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初中数学苏科版九年级下册第6章 图形的相似综合与测试课时作业
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这是一份初中数学苏科版九年级下册第6章 图形的相似综合与测试课时作业，共37页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、选择题
1．已知x：y：z=3：4：6，则的值为（ ）
A．B．1C．D．
2．如图，顶角为36°的等腰三角形，其底边与腰之比等k，这样的三角形称为黄金三角形.已知腰AB=1，△ABC为第一个黄金三角形，△BCD为第二个黄金三角形，△CDE为第三个黄金三角形，以此类推，第2014个黄金三角形的周长（ ）
A．k2013B．k2014C．D．k2013（2+k）
3．如图，AD∥BE∥CF，直线l1、l2与这三条平行线分别交于点A、B、C和点D、E、F，若AB=3，BC=6，DF=6，则DE的长等于（ ）
A．2B．3C．4D．6
4．下列说法中，正确的有（ ）个．
①全等三角形的对应角相等
②全等三角形的对应边相等
③全等三角形的周长相等
④相似三角形的对应角相等
⑤相似三角形的对应边成比例.
A．6B．5C．4D．3
5．如图，在等腰直角△ACB中，∠ACB=90°，O是斜边AB的中点，点D、E分别在直角边AC、BC上，且∠DOE=90°，DE交OC于点P，则下列结论
(1) △AOD≌△COE；(2) OE=OD；(3) △EOP∽△CDP.
其中正确的结论是（ ）
A．0个B．1个C．2个D．3个
6．两个相似三角形的相似比是2：3，则这两个三角形的面积比是（ ）
A．：B．2：3C．2：5D．4：9
7．如图，表示△AOB以O为位似中心，扩大到△COD，各点坐标分别为：A（1，2）、B（3，0）、D（6，0），则点C坐标为（ ）
A．（2，3）B．（2，4）C．（3，3）D．（3，4）
8．为了测量被池塘隔开的A，B两点之间的距离，根据实际情况，作出如图所示图形，其中AB⊥BE，EF⊥BE，AF交BE于D，C在BD上.有四位同学分别测量出以下四组数据，根据所测数据不能求出A，B间距离的是（ ）
A．BC，∠ACBB．DE，DC，BCC．EF，DE，BDD．CD，∠ACB，∠ADB
9．如图是孔明设计用手电来测量某古城墙高度的示意图.点P处放一水平的平面镜，光线从点A出发经平面镜反射后刚好射到古城墙CD的顶端C处，已知 AB⊥BD，CD⊥BD，且测得AB=6米，BP=9米，PD=15米，那么该古城墙的高度是（ ）
A．6米B．8米C．10米D．15米
10．如图，图中的每个小方格都是边长为1的小正方形，每个小正方形的顶点称为格点．若△ABC与△A1B1C1是位似图形，且顶点都在格点上，则位似中心的坐标是（ ）
A．（0，9）B．（8，0）C．（9，0）D．（10，0）
11．如果△ABC∽△DEF，相似比为2：1，且△DEF的面积为4，那么△ABC的面积为（ ）
A．1B．4C．8D．16
12．如图，在平行四边形ABCD中，BE交AC，CD于G，F，交AD的延长线于E，则图中的相似三角形（全等除外）有（ ）
A．3对B．4对C．5对D．6对
二、填空题
13．已知线段AB=20，点C为线段AB的黄金分割点（AC＞BC），则AC= .
14．在△ABC和△A1B1C1中，下列四个命题：
(1) 若AB=A1B1，AC=A1C1，∠A=∠A1，则△ABC≌△A1B1C1；
(2) 若AB=A1B1，AC=A1C1，∠B=∠B1，则△ABC≌△A1B1C1；
(3) 若∠A=∠A1，∠C=∠C1，则△ABC∽△A1B1C1；
(4) 若AC：A1C1=CB：C1B1，∠C=∠C1，则△ABC∽△A1B1C1.
其中是真命题的为 （填序号）.
15．如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，将△ABC沿BD折叠，点C恰巧落在边AB上的C′处，折痕为BD，再将其沿DE折叠，使点A落在DC′的延长线上的A′处.若△BED与△ABC相似，则相似比= .
16．下列关于位似图形的表述：
①相似图形一定是位似图形，位似图形一定是相似图形；
②位似图形一定有位似中心；
③如果两个图形是相似图形，且每组对应点的连线所在的直线都经过同一个点，那么，这两个图形是位似图形；
④位似图形上任意两点与位似中心的距离之比等于位似比.
其中正确命题的序号是 .
17．张华同学的身高为1.6米，某一时刻他在阳光下的影长为2米，与他邻近的一棵树的影长为6米，则这棵树的高为 米.
18．如图所示，C为线段AB上一点，且满足AC：BC=2：3，D为AB的中点，且CD=2cm，则AB= cm.
三、解答题
19．已知a，b，c，d四个数成比例，且a，d为外项.求证：点（a，b），（c，d）和坐标原点O在同一直线上.
20．如图，在正五边形ABCDE中，对角线AC，BE相交于点F，F是线段BE、AC的黄金分割线吗？为什么？
21．已知：如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，点E、F分别是边BC、CD的中点，直线EF交边AD的延长线于点M，交边AB的延长线于点N，连接BD.
(1) 求证：四边形DBEM是平行四边形；
(2) 连接CM，当四边形ABCM为平行四边形时，求证：MN=2DB.
22．已知：如图，在矩形ABCD中，E为AD的中点，EF⊥EC交AB于F（AB＞AE）.问：△AEF与△EFC是否相似？若相似，证明你的结论；若不相似，请说明理由.
23．如图，已知△ACE∽△BDE，AC=6，BD=3，AB=12，CD=18.求AE和DE的长.
24．如图，已知A（﹣4，0），B（0，4），现以A点为位似中心，相似比为9：4，将OB向右侧放大，B点的对应点为C.
(1) 求C点坐标及直线BC的解析式；
(2) 一抛物线经过B、C两点，且顶点落在x轴正半轴上，求该抛物线的解析式并画出函数图象；
(3) 现将直线BC绕B点旋转与抛物线相交于另一点P，请找出抛物线上所有满足到直线AB距离为的点P.
答案
1．已知x：y：z=3：4：6，则的值为（ ）
A．B．1C．D．
【考点】S1：比例的性质．
【专题】选择题
【难度】易
【分析】根据比例的性质，可用x表示y，用x表示z，根据分式的性质，可得答案．
【解答】解：由x：y：z=3：4：6，得
y=，z=2x．
==．
故选：A．
【点评】本题考查了比例的性质，利用比例的性质得出y=，z=2x是解题关键．
2．如图，顶角为36°的等腰三角形，其底边与腰之比等k，这样的三角形称为黄金三角形.已知腰AB=1，△ABC为第一个黄金三角形，△BCD为第二个黄金三角形，△CDE为第三个黄金三角形，以此类推，第2014个黄金三角形的周长（ ）
A．k2013B．k2014C．D．k2013（2+k）
【考点】S3：黄金分割．
【专题】选择题
【难度】易
【分析】根据相似三角形对应角相等，对应边成比例，求出前几个三角形的周长，进而找出规律：第n个黄金三角形的周长为kn﹣1（2+k），从而得出答案．
【解答】解：∵AB=AC=1，
∴△ABC的周长为2+k；
△BCD的周长为k+k+k2=k（2+k）；
△CDE的周长为k2+k2+k3=k2（2+k）；
依此类推，第2014个黄金三角形的周长为k2013（2+k）．
故选D．
【点评】本题考查了黄金三角形，用到的知识点是黄金分割的定义和相似三角形的性质，找出各个三角形周长之间的关系，得出规律是本题的关键．
3．如图，AD∥BE∥CF，直线l1、l2与这三条平行线分别交于点A、B、C和点D、E、F，若AB=3，BC=6，DF=6，则DE的长等于（ ）
A．2B．3C．4D．6
【考点】S4：平行线分线段成比例
【专题】选择题
【难度】易
【分析】根据平行线分线段成比例定理列出比例式，计算即可．
【解答】解：∵AD∥BE∥CF，
∴=，即=，
解得，DE=2，
故选：A．
【点评】本题考查的是平行线分线段成比例定理的应用，灵活运用定理、找准对应关系是解题的关键．
4．下列说法中，正确的有（ ）个．
①全等三角形的对应角相等
②全等三角形的对应边相等
③全等三角形的周长相等
④相似三角形的对应角相等
⑤相似三角形的对应边成比例.
