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初中数学北师大版九年级下册第二章 二次函数综合与测试单元测试同步训练题
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这是一份初中数学北师大版九年级下册第二章 二次函数综合与测试单元测试同步训练题，共39页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、选择题
1．二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，则下列结论中正确的是（ ）
A．a＞0B．当﹣1＜x＜3时，y＞0
C．c＜0 D．当x≥1时，y随x的增大而增大
2．二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示，则下列结论正确的是（ ）
A．a＜0，b＜0，c＞0，b2﹣4ac＞0 B．a＞0，b＜0，c＞0，b2﹣4ac＜0
C．a＜0，b＞0，c＜0，b2﹣4ac＞0 D．a＜0，b＞0，c＞0，b2﹣4ac＞0
3．已知二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象经过点（x1，0）、（2，0），且﹣2＜x1＜﹣1，与y轴正半轴的交点在（0，2）的下方，则下列结论：①abc＜0；②b2＞4ac；③2a+b+1＜0；④2a+c＞0．则其中正确结论的序号是（ ）
A．①②B．②③C．①②④D．①②③④
4．已知二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，则下列结论中正确的是（ ）
A．a＞0
B．3是方程ax2+bx+c=0的一个根
C．a+b+c=0
D．当x＜1时，y随x的增大而减小
5．在反比例函数y=中，当x＞0时，y随x的增大而增大，则二次函数y=mx2+mx的图象大致是图中的（ ）
A．B．
C．D．
6．二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，下列结论正确的是（ ）
A．a＜0 B．b2﹣4ac＜0
C．当﹣1＜x＜3时，y＞0 D．﹣
7．已知二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，则下列五个结论中：①a+b+c＜0；②a﹣b+c＞0；③2a﹣b＜0；④abc＜0；⑤4a+2b+c＞0，错误的个数有（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
8．如图，二次函数y=ax2+bx+c的图象与y轴正半轴相交，其顶点的坐标为（，1），下列结论：①c＞0；②b2﹣4ac＞0；③a+b=0；④4ac﹣b2＞4a，其中错误的是（ ）
A．①B．②C．③D．④
9．如图，已知二次函数的图象与x轴的两个交点分别为（﹣1，0），（3，0），对于下列结论：①2a+b=0；②abc＜0；③a+b+c＞0；④当x＞1时，y随x的增大而减小；其中正确的有（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
10．二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，则下列说法不正确的是（ ）
A．b2﹣4ac＞0 B．a＞0 C．c＞0 D．
11．如图是二次函数y=ax2+bx+c图象的一部分，其对称轴为x=﹣1，且过点（﹣3，0）．下列说法：
①abc＜0；
②2a﹣b=0；
③4a+2b+c＜0；
④若（﹣5，y1），（，y2）是抛物线上两点，则y1＞y2．
其中说法正确的是（ ）
A．①②B．②③C．①②④D．②③④
12．若二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，则下列选项正确的是（ ）
A．a＞0B．c＞0C．ac＞0D．bc＜0
13．函数y=x2+bx+c与y=x的图象如图所示，有以下结论：
①b2﹣4c＞0；②b+c+1=0；③3b+c+6=0；④当1＜x＜3时，x2+（b﹣1）x+c＜0．
其中正确的个数为（ ）
A．1B．2C．3D．4
14．抛物线y=ax2+bx+c的顶点为D（﹣1，2），与x轴的一个交点A在点（﹣3，0）和（﹣2，0）之间，其部分图象如图，则以下结论：
①b2﹣4ac＜0；②a+b+c＜0；③c﹣a=2；④方程ax2+bx+c﹣2=0有两个相等的实数根．
其中正确结论的个数为（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
15．已知二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示．下列结论：
①abc＞0；②2a﹣b＜0；③4a﹣2b+c＜0；④（a+c）2＜b2
