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数学第十八章 平行四边形综合与测试课后作业题
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这是一份数学第十八章 平行四边形综合与测试课后作业题，共22页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、选择题
1．菱形具有而矩形不具有的性质是（ ）
A．对角线互相平分B．四条边都相等C．对角相等D．邻角互补
2．关于四边形ABCD：①两组对边分别平行；②两组对边分别相等；③有一组对边平行且相等；④对角线AC和BD相等；以上四个条件中可以判定四边形ABCD是平行四边形的有（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
3．能判定一个四边形是菱形的条件是（ ）
A．对角线相等且互相垂直B．对角线相等且互相平分
C．对角线互相垂直D．对角线互相垂直平分
4．正方形、菱形、矩形都具有的性质是（ ）
A．对角线相等B．对角线互相平分
C．对角线互相垂直D．对角线平分一组对角
5．若顺次连接四边形ABCD各边中点所得四边形是矩形，则四边形ABCD必然是（ ）
A．菱形B．对角线相互垂直的四边形
C．正方形D．对角线相等的四边形
6．下列说法中，不正确的是（ ）
A．有三个角是直角的四边形是矩形B．对角线相等的四边形是矩形
C．对角线互相垂直的矩形是正方形D．对角线互相垂直的平行四边形是菱形
7．如图，矩形ABCD中，DE⊥AC于E，且∠ADE：∠EDC=3：2，则∠BDE的度数为（ ）
A．36°B．18°C．27°D．9°
二、填空题
8．平行四边形ABCD中，∠A=50°，AB=30cm，则∠B= ，DC= cm．
9．平行四边形ABCD的周长为20cm，对角线AC、BD相交于点O，若△BOC的周长比△AOB的周长大2cm，则CD= cm．
10．菱形的两条对角线分别是6cm，8cm，则菱形的边长为 cm，面积
为 cm2．
11．如图，△ABC中，EF是它的中位线，M、N分别是EB、CF的中点，若BC=8cm，那么EF= cm，MN= cm．
12．若矩形的对角线长为8cm，两条对角线的一个交角为60°，则该矩形的边长为 cm和 cm．
13．在▱ABCD中，若添加一个条件 ，则四边形ABCD是矩形；若添加一个条件 ，则四边形ABCD是菱形．
14．如图，在等腰梯形ABCD中，AD∥BC，AD=6cm，BC=8cm，∠B=60°，则AB
= cm．
三、解答题
15．如图，在平行四边形ABCD中，E、F是AC上的两点，且AE=CF．求证：DE=BF．
16．如图，在菱形ABCD中，∠ABC与∠BAD的度数比为1：2，周长是8cm．求：
(1)两条对角线的长度；
(2)菱形的面积．
17．如图所示，矩形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，AE⊥BD，垂足为E，∠1=∠2，OB=6
(1)求∠BOC的度数；
(2)求△DOC的周长．
18．如图：已知在△ABC中，AB=AC，D为BC上任意一点，DE∥AC交AB于E，DF∥AB交AC于F，求证：DE+DF=AC．
19．如图，在菱形ABCD中，E为AD中点，EF⊥AC交CB的延长线于F．
求证：AB与EF互相平分．
答案
1．菱形具有而矩形不具有的性质是（ ）
A．对角线互相平分B．四条边都相等C．对角相等D．邻角互补
【考点】矩形的性质；菱形的性质．
【专题】选择题．
【分析】与平行四边形相比，菱形的四条边相等、对角线互相垂直；矩形四个角是直角，对角线相等．
【解答】解：A、对角线互相平分是平行四边形的基本性质，两者都具有，故A不选；
B、菱形四条边相等而矩形四条边不一定相等，只有矩形为正方形时才相等，故B符合题意；
C、平行四边形对角都相等，故C不选；
D、平行四边形邻角互补，故D不选．
故选B．
【点评】考查菱形和矩形的基本性质．
2．关于四边形ABCD：①两组对边分别平行；②两组对边分别相等；③有一组对边平行且相等；④对角线AC和BD相等；以上四个条件中可以判定四边形ABCD是平行四边形的有（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
【考点】平行四边形的判定．
【专题】选择题．