A．6B．5C．4D．3
【考点】S5：相似图形；K9：全等图形．
【专题】选择题
【难度】易
【分析】理清相似三角形以及全等三角形的判定及性质，即可熟练求解此题．
【解答】解：①全等三角形的对应角相等，正确；
②全等三角形的对应边相等，正确；
③全等三角形的周长相等，正确；
④相似三角形的对应角相等，正确；
⑤相似三角形的对应边成比例，正确；
故选B
【点评】本题主要考查了全等和相似三角形的判定及性质，关键是能够掌握并熟练运用全等和相似三角形的性质．
5．如图，在等腰直角△ACB中，∠ACB=90°，O是斜边AB的中点，点D、E分别在直角边AC、BC上，且∠DOE=90°，DE交OC于点P，则下列结论
(1) △AOD≌△COE；(2) OE=OD；(3) △EOP∽△CDP.
其中正确的结论是（ ）
A．0个B．1个C．2个D．3个
【考点】S8：相似三角形的判定；KD：全等三角形的判定与性质；KW：等腰直角三角形．
【专题】选择题
【难度】易
【分析】根据等腰直角三角形的性质，以及直角三角形斜边中线定理首先证明△AOD≌△COE（ASA），推出OE=OD，∠OED=∠PCD=45°即可解决问题．
【解答】解：∵在等腰直角△ACB中，∠ACB=90°，O是斜边AB的中点，
∴∠A=∠B=∠ACO=45°，OA=OC=OB，∠AOC=90°=∠DOE，
∴∠AOD=∠COE=90°﹣∠DOC，
在△AOD与△COE中，
，
∴△AOD≌△COE（ASA），
∴OD=OE，故①②正确，
∵∠EOD=90°，
∴∠OED=45°，
∵∠ACB=90°，BC=AC，OB=OA，
∴∠PCD=∠PCE=45°，
∴∠OEP=∠DCP，∵∠EPO=∠CPD，
∴△△EOP∽△CDP，故③正确，
故选D．
【点评】本题考查等腰直角三角形的性质、全等三角形的判定和性质、相似三角形的判定和性质等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形的条件，以及三角形相似的条件，属于基础题，中考常考题型．
6．两个相似三角形的相似比是2：3，则这两个三角形的面积比是（ ）
A．：B．2：3C．2：5D．4：9
【考点】S7：相似三角形的性质．
【专题】选择题
【难度】易
【分析】根据相似三角形面积的比等于相似比的平方解答即可．
【解答】解：∵两个相似三角形的相似比是2：3，
∴这两个三角形的面积比是4：9，
故选D．
【点评】本题考查的是相似三角形的性质，掌握相似三角形面积的比等于相似比的平方是解题的关键．
7．如图，表示△AOB以O为位似中心，扩大到△COD，各点坐标分别为：A（1，2）、B（3，0）、D（6，0），则点C坐标为（ ）
A．（2，3）B．（2，4）C．（3，3）D．（3，4）
【考点】SC：位似变换；D5：坐标与图形性质．
【专题】选择题
【难度】易
【分析】利用位似图形的性质结合两图形的位似比进而得出C点坐标．
【解答】解：∵△AOB以O为位似中心，扩大到△COD，各点坐标分别为：A（1，2）、B（3，0）、D（6，0），
∴点C坐标为：（2，4）．
故选：B．
【点评】此题主要考查了位似图形的性质，利用两图形的位似比得出对应点横纵坐标关系是解题关键．
8．为了测量被池塘隔开的A，B两点之间的距离，根据实际情况，作出如图所示图形，其中AB⊥BE，EF⊥BE，AF交BE于D，C在BD上.有四位同学分别测量出以下四组数据，根据所测数据不能求出A，B间距离的是（ ）
A．BC，∠ACBB．DE，DC，BCC．EF，DE，BDD．CD，∠ACB，∠ADB
【考点】SA：相似三角形的应用．
【专题】选择题
【难度】易
【分析】根据三角形相似可知，要求出AB，只需求出EF即可．所以借助于相似三角形的性质，根据即可解答．
【解答】解：此题比较综合，要多方面考虑，
A、因为知道∠ACB和BC的长，所以可利用∠ACB的正切来求AB的长；
B、无法求出A，B间距离．
C、因为△ABD∽△EFD，可利用，求出AB；
D、可利用∠ACB和∠ADB的正切求出AB；
据所测数据不能求出A，B间距离的是选项B；
故选：B．
【点评】本题考查相似三角形的应用和解直角三角形的应用；将实际问题转化为数学问题是解决问题的关键．
9．如图是孔明设计用手电来测量某古城墙高度的示意图.点P处放一水平的平面镜，光线从点A出发经平面镜反射后刚好射到古城墙CD的顶端C处，已知 AB⊥BD，CD⊥BD，且测得AB=6米，BP=9米，PD=15米，那么该古城墙的高度是（ ）
A．6米B．8米C．10米D．15米
【考点】SA：相似三角形的应用．
【专题】选择题
【难度】易
【分析】因为孔明和古城墙均和地面垂直，且光线的入射角等于反射角，因此构成一组相似三角形，利用对应边成比例即可解答．
【解答】解：根据题意，容易得到△ABP∽△PDC．
即CD：AB=PD：BP，
∵AB=6米，BP=9米，PD=15米，
∴CD=×AB=10；
那么该古城墙的高度是10米．
故选C．
【点评】本题考查相似三角形性质的应用．解题时关键是找出相似的三角形，然后根据对应边成比例列出方程，建立适当的数学模型来解决问题．
10．如图，图中的每个小方格都是边长为1的小正方形，每个小正方形的顶点称为格点．若△ABC与△A1B1C1是位似图形，且顶点都在格点上，则位似中心的坐标是（ ）
A．（0，9）B．（8，0）C．（9，0）D．（10，0）
【考点】SC：位似变换；D5：坐标与图形性质．
【专题】选择题
【难度】易
【分析】利用位似图形的性质得出对应点的连线的交点即可得出答案．
【解答】解：如图所示：点D即为所求，坐标为：（9，0）．
故选：C．
【点评】此题主要考查了位似变换，利用位似图形的性质得出位似中心的位置是解题关键．
11．如果△ABC∽△DEF，相似比为2：1，且△DEF的面积为4，那么△ABC的面积为（ ）
A．1B．4C．8D．16
【考点】S7：相似三角形的性质．
【专题】选择题
【难度】易
【分析】根据相似三角形面积的比等于相似比的平方解答即可．
【解答】解：∵△ABC∽△DEF，相似比为2：1，
∴△ABC和△DEF的面积比为4：1，又△DEF的面积为4，
∴△ABC的面积为16．
故选：D．
【点评】本题考查的是相似三角形的性质，掌握相似三角形面积的比等于相似比的平方是解题的关键．
12．如图，在平行四边形ABCD中，BE交AC，CD于G，F，交AD的延长线于E，则图中的相似三角形（全等除外）有（ ）
A．3对B．4对C．5对D．6对
【考点】S8：相似三角形的判定；L5：平行四边形的性质．
【专题】选择题
【难度】易
【分析】根据相似三角形的判定来找出共有多少对相似的三角形．
【解答】解：∵AD∥BC，
∴△AGE∽△CGB，△DFE∽△CFB，
∵AB∥CD，
∴△ABG∽△CFG，△ABE∽△CFB，△EDF∽△EAB．
∴共有5对，
故选C．
【点评】本题主要考查的是相似三角形的判定，熟练掌握相似三角形的判定定理是解答此题的关键．
13．已知线段AB=20，点C为线段AB的黄金分割点（AC＞BC），则AC= .