其中正确的个数有（ ）
A．1B．2C．3D．4
16．已知a、h、k为三数，且二次函数y=a（x﹣h）2+k在坐标平面上的图形通过（0，5）、（10，8）两点．若a＜0，0＜h＜10，则h之值可能为下列何者？（ ）
A．1B．3C．5D．7
二、填空题
17．如图为二次函数y=ax2+bx+c的图象，给出下列说法：
①ab＞0；
②方程ax2+bx+c=0的根为x1=﹣1，x2=3；
③a+b+c＞0；
④当x＞1时，随x值的增大而增大．
其中正确的说法有 ．
18．抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）经过点（1，2）和（﹣1，﹣6）两点，则a+c= ．
19．如图，P是抛物线y=﹣x2+x+2在第一象限上的点，过点P分别向x轴和y轴引垂线，垂足分别为A，B，则四边形OAPB周长的最大值为 ．
20．二次函数y=﹣x2+bx+c的图象如图所示，则一次函数y=bx+c的图象不经过第
象限．
三、解答题
21．如图，抛物线y=a（x﹣1）2+4与x轴交于点A，B，与y轴交于点C，过点C作CD∥x轴交抛物线的对称轴于点D，连接BD，已知点A的坐标为（﹣1，0）
(1)求该抛物线的解析式；
(2)求梯形COBD的面积．
22．如图，抛物线y=x2﹣bx+c交x轴于点A（1，0），交y轴于点B，对称轴是x=2．
(1)求抛物线的解析式；
(2)点P是抛物线对称轴上的一个动点，是否存在点P，使△PAB的周长最小？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
23．在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=2x2+mx+n经过点A（0，﹣2），B（3，4）．
(1)求抛物线的表达式及对称轴；
(2)设点B关于原点的对称点为C，点D是抛物线对称轴上一动点，且点D纵坐标为t，记抛物线在A，B之间的部分为图象G（包含A，B两点）．若直线CD 与图象G有公共点，结合函数图象，求点D纵坐标t的取值范围．
24．如图，抛物线y=ax2+2x+c经过点A（0，3），B（﹣1，0），请解答下列问题：
(1)求抛物线的解析式；
(2)抛物线的顶点为点D，对称轴与x轴交于点E，连接BD，求BD的长．
注：抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）的顶点坐标是（﹣，）．
25．已知二次函数图象的顶点坐标为（1，﹣1），且经过原点（0，0），求该函数的解析式．
26．如图①，已知抛物线y=ax2+bx+c经过点A（0，3），B（3，0），C（4，3）．
(1)求抛物线的函数表达式；
(2)求抛物线的顶点坐标和对称轴；
(3)把抛物线向上平移，使得顶点落在x轴上，直接写出两条抛物线、对称轴和y轴围成的图形的面积S（图②中阴影部分）．
参考答案与试题解析
1．二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，则下列结论中正确的是（ ）
A．a＞0B．当﹣1＜x＜3时，y＞0
C．c＜0 D．当x≥1时，y随x的增大而增大
【考点】H4：二次函数图象与系数的关系．
【专题】选择题
【分析】由抛物线的开口方向判断a与0的关系，由抛物线与y轴的交点判断c与0的关系，然后根据对称轴及抛物线与x轴交点情况进行推理，进而对所得结论进行判断．
【解答】解：A、抛物线的开口方向向下，则a＜0．故A选项错误；
B、根据图示知，抛物线的对称轴为x=1，抛物线与x轴的一交点的横坐标是﹣1，则抛物线与x轴的另一交点的横坐标是3，
所以当﹣1＜x＜3时，y＞0．故B选项正确；
C、根据图示知，该抛物线与y轴交于正半轴，则c＞0．故C选项错误；
D、根据图示知，当x≥1时，y随x的增大而减小，故D选项错误．
故选B．
【点评】本题考查了二次函数图象与系数的关系．二次函数y=ax2+bx+c系数符号由抛物线开口方向、对称轴、抛物线与y轴的交点抛物线与x轴交点的个数确定．
2．二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示，则下列结论正确的是（ ）
A．a＜0，b＜0，c＞0，b2﹣4ac＞0B．a＞0，b＜0，c＞0，b2﹣4ac＜0
C．a＜0，b＞0，c＜0，b2﹣4ac＞0D．a＜0，b＞0，c＞0，b2﹣4ac＞0
【考点】H4：二次函数图象与系数的关系．
【专题】选择题
【分析】由抛物线的开口方向判断a与0的关系，再结合抛物线的对称轴与y轴的关系判断b与0的关系，由抛物线与y轴的交点判断c与0的关系，根据抛物线与x轴交点的个数判断b2﹣4ac与0的关系．
【解答】解：∵抛物线的开口向下，
∴a＜0，
∵对称轴在y轴右边，
∴a，b异号即b＞0，
∵抛物线与y轴的交点在正半轴，
∴c＞0，
∵抛物线与x轴有2个交点，
∴b2﹣4ac＞0．
故选D．
【点评】二次函数y=ax2+bx+c系数符号的确定：