【分析】平行四边形的五种判定方法分别是：(1)两组对边分别平行的四边形是平行四边形；(2)两组对边分别相等的四边形是平行四边形；(3)一组对边平行且相等的四边形是平行四边形；(4)两组对角分别相等的四边形是平行四边形；(5)对角线互相平分的四边形是平行四边形．按照平行四边形的判定方法进行判断即可．
【解答】解：①符合平行四边形的定义，故①正确；
②两组对边分别相等，符合平行四边形的判定条件，故②正确；
③由一组对边平行且相等，符合平行四边形的判定条件，故③正确；
④对角线互相平分的四边形是平行四边形，故④错误；
所以正确的结论有三个：①②③，
故选C．
【点评】本题考查了平行四边形的判定，熟练掌握平行四边形的定义和判定方法是解答此类题目的关键．
3．能判定一个四边形是菱形的条件是（ ）
A．对角线相等且互相垂直B．对角线相等且互相平分C．对角线互相垂直D．对角线互相垂直平分
【考点】菱形的判定．
【专题】选择题．
【分析】根据菱形的判定方法：对角线互相垂直平分来判断即可．
【解答】解：菱形的判定方法有三种：①定义：一组邻边相等的平行四边形是菱形；
②四边相等；
③对角线互相垂直平分的四边形是菱形．只有D能判定为是菱形，
故选D．
【点评】本题考查菱形对角线互相垂直平分的判定．
4．正方形、菱形、矩形都具有的性质是（ ）
A．对角线相等B．对角线互相平分C．对角线互相垂直D．对角线平分一组对角
【考点】正方形的性质；菱形的性质；矩形的性质．
【专题】选择题．
【分析】根据正方形、菱形、矩形对角线的性质，分析求解即可求得答案．
【解答】解：∵正方形的对角线互相平分，互相垂直，相等且平分一组对角，
菱形的对角线互相平分，互相垂直且平分一组对角，
矩形的对角线互相平分且相等，
∴正方形、菱形、矩形都具有的性质是：对角线互相平分．
故选B．
【点评】此题考查了正方形、菱形、矩形的性质．此题比较简单，注意熟记正方形、菱形、矩形对角线的性质是解此题的关键．
5．若顺次连接四边形ABCD各边中点所得四边形是矩形，则四边形ABCD必然是（ ）
A．菱形B．对角线相互垂直的四边形C．正方形D．对角线相等的四边形
【考点】矩形的判定；三角形中位线定理．
【专题】选择题．
【分析】此题要根据矩形的性质和三角形中位线定理求解；首先根据三角形中位线定理知：所得四边形的对边都平行且相等，那么其必为平行四边形，若所得四边形是矩形，那么邻边互相垂直，故原四边形的对角线必互相垂直，由此得解．
【解答】解：已知：如图，
四边形EFGH是矩形，且E、F、G、H分别是AB、BC、CD、AD的中点，求证：四边形ABCD是对角线垂直的四边形．
证明：由于E、F、G、H分别是AB、BC、CD、AD的中点，
根据三角形中位线定理得：EH∥FG∥BD，EF∥AC∥HG；
∵四边形EFGH是矩形，即EF⊥FG，
∴AC⊥BD；故选B．
【点评】本题主要利用了矩形的性质和三角形中位线定理来求解．
6．下列说法中，不正确的是（ ）
A．有三个角是直角的四边形是矩形B．对角线相等的四边形是矩形C．对角线互相垂直的矩形是正方形D．对角线互相垂直的平行四边形是菱形
【考点】矩形的判定；菱形的判定；正方形的判定．
【专题】选择题．
【分析】根据各四边形的性质对各个选项进行分析从而得出最后答案．
【解答】解：A、正确，有三个角是直角的四边形是矩形是矩形的判定定理；
B、错误，对角线相等的四边形不一定是矩形，对角线相等的平行四边形才是矩形；
C、正确，对角线互相垂直的矩形是正方形；
D、正确，对角线互相垂直的平行四边形是菱形．
故选B．
【点评】考查了对四边形性质与判定的综合运用，特殊四边形之间的相互关系是考查重点．
7．如图，矩形ABCD中，DE⊥AC于E，且∠ADE：∠EDC=3：2，则∠BDE的度数为（ ）
A．36°B．18°C．27°D．9°
【考点】矩形的性质；三角形内角和定理．
【专题】选择题．
【分析】本题首先根据∠ADE：∠EDC=3：2可推出∠ADE以及∠EDC的度数，然后求出△ODC各角的度数便可求出∠BDE．
【解答】解：已知∠ADE：∠EDC=3：2⇒∠ADE=54°，∠EDC=36°，
又因为DE⊥AC，所以∠DCE=90°﹣36°=54°，
根据矩形的性质可得∠DOC=180°﹣2×54°=72°
所以∠BDE=180°﹣∠DOC﹣∠DEO=18°
故选B．
【点评】本题考查的是三角形内角和定理以及矩形的性质，难度一般．
8．平行四边形ABCD中，∠A=50°，AB=30cm，则∠B= ，DC= cm．
【考点】平行四边形的性质．
【专题】填空题．