【考点】S3：黄金分割．
【专题】填空题
【难度】中
【分析】根据黄金分割点的定义，知AC为较长线段；则AC=AB，代入数据即可得出AC的值．
【解答】解：∵C为线段AB=20的黄金分割点，且AC＞BC，
∴AC=20×=10﹣10．
故答案为10﹣10．
【点评】本题黄金分割点的概念：把一条线段分成两部分，使其中较长的线段为全线段与较短线段的比例中项，这样的线段分割叫做黄金分割，他们的比值（）叫做黄金比．熟记黄金比的值是解题的关键．
14．在△ABC和△A1B1C1中，下列四个命题：
(1) 若AB=A1B1，AC=A1C1，∠A=∠A1，则△ABC≌△A1B1C1；
(2) 若AB=A1B1，AC=A1C1，∠B=∠B1，则△ABC≌△A1B1C1；
(3) 若∠A=∠A1，∠C=∠C1，则△ABC∽△A1B1C1；
(4) 若AC：A1C1=CB：C1B1，∠C=∠C1，则△ABC∽△A1B1C1.
其中是真命题的为 （填序号）.
【考点】S8：相似三角形的判定；KD：全等三角形的判定与性质；O1：命题与定理．
【专题】填空题
【难度】中
【分析】根据全等三角形的判定方法以及相似三角形的判定方法逐项分析即可．
【解答】解：(1) 若AB=A1B1，AC=A1C1，∠A=∠A1，则△ABC≌△A1B1C1是正确的，利用SAS判定即可；
(2) 若AB=A1B1，AC=A1C1，∠B=∠B1，则△ABC≌△A1B1C1是错误的，SSA不能判定两个三角形全等，角必须是夹角；
(3) 若∠A=∠A1，∠C=∠C1，则△ABC∽△A1B1C1是正确的，根据两对角相等的三角形相似判定即可；
(4) 若AC：A1C1=CB：C1B1，∠C=∠C1，则△ABC∽△A1B1C1是正确的，根据两边及其夹角法：两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似判定即可，
综上可知①③④，
故答案为：①③④．
【点评】本题考查了全等三角形的判定以及相似三角形的判定，解题的关键是熟练掌握其各种判定方法并且灵活运用其各种判定方法．
15．如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，将△ABC沿BD折叠，点C恰巧落在边AB上的C′处，折痕为BD，再将其沿DE折叠，使点A落在DC′的延长线上的A′处.若△BED与△ABC相似，则相似比= .
【考点】S7：相似三角形的性质；PB：翻折变换（折叠问题）．
【专题】填空题
【难度】中
【分析】根据△BED与△ABC相似和△ABC沿BD折叠，点C恰巧落在边AB上的C′处，求出∠A=∠DBA=∠DBC=30°，利用三角函数求出BD、AC的长，得到答案．
【解答】解：△BED与△ABC相似，
∴∠DBA=∠A，又∠DBA=∠DBC，
∴∠A=∠DBA=∠DBC=30°，
设BC为x，
则AC=x，BD=x，
=．
故答案为：．
【点评】本题考查的是相似三角形的性质和翻折变换的知识，掌握相似三角形的对应角相等和锐角三角函数的应用是解题的关键．
16．下列关于位似图形的表述：
①相似图形一定是位似图形，位似图形一定是相似图形；
②位似图形一定有位似中心；
③如果两个图形是相似图形，且每组对应点的连线所在的直线都经过同一个点，那么，这两个图形是位似图形；
④位似图形上任意两点与位似中心的距离之比等于位似比.
其中正确命题的序号是 .
【考点】SC：位似变换．
【专题】填空题
【难度】中
【分析】分别利用位似图形的性质以及位似图形的定义分析得出答案．
【解答】解：①相似图形不一定是位似图形，位似图形一定是相似图形，故此选项错误；
②位似图形一定有位似中心，正确；
③如果两个图形是相似图形，且每组对应点的连线所在的直线都经过同一个点，那么，这两个图形是位似图形，正确；
④位似图形上对应两点与位似中心的距离之比等于位似比，故此选项错误．
故答案为：②③．
【点评】此题主要考查了位似图形的性质以及位似图形的定义，正确利用位似图形的性质分析是解题关键．
17．张华同学的身高为1.6米，某一时刻他在阳光下的影长为2米，与他邻近的一棵树的影长为6米，则这棵树的高为 米.
【考点】SA：相似三角形的应用．
【专题】填空题
【难度】中
【分析】在同一时刻物高和影长成正比，即在同一时刻的两个问题物体，影子，经过物体顶部的太阳光线三者构成的两个直角三角形相似．
【解答】解：据相同时刻的物高与影长成比例，
设这棵树的高度为xm，
则可列比例为，
解得，x=4.8．
故答案为：4.8．
【点评】本题主要考查同一时刻物高和影长成正比，考查利用所学知识解决实际问题的能力．
18．如图所示，C为线段AB上一点，且满足AC：BC=2：3，D为AB的中点，且CD=2cm，则AB= cm.
【考点】S2：比例线段．
【专题】填空题
【难度】中
【分析】根据已知条件先设AC=2x，得出BC=3x，AB=5x，根据D为AB的中点，得出CD=0.5x，再根据CD=2cm，求出x，从而得出AB的长．
【解答】解：∵AC：BC=2：3，
∴设AC=2x，则BC=3x，AB=5x，
∵D为AB的中点，
∴AD=2.5x，
∴CD=0.5x，
∵CD=2cm，
∴x=4，
∴AB=5x=5×4=20cm；
故答案为：20．
【点评】此题考查了比例线段，解题的关键是结合图形，利用线段的和与差即可解答．
19．已知a，b，c，d四个数成比例，且a，d为外项.求证：点（a，b），（c，d）和坐标原点O在同一直线上.
【考点】S2：比例线段．
【专题】解答题
【难度】难
【分析】设经过点O和（a，b）的直线是y=kx，设经过点O和（c，d）的直线的解析式是：y=mx，证明k=m即可证得．
【解答】证明：设经过点O和（a，b）的直线是y=kx，
则b=ak，
则k=，
设经过点O和（c，d）的直线的解析式是：y=mx，则d=cm，
解得：m=，
∵a，b，c，d四个数成比例，
∴=，
∴=，
∴k=m，
则直线y=kx和直线y=mx是同一直线，即点（a，b），（c，d）和坐标原点O在同一直线上．
【点评】本题考查了待定系数法求函数解析式以及比例线段的定义，理解证明的思路是关键．
20．如图，在正五边形ABCDE中，对角线AC，BE相交于点F，F是线段BE、AC的黄金分割线吗？为什么？
【考点】S3：黄金分割．
【专题】解答题
【难度】难
【分析】根据正五边形的性质得到∠ABC=∠BAE=108°，AB=BC=AE，则利用三角形内角和和等腰三角形的性质计算出∠BAC=∠BCA=36°，∠ABE=∠AEB=36°，易得∠CBF=72°，∠CFB=72°，所以CB=CF，再证明△ABF∽△ACB，则AB：AC=AF：AB，所以CF：AC=AF：CF，根据黄金分割的定义得到点F是线段AC的黄金分割点，用同样的方法可得F是线段BE的黄金分割点．
【解答】解：F是线段BE、AC的黄金分割点．理由如下：
∵五边形ABCDE是正五边形，
∴∠ABC=∠BAE=108°，AB=BC=AE，
∴∠BAC=∠BCA=36°，∠ABE=∠AEB=36°，
∴∠CBF=72°，∠CFB=72°，
∴CB=CF，
∵∠ABF=∠ACB=36°，
∴△ABF∽△ACB，
∴AB：AC=AF：AB，
∴CF：AC=AF：CF，
∴点F是线段AC的黄金分割点，
同理可得F是线段BE的黄金分割点．
【点评】本题考查了黄金分割：把线段AB分成两条线段AC和BC（AC＞BC），且使AC是AB和BC的比例中项（即AB：AC=AC：BC），叫做把线段AB黄金分割，点C叫做线段AB的黄金分割点．其中AC=AB≈0.618AB，并且线段AB的黄金分割点有两个．黄金三角形分两种：①等腰三角形，两个底角为72°，顶角为36°．这样的三角形的底与一腰之长之比为黄金比；②等腰三角形，两个底角为36°，顶角为108°；这种三角形一腰与底边之长之比为黄金比．也考查了正五边形的性质．
21．已知：如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，点E、F分别是边BC、CD的中点，直线EF交边AD的延长线于点M，交边AB的延长线于点N，连接BD.