(1)a由抛物线开口方向确定：开口方向向上，则a＞0；否则a＜0．
(2)b由对称轴和a的符号确定：由对称轴公式x=判断符号．
(3)c由抛物线与y轴的交点确定：交点在y轴正半轴，则c＞0；否则c＜0．
(4)b2﹣4ac由抛物线与x轴交点的个数确定：2个交点，b2﹣4ac＞0；1个交点，b2﹣4ac=0；没有交点，b2﹣4ac＜0．
3．已知二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象经过点（x1，0）、（2，0），且﹣2＜x1＜﹣1，与y轴正半轴的交点在（0，2）的下方，则下列结论：①abc＜0；②b2＞4ac；③2a+b+1＜0；④2a+c＞0．则其中正确结论的序号是（ ）
A．①②B．②③C．①②④D．①②③④
【考点】H4：二次函数图象与系数的关系．
【专题】选择题
【分析】由于抛物线过点（x1，0）、（2，0），且﹣2＜x1＜﹣1，与y轴正半轴相交，则得到抛物线开口向下，对称轴在y轴右侧，于是可判断a＜0，b＞0，c＞0，所以abc＜0；利用抛物线与x轴有两个交点得到b2﹣4ac＞0，即b2＞4ac；由于x=2时，y=0，即4a+2b+c=0，变形得2a+b+=0，则根据0＜c＜2得2a+b+1＞0；根据根与系数的关系得到2x1=，即x1=，所以﹣2＜＜﹣1，变形即可得到2a+c＞0．
【解答】解：如图，
∵二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象经过点（x1，0）、（2，0），且﹣2＜x1＜﹣1，与y轴正半轴相交，
∴a＜0，c＞0，对称轴在y轴右侧，即x=﹣＞0，
∴b＞0，
∴abc＜0，所以①正确；
∵抛物线与x轴有两个交点，
∴b2﹣4ac＞0，即b2＞4ac，所以②正确；
当x=2时，y=0，即4a+2b+c=0，
∴2a+b+=0，
∵0＜c＜2，
∴2a+b+1＞0，所以③错误；
∵二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象经过点（x1，0）、（2，0），
∴方程ax2+bx+c=0（a≠0）的两根为x1，2，
∴2x1=，即x1=，
而﹣2＜x1＜﹣1，
∴﹣2＜＜﹣1，
∵a＜0，
∴﹣4a＞c＞﹣2a，
∴2a+c＞0，所以④正确．
故选C．
【点评】本题考查了二次函数的图象与系数的关系：二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象为抛物线，当a＞0，抛物线开口向上；对称轴为直线x=﹣；抛物线与y轴的交点坐标为（0，c）；当b2﹣4ac＞0，抛物线与x轴有两个交点；当b2﹣4ac=0，抛物线与x轴有一个交点；当b2﹣4ac＜0，抛物线与x轴没有交点．
4．已知二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，则下列结论中正确的是（ ）
A．a＞0
B．3是方程ax2+bx+c=0的一个根
C．a+b+c=0
D．当x＜1时，y随x的增大而减小
【考点】H4：二次函数图象与系数的关系；H3：二次函数的性质．
【专题】选择题
【分析】根据抛物线的开口方向可得a＜0，根据抛物线对称轴可得方程ax2+bx+c=0的根为x=﹣1，x=3；根据图象可得x=1时，y＞0；根据抛物线可直接得到x＜1时，y随x的增大而增大．
【解答】解：A、因为抛物线开口向下，因此a＜0，故此选项错误；
B、根据对称轴为x=1，一个交点坐标为（﹣1，0）可得另一个与x轴的交点坐标为（3，0）因此3是方程ax2+bx+c=0的一个根，故此选项正确；
C、把x=1代入二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）中得：y=a+b+c，由图象可得，y＞0，故此选项错误；
D、当x＜1时，y随x的增大而增大，故此选项错误；
故选B．
【点评】此题主要考查了二次函数图象与系数的关系，关键是从抛物线中的得到正确信息．
①二次项系数a决定抛物线的开口方向和大小．
当a＞0时，抛物线向上开口；当a＜0时，抛物线向下开口；IaI还可以决定开口大小，IaI越大开口就越小．
②一次项系数b和二次项系数a共同决定对称轴的位置．
当a与b同号时（即ab＞0），对称轴在y轴左； 当a与b异号时（即ab＜0），对称轴在y轴右．（简称：左同右异）
③常数项c决定抛物线与y轴交点． 抛物线与y轴交于（0，c）．
④抛物线与x轴交点个数．△=b2﹣4ac＞0时，抛物线与x轴有2个交点；△=b2﹣4ac=0时，抛物线与x轴有1个交点；△=b2﹣4ac＜0时，抛物线与x轴没有交点．
5．在反比例函数y=中，当x＞0时，y随x的增大而增大，则二次函数y=mx2+mx的图象大致是图中的（ ）
A．B．C．D．
【考点】H4：二次函数图象与系数的关系；G4：反比例函数的性质．
【专题】选择题
【分析】根据反比例函数图象的性质确定出m＜0，则二次函数y=mx2+mx的图象开口方向向下，且与y轴交于负半轴，即可得出答案．
