初中数学青岛九下期中数学试卷

期中数学试卷

一、选择题

1．下列说法中正确的是（　　）

A．用图象表示变量之间关系时，用水平方向上的点表示自变量 

B．用图象表示变量之间关系时，用纵轴上的点表示因变量 

C．用图象表示变量之间关系时，用竖直方向上的点表示自变量 

D．用图象表示变量之间关系时，用横轴上的点表示因变量

2．下列的曲线中，表示y是x的函数的有（　　）

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个

3．下列关系中，两个变量之间为反比例函数关系的是（　　）

A．长40米的绳子减去x米，还剩y米 

B．买单价3元的笔记本x本，花了y元 

C．正方形的面积为S，边长为a 

D．菱形的面积为20，对角线的长分别为x，y

4．当k=﹣2时，下列双曲线中，在每一个象限内，y随x增大而减小的是（　　）

A．y=﹣ B．y= C．y= D．y=

5．如图，点A（m，1），B（2，n）在双曲线y=（k≠0），连接OA，OB．若S△ABO=8，则k的值是（　　）

A．﹣12 B．﹣8 C．﹣6 D．﹣4

6．若y=（m﹣1）x是关于x的二次函数，则m的值为（　　）

A．﹣2 B．﹣2或1 C．1 D．不存在

7．下列成语所描述的事件为随机事件的是（　　）

A．水涨船高 B．水中捞月 C．守株待兔 D．缘木求鱼

8．在不透明的布袋中装有2个白球，3个黑球，它们除颜色外完全相同，从袋中任意摸出一个球，摸出的球是白球的概率是（　　）

A． B． C． D．

9．将下列如图的平面图形绕轴l旋转一周，可以得到的立体图形是（　　）

A． B． 

C． D．

10．关于抛物线y=x2﹣4x+4，下列说法错误的是（　　）

A．开口向上 

B．与x轴只有一个交点 

C．对称轴是直线x=2 

D．当x＞0时，y随x的增大而增大

11．二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，下列结论：①abc＞0；②b2﹣4ac＜0；③4a+c＞2b；④（a+c）2＞b2；⑤x（ax+b）⩽a﹣b，其中正确结论的是（　　）

A．①③④ B．②③④ C．①③⑤ D．③④⑤

12．二次函数的部分图象如图所示，对称轴是x=﹣1，则这个二次函数的表达式为（　　）

A．y=﹣x2+2x+3 B．y=x2+2x+3 C．y=﹣x2+2x﹣3 D．y=﹣x2﹣2x+3

二、填空题

13．如图，A，B两点分别在反比例函数y=（x＜0）和y=（x＞0）的图象上，连接OA，OB，若OA⊥OB，OA=OB，则k的值为　   　．

14．如图，抛物线y=ax2+bx﹣3，顶点为E，该抛物线与x轴交于A，B两点，与y轴交子点C，且OB=OC=3OA，直线y=﹣x+1与y轴交于点D．求∠DBC﹣∠CBE=　   　．

15．2018年6月6日是第二十三个全国爱眼日．某校为了做好学生的眼睛保护工作，对全体学生的裸眼视力进行了一次抽样调查，调查结果如图所示．根据学生视力合格标准，裸眼视力大于或等于5.0的为正常视力，那么该校正常视力的学生占全体学生的比值是　   　．