(1) 求证：四边形DBEM是平行四边形；
(2) 连接CM，当四边形ABCM为平行四边形时，求证：MN=2DB.
【考点】S4：平行线分线段成比例；L7：平行四边形的判定与性质；LH：梯形．
【专题】解答题
【难度】难
【分析】(1) 首先根据三角形中位线定理可得EF∥BD，再有条件AD∥BC，可根据两边互相平行的四边形是平行四边形，可判定四边形DBEM是平行四边形；
(2) 首先根据平行线分线段成比例定理可得=，再根据BE=CE，可得BN=CM，进而得到AB=BN，再由EF∥BD，可得=，进而得到MN=2DB．
【解答】证明：(1) ∵点E、F分别是边BC、CD的中点，
∴EF∥BD，
又∵AD∥BC，
∴四边形DBEM是平行四边形；
(2) ∵四边形ABCM为平行四边形，
∴AB=CM，AB∥CM，
∴=，
∵BE=CE，
∴BN=CM，
∴AB=BN，
∵EF∥BD，
∴=．
∴MN=2DB．
【点评】此题主要考查了三角形中位线定理，以及平行四边形的判定、平行线分线段成比例定理，关键是熟练掌握平行线分线段成比例定理：
定理1：三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例．
定理2：如果一条直线截三角形的两边（或两边的延长线）所得的对应线段成比例，那么这条直线平行于三角形的第三边．
定理3：平行于三角形的一边，并且和其他两边（或两边的延长线）相交的直线，所截得的三角形的三边与原三角形的三边对应成比例．
22．已知：如图，在矩形ABCD中，E为AD的中点，EF⊥EC交AB于F（AB＞AE）.问：△AEF与△EFC是否相似？若相似，证明你的结论；若不相似，请说明理由.
【考点】S8：相似三角形的判定；LB：矩形的性质．
【专题】解答题
【难度】难
【分析】延长FE和CD交于P，求出等腰三角形PCF，推出∠PCE=∠FCE，根据△AFE∽△DEC推出∠AEF=∠PCE，推出∠A=∠FEC，∠AEF=∠ECF，根据相似三角形的判定推出即可．
【解答】答：相似．
证明：延长FE和CD交于P，
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠A=∠ADC=∠EDP=90°，
∵E为AD中点，
∴AE=DE，
在△AFE和△DPE中，，
∴△AFE≌△DPE（ASA），
∴PE=EF，
∵EC⊥EF，
∴PC=FC，
∴∠PCE=∠FCE，
∵CE⊥EF，∠A=90°，
∴∠FEC=90°，
∴∠AEF+∠DEC=90°，∠AEF+∠AFE=90°，
∴∠AFE=∠DEC，
即∠A=∠EDC，∠AFE=∠DEC，
∴△AFE∽△DEC，
∴∠AEF=∠DCE，
∵∠DCE=∠FCE，
∴∠AEF=∠ECF，
∵∠A=∠FEC=90°，
∴△AFE∽△EFC．
【点评】本题考查了相似三角形的性质和判定，线段垂直平分线性质，等腰三角形的性质和判定，矩形的性质等知识点的综合运用．
23．如图，已知△ACE∽△BDE，AC=6，BD=3，AB=12，CD=18.求AE和DE的长.
【考点】S7：相似三角形的性质．
【专题】解答题
【难度】难
【分析】根据相似三角形对应边成比例求出=，再求解即可．
【解答】解：∵△ACE∽△BDE，
∴==，
∵AC=6，BD=3，
∴==2，
∴AE=18×=12，
DE=18×=6．
【点评】本题考查了相似三角形对应边成比例的性质，熟记性质是解题的关键．
24．如图，已知A（﹣4，0），B（0，4），现以A点为位似中心，相似比为9：4，将OB向右侧放大，B点的对应点为C.
(1) 求C点坐标及直线BC的解析式；
(2) 一抛物线经过B、C两点，且顶点落在x轴正半轴上，求该抛物线的解析式并画出函数图象；
(3) 现将直线BC绕B点旋转与抛物线相交于另一点P，请找出抛物线上所有满足到直线AB距离为的点P.
【考点】SC：位似变换；F9：一次函数图象与几何变换；FA：待定系数法求一次函数解析式；H2：二次函数的图象；H8：待定系数法求二次函数解析式．
【专题】解答题
【难度】难
【分析】(1) 利用相似及相似比，可得到C的坐标．把A，B代入一次函数解析式即可求得解析式的坐标．
(2) 顶点落在x轴正半轴上说明此函数解析式与x轴有一个交点，那么△=0，再把B，C两点即可．
(3) 到直线AB的距离为的直线有两条，可求出这两条直线解析式，和二次函数解析式组成方程组，求得点P坐标．
【解答】解：(1) 过C点向x轴作垂线，垂足为D，由位似图形性质可知△ABO∽△ACD，
∴．
由已知A（﹣4，0），B（0，4）可知
AO=4，BO=4．
∴AD=CD=9，
∴C点坐标为（5，9），
设直线BC的解析式为y=kx+b，
∵A（﹣4，0），B（0，4）在一次函数解析式上，那么
﹣4k+b=0，b=4，
解得k=1，
化简得y=x+4；
(2) 设抛物线解析式为y=ax2+bx+c（a＞0），由题意得，
解得，，
∴解得抛物线解析式为y1=x2﹣4x+4或y2=x2+x+4，
又∵y2=x2+x+4的顶点在x轴负半轴上，不合题意，故舍去．
∴满足条件的抛物线解析式为y=x2﹣4x+4，
（准确画出函数y=x2﹣4x+4图象）
(3) 将直线BC绕B点旋转与抛物线相交于另一点P，设P到直线AB的距离为h，
故P点应在与直线AB平行，且相距的上下两条平行直线l1和l2上．
由平行线的性质可得
两条平行直线与y轴的交点到直线BC的距离也为．
如图，设l1与y轴交于E点，过E作EF⊥BC于F点，
在Rt△BEF中EF=h=，∠EBF=∠ABO=45°，
∴BE=6．
∴可以求得直线l1与y轴交点坐标为（0，10），
同理可求得直线l2与y轴交点坐标为（0，﹣2），
∴两直线解析式l1：y=x+10；l2：y=x﹣2．
根据题意列出方程组：
(1) ；(2) ，
解得；；；，
∴满足条件的点P有四个，
它们分别是P1（6，16），P2（﹣1，9），P3（2，0），P4（3，1）．
【点评】本题用到的知识点为：可把位似比转换为相似三角形的相似比；到一条直线的距离为定值的直线是平行于已知直线的两条直线；平行直线的k的值相等．
一、选择题
1．已知x：y：z=3：4：6，则的值为（ ）
A．B．1C．D．
2．如图，顶角为36°的等腰三角形，其底边与腰之比等k，这样的三角形称为黄金三角形.已知腰AB=1，△ABC为第一个黄金三角形，△BCD为第二个黄金三角形，△CDE为第三个黄金三角形，以此类推，第2014个黄金三角形的周长（ ）
A．k2013B．k2014C．D．k2013（2+k）
3．如图，AD∥BE∥CF，直线l1、l2与这三条平行线分别交于点A、B、C和点D、E、F，若AB=3，BC=6，DF=6，则DE的长等于（ ）
A．2B．3C．4D．6
4．下列说法中，正确的有（ ）个．
①全等三角形的对应角相等
②全等三角形的对应边相等
③全等三角形的周长相等
④相似三角形的对应角相等
⑤相似三角形的对应边成比例.