【解答】解：∵反比例函数y=，中，当x＞0时，y随x的增大而增大，
∴根据反比例函数的性质可得m＜0；
该反比例函数图象经过第二、四象限，
∴二次函数y=mx2+mx的图象开口方向向下，且与y轴交于负半轴．
∴只有A选项符合．
故选A．
【点评】本题考查了二次函数图象、反比例函数图象．利用反比例函数的性质，推知m＜0是解题的关键，体现了数形结合的思想．
6．二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，下列结论正确的是（ ）
A．a＜0B．b2﹣4ac＜0
C．当﹣1＜x＜3时，y＞0D．﹣
【考点】H4：二次函数图象与系数的关系．
【专题】选择题
【分析】根据二次函数的图象与系数的关系对各选项进行逐一分析即可．
【解答】解：A、∵抛物线的开口向上，∴a＞0，故选项A错误；
B、∵抛物线与x轴有两个不同的交点，∴△=b2﹣4ac＞0，故选项B错误；
C、由函数图象可知，当﹣1＜x＜3时，y＜0，故选项C错误；
D、∵抛物线与x轴的两个交点分别是（﹣1，0），（3，0），∴对称轴x=﹣==1，故选项D正确．
故选D．
【点评】本题考查的是二次函数的图象与系数的关系，能利用数形结合求解是解答此题的关键．
7．已知二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，则下列五个结论中：①a+b+c＜0；②a﹣b+c＞0；③2a﹣b＜0；④abc＜0；⑤4a+2b+c＞0，错误的个数有（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
【考点】H4：二次函数图象与系数的关系．
【专题】选择题
【分析】分别结合图象判定出x=1，﹣1，2时对应y的值，再利用对称轴位置以及抛物线与坐标轴交点得出答案．
【解答】解：如图所示：当x=1时，y=a+b+c＜0，故①a+b+c＜0正确；
当x=﹣1时，y=a+b+c＜0，故②a﹣b+c＞0，错误；
③∵﹣＞﹣1，
∴＜1，
∴b＞2a，
即2a﹣b＜0，故此选项正确；
∵抛物线开口向下，∴a＜0，
∵0＞﹣＞﹣1，
∴b＜0，
∵抛物线与y轴交与负半轴，
∴c＜0，
∴abc＜0，
故选项④正确；
当x=2时，⑤y=4a+2b+c＜0，故此选项错误，
故错误的有2个．
故选B．
【点评】此题主要考查了二次函数图象与系数的关系，熟练利用数形结合得出是解题关键．
8．如图，二次函数y=ax2+bx+c的图象与y轴正半轴相交，其顶点的坐标为（，1），下列结论：①c＞0；②b2﹣4ac＞0；③a+b=0；④4ac﹣b2＞4a，其中错误的是（ ）
A．①B．②C．③D．④
【考点】H4：二次函数图象与系数的关系．
【专题】选择题
【分析】①根据抛物线与y轴的交点坐标即可确定；
②根据抛物线与x轴的交点情况即可判定；
③根据抛物线的对称轴即可判定；
④根据抛物线的顶点纵坐标即可判定．
【解答】解：①抛物线与y轴正半轴相交，∴c＞0，故①正确；
②抛物线与x轴相交于两个交点，∴b2﹣4ac＞0，故②正确；
③∵抛物线的对称轴为x=，∴x=﹣=，∴a+b=0，故③正确；
④∵抛物线顶点的纵坐标为1，∴=1，∴4ac﹣b2=4a，故④错误；
其中错误的是④．
故选D．
【点评】此题主要考查二次函数图象与系数之间的关系，会利用对称轴的范围求2a与b的关系，以及二次函数的自变量与对应的函数值，顶点坐标的熟练运用．
9．如图，已知二次函数的图象与x轴的两个交点分别为（﹣1，0），（3，0），对于下列结论：①2a+b=0；②abc＜0；③a+b+c＞0；④当x＞1时，y随x的增大而减小；其中正确的有（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
【考点】H4：二次函数图象与系数的关系．
【专题】选择题
【分析】根据抛物线的对称性得到抛物线的对称轴为直线x=1，根据抛物线对称轴方程得到﹣=1，则可对①进行判断；由抛物线开口方向得到a＜0，由b=﹣2a得到b＞0，由抛物线与y轴的交点在x轴上方得到c＞0，则可对②进行判断；利用x=1时，y＞0可对③进行判断；根据二次函数的性质对④进行判断．
【解答】解：∵二次函数的图象与x轴的两个交点分别为（﹣1，0），（3，0），
∴抛物线的对称轴为直线x=1，
∴﹣=1，即2a+b=0，所以①正确；
∵抛物线开口向下，
∴a＜0，
∵b=﹣2a，
∴b＞0，
∵抛物线与y轴的交点在x轴上方，
∴c＞0，
∴abc＜0，所以②正确；
∵x=1时，y＞0，
∴a+b+c＞0，所以③正确；
∵抛物线的对称轴为直线x=1，抛物线开口向下，
∴当x＞1时，y随x的增大而减小，所以④正确．
故选D．
【点评】本题考查了二次函数与系数的关系：对于二次函数y=ax2+bx+c（a≠0），二次项系数a决定抛物线的开口方向和大小：当a＞0时，抛物线向上开口；抛物线向下开口；一次项系数b和二次项系数a共同决定对称轴的位置：当a与b同号时（即ab＞0），对称轴在y轴左；当a与b异号时（即ab＜0），对称轴在y轴右．常数项c决定抛物线与y轴交点：抛物线与y轴交于（0，c）．抛物线与x轴交点个数由△决定：△=b2﹣4ac＞0时，抛物线与x轴有2个交点；△=b2﹣4ac=0时，抛物线与x轴有1个交点；△=b2﹣4ac＜0时，抛物线与x轴没有交点．