【分析】根据平行四边形的性质：平行四边形的对边相等且平行，即可求得．
【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，DC=AB=30cm，
∴∠A+∠B=180°，
∵∠A=50°，
∴∠B=130°．
故答案为130°，30．
【点评】此题考查了平行四边形的性质：平行四边形的对边相等且平行．解题时注意数形结合思想的应用．
9．平行四边形ABCD的周长为20cm，对角线AC、BD相交于点O，若△BOC的周长比△AOB的周长大2cm，则CD= cm．
【考点】平行四边形的性质．
【专题】填空题．
【分析】根据平行四边形的性质可知，平行四边形的对角线互相平分，由于△BOC的周长比△AOB的周长大2cm，则BC比AB长7cm，所以根据周长的值可以求出AB，进而求出CD的长．
【解答】解：如图
∵平行四边形的周长为20cm，
∴AB+BC=10cm；
又△BOC的周长比△AOB的周长大2cm，
∴BC﹣AB=2cm，
解得：AB=4cm，BC=6cm．
∵AB=CD，
∴CD=4cm
故答案为：4．
【点评】此题主要考查平行四边的性质：平行四边形的两组对边分别相等且平行四边形的对角线互相平分．
10．菱形的两条对角线分别是6cm，8cm，则菱形的边长为 cm，面积为 cm2．
【考点】菱形的性质．
【专题】填空题．
【分析】根据菱形的性质利用勾股定理可求得菱形的边长，根据面积公式可求得菱形的面积．
【解答】解：菱形的两条对角线分别是6cm，8cm，
得到两条对角线相交所构成的直角三角形的两直角边是×6=3cm和×8=4cm，
那么它的斜边即菱形的边长=5cm，面积为6×8×=24cm2．
故答案为5，24．
【点评】本题考查的是菱形的性质以及其面积的计算方法的运用．
11．如图，△ABC中，EF是它的中位线，M、N分别是EB、CF的中点，若BC=8cm，那么EF= cm，MN= cm．
【考点】三角形中位线定理；梯形中位线定理．
【专题】填空题．
【分析】根据三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半求出EF的长，再利用梯形的中位线等于两底和的一半求出MN的长度．
【解答】解：∵EF是△ABC的中位线，BC=8cm，
∴EF=BC=×8=4cm，
∵M、N分别是EB、CF的中点，
∴MN=（EF+BC）=（4+8）=6cm．
故答案为4，6．
【点评】本题主要利用三角形的中位线定理和梯形的中位线定理求解，熟练掌握定理是解题的关键．
12．若矩形的对角线长为8cm，两条对角线的一个交角为60°，则该矩形的边长为 cm和 cm．
【考点】矩形的性质．
【专题】填空题．
【分析】根据矩形的性质得出∠ABC=90°，AB=DC，AD=BC，AC=BD，AC=2AO=2CO，BD=2BO=2DO，求出AO=BO=4cm，得出△AOB是等边三角形，推出AB=AO=4cm，在Rt△ABC中，由勾股定理求出BC即可．
【解答】
解：∵四边形ABCD是矩形，
∴∠ABC=90°，AB=DC，AD=BC，AC=BD，AC=2AO=2CO，BD=2BO=2DO，
∵AC=BD=8cm，
∴AO=BO=4cm，
∵∠AOB=60°，
∴△AOB是等边三角形，
∴AB=AO=4cm，
在Rt△ABC中，由勾股定理得：BC===4，
即矩形的边长是4cm，4cm，4cm，4cm，
故答案为：4；4．
【点评】本题考查了矩形性质，等边三角形的性质和判定，勾股定理的应用，注意：矩形的对角线互相平分且相等．
13．在▱ABCD中，若添加一个条件 ，则四边形ABCD是矩形；若添加一个条件 ，则四边形ABCD是菱形．
【考点】矩形的判定；平行四边形的性质；菱形的判定．
【专题】填空题．
【分析】根据矩形是对角线相等的平行四边形，菱形是邻边相等的平行四边形可得．
【解答】解：在▱ABCD中，若添加一个条件AC=BD，则四边形ABCD是矩形；
若添加一个条件AB=BC，则四边形ABCD是菱形．
故答案为：AC=BD；AB=BC．
【点评】本题主要考查的是矩形和菱形的判定定理．但需要注意的是本题的知识点是关于平行四边形、矩形、菱形之间的关系．
14．如图，在等腰梯形ABCD中，AD∥BC，AD=6cm，BC=8cm，∠B=60°，则AB= cm．
【考点】平行四边形的判定．
【专题】填空题．
【分析】过A作AE∥DC，可得到平行四边形AECD，从而可求得BE的长，由已知可得到△ABE是等边三角形，此时再求AB就不难求得了．