A．6B．5C．4D．3
5．如图，在等腰直角△ACB中，∠ACB=90°，O是斜边AB的中点，点D、E分别在直角边AC、BC上，且∠DOE=90°，DE交OC于点P，则下列结论
(1) △AOD≌△COE；(2) OE=OD；(3) △EOP∽△CDP.
其中正确的结论是（ ）
A．0个B．1个C．2个D．3个
6．两个相似三角形的相似比是2：3，则这两个三角形的面积比是（ ）
A．：B．2：3C．2：5D．4：9
7．如图，表示△AOB以O为位似中心，扩大到△COD，各点坐标分别为：A（1，2）、B（3，0）、D（6，0），则点C坐标为（ ）
A．（2，3）B．（2，4）C．（3，3）D．（3，4）
8．为了测量被池塘隔开的A，B两点之间的距离，根据实际情况，作出如图所示图形，其中AB⊥BE，EF⊥BE，AF交BE于D，C在BD上.有四位同学分别测量出以下四组数据，根据所测数据不能求出A，B间距离的是（ ）
A．BC，∠ACBB．DE，DC，BCC．EF，DE，BDD．CD，∠ACB，∠ADB
9．如图是孔明设计用手电来测量某古城墙高度的示意图.点P处放一水平的平面镜，光线从点A出发经平面镜反射后刚好射到古城墙CD的顶端C处，已知 AB⊥BD，CD⊥BD，且测得AB=6米，BP=9米，PD=15米，那么该古城墙的高度是（ ）
A．6米B．8米C．10米D．15米
10．如图，图中的每个小方格都是边长为1的小正方形，每个小正方形的顶点称为格点．若△ABC与△A1B1C1是位似图形，且顶点都在格点上，则位似中心的坐标是（ ）
A．（0，9）B．（8，0）C．（9，0）D．（10，0）
11．如果△ABC∽△DEF，相似比为2：1，且△DEF的面积为4，那么△ABC的面积为（ ）
A．1B．4C．8D．16
12．如图，在平行四边形ABCD中，BE交AC，CD于G，F，交AD的延长线于E，则图中的相似三角形（全等除外）有（ ）
A．3对B．4对C．5对D．6对
二、填空题
13．已知线段AB=20，点C为线段AB的黄金分割点（AC＞BC），则AC= .
14．在△ABC和△A1B1C1中，下列四个命题：
(1) 若AB=A1B1，AC=A1C1，∠A=∠A1，则△ABC≌△A1B1C1；
(2) 若AB=A1B1，AC=A1C1，∠B=∠B1，则△ABC≌△A1B1C1；
(3) 若∠A=∠A1，∠C=∠C1，则△ABC∽△A1B1C1；
(4) 若AC：A1C1=CB：C1B1，∠C=∠C1，则△ABC∽△A1B1C1.
其中是真命题的为 （填序号）.
15．如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，将△ABC沿BD折叠，点C恰巧落在边AB上的C′处，折痕为BD，再将其沿DE折叠，使点A落在DC′的延长线上的A′处.若△BED与△ABC相似，则相似比= .
16．下列关于位似图形的表述：
①相似图形一定是位似图形，位似图形一定是相似图形；
②位似图形一定有位似中心；
③如果两个图形是相似图形，且每组对应点的连线所在的直线都经过同一个点，那么，这两个图形是位似图形；
④位似图形上任意两点与位似中心的距离之比等于位似比.
其中正确命题的序号是 .
17．张华同学的身高为1.6米，某一时刻他在阳光下的影长为2米，与他邻近的一棵树的影长为6米，则这棵树的高为 米.
18．如图所示，C为线段AB上一点，且满足AC：BC=2：3，D为AB的中点，且CD=2cm，则AB= cm.
三、解答题
19．已知a，b，c，d四个数成比例，且a，d为外项.求证：点（a，b），（c，d）和坐标原点O在同一直线上.
20．如图，在正五边形ABCDE中，对角线AC，BE相交于点F，F是线段BE、AC的黄金分割线吗？为什么？
21．已知：如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，点E、F分别是边BC、CD的中点，直线EF交边AD的延长线于点M，交边AB的延长线于点N，连接BD.
(1) 求证：四边形DBEM是平行四边形；
(2) 连接CM，当四边形ABCM为平行四边形时，求证：MN=2DB.
22．已知：如图，在矩形ABCD中，E为AD的中点，EF⊥EC交AB于F（AB＞AE）.问：△AEF与△EFC是否相似？若相似，证明你的结论；若不相似，请说明理由.
23．如图，已知△ACE∽△BDE，AC=6，BD=3，AB=12，CD=18.求AE和DE的长.
24．如图，已知A（﹣4，0），B（0，4），现以A点为位似中心，相似比为9：4，将OB向右侧放大，B点的对应点为C.
(1) 求C点坐标及直线BC的解析式；
(2) 一抛物线经过B、C两点，且顶点落在x轴正半轴上，求该抛物线的解析式并画出函数图象；
(3) 现将直线BC绕B点旋转与抛物线相交于另一点P，请找出抛物线上所有满足到直线AB距离为的点P.
答案
1．已知x：y：z=3：4：6，则的值为（ ）
A．B．1C．D．
【考点】S1：比例的性质．
【专题】选择题
【难度】易
【分析】根据比例的性质，可用x表示y，用x表示z，根据分式的性质，可得答案．
【解答】解：由x：y：z=3：4：6，得
y=，z=2x．
==．
故选：A．
【点评】本题考查了比例的性质，利用比例的性质得出y=，z=2x是解题关键．
2．如图，顶角为36°的等腰三角形，其底边与腰之比等k，这样的三角形称为黄金三角形.已知腰AB=1，△ABC为第一个黄金三角形，△BCD为第二个黄金三角形，△CDE为第三个黄金三角形，以此类推，第2014个黄金三角形的周长（ ）
A．k2013B．k2014C．D．k2013（2+k）
【考点】S3：黄金分割．
【专题】选择题
【难度】易
【分析】根据相似三角形对应角相等，对应边成比例，求出前几个三角形的周长，进而找出规律：第n个黄金三角形的周长为kn﹣1（2+k），从而得出答案．
【解答】解：∵AB=AC=1，
∴△ABC的周长为2+k；
△BCD的周长为k+k+k2=k（2+k）；
△CDE的周长为k2+k2+k3=k2（2+k）；
依此类推，第2014个黄金三角形的周长为k2013（2+k）．
故选D．
【点评】本题考查了黄金三角形，用到的知识点是黄金分割的定义和相似三角形的性质，找出各个三角形周长之间的关系，得出规律是本题的关键．
3．如图，AD∥BE∥CF，直线l1、l2与这三条平行线分别交于点A、B、C和点D、E、F，若AB=3，BC=6，DF=6，则DE的长等于（ ）
A．2B．3C．4D．6
【考点】S4：平行线分线段成比例
【专题】选择题
【难度】易
【分析】根据平行线分线段成比例定理列出比例式，计算即可．
【解答】解：∵AD∥BE∥CF，
∴=，即=，
解得，DE=2，
故选：A．
【点评】本题考查的是平行线分线段成比例定理的应用，灵活运用定理、找准对应关系是解题的关键．
4．下列说法中，正确的有（ ）个．
①全等三角形的对应角相等
②全等三角形的对应边相等
③全等三角形的周长相等
④相似三角形的对应角相等
⑤相似三角形的对应边成比例.