10．二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，则下列说法不正确的是（ ）
A．b2﹣4ac＞0B．a＞0C．c＞0D．
【考点】H4：二次函数图象与系数的关系．
【专题】选择题
【分析】由抛物线的开口方向判断a与0的关系，由抛物线与y轴的交点判断c与0的关系，然后根据对称轴及抛物线与x轴交点情况进行推理，进而对所得结论进行判断．
【解答】解：A、正确，∵抛物线与x轴有两个交点，∴△=b2﹣4ac＞0；
B、正确，∵抛物线开口向上，∴a＞0；
C、正确，∵抛物线与y轴的交点在y轴的正半轴，∴c＞0；
D、错误，∵抛物线的对称轴在x的正半轴上，∴﹣＞0．
故选D．
【点评】主要考查二次函数图象与系数之间的关系，以及二次函数与方程之间的转换，根的判别式的熟练运用．
11．如图是二次函数y=ax2+bx+c图象的一部分，其对称轴为x=﹣1，且过点（﹣3，0）．下列说法：
①abc＜0；
②2a﹣b=0；
③4a+2b+c＜0；
④若（﹣5，y1），（，y2）是抛物线上两点，则y1＞y2．
其中说法正确的是（ ）
A．①②B．②③C．①②④D．②③④
【考点】H4：二次函数图象与系数的关系．
【专题】选择题
【分析】根据图象得出a＞0，b=2a＞0，c＜0，即可判断①②；把x=2代入抛物线的解析式即可判断③，求出点（﹣5，y1）关于对称轴的对称点的坐标是（3，y1），根据当x＞﹣1时，y随x的增大而增大即可判断④．
【解答】解：∵二次函数的图象的开口向上，
∴a＞0，
∵二次函数的图象y轴的交点在y轴的负半轴上，
∴c＜0，
∵二次函数图象的对称轴是直线x=﹣1，
∴﹣=﹣1，
∴b=2a＞0，
∴abc＜0，∴①正确；
2a﹣b=2a﹣2a=0，∴②正确；
∵二次函数y=ax2+bx+c图象的一部分，其对称轴为x=﹣1，且过点（﹣3，0）．
∴与x轴的另一个交点的坐标是（1，0），
∴把x=2代入y=ax2+bx+c得：y=4a+2b+c＞0，∴③错误；
∵二次函数y=ax2+bx+c图象的对称轴为x=﹣1，
∴点（﹣5，y1）关于对称轴的对称点的坐标是（3，y1），
根据当x＞﹣1时，y随x的增大而增大，
∵＜3，
∴y2＜y1，∴④正确；
故选C．
【点评】本题考查了二次函数的图象与系数的关系的应用，题目比较典型，主要考查学生的理解能力和辨析能力．
12．若二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，则下列选项正确的是（ ）
A．a＞0B．c＞0C．ac＞0D．bc＜0
【考点】H4：二次函数图象与系数的关系．
【专题】选择题
【分析】由抛物线开口向下得到a小于0，再根据对称轴在y轴左侧得到a与b同号得到b大于0，由抛物线与y轴交点在负半轴得到c小于0，即可作出判断．
【解答】解：根据图象得：a＜0，c＜0，b＜0，
则ac＞0，bc＞0，
故选C．
【点评】此题考查了二次函数图象与系数的关系，会利用对称轴的范围求2a与b的关系，以及二次函数与方程之间的转换，根的判别式的熟练运用．
13．函数y=x2+bx+c与y=x的图象如图所示，有以下结论：
①b2﹣4c＞0；②b+c+1=0；③3b+c+6=0；④当1＜x＜3时，x2+（b﹣1）x+c＜0．
其中正确的个数为（ ）
A．1B．2C．3D．4
【考点】H4：二次函数图象与系数的关系．
【专题】选择题
【分析】由函数y=x2+bx+c与x轴无交点，可得b2﹣4c＜0；当x=1时，y=1+b+c=1；当x=3时，y=9+3b+c=3；当1＜x＜3时，二次函数值小于一次函数值，可得x2+bx+c＜x，继而可求得答案．
【解答】解：∵函数y=x2+bx+c与x轴无交点，
∴b2﹣4ac＜0；
故①错误；
当x=1时，y=1+b+c=1，
故②错误；
∵当x=3时，y=9+3b+c=3，
∴3b+c+6=0；
③正确；
∵当1＜x＜3时，二次函数值小于一次函数值，
∴x2+bx+c＜x，
∴x2+（b﹣1）x+c＜0．
故④正确．
故选B．
【点评】主要考查图象与二次函数系数之间的关系．此题难度适中，注意掌握数形结合思想的应用．
14．抛物线y=ax2+bx+c的顶点为D（﹣1，2），与x轴的一个交点A在点（﹣3，0）和（﹣2，0）之间，其部分图象如图，则以下结论：
①b2﹣4ac＜0；②a+b+c＜0；③c﹣a=2；④方程ax2+bx+c﹣2=0有两个相等的实数根．
其中正确结论的个数为（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
【考点】H4：二次函数图象与系数的关系；HA：抛物线与x轴的交点．
【专题】选择题