【解答】解：等腰梯形ABCD中，AD∥BC，作AE∥DC，则四边形AECD是平行四边形，因而AB=AE，CE=AD，再由∠B=60°得到△ABE是等边三角形，AE=2cm，AB=2cm．
【点评】此题考查平行四边形的判定及梯形中常见的辅助线的作法．
15．如图，在平行四边形ABCD中，E、F是AC上的两点，且AE=CF．求证：DE=BF．
【考点】平行四边形的性质；全等三角形的判定与性质．
【专题】解答题．
【分析】由平行四边形的性质得AD=CB，∠DAE=∠BCF，再由已知条件，可得△ADE≌△CBF，进而得出结论．
【解答】证明：在平行四边形ABCD中，则AD=CB，∠DAE=∠BCF，
又AE=CF，
∴△ADE≌△CBF（SAS），
∴DE=BF．
【点评】本题主要考查平行四边形的性质及全等三角形的判定问题，应熟练掌握．
16．如图，在菱形ABCD中，∠ABC与∠BAD的度数比为1：2，周长是8cm．求：
(1)两条对角线的长度；
(2)菱形的面积．
【考点】菱形的性质．
【专题】解答题．
【分析】(1)由在菱形ABCD中，∠ABC与∠BAD的度数比为1：2，周长是8cm，可求得△ABO是含30°角的直角三角形，AB=2cm，继而求得AC与BD的长；
(2)由菱形的面积等于其对角线积的一半，即可求得答案．
【解答】解：(1)∵四边形ABCD是菱形，
∴AB=BC，AC⊥BD，AD∥BC，
∴∠ABC+∠BAD=180°，
∵∠ABC与∠BAD的度数比为1：2，
∴∠ABC=×180°=60°，
∴∠ABO=∠ABC=30°，
∵菱形ABCD的周长是8cm．
∴AB=2cm，
∴OA=AB=1cm，
∴OB==，
∴AC=2OA=2cm，BD=2OB=2cm；
(2)S菱形ABCD=AC•BD=×2×2=2（cm2）．
【点评】此题考查了菱形的性质以及含30°角的直角三角形的性质．此题难度不大，注意掌握数形结合思想的应用．
17．如图所示，矩形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，AE⊥BD，垂足为E，∠1=∠2，OB=6
(1)求∠BOC的度数；
(2)求△DOC的周长．
【考点】矩形的性质．
【专题】解答题．
【分析】(1)AE⊥BD，∠1+∠ABD=∠ADB+∠ABD，得出∠ACB=∠ADB=∠2=∠1=30°，可知△AOB为等边三角形，继而求出∠BOC的度数；
(2)由(1)知，△DOC≌△AOB，OD=OC=CD=OB，继而求出△DOC的周长．
【解答】解：(1)∵四边形ABCD为矩形，AE⊥BD，
∴∠1+∠ABD=∠ADB+∠ABD=∠2+∠ABD=90°，
∴∠ACB=∠ADB=∠2=∠1=30°，
又AO=BO，
∴△AOB为等边三角形，
∴∠BOC=120°；
(2)由(1)知，△DOC≌△AOB，
∴△DOC为等边三角形，
∴OD=OC=CD=OB=6，
∴△DOC的周长=3×6=18．
【点评】本题考查矩形的性质，难度适中，解题关键是根据矩形的性质求出∠1=∠2=∠ACB=30°．
18．如图：已知在△ABC中，AB=AC，D为BC上任意一点，DE∥AC交AB于E，DF∥AB交AC于F，求证：DE+DF=AC．
【考点】平行四边形的判定与性质；等腰三角形的性质．
【专题】解答题．
【分析】由题意可得四边形AEDF是平行四边形，得DE=AF再由等腰三角形的性质及平行线可得DF=CF，进而可求出其结论．
【解答】证明：∵DE∥AC，DF∥AB，
∴四边形AEDF是平行四边形，
∴DE=AF，
又AB=AC，
∴∠B=∠C，
∵DF∥AB，
∴∠CDF=∠B，
∴∠CDF=∠C，
∴DF=CF，
∴AC=AF+FC=DE+DF．
【点评】本题主要考查平行四边形的判定及性质以及等腰三角形的性质问题，能够熟练求解．
19．如图，在菱形ABCD中，E为AD中点，EF⊥AC交CB的延长线于F．
求证：AB与EF互相平分．
【考点】菱形的性质；平行四边形的判定与性质．
【专题】解答题．
【分析】由菱形的性质可证AC⊥BD，又已知EF⊥AC，所以AG=BG，GE=BD，AD∥BC，可证四边形EDBF为平行四边形，可证GE=GF，即证结论．
【解答】证明：连接BD，AF，BE，
在菱形ABCD中，AC⊥BD
∵EF⊥AC，
∴EF∥BD，又ED∥FB，
∴四边形EDBF是平行四边形，DE=BF，
∵E为AD的中点，
∴AE=ED，∴AE=BF，