A．6B．5C．4D．3
【考点】S5：相似图形；K9：全等图形．
【专题】选择题
【难度】易
【分析】理清相似三角形以及全等三角形的判定及性质，即可熟练求解此题．
【解答】解：①全等三角形的对应角相等，正确；
②全等三角形的对应边相等，正确；
③全等三角形的周长相等，正确；
④相似三角形的对应角相等，正确；
⑤相似三角形的对应边成比例，正确；
故选B
【点评】本题主要考查了全等和相似三角形的判定及性质，关键是能够掌握并熟练运用全等和相似三角形的性质．
5．如图，在等腰直角△ACB中，∠ACB=90°，O是斜边AB的中点，点D、E分别在直角边AC、BC上，且∠DOE=90°，DE交OC于点P，则下列结论
(1) △AOD≌△COE；(2) OE=OD；(3) △EOP∽△CDP.
其中正确的结论是（ ）
A．0个B．1个C．2个D．3个
【考点】S8：相似三角形的判定；KD：全等三角形的判定与性质；KW：等腰直角三角形．
【专题】选择题
【难度】易
【分析】根据等腰直角三角形的性质，以及直角三角形斜边中线定理首先证明△AOD≌△COE（ASA），推出OE=OD，∠OED=∠PCD=45°即可解决问题．
【解答】解：∵在等腰直角△ACB中，∠ACB=90°，O是斜边AB的中点，
∴∠A=∠B=∠ACO=45°，OA=OC=OB，∠AOC=90°=∠DOE，
∴∠AOD=∠COE=90°﹣∠DOC，
在△AOD与△COE中，
，
∴△AOD≌△COE（ASA），
∴OD=OE，故①②正确，
∵∠EOD=90°，
∴∠OED=45°，
∵∠ACB=90°，BC=AC，OB=OA，
∴∠PCD=∠PCE=45°，
∴∠OEP=∠DCP，∵∠EPO=∠CPD，
∴△△EOP∽△CDP，故③正确，
故选D．
【点评】本题考查等腰直角三角形的性质、全等三角形的判定和性质、相似三角形的判定和性质等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形的条件，以及三角形相似的条件，属于基础题，中考常考题型．
6．两个相似三角形的相似比是2：3，则这两个三角形的面积比是（ ）
A．：B．2：3C．2：5D．4：9
【考点】S7：相似三角形的性质．
【专题】选择题
【难度】易
【分析】根据相似三角形面积的比等于相似比的平方解答即可．
【解答】解：∵两个相似三角形的相似比是2：3，
∴这两个三角形的面积比是4：9，
故选D．
【点评】本题考查的是相似三角形的性质，掌握相似三角形面积的比等于相似比的平方是解题的关键．
7．如图，表示△AOB以O为位似中心，扩大到△COD，各点坐标分别为：A（1，2）、B（3，0）、D（6，0），则点C坐标为（ ）
A．（2，3）B．（2，4）C．（3，3）D．（3，4）
【考点】SC：位似变换；D5：坐标与图形性质．
【专题】选择题
【难度】易
【分析】利用位似图形的性质结合两图形的位似比进而得出C点坐标．
【解答】解：∵△AOB以O为位似中心，扩大到△COD，各点坐标分别为：A（1，2）、B（3，0）、D（6，0），
∴点C坐标为：（2，4）．
故选：B．
【点评】此题主要考查了位似图形的性质，利用两图形的位似比得出对应点横纵坐标关系是解题关键．
8．为了测量被池塘隔开的A，B两点之间的距离，根据实际情况，作出如图所示图形，其中AB⊥BE，EF⊥BE，AF交BE于D，C在BD上.有四位同学分别测量出以下四组数据，根据所测数据不能求出A，B间距离的是（ ）
A．BC，∠ACBB．DE，DC，BCC．EF，DE，BDD．CD，∠ACB，∠ADB
【考点】SA：相似三角形的应用．
【专题】选择题
【难度】易
【分析】根据三角形相似可知，要求出AB，只需求出EF即可．所以借助于相似三角形的性质，根据即可解答．
【解答】解：此题比较综合，要多方面考虑，
A、因为知道∠ACB和BC的长，所以可利用∠ACB的正切来求AB的长；
B、无法求出A，B间距离．
C、因为△ABD∽△EFD，可利用，求出AB；
D、可利用∠ACB和∠ADB的正切求出AB；
据所测数据不能求出A，B间距离的是选项B；
故选：B．
【点评】本题考查相似三角形的应用和解直角三角形的应用；将实际问题转化为数学问题是解决问题的关键．
9．如图是孔明设计用手电来测量某古城墙高度的示意图.点P处放一水平的平面镜，光线从点A出发经平面镜反射后刚好射到古城墙CD的顶端C处，已知 AB⊥BD，CD⊥BD，且测得AB=6米，BP=9米，PD=15米，那么该古城墙的高度是（ ）
A．6米B．8米C．10米D．15米
【考点】SA：相似三角形的应用．
【专题】选择题
【难度】易
【分析】因为孔明和古城墙均和地面垂直，且光线的入射角等于反射角，因此构成一组相似三角形，利用对应边成比例即可解答．
【解答】解：根据题意，容易得到△ABP∽△PDC．
即CD：AB=PD：BP，
∵AB=6米，BP=9米，PD=15米，
∴CD=×AB=10；
那么该古城墙的高度是10米．
故选C．
【点评】本题考查相似三角形性质的应用．解题时关键是找出相似的三角形，然后根据对应边成比例列出方程，建立适当的数学模型来解决问题．
10．如图，图中的每个小方格都是边长为1的小正方形，每个小正方形的顶点称为格点．若△ABC与△A1B1C1是位似图形，且顶点都在格点上，则位似中心的坐标是（ ）
A．（0，9）B．（8，0）C．（9，0）D．（10，0）
【考点】SC：位似变换；D5：坐标与图形性质．
【专题】选择题
【难度】易
【分析】利用位似图形的性质得出对应点的连线的交点即可得出答案．
【解答】解：如图所示：点D即为所求，坐标为：（9，0）．
故选：C．
【点评】此题主要考查了位似变换，利用位似图形的性质得出位似中心的位置是解题关键．
11．如果△ABC∽△DEF，相似比为2：1，且△DEF的面积为4，那么△ABC的面积为（ ）
A．1B．4C．8D．16
【考点】S7：相似三角形的性质．
【专题】选择题
【难度】易
【分析】根据相似三角形面积的比等于相似比的平方解答即可．
【解答】解：∵△ABC∽△DEF，相似比为2：1，
∴△ABC和△DEF的面积比为4：1，又△DEF的面积为4，
∴△ABC的面积为16．
故选：D．
【点评】本题考查的是相似三角形的性质，掌握相似三角形面积的比等于相似比的平方是解题的关键．
12．如图，在平行四边形ABCD中，BE交AC，CD于G，F，交AD的延长线于E，则图中的相似三角形（全等除外）有（ ）
A．3对B．4对C．5对D．6对
【考点】S8：相似三角形的判定；L5：平行四边形的性质．
【专题】选择题
【难度】易
【分析】根据相似三角形的判定来找出共有多少对相似的三角形．
【解答】解：∵AD∥BC，
∴△AGE∽△CGB，△DFE∽△CFB，
∵AB∥CD，
∴△ABG∽△CFG，△ABE∽△CFB，△EDF∽△EAB．
∴共有5对，
故选C．
【点评】本题主要考查的是相似三角形的判定，熟练掌握相似三角形的判定定理是解答此题的关键．
13．已知线段AB=20，点C为线段AB的黄金分割点（AC＞BC），则AC= .