【分析】由抛物线与x轴有两个交点得到b2﹣4ac＞0；有抛物线顶点坐标得到抛物线的对称轴为直线x=﹣1，则根据抛物线的对称性得抛物线与x轴的另一个交点在点（0，0）和（1，0）之间，所以当x=1时，y＜0，则a+b+c＜0；由抛物线的顶点为D（﹣1，2）得a﹣b+c=2，由抛物线的对称轴为直线x=﹣=﹣1得b=2a，所以c﹣a=2；根据二次函数的最大值问题，当x=﹣1时，二次函数有最大值为2，即只有x=﹣1时，ax2+bx+c=2，所以说方程ax2+bx+c﹣2=0有两个相等的实数根．
【解答】解：∵抛物线与x轴有两个交点，
∴b2﹣4ac＞0，所以①错误；
∵顶点为D（﹣1，2），
∴抛物线的对称轴为直线x=﹣1，
∵抛物线与x轴的一个交点A在点（﹣3，0）和（﹣2，0）之间，
∴抛物线与x轴的另一个交点在点（0，0）和（1，0）之间，
∴当x=1时，y＜0，
∴a+b+c＜0，所以②正确；
∵抛物线的顶点为D（﹣1，2），
∴a﹣b+c=2，
∵抛物线的对称轴为直线x=﹣=﹣1，
∴b=2a，
∴a﹣2a+c=2，即c﹣a=2，所以③正确；
∵当x=﹣1时，二次函数有最大值为2，
即只有x=﹣1时，ax2+bx+c=2，
∴方程ax2+bx+c﹣2=0有两个相等的实数根，所以④正确．
故选C．
【点评】本题考查了二次函数的图象与系数的关系：二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象为抛物线，当a＞0，抛物线开口向上；对称轴为直线x=﹣；抛物线与y轴的交点坐标为（0，c）；当b2﹣4ac＞0，抛物线与x轴有两个交点；当b2﹣4ac=0，抛物线与x轴有一个交点；当b2﹣4ac＜0，抛物线与x轴没有交点．
15．已知二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示．下列结论：
①abc＞0；②2a﹣b＜0；③4a﹣2b+c＜0；④（a+c）2＜b2
其中正确的个数有（ ）
A．1B．2C．3D．4
【考点】H4：二次函数图象与系数的关系．
【专题】选择题
【分析】由抛物线开口方向得a＜0，由抛物线对称轴在y轴的左侧得a、b同号，即b＜0，由抛物线与y轴的交点在x轴上方得c＞0，所以abc＞0；根据抛物线对称轴的位置得到﹣1＜﹣＜0，则根据不等式性质即可得到2a﹣b＜0；由于x=﹣2时，对应的函数值小于0，则4a﹣2b+c＜0；同样当x=﹣1时，a﹣b+c＞0，x=1时，a+b+c＜0，则（a﹣b+c）（a+b+c）＜0，利用平方差公式展开得到（a+c）2﹣b2＜0，即（a+c）2＜b2．
【解答】解：∵抛物线开口向下，
∴a＜0，
∵抛物线的对称轴在y轴的左侧，
∴x=﹣＜0，
∴b＜0，
∵抛物线与y轴的交点在x轴上方，
∴c＞0，
∴abc＞0，（故①正确）；
∵﹣1＜﹣＜0，
∴2a﹣b＜0，（故②正确）；
∵当x=﹣2时，y＜0，
∴4a﹣2b+c＜0，（故③正确）；
∵当x=﹣1时，y＞0，
∴a﹣b+c＞0，
∵当x=1时，y＜0，
∴a+b+c＜0，
∴（a﹣b+c）（a+b+c）＜0，即（a+c﹣b）（a+c+b）＜0，
∴（a+c）2﹣b2＜0，（故④正确）．
综上所述，正确的个数有4个；
故选D．
【点评】本题考查了二次函数的图象与系数的关系：二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象为抛物线，当a＞0，抛物线开口向上；对称轴为直线x=﹣；抛物线与y轴的交点坐标为（0，c）；当b2﹣4ac＞0，抛物线与x轴有两个交点；当b2﹣4ac=0，抛物线与x轴有一个交点；当b2﹣4ac＜0，抛物线与x轴没有交点．
16．已知a、h、k为三数，且二次函数y=a（x﹣h）2+k在坐标平面上的图形通过（0，5）、（10，8）两点．若a＜0，0＜h＜10，则h之值可能为下列何者？（ ）
A．1B．3C．5D．7
【考点】H4：二次函数图象与系数的关系．
【专题】选择题
【分析】先画出抛物线的大致图象，根据顶点式得到抛物线的对称轴为直线x=h，由于抛物线过（0，5）、（10，8）两点．若a＜0，0＜h＜10，则点（0，5）到对称轴的距离大于点（10，8）到对称轴的距离，所以h﹣0＞10﹣h，然后解不等式后进行判断．
【解答】解：∵抛物线的对称轴为直线x=h，
而（0，5）、（10，8）两点在抛物线上，
∴h﹣0＞10﹣h，解得h＞5．
故选D．
【点评】本题考查了二次函数图象与系数的关系：二次函数y=ax2+bx+c（a≠0），二次项系数a决定抛物线的开口方向和大小，当a＞0时，抛物线向上开口；当a＜0时，抛物线向下开口；一次项系数b和二次项系数a共同决定对称轴的位置，当a与b同号时（即ab＞0），对称轴在y轴左； 当a与b异号时（即ab＜0），对称轴在y轴右；常数项c决定抛物线与y轴交点． 抛物线与y轴交于（0，c）；抛物线与x轴交点个数由△决定，△=b2﹣4ac＞0时，抛物线与x轴有2个交点；△=b2﹣4ac=0时，抛物线与x轴有1个交点；△=b2﹣4ac＜0时，抛物线与x轴没有交点．
17．如图为二次函数y=ax2+bx+c的图象，给出下列说法：