又AE∥BF，∴四边形AEBF为平行四边形，
即AB与EF互相平分．
【点评】本题是简单的推理证明题，主要考查菱形的性质，同时综合利用平行四边形的判定方法及中位线的性质．
一、选择题
1．菱形具有而矩形不具有的性质是（ ）
A．对角线互相平分B．四条边都相等C．对角相等D．邻角互补
2．关于四边形ABCD：①两组对边分别平行；②两组对边分别相等；③有一组对边平行且相等；④对角线AC和BD相等；以上四个条件中可以判定四边形ABCD是平行四边形的有（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
3．能判定一个四边形是菱形的条件是（ ）
A．对角线相等且互相垂直B．对角线相等且互相平分
C．对角线互相垂直D．对角线互相垂直平分
4．正方形、菱形、矩形都具有的性质是（ ）
A．对角线相等B．对角线互相平分
C．对角线互相垂直D．对角线平分一组对角
5．若顺次连接四边形ABCD各边中点所得四边形是矩形，则四边形ABCD必然是（ ）
A．菱形B．对角线相互垂直的四边形
C．正方形D．对角线相等的四边形
6．下列说法中，不正确的是（ ）
A．有三个角是直角的四边形是矩形B．对角线相等的四边形是矩形
C．对角线互相垂直的矩形是正方形D．对角线互相垂直的平行四边形是菱形
7．如图，矩形ABCD中，DE⊥AC于E，且∠ADE：∠EDC=3：2，则∠BDE的度数为（ ）
A．36°B．18°C．27°D．9°
二、填空题
8．平行四边形ABCD中，∠A=50°，AB=30cm，则∠B= ，DC= cm．
9．平行四边形ABCD的周长为20cm，对角线AC、BD相交于点O，若△BOC的周长比△AOB的周长大2cm，则CD= cm．
10．菱形的两条对角线分别是6cm，8cm，则菱形的边长为 cm，面积
为 cm2．
11．如图，△ABC中，EF是它的中位线，M、N分别是EB、CF的中点，若BC=8cm，那么EF= cm，MN= cm．
12．若矩形的对角线长为8cm，两条对角线的一个交角为60°，则该矩形的边长为 cm和 cm．
13．在▱ABCD中，若添加一个条件 ，则四边形ABCD是矩形；若添加一个条件 ，则四边形ABCD是菱形．
14．如图，在等腰梯形ABCD中，AD∥BC，AD=6cm，BC=8cm，∠B=60°，则AB
= cm．
三、解答题
15．如图，在平行四边形ABCD中，E、F是AC上的两点，且AE=CF．求证：DE=BF．
16．如图，在菱形ABCD中，∠ABC与∠BAD的度数比为1：2，周长是8cm．求：
(1)两条对角线的长度；
(2)菱形的面积．
17．如图所示，矩形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，AE⊥BD，垂足为E，∠1=∠2，OB=6
(1)求∠BOC的度数；
(2)求△DOC的周长．
18．如图：已知在△ABC中，AB=AC，D为BC上任意一点，DE∥AC交AB于E，DF∥AB交AC于F，求证：DE+DF=AC．
19．如图，在菱形ABCD中，E为AD中点，EF⊥AC交CB的延长线于F．
求证：AB与EF互相平分．
答案
1．菱形具有而矩形不具有的性质是（ ）
A．对角线互相平分B．四条边都相等C．对角相等D．邻角互补
【考点】矩形的性质；菱形的性质．
【专题】选择题．
【分析】与平行四边形相比，菱形的四条边相等、对角线互相垂直；矩形四个角是直角，对角线相等．
【解答】解：A、对角线互相平分是平行四边形的基本性质，两者都具有，故A不选；
B、菱形四条边相等而矩形四条边不一定相等，只有矩形为正方形时才相等，故B符合题意；
C、平行四边形对角都相等，故C不选；
D、平行四边形邻角互补，故D不选．
故选B．
【点评】考查菱形和矩形的基本性质．
2．关于四边形ABCD：①两组对边分别平行；②两组对边分别相等；③有一组对边平行且相等；④对角线AC和BD相等；以上四个条件中可以判定四边形ABCD是平行四边形的有（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
【考点】平行四边形的判定．
【专题】选择题．
【分析】平行四边形的五种判定方法分别是：(1)两组对边分别平行的四边形是平行四边形；(2)两组对边分别相等的四边形是平行四边形；(3)一组对边平行且相等的四边形是平行四边形；(4)两组对角分别相等的四边形是平行四边形；(5)对角线互相平分的四边形是平行四边形．按照平行四边形的判定方法进行判断即可．