【考点】S3：黄金分割．
【专题】填空题
【难度】中
【分析】根据黄金分割点的定义，知AC为较长线段；则AC=AB，代入数据即可得出AC的值．
【解答】解：∵C为线段AB=20的黄金分割点，且AC＞BC，
∴AC=20×=10﹣10．
故答案为10﹣10．
【点评】本题黄金分割点的概念：把一条线段分成两部分，使其中较长的线段为全线段与较短线段的比例中项，这样的线段分割叫做黄金分割，他们的比值（）叫做黄金比．熟记黄金比的值是解题的关键．
14．在△ABC和△A1B1C1中，下列四个命题：
(1) 若AB=A1B1，AC=A1C1，∠A=∠A1，则△ABC≌△A1B1C1；
(2) 若AB=A1B1，AC=A1C1，∠B=∠B1，则△ABC≌△A1B1C1；
(3) 若∠A=∠A1，∠C=∠C1，则△ABC∽△A1B1C1；
(4) 若AC：A1C1=CB：C1B1，∠C=∠C1，则△ABC∽△A1B1C1.
其中是真命题的为 （填序号）.
【考点】S8：相似三角形的判定；KD：全等三角形的判定与性质；O1：命题与定理．
【专题】填空题
【难度】中
【分析】根据全等三角形的判定方法以及相似三角形的判定方法逐项分析即可．
【解答】解：(1) 若AB=A1B1，AC=A1C1，∠A=∠A1，则△ABC≌△A1B1C1是正确的，利用SAS判定即可；
(2) 若AB=A1B1，AC=A1C1，∠B=∠B1，则△ABC≌△A1B1C1是错误的，SSA不能判定两个三角形全等，角必须是夹角；
(3) 若∠A=∠A1，∠C=∠C1，则△ABC∽△A1B1C1是正确的，根据两对角相等的三角形相似判定即可；
(4) 若AC：A1C1=CB：C1B1，∠C=∠C1，则△ABC∽△A1B1C1是正确的，根据两边及其夹角法：两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似判定即可，
综上可知①③④，
故答案为：①③④．
【点评】本题考查了全等三角形的判定以及相似三角形的判定，解题的关键是熟练掌握其各种判定方法并且灵活运用其各种判定方法．
15．如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，将△ABC沿BD折叠，点C恰巧落在边AB上的C′处，折痕为BD，再将其沿DE折叠，使点A落在DC′的延长线上的A′处.若△BED与△ABC相似，则相似比= .
【考点】S7：相似三角形的性质；PB：翻折变换（折叠问题）．
【专题】填空题
【难度】中
【分析】根据△BED与△ABC相似和△ABC沿BD折叠，点C恰巧落在边AB上的C′处，求出∠A=∠DBA=∠DBC=30°，利用三角函数求出BD、AC的长，得到答案．
【解答】解：△BED与△ABC相似，
∴∠DBA=∠A，又∠DBA=∠DBC，
∴∠A=∠DBA=∠DBC=30°，
设BC为x，
则AC=x，BD=x，
=．
故答案为：．
【点评】本题考查的是相似三角形的性质和翻折变换的知识，掌握相似三角形的对应角相等和锐角三角函数的应用是解题的关键．
16．下列关于位似图形的表述：
①相似图形一定是位似图形，位似图形一定是相似图形；
②位似图形一定有位似中心；
③如果两个图形是相似图形，且每组对应点的连线所在的直线都经过同一个点，那么，这两个图形是位似图形；
④位似图形上任意两点与位似中心的距离之比等于位似比.
其中正确命题的序号是 .
【考点】SC：位似变换．
【专题】填空题
【难度】中
【分析】分别利用位似图形的性质以及位似图形的定义分析得出答案．
【解答】解：①相似图形不一定是位似图形，位似图形一定是相似图形，故此选项错误；
②位似图形一定有位似中心，正确；
③如果两个图形是相似图形，且每组对应点的连线所在的直线都经过同一个点，那么，这两个图形是位似图形，正确；
④位似图形上对应两点与位似中心的距离之比等于位似比，故此选项错误．
故答案为：②③．
【点评】此题主要考查了位似图形的性质以及位似图形的定义，正确利用位似图形的性质分析是解题关键．
17．张华同学的身高为1.6米，某一时刻他在阳光下的影长为2米，与他邻近的一棵树的影长为6米，则这棵树的高为 米.
【考点】SA：相似三角形的应用．
【专题】填空题
【难度】中
【分析】在同一时刻物高和影长成正比，即在同一时刻的两个问题物体，影子，经过物体顶部的太阳光线三者构成的两个直角三角形相似．
【解答】解：据相同时刻的物高与影长成比例，
设这棵树的高度为xm，
则可列比例为，
解得，x=4.8．
故答案为：4.8．
【点评】本题主要考查同一时刻物高和影长成正比，考查利用所学知识解决实际问题的能力．
18．如图所示，C为线段AB上一点，且满足AC：BC=2：3，D为AB的中点，且CD=2cm，则AB= cm.
【考点】S2：比例线段．
【专题】填空题
【难度】中
【分析】根据已知条件先设AC=2x，得出BC=3x，AB=5x，根据D为AB的中点，得出CD=0.5x，再根据CD=2cm，求出x，从而得出AB的长．
【解答】解：∵AC：BC=2：3，
∴设AC=2x，则BC=3x，AB=5x，
∵D为AB的中点，
∴AD=2.5x，
∴CD=0.5x，
∵CD=2cm，
∴x=4，
∴AB=5x=5×4=20cm；
故答案为：20．
【点评】此题考查了比例线段，解题的关键是结合图形，利用线段的和与差即可解答．
19．已知a，b，c，d四个数成比例，且a，d为外项.求证：点（a，b），（c，d）和坐标原点O在同一直线上.
【考点】S2：比例线段．
【专题】解答题
【难度】难
【分析】设经过点O和（a，b）的直线是y=kx，设经过点O和（c，d）的直线的解析式是：y=mx，证明k=m即可证得．
【解答】证明：设经过点O和（a，b）的直线是y=kx，
则b=ak，
则k=，
设经过点O和（c，d）的直线的解析式是：y=mx，则d=cm，
解得：m=，
∵a，b，c，d四个数成比例，
∴=，
∴=，
∴k=m，
则直线y=kx和直线y=mx是同一直线，即点（a，b），（c，d）和坐标原点O在同一直线上．
【点评】本题考查了待定系数法求函数解析式以及比例线段的定义，理解证明的思路是关键．
20．如图，在正五边形ABCDE中，对角线AC，BE相交于点F，F是线段BE、AC的黄金分割线吗？为什么？
【考点】S3：黄金分割．
【专题】解答题
【难度】难
【分析】根据正五边形的性质得到∠ABC=∠BAE=108°，AB=BC=AE，则利用三角形内角和和等腰三角形的性质计算出∠BAC=∠BCA=36°，∠ABE=∠AEB=36°，易得∠CBF=72°，∠CFB=72°，所以CB=CF，再证明△ABF∽△ACB，则AB：AC=AF：AB，所以CF：AC=AF：CF，根据黄金分割的定义得到点F是线段AC的黄金分割点，用同样的方法可得F是线段BE的黄金分割点．
【解答】解：F是线段BE、AC的黄金分割点．理由如下：
∵五边形ABCDE是正五边形，
∴∠ABC=∠BAE=108°，AB=BC=AE，
∴∠BAC=∠BCA=36°，∠ABE=∠AEB=36°，
∴∠CBF=72°，∠CFB=72°，
∴CB=CF，
∵∠ABF=∠ACB=36°，
∴△ABF∽△ACB，
∴AB：AC=AF：AB，
∴CF：AC=AF：CF，
∴点F是线段AC的黄金分割点，
同理可得F是线段BE的黄金分割点．
【点评】本题考查了黄金分割：把线段AB分成两条线段AC和BC（AC＞BC），且使AC是AB和BC的比例中项（即AB：AC=AC：BC），叫做把线段AB黄金分割，点C叫做线段AB的黄金分割点．其中AC=AB≈0.618AB，并且线段AB的黄金分割点有两个．黄金三角形分两种：①等腰三角形，两个底角为72°，顶角为36°．这样的三角形的底与一腰之长之比为黄金比；②等腰三角形，两个底角为36°，顶角为108°；这种三角形一腰与底边之长之比为黄金比．也考查了正五边形的性质．
21．已知：如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，点E、F分别是边BC、CD的中点，直线EF交边AD的延长线于点M，交边AB的延长线于点N，连接BD.