①ab＞0；
②方程ax2+bx+c=0的根为x1=﹣1，x2=3；
③a+b+c＞0；
④当x＞1时，随x值的增大而增大．
其中正确的说法有 ②③ ．
【考点】H4：二次函数图象与系数的关系．
【专题】填空题
【分析】①由抛物线的开口向下，对称轴在y轴的右侧，判断a，b与0的关系，得到ab＜0；故①错误；
②由抛物线与x轴的交点坐标得到方程ax2+bx+c=0的根为x1=﹣1，x2=3；故②正确；
③由x=1时，得到y=a+b+c＞0；故③正确；
④根据对称轴x=1，得到当x＞1时，随x值的增大而减小，故错误．
【解答】解：①∵抛物线的开口向下，
∴a＜0，∵对称轴在y轴的右侧，
∴b＞0
∴ab＜0；故①错误；
②∵抛物线与x轴交于（﹣1，0），（3，0），
∴方程ax2+bx+c=0的根为x1=﹣1，x2=3；故②正确；
③当x=1时，a+b+c＞0；故③正确；
④∵当x＞1时，随x值的增大而减小，故错误．
故答案为：②③．
【点评】本题主要考查图象与二次函数系数之间的关系，会利用对称轴的范围求2a与b的关系，以及二次函数与方程之间的转换，根的判别式的熟练运用．
18．抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）经过点（1，2）和（﹣1，﹣6）两点，则a+c= ﹣2 ．
【考点】H8：待定系数法求二次函数解析式．
【专题】填空题
【分析】把两点的坐标代入二次函数的解析式，通过①+②，得出2a+2c=﹣4，即可得出a+c的值．
【解答】解：把点（1，2）和（﹣1，﹣6）分别代入y=ax2+bx+c（a≠0）得：
，
①+②得：2a+2c=﹣4，
则a+c=﹣2；
故答案为：﹣2．
【点评】此题考查了待定系数法求二次函数的解析式，解题的关键是通过①+②，得到2a+2c的值，再作为一个整体出现，不要单独去求a，c的值．
19．如图，P是抛物线y=﹣x2+x+2在第一象限上的点，过点P分别向x轴和y轴引垂线，垂足分别为A，B，则四边形OAPB周长的最大值为 6 ．
【考点】H7：二次函数的最值；H5：二次函数图象上点的坐标特征．
【专题】填空题
【分析】设P（x，y）（2＞x＞0，y＞0），根据矩形的周长公式得到C=﹣2（x﹣1）2+6．根据二次函数的性质来求最值即可．
【解答】解：∵y=﹣x2+x+2，
∴当y=0时，﹣x2+x+2=0即﹣（x﹣2）（x+1）=0，
解得 x=2或x=﹣1
故设P（x，y）（2＞x＞0，y＞0），
∴C=2（x+y）=2（x﹣x2+x+2）=﹣2（x﹣1）2+6．
∴当x=1时，C最大值=6，．
即：四边形OAPB周长的最大值为6．
故答案是：6．
【点评】本题考查了二次函数的最值，二次函数图象上点的坐标特征．求二次函数的最大（小）值有三种方法，第一种可由图象直接得出，第二种是配方法，第三种是公式法．本题采用了配方法．
20．二次函数y=﹣x2+bx+c的图象如图所示，则一次函数y=bx+c的图象不经过第 四 象限．
【考点】H4：二次函数图象与系数的关系；F7：一次函数图象与系数的关系．
【专题】填空题
【分析】由抛物线的对称轴在y轴右侧，得到a与b异号，根据抛物线开口向下得到a小于0，故b大于0，再利用抛物线与y轴交点在y轴正半轴，得到c大于0，利用一次函数的性质即可判断出一次函数y=bx+c不经过的象限．
【解答】解：根据图象得：a＜0，b＞0，c＞0，
故一次函数y=bx+c的图象不经过第四象限．
故答案为：四．
【点评】此题考查了二次函数图象与系数的关系，以及一次函数图象与系数的关系，熟练掌握一次、二次函数的图象与性质是解本题的关键．
21．如图，抛物线y=a（x﹣1）2+4与x轴交于点A，B，与y轴交于点C，过点C作CD∥x轴交抛物线的对称轴于点D，连接BD，已知点A的坐标为（﹣1，0）
(1)求该抛物线的解析式；
(2)求梯形COBD的面积．
【考点】H8：待定系数法求二次函数解析式；H3：二次函数的性质；HA：抛物线与x轴的交点．
【专题】填空题
【分析】(1)将A坐标代入抛物线解析式，求出a的值，即可确定出解析式；
(2)抛物线解析式令x=0求出y的值，求出OC的长，根据对称轴求出CD的长，令y=0求出x的值，确定出OB的长，利用梯形面积公式即可求出梯形COBD的面积．
【解答】解：(1)将A（﹣1，0）代入y=a（x﹣1）2+4中，得：0=4a+4，
解得：a=﹣1，
则抛物线解析式为y=﹣（x﹣1）2+4；
(2)对于抛物线解析式，令x=0，得到y=3，即OC=3，
∵抛物线解析式为y=﹣（x﹣1）2+4的对称轴为直线x=1，
∴CD=1，
∵A（﹣1，0），
∴B（3，0），即OB=3，
则S梯形COBD==6．
【点评】此题考查了利用待定系数法求二次函数解析式，二次函数的性质，以及二次函数与x轴的交点，熟练掌握待定系数法是解本题的关键．
22．如图，抛物线y=x2﹣bx+c交x轴于点A（1，0），交y轴于点B，对称轴是x=2．
(1)求抛物线的解析式；