【解答】解：①符合平行四边形的定义，故①正确；
②两组对边分别相等，符合平行四边形的判定条件，故②正确；
③由一组对边平行且相等，符合平行四边形的判定条件，故③正确；
④对角线互相平分的四边形是平行四边形，故④错误；
所以正确的结论有三个：①②③，
故选C．
【点评】本题考查了平行四边形的判定，熟练掌握平行四边形的定义和判定方法是解答此类题目的关键．
3．能判定一个四边形是菱形的条件是（ ）
A．对角线相等且互相垂直B．对角线相等且互相平分C．对角线互相垂直D．对角线互相垂直平分
【考点】菱形的判定．
【专题】选择题．
【分析】根据菱形的判定方法：对角线互相垂直平分来判断即可．
【解答】解：菱形的判定方法有三种：①定义：一组邻边相等的平行四边形是菱形；
②四边相等；
③对角线互相垂直平分的四边形是菱形．只有D能判定为是菱形，
故选D．
【点评】本题考查菱形对角线互相垂直平分的判定．
4．正方形、菱形、矩形都具有的性质是（ ）
A．对角线相等B．对角线互相平分C．对角线互相垂直D．对角线平分一组对角
【考点】正方形的性质；菱形的性质；矩形的性质．
【专题】选择题．
【分析】根据正方形、菱形、矩形对角线的性质，分析求解即可求得答案．
【解答】解：∵正方形的对角线互相平分，互相垂直，相等且平分一组对角，
菱形的对角线互相平分，互相垂直且平分一组对角，
矩形的对角线互相平分且相等，
∴正方形、菱形、矩形都具有的性质是：对角线互相平分．
故选B．
【点评】此题考查了正方形、菱形、矩形的性质．此题比较简单，注意熟记正方形、菱形、矩形对角线的性质是解此题的关键．
5．若顺次连接四边形ABCD各边中点所得四边形是矩形，则四边形ABCD必然是（ ）
A．菱形B．对角线相互垂直的四边形C．正方形D．对角线相等的四边形
【考点】矩形的判定；三角形中位线定理．
【专题】选择题．
【分析】此题要根据矩形的性质和三角形中位线定理求解；首先根据三角形中位线定理知：所得四边形的对边都平行且相等，那么其必为平行四边形，若所得四边形是矩形，那么邻边互相垂直，故原四边形的对角线必互相垂直，由此得解．
【解答】解：已知：如图，
四边形EFGH是矩形，且E、F、G、H分别是AB、BC、CD、AD的中点，求证：四边形ABCD是对角线垂直的四边形．
证明：由于E、F、G、H分别是AB、BC、CD、AD的中点，
根据三角形中位线定理得：EH∥FG∥BD，EF∥AC∥HG；
∵四边形EFGH是矩形，即EF⊥FG，
∴AC⊥BD；故选B．
【点评】本题主要利用了矩形的性质和三角形中位线定理来求解．
6．下列说法中，不正确的是（ ）
A．有三个角是直角的四边形是矩形B．对角线相等的四边形是矩形C．对角线互相垂直的矩形是正方形D．对角线互相垂直的平行四边形是菱形
【考点】矩形的判定；菱形的判定；正方形的判定．
【专题】选择题．
【分析】根据各四边形的性质对各个选项进行分析从而得出最后答案．
【解答】解：A、正确，有三个角是直角的四边形是矩形是矩形的判定定理；
B、错误，对角线相等的四边形不一定是矩形，对角线相等的平行四边形才是矩形；
C、正确，对角线互相垂直的矩形是正方形；
D、正确，对角线互相垂直的平行四边形是菱形．
故选B．
【点评】考查了对四边形性质与判定的综合运用，特殊四边形之间的相互关系是考查重点．
7．如图，矩形ABCD中，DE⊥AC于E，且∠ADE：∠EDC=3：2，则∠BDE的度数为（ ）
A．36°B．18°C．27°D．9°
【考点】矩形的性质；三角形内角和定理．
【专题】选择题．
【分析】本题首先根据∠ADE：∠EDC=3：2可推出∠ADE以及∠EDC的度数，然后求出△ODC各角的度数便可求出∠BDE．
【解答】解：已知∠ADE：∠EDC=3：2⇒∠ADE=54°，∠EDC=36°，
又因为DE⊥AC，所以∠DCE=90°﹣36°=54°，
根据矩形的性质可得∠DOC=180°﹣2×54°=72°
所以∠BDE=180°﹣∠DOC﹣∠DEO=18°
故选B．
【点评】本题考查的是三角形内角和定理以及矩形的性质，难度一般．
8．平行四边形ABCD中，∠A=50°，AB=30cm，则∠B= ，DC= cm．
【考点】平行四边形的性质．
【专题】填空题．
【分析】根据平行四边形的性质：平行四边形的对边相等且平行，即可求得．
【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，DC=AB=30cm，
∴∠A+∠B=180°，
∵∠A=50°，