16．如图，△ABC中，D、E、F分别是各边的中点，随机地向△ABC中内掷一粒米，则米粒落到阴影区域内的概率是　   　．

三、解答题

17．在不透明的袋子中有黑棋子10枚和白棋子若干（它们除颜色外都相同），现随机从中摸出10枚记下颜色后放回，这样连续做了10次，记录了如下的数据：

根据以上数据，解答下列问题：

（I）直接填空：第10次摸棋子摸到黑棋子的频率为　   　；

（Ⅱ）试估算袋中的白棋子数量．

18．已知二次函数y=9x2﹣6ax+a2﹣b

（1）当b=﹣3时，二次函数的图象经过点（﹣1，4）

①求a的值；

②求当a≤x≤b时，一次函数y=ax+b的最大值及最小值；

（2）若a≥3，b﹣1=2a，函数y=9x2﹣6ax+a2﹣b在﹣＜x＜c时的值恒大于或等于0，求实数c的取值范围．

19．为了传承中华民族优秀传统文化，我县某中学组织了一次“中华民族优秀传统文化知识竞赛”活动，比赛后整理参赛学生的成绩，将参赛学生的成绩分为A、B、C、D四个等级，并制作了如下的统计表和统计图，但都不完整，请你根据统计图、表解答下列问题：

（1）在表中，m=　   　；n=　   　．

（2）补全频数直方图；

（3）计算扇形统计图中圆心角β的度数．

20．某商场购进一种单价为30元的商品，如果以单价55元售出，那么每天可卖出200个，根据销售经验，每降价1元，每天可多卖出10个，假设每个降价x（元），每天销售y（个），每天获得的利润W（元）．

（1）写出y与x的函数关系式；

（2）求出W与x的函数关系式（不必写出x的取值范围）；

（3）降价多少元时，每天获得的利润最大？

21．如图，在平面直角坐标系中，矩形OABC的边OA在y轴的正半轴上，C在x轴的正半轴上，已知A（0，8）、C（10，0），作∠AOC的平分线交AB于点D，连接CD，过点D作DE⊥CD交OA于点E．

（1）求点D的坐标；

（2）求证：△ADE≌△BCD；

（3）抛物线y=x2+x+8经过点A、C，连接AC．探索：若点P是x轴下方抛物线上一动点，过点P作平行于y轴的直线交AC于点M．是否存在点P，使线段MP的长度有最大值？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．