(1) 求证：四边形DBEM是平行四边形；
(2) 连接CM，当四边形ABCM为平行四边形时，求证：MN=2DB.
【考点】S4：平行线分线段成比例；L7：平行四边形的判定与性质；LH：梯形．
【专题】解答题
【难度】难
【分析】(1) 首先根据三角形中位线定理可得EF∥BD，再有条件AD∥BC，可根据两边互相平行的四边形是平行四边形，可判定四边形DBEM是平行四边形；
(2) 首先根据平行线分线段成比例定理可得=，再根据BE=CE，可得BN=CM，进而得到AB=BN，再由EF∥BD，可得=，进而得到MN=2DB．
【解答】证明：(1) ∵点E、F分别是边BC、CD的中点，
∴EF∥BD，
又∵AD∥BC，
∴四边形DBEM是平行四边形；
(2) ∵四边形ABCM为平行四边形，
∴AB=CM，AB∥CM，
∴=，
∵BE=CE，
∴BN=CM，
∴AB=BN，
∵EF∥BD，
∴=．
∴MN=2DB．
【点评】此题主要考查了三角形中位线定理，以及平行四边形的判定、平行线分线段成比例定理，关键是熟练掌握平行线分线段成比例定理：
定理1：三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例．
定理2：如果一条直线截三角形的两边（或两边的延长线）所得的对应线段成比例，那么这条直线平行于三角形的第三边．
定理3：平行于三角形的一边，并且和其他两边（或两边的延长线）相交的直线，所截得的三角形的三边与原三角形的三边对应成比例．
22．已知：如图，在矩形ABCD中，E为AD的中点，EF⊥EC交AB于F（AB＞AE）.问：△AEF与△EFC是否相似？若相似，证明你的结论；若不相似，请说明理由.
【考点】S8：相似三角形的判定；LB：矩形的性质．
【专题】解答题
【难度】难
【分析】延长FE和CD交于P，求出等腰三角形PCF，推出∠PCE=∠FCE，根据△AFE∽△DEC推出∠AEF=∠PCE，推出∠A=∠FEC，∠AEF=∠ECF，根据相似三角形的判定推出即可．
【解答】答：相似．
证明：延长FE和CD交于P，
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠A=∠ADC=∠EDP=90°，
∵E为AD中点，
∴AE=DE，
在△AFE和△DPE中，，
∴△AFE≌△DPE（ASA），
∴PE=EF，
∵EC⊥EF，
∴PC=FC，
∴∠PCE=∠FCE，
∵CE⊥EF，∠A=90°，
∴∠FEC=90°，
∴∠AEF+∠DEC=90°，∠AEF+∠AFE=90°，
∴∠AFE=∠DEC，
即∠A=∠EDC，∠AFE=∠DEC，
∴△AFE∽△DEC，
∴∠AEF=∠DCE，
∵∠DCE=∠FCE，
∴∠AEF=∠ECF，
∵∠A=∠FEC=90°，
∴△AFE∽△EFC．
【点评】本题考查了相似三角形的性质和判定，线段垂直平分线性质，等腰三角形的性质和判定，矩形的性质等知识点的综合运用．
23．如图，已知△ACE∽△BDE，AC=6，BD=3，AB=12，CD=18.求AE和DE的长.
【考点】S7：相似三角形的性质．
【专题】解答题
【难度】难
【分析】根据相似三角形对应边成比例求出=，再求解即可．
【解答】解：∵△ACE∽△BDE，
∴==，
∵AC=6，BD=3，
∴==2，
∴AE=18×=12，
DE=18×=6．
【点评】本题考查了相似三角形对应边成比例的性质，熟记性质是解题的关键．
24．如图，已知A（﹣4，0），B（0，4），现以A点为位似中心，相似比为9：4，将OB向右侧放大，B点的对应点为C.
(1) 求C点坐标及直线BC的解析式；
(2) 一抛物线经过B、C两点，且顶点落在x轴正半轴上，求该抛物线的解析式并画出函数图象；
(3) 现将直线BC绕B点旋转与抛物线相交于另一点P，请找出抛物线上所有满足到直线AB距离为的点P.
【考点】SC：位似变换；F9：一次函数图象与几何变换；FA：待定系数法求一次函数解析式；H2：二次函数的图象；H8：待定系数法求二次函数解析式．
【专题】解答题
【难度】难
【分析】(1) 利用相似及相似比，可得到C的坐标．把A，B代入一次函数解析式即可求得解析式的坐标．
(2) 顶点落在x轴正半轴上说明此函数解析式与x轴有一个交点，那么△=0，再把B，C两点即可．
(3) 到直线AB的距离为的直线有两条，可求出这两条直线解析式，和二次函数解析式组成方程组，求得点P坐标．
【解答】解：(1) 过C点向x轴作垂线，垂足为D，由位似图形性质可知△ABO∽△ACD，
∴．
由已知A（﹣4，0），B（0，4）可知
AO=4，BO=4．
∴AD=CD=9，
∴C点坐标为（5，9），
设直线BC的解析式为y=kx+b，
∵A（﹣4，0），B（0，4）在一次函数解析式上，那么
﹣4k+b=0，b=4，
解得k=1，
化简得y=x+4；
(2) 设抛物线解析式为y=ax2+bx+c（a＞0），由题意得，
解得，，
∴解得抛物线解析式为y1=x2﹣4x+4或y2=x2+x+4，
又∵y2=x2+x+4的顶点在x轴负半轴上，不合题意，故舍去．
∴满足条件的抛物线解析式为y=x2﹣4x+4，
（准确画出函数y=x2﹣4x+4图象）
(3) 将直线BC绕B点旋转与抛物线相交于另一点P，设P到直线AB的距离为h，
故P点应在与直线AB平行，且相距的上下两条平行直线l1和l2上．
由平行线的性质可得
两条平行直线与y轴的交点到直线BC的距离也为．
如图，设l1与y轴交于E点，过E作EF⊥BC于F点，
在Rt△BEF中EF=h=，∠EBF=∠ABO=45°，
∴BE=6．
∴可以求得直线l1与y轴交点坐标为（0，10），
同理可求得直线l2与y轴交点坐标为（0，﹣2），
∴两直线解析式l1：y=x+10；l2：y=x﹣2．
根据题意列出方程组：
(1) ；(2) ，
解得；；；，
∴满足条件的点P有四个，
它们分别是P1（6，16），P2（﹣1，9），P3（2，0），P4（3，1）．
【点评】本题用到的知识点为：可把位似比转换为相似三角形的相似比；到一条直线的距离为定值的直线是平行于已知直线的两条直线；平行直线的k的值相等．
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