∴∠B=130°．
故答案为130°，30．
【点评】此题考查了平行四边形的性质：平行四边形的对边相等且平行．解题时注意数形结合思想的应用．
9．平行四边形ABCD的周长为20cm，对角线AC、BD相交于点O，若△BOC的周长比△AOB的周长大2cm，则CD= cm．
【考点】平行四边形的性质．
【专题】填空题．
【分析】根据平行四边形的性质可知，平行四边形的对角线互相平分，由于△BOC的周长比△AOB的周长大2cm，则BC比AB长7cm，所以根据周长的值可以求出AB，进而求出CD的长．
【解答】解：如图
∵平行四边形的周长为20cm，
∴AB+BC=10cm；
又△BOC的周长比△AOB的周长大2cm，
∴BC﹣AB=2cm，
解得：AB=4cm，BC=6cm．
∵AB=CD，
∴CD=4cm
故答案为：4．
【点评】此题主要考查平行四边的性质：平行四边形的两组对边分别相等且平行四边形的对角线互相平分．
10．菱形的两条对角线分别是6cm，8cm，则菱形的边长为 cm，面积为 cm2．
【考点】菱形的性质．
【专题】填空题．
【分析】根据菱形的性质利用勾股定理可求得菱形的边长，根据面积公式可求得菱形的面积．
【解答】解：菱形的两条对角线分别是6cm，8cm，
得到两条对角线相交所构成的直角三角形的两直角边是×6=3cm和×8=4cm，
那么它的斜边即菱形的边长=5cm，面积为6×8×=24cm2．
故答案为5，24．
【点评】本题考查的是菱形的性质以及其面积的计算方法的运用．
11．如图，△ABC中，EF是它的中位线，M、N分别是EB、CF的中点，若BC=8cm，那么EF= cm，MN= cm．
【考点】三角形中位线定理；梯形中位线定理．
【专题】填空题．
【分析】根据三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半求出EF的长，再利用梯形的中位线等于两底和的一半求出MN的长度．
【解答】解：∵EF是△ABC的中位线，BC=8cm，
∴EF=BC=×8=4cm，
∵M、N分别是EB、CF的中点，
∴MN=（EF+BC）=（4+8）=6cm．
故答案为4，6．
【点评】本题主要利用三角形的中位线定理和梯形的中位线定理求解，熟练掌握定理是解题的关键．
12．若矩形的对角线长为8cm，两条对角线的一个交角为60°，则该矩形的边长为 cm和 cm．
【考点】矩形的性质．
【专题】填空题．
【分析】根据矩形的性质得出∠ABC=90°，AB=DC，AD=BC，AC=BD，AC=2AO=2CO，BD=2BO=2DO，求出AO=BO=4cm，得出△AOB是等边三角形，推出AB=AO=4cm，在Rt△ABC中，由勾股定理求出BC即可．
【解答】
解：∵四边形ABCD是矩形，
∴∠ABC=90°，AB=DC，AD=BC，AC=BD，AC=2AO=2CO，BD=2BO=2DO，
∵AC=BD=8cm，
∴AO=BO=4cm，
∵∠AOB=60°，
∴△AOB是等边三角形，
∴AB=AO=4cm，
在Rt△ABC中，由勾股定理得：BC===4，
即矩形的边长是4cm，4cm，4cm，4cm，
故答案为：4；4．
【点评】本题考查了矩形性质，等边三角形的性质和判定，勾股定理的应用，注意：矩形的对角线互相平分且相等．
13．在▱ABCD中，若添加一个条件 ，则四边形ABCD是矩形；若添加一个条件 ，则四边形ABCD是菱形．
【考点】矩形的判定；平行四边形的性质；菱形的判定．
【专题】填空题．
【分析】根据矩形是对角线相等的平行四边形，菱形是邻边相等的平行四边形可得．
【解答】解：在▱ABCD中，若添加一个条件AC=BD，则四边形ABCD是矩形；
若添加一个条件AB=BC，则四边形ABCD是菱形．
故答案为：AC=BD；AB=BC．
【点评】本题主要考查的是矩形和菱形的判定定理．但需要注意的是本题的知识点是关于平行四边形、矩形、菱形之间的关系．
14．如图，在等腰梯形ABCD中，AD∥BC，AD=6cm，BC=8cm，∠B=60°，则AB= cm．
【考点】平行四边形的判定．
【专题】填空题．
【分析】过A作AE∥DC，可得到平行四边形AECD，从而可求得BE的长，由已知可得到△ABE是等边三角形，此时再求AB就不难求得了．
【解答】解：等腰梯形ABCD中，AD∥BC，作AE∥DC，则四边形AECD是平行四边形，因而AB=AE，CE=AD，再由∠B=60°得到△ABE是等边三角形，AE=2cm，AB=2cm．
【点评】此题考查平行四边形的判定及梯形中常见的辅助线的作法．