参考答案

一．选择题

1．【解答】解：∵用水平方向的横轴上的点表示自变量，用竖直方向的纵轴上的点表示因变量．

∴A、C、D错误；B正确．

故选：B．

2．【解答】解：根据函数的意义可知：对于自变量x的任何值，y都有唯一的值与之相对应，

所以表示y是x的函数的是第1、2、4这3个，

故选：C．

3．【解答】解：长40米的绳子减去x米，还剩y米，

则y=40﹣x，A不是反比例函数；

买单价3元的笔记本x本，花了y元，

则y=3x，B不是反比例函数；

正方形的面积为S，边长为a，

则S=a2，C不是反比例函数；

菱形的面积为20，对角线的长分别为x，y，

则y=是反比例函数，

故选：D．

4．【解答】解：当k=﹣2时，y=﹣的图象双曲线的两支分别位于第二、第四象限，在每一象限内y随x的增大而增大；

当k=﹣2时，y=的图象双曲线的两支分别位于第二、第四象限，在每一象限内y随x的增大而增大；

当k=﹣2时，y=的图象双曲线的两支分别位于第二、第四象限，在每一象限内y随x的增大而增大；

当k=﹣2时，y=的图象双曲线的两支分别位于第一、第三象限，在每一象限内y随x的增大而减小；

故选：D．

5．【解答】解：过A作y轴的垂线，过B作x轴的垂线，交于点C，连接OC，

设A（k，1），B（2，k），则AC=2﹣k，BC=1﹣k，

∵S△ABO=8，

∴S△ABC﹣S△ACO﹣S△BOC=8，

即（2﹣k）（1﹣k）﹣（2﹣k）×1﹣（1﹣k）×2=8，

解得k=±6，

∵k＜0，

∴k=﹣6，

故选：C．

6．【解答】解：若y=（m﹣1）x是关于x的二次函数，则，

解得：m=﹣2．

故选：A．

7．【解答】解：A、是必然事件，故A不符合题意；

B、是不可能事件，故B不符合题意；

C、是随机事件，故C符合题意；

D、是不可能事件，故D不符合题意；

故选：C．

8．【解答】解：∵在不透明的布袋中装有2个白球，3个黑球，

∴从袋中任意摸出一个球，摸出的球是白球的概率是：=．

故选：C．

9．【解答】解：绕直线l旋转一周，可以得到圆台，

故选：D．

10．【解答】解：∵抛物线y=x2﹣4x+4，

∴该抛物线的开口向上，故选项A正确，

（﹣4）2﹣4×1×4=0，故该抛物线与x轴只有一个交点，故选项B正确，

对称轴是直线x=﹣=2，故选项C正确，

当x＞2时，y随x的增大而增大，故选项D错误，

故选：D．

11．【解答】解：∵抛物线开口向下，

∴a＜0，

∵对称轴x=﹣1=﹣，

∴b＜0，

∵抛物线交y轴于正半轴，

∴c＞0，

∴abc＞0，故①正确，

∵抛物线与x轴有两个交点，

∴b2﹣4ac＞0，故②错误，

∵x=﹣2时，y＜0，

∴4a﹣2b+c＜0，

∴4a+c＜2b，故③正确，

∵x=﹣1时，y＞0，x=1时，y＜0，

∴a﹣b+c＞0，a+b+c＜0，

∴b＜a+c＜﹣b，

∴（a+c）2不一定大于b2，故④错误，

∵x=﹣1时，y取得最大值a﹣b+c，

∴ax2+bx+c≤a﹣b+c，

∴x（ax+b）＜a﹣b，故⑤正确．

故选：C．

12．【解答】解：由图象知抛物线的对称轴为直线x=﹣1，过点（﹣3，0）、（0，3），

设抛物线解析式为y=a（x+1）2+k，

将（﹣3，0）、（0，3）代入，得：，

解得：，

则抛物线解析式为y=﹣（x+1）2+4=﹣x2﹣2x+3，

故选：D．

二．填空题

13．【解答】解：如图，过A、B分别作x轴的垂线，垂足分别为E、F．

∵OA⊥OB，

∴∠AOE+∠BOF=90°，

∵∠AOE+∠OAE=90°，

∴∠BOF=∠OAE，

∵∠AEO=∠OFB=90°，

∴△AEO∽△OFB，

∴===，

∴OF=3AE，BF=3OE，

∴OF•BF=3AE•3OE=9AE•OE，

∵B点在反比例函数y=（x＞0）的图象上，

∴OF•BF=9AE•OE=3，

∴AE•OE=，

设A（a，b），

∵OE=﹣a，AE=b，

∴AE•OE=﹣ab=，

∴k=ab=﹣．

故答案为﹣．

14．【解答】

解：由题意得：OC=3

则：以下各点的坐标分别为：A（﹣1，0）、B（3，0）、C（0，﹣3），

