被垂直平分的线段,被分为两条相等的线段.(2)当出现“垂直平分”字眼或题目中有垂直,且垂足是中点时,要联想到线段垂直平分线的性质.
知识点 2 作线段的垂直平分线 【例2】如图,某村有一块三角形的空地(即△ABC),其中A点靠近水源,现村长准备将它分给甲、乙两农户耕种,分配方案规定按每户人口数量来平均分配,且甲、乙两农户所分土地都要靠近水源(即A点),已知甲农户有1人,乙农户有3人,请你把它分出来.(要求:尺规作图,保留作图痕迹,不写作法,不要求证明)【思路点拨】本题实际考查线段垂直平分线的性质,即通过连续作三次线段垂直平分线,将BC四等分,把△ABC分为1∶3的两份.
【自主解答】如图AD符合要求.(或连接AF,AF也把△ABC分成1∶3)
【总结提升】用尺规作线段的垂直平分线的“三种应用”(1)确定到两点距离相等的点的位置.(2)确定任意一条线段的中点.(3)过任意一点作已知直线的垂线:点在直线外时,可以以该点为圆心,适当长为半径画弧与直线交于两点,再作直线上两点间线段的垂直平分线即可.点在直线上时,作法与上面的类似.注意:所画弧的半径要大于已知线段长的一半.
题组一:线段垂直平分线的性质和判定1.如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,AB的垂直平分线DE交BC的延长线于F,若∠F=30°,DE=1,则EF的长是(　　)A.3 B.2C. D.1
【解析】选B.连接AF,∵DF是AB的垂直平分线,∴AF=BF,∵FD⊥AB,∴∠AFD=∠BFD=30°,∠B=∠FAB=90°-30°=60°,∵∠ACB=90°,∴∠BAC=30°,∠FAC=60°-30°=30°,∵DE=1,∴AE=2DE=2,∵∠FAE=∠AFD=30°,∴EF=AE=2.
2.如图,在△ABC中,∠B=30°,BC的垂直平分线交AB于E,垂足为D.若ED=5,则CE的长为　(　　)A.10 B.8 C.5 D.2.5【解析】选A.∵DE是线段BC的垂直平分线,∴BE=CE,∠BDE=90°,∵∠B=30°,∴BE=2DE=2×5=10,∴CE=BE=10.
3.(2013·广州中考)点P在线段AB的垂直平分线上,PA=7,则PB=　　　　.【解析】根据题意画出图形,如图所示:由图可知,PA=PB=7.答案:7
4.(2013·义乌中考)如图,AD⊥BC于点D,D为BC的中点,连接AB,∠ABC的平分线交AD于点O,连接OC,若∠AOC=125°,则∠ABC=　　　　°.【解析】∵AD⊥BC于点D,D为BC的中点,∴AD是线段BC的垂直平分线,∴OB=OC,∴∠OBC=∠C.∵∠AOC=125°,∴∠COD=55°.∵∠ODC=90°,∴∠C=35°,∠OBC=35°.∵BO平分∠ABC,∴∠ABC=2∠OBC=70°.答案70
5.如图,线段AB的垂直平分线与线段BC的垂直平分线的交点P恰好在AC上,且AC=10cm,则B点到P点的距离为　　　　.
【解析】连接BP,∵PF是线段BC的垂直平分线,PH是线段AB的垂直平分线,∴AP=BP=PC,∵AC=10cm,∴AP=BP=PC= AC= ×10=5(cm).答案:5cm
6.如图,已知:在△ABC中,∠C=90°,∠A=30°,BD平分∠ABC交AC于D.求证:D在AB的垂直平分线上.【证明】∵∠C=90°,∠A=30°,∴∠ABC=60°.又∵BD平分∠ABC,∴∠DBA= ∠ABC=30°=∠A.∴BD=AD,∴D在AB的垂直平分线上.
题组二:作线段的垂直平分线1.下列命题中正确的有　(　　)①线段垂直平分线上任意一点到线段两端点的距离相等;②线段上任意一点到垂直平分线两端的距离相等;③经过线段中点的直线只有一条;④点P在线段AB外且PA=PB,过P作直线MN,则MN是线段AB的垂直平分线;⑤过线段上任意一点可以作这条线段的中垂线.A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
【解析】选A.线段垂直平分线上任意一点到线段两端点的距离相等,是线段垂直平分线的性质,①正确;线段垂直平分线是直线,没有端点,②错误;经过线段中点的直线有无数条,③错误;过点P的直线有无数条,④错误;线段的中垂线只经过线段的中点,⑤错误.
2.如图,在△ABC中,分别以点A和点B为圆心,大于 AB的长为半径画弧,两弧相交于点M,N,作直线MN,交BC于点D,连接AD.若△ADC的周长为10,AB=7,则△ABC的周长为　(　　)A.7B.14C.17D.20
【解析】选C.由题意知MN是AB的垂直平分线,∴AD=BD.∵△ADC的周长为10,∴AC+AD+CD=AC+BD+CD=AC+BC=10,∵AB=7,∴△ABC的周长为:AC+BC+AB=10+7=17.
3.如图,直线l上一点Q满足QA=QB,则Q点是直线l与　　 的交点.【解析】∵QA=QB,∴点Q在线段AB的垂直平分线上,又∵Q在直线l上,∴Q点是直线l与线段AB的垂直平分线的交点.答案:线段AB的垂直平分线
4.如图所示,在Rt△ABC中,∠C=90°,∠A=30°.尺规作图:作线段AB的垂直平分线l(保留作图痕迹,不写作法).
【解析】直线l即为所求.
5.如图,△ABC与△A′B′C′关于某条直线对称,请作出这条直线.
【解析】(1)连接BB′,分别以B,B′为圆心,以大于 BB′的长为半径作弧,两弧交于D,E两点.(2)过D,E作直线.直线DE即为所求.
【想一想错在哪？】已知:如图,AD平分∠EAF,DE⊥AE,DF⊥AF,且DE=DF.求证:AD垂直平分EF.提示:只判断直线上一个点在线段的垂直平分线上,不能说明这条直线是线段的垂直平分线.