15．如图，在平行四边形ABCD中，E、F是AC上的两点，且AE=CF．求证：DE=BF．
【考点】平行四边形的性质；全等三角形的判定与性质．
【专题】解答题．
【分析】由平行四边形的性质得AD=CB，∠DAE=∠BCF，再由已知条件，可得△ADE≌△CBF，进而得出结论．
【解答】证明：在平行四边形ABCD中，则AD=CB，∠DAE=∠BCF，
又AE=CF，
∴△ADE≌△CBF（SAS），
∴DE=BF．
【点评】本题主要考查平行四边形的性质及全等三角形的判定问题，应熟练掌握．
16．如图，在菱形ABCD中，∠ABC与∠BAD的度数比为1：2，周长是8cm．求：
(1)两条对角线的长度；
(2)菱形的面积．
【考点】菱形的性质．
【专题】解答题．
【分析】(1)由在菱形ABCD中，∠ABC与∠BAD的度数比为1：2，周长是8cm，可求得△ABO是含30°角的直角三角形，AB=2cm，继而求得AC与BD的长；
(2)由菱形的面积等于其对角线积的一半，即可求得答案．
【解答】解：(1)∵四边形ABCD是菱形，
∴AB=BC，AC⊥BD，AD∥BC，
∴∠ABC+∠BAD=180°，
∵∠ABC与∠BAD的度数比为1：2，
∴∠ABC=×180°=60°，
∴∠ABO=∠ABC=30°，
∵菱形ABCD的周长是8cm．
∴AB=2cm，
∴OA=AB=1cm，
∴OB==，
∴AC=2OA=2cm，BD=2OB=2cm；
(2)S菱形ABCD=AC•BD=×2×2=2（cm2）．
【点评】此题考查了菱形的性质以及含30°角的直角三角形的性质．此题难度不大，注意掌握数形结合思想的应用．
17．如图所示，矩形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，AE⊥BD，垂足为E，∠1=∠2，OB=6
(1)求∠BOC的度数；
(2)求△DOC的周长．
【考点】矩形的性质．
【专题】解答题．
【分析】(1)AE⊥BD，∠1+∠ABD=∠ADB+∠ABD，得出∠ACB=∠ADB=∠2=∠1=30°，可知△AOB为等边三角形，继而求出∠BOC的度数；
(2)由(1)知，△DOC≌△AOB，OD=OC=CD=OB，继而求出△DOC的周长．
【解答】解：(1)∵四边形ABCD为矩形，AE⊥BD，
∴∠1+∠ABD=∠ADB+∠ABD=∠2+∠ABD=90°，
∴∠ACB=∠ADB=∠2=∠1=30°，
又AO=BO，
∴△AOB为等边三角形，
∴∠BOC=120°；
(2)由(1)知，△DOC≌△AOB，
∴△DOC为等边三角形，
∴OD=OC=CD=OB=6，
∴△DOC的周长=3×6=18．
【点评】本题考查矩形的性质，难度适中，解题关键是根据矩形的性质求出∠1=∠2=∠ACB=30°．
18．如图：已知在△ABC中，AB=AC，D为BC上任意一点，DE∥AC交AB于E，DF∥AB交AC于F，求证：DE+DF=AC．
【考点】平行四边形的判定与性质；等腰三角形的性质．
【专题】解答题．
【分析】由题意可得四边形AEDF是平行四边形，得DE=AF再由等腰三角形的性质及平行线可得DF=CF，进而可求出其结论．
【解答】证明：∵DE∥AC，DF∥AB，
∴四边形AEDF是平行四边形，
∴DE=AF，
又AB=AC，
∴∠B=∠C，
∵DF∥AB，
∴∠CDF=∠B，
∴∠CDF=∠C，
∴DF=CF，
∴AC=AF+FC=DE+DF．
【点评】本题主要考查平行四边形的判定及性质以及等腰三角形的性质问题，能够熟练求解．
19．如图，在菱形ABCD中，E为AD中点，EF⊥AC交CB的延长线于F．
求证：AB与EF互相平分．
【考点】菱形的性质；平行四边形的判定与性质．
【专题】解答题．
【分析】由菱形的性质可证AC⊥BD，又已知EF⊥AC，所以AG=BG，GE=BD，AD∥BC，可证四边形EDBF为平行四边形，可证GE=GF，即证结论．
【解答】证明：连接BD，AF，BE，
在菱形ABCD中，AC⊥BD
∵EF⊥AC，
∴EF∥BD，又ED∥FB，
∴四边形EDBF是平行四边形，DE=BF，
∵E为AD的中点，
∴AE=ED，∴AE=BF，
又AE∥BF，∴四边形AEBF为平行四边形，
即AB与EF互相平分．
【点评】本题是简单的推理证明题，主要考查菱形的性质，同时综合利用平行四边形的判定方法及中位线的性质．
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