直线y=﹣x+1与y轴交于点D，知D坐标为（0，1），

易证△ACO≌△DBO（SAS），

∴∠DBO=∠ACO，而∠ABC=∠ACB=45°，

∴∠DBC=∠ACB，

则二次函数的表达式为y=x2﹣2x﹣3，则顶点E的坐标为（1，﹣4），

由点B、E坐标可知，BE所在的直线的kBE=2，

过点C作OF∥BE，则∠FCB=∠CBE，

∴∠DBC﹣∠CBE=∠ACF，

则直线CF所在的方程的k=kBE=2，方程为y=2x﹣3，

∴点F的坐标为（，0），

在△ACF中，由A、C、F的坐标可求出：

则AC=，CF=，AF=，

过点A作AH⊥CF，设：CH=x，

则根据AH2=AC2﹣CH2=AF2﹣FH2，

解得：x=，

则cos∠ACH==，∴∠ACH=45°，

∴∠DBC﹣∠CBE=∠ACH=45°，

故答案为45°．

15．【解答】解：该校正常视力的学生占全体学生的比值是=0.2=20%，

故答案为：20%．

16．【解答】解：设三角形面积为1，

∵△ABC中，D、E、F分别是各边的中点，

∴阴影部分的面积为，

即米粒落到阴影区域内的概率是=

故答案为：

三．解答题

17．【解答】解：（I）第10次摸棋子摸到黑棋子的频率为6÷10=0.6，

故答案为：0.6；

（Ⅱ）根据表格中数据知，摸到黑棋子的频率为=0.4，

设白棋子有x枚，

由题意，得：=0.4，

解得：x=15，

经检验：x=15是原分式方程的解，

答：白棋子的数量约为15枚．

18．【解答】解：（1）①∵y=9x2﹣6ax+a2﹣b，当b=﹣3时，

二次函数的图象经过点（﹣1，4）

∴4=9×（﹣1）2﹣6a×（﹣1）+a2+3，

解得，a1=﹣2，a2=﹣4，

∴a的值是﹣2或﹣4；

②∵a≤x≤b，b=﹣3

∴a=﹣2舍去，

∴a=﹣4，

∴﹣4≤x≤﹣3，

∴一次函数y=﹣4x﹣3，

∵一次函数y=﹣4x﹣3为单调递减函数，

∴当x=﹣4时，函数取得最大值，y=﹣4×（﹣4）﹣3=13

x=﹣3时，函数取得最小值，y=﹣4×（﹣3）﹣3=9

（2）∵b﹣1=2a

∴y=9x2﹣6ax+a2﹣b可化简为y=9x2﹣6ax+a2﹣2a﹣1

∴抛物线的对称轴为：x=≥1，

抛物线与x轴的交点为（，0）（，0）

∵函数y=9x2﹣6ax+a2﹣b在﹣＜x＜c时的值恒大于或等于0

∴c≤，

∵a≥3，

∴﹣＜c≤．

19．【解答】解：（1）∵被调查的总人数为30÷0.1=300，

∴m=300×0.4=120、n=60÷300=0.2，

故答案为：120、0.2；

（2）补全条形图如下：

（3）扇形统计图中圆心角β的度数为360°×0.2=72°．

20．【解答】解：（1）y与x的函数关系式为：y=200+10x；

（2）W=（55﹣30﹣x）•y=（25﹣x）（200+10x）=﹣10x2+250x+5000=﹣10（x﹣25）（x+20），

W与x的函数关系式为W=﹣10x2+250x+5000；

（3）从（2）中可以看出，函数对称轴为x=2.5，

∴降价2.5元时，每天获得的利润最大．

21．【解答】解：（1）∵OD平分∠AOC，∴∠AOD=∠DOC．

∵四边形AOCB是矩形，

∴AB∥OC

∴∠AOD=∠DOC

∴∠AOD=∠ADO．

∴OA=AD（等角对等边）．

∵A点的坐标为（0，8），

∴D点的坐标为（8，8）

（2）∵四边形AOCB是矩形，

∴∠OAB=∠B=90°，BC=OA．

∵OA=AD，

∴AD=BC．

∵ED⊥DC

∴∠EDC=90°

∴∠ADE+∠BDC=90°

∴∠BDC+∠BCD=90°．

∴∠ADE=∠BCD．

在△ADE和△BCD中，

∵∠DAE=∠B，AD=BC，∠ADE=∠BCD，

∴△ADE≌△BCD（ASA）

（3）存在，

∵二次函数的解析式为：，点P是抛物线上的一动点，

∴设P点坐标为（t，）

设AC所在的直线的函数关系式为y=kx+b，

∵A（0，8）、C（10，0），

∴，解得

∴直线AC的解析式为．

∵PM∥y轴，

∴M（t，）．

∴PM=﹣（　）+（﹣）=﹣．

∴当t=5时，PM有最大值为10．

∴所求的P点坐标为（5，﹣6）．