(2)点P是抛物线对称轴上的一个动点，是否存在点P，使△PAB的周长最小？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
【考点】H8：待定系数法求二次函数解析式；PA：轴对称﹣最短路线问题．
【专题】解答题
【分析】(1)根据抛物线经过点A（1，0），对称轴是x=2列出方程组，解方程组求出b、c的值即可；
(2)因为点A与点C关于x=2对称，根据轴对称的性质，连接BC与x=2交于点P，则点P即为所求，求出直线BC与x=2的交点即可．
【解答】解：(1)由题意得，，
解得b=4，c=3，
∴抛物线的解析式为．y=x2﹣4x+3；
(2)∵点A与点C关于x=2对称，
∴连接BC与x=2交于点P，则点P即为所求，
根据抛物线的对称性可知，点C的坐标为（3，0），
y=x2﹣4x+3与y轴的交点为（0，3），
∴设直线BC的解析式为：y=kx+b，
，
解得，k=﹣1，b=3，
∴直线BC的解析式为：y=﹣x+3，
则直线BC与x=2的交点坐标为：（2，1）
∴点P的坐标为：（2，1）．
【点评】本题考查的是待定系数法求二次函数的解析式和最短路径问题，掌握待定系数法求解析式的一般步骤和轴对称的性质是解题的关键．
23．在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=2x2+mx+n经过点A（0，﹣2），B（3，4）．
(1)求抛物线的表达式及对称轴；
(2)设点B关于原点的对称点为C，点D是抛物线对称轴上一动点，且点D纵坐标为t，记抛物线在A，B之间的部分为图象G（包含A，B两点）．若直线CD 与图象G有公共点，结合函数图象，求点D纵坐标t的取值范围．
【考点】H8：待定系数法求二次函数解析式；FA：待定系数法求一次函数解析式；H7：二次函数的最值．
【专题】解答题
【分析】(1)将A与B坐标代入抛物线解析式求出m与n的值，确定出抛物线解析式，求出对称轴即可；
(2)由题意确定出C坐标，以及二次函数的最小值，确定出D纵坐标的最小值，求出直线BC解析式，令x=1求出y的值，即可确定出t的范围．
【解答】解：(1)∵抛物线y=2x2+mx+n经过点A（0，﹣2），B（3，4），
代入得：，
解得：，
∴抛物线解析式为y=2x2﹣4x﹣2，对称轴为直线x=1；
(2)由题意得：C（﹣3，﹣4），二次函数y=2x2﹣4x﹣2的最小值为﹣4，
由函数图象得出D纵坐标最小值为﹣4，
设直线BC解析式为y=kx+b，
将B与C坐标代入得：，
解得：k=，b=0，
∴直线BC解析式为y=x，
当x=1时，y=，
则t的范围为﹣4≤t≤．
【点评】此题考查了待定系数法求二次函数解析式，待定系数法求一次函数解析式，以及函数的最值，熟练掌握待定系数法是解本题的关键．
24．如图，抛物线y=ax2+2x+c经过点A（0，3），B（﹣1，0），请解答下列问题：
(1)求抛物线的解析式；
(2)抛物线的顶点为点D，对称轴与x轴交于点E，连接BD，求BD的长．
注：抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）的顶点坐标是（﹣，）．
【考点】H8：待定系数法求二次函数解析式；H3：二次函数的性质．
【专题】解答题
【分析】(1)将A与B代入抛物线解析式求出a与c的值，即可确定出抛物线解析式；
(2)利用顶点坐标公式表示出D点坐标，进而确定出E点坐标，得到DE与OE的长，根据B点坐标求出BO的长，进而求出BE的长，在直角三角形BED中，利用勾股定理求出BD的长．
【解答】解：(1)∵抛物线y=ax2+2x+c经过点A（0，3），B（﹣1，0），
∴将A与B坐标代入得：，
解得：，
则抛物线解析式为y=﹣x2+2x+3；
(2)点D为抛物线顶点，由顶点坐标（﹣，）得，D（1，4），
∵对称轴与x轴交于点E，
∴DE=4，OE=1，
∵B（﹣1，0），
∴BO=1，
∴BE=2，
在Rt△BED中，根据勾股定理得：BD===2．
【点评】此题考查了待定系数法求二次函数解析式，以及二次函数的性质，熟练掌握待定系数法是解本题的关键．
25．已知二次函数图象的顶点坐标为（1，﹣1），且经过原点（0，0），求该函数的解析式．
【考点】H8：待定系数法求二次函数解析式．
【专题】解答题
【分析】设二次函数的解析式为y=a（x﹣1）2﹣1（a≠0），然后把原点坐标代入求解即可．
【解答】解：设二次函数的解析式为y=a（x﹣1）2﹣1（a≠0），
∵函数图象经过原点（0，0），
∴a（0﹣1）2﹣1=0，
解得a=1，
∴该函数解析式为y=（x﹣1）2﹣1．
【点评】本题考查了待定系数法求二次函数解析式，利用顶点式解析式求解更加简便．
26．如图①，已知抛物线y=ax2+bx+c经过点A（0，3），B（3，0），C（4，3）．
(1)求抛物线的函数表达式；
(2)求抛物线的顶点坐标和对称轴；
(3)把抛物线向上平移，使得顶点落在x轴上，直接写出两条抛物线、对称轴和y轴围成的图形的面积S（图②中阴影部分）．
【考点】H8：待定系数法求二次函数解析式；H3：二次函数的性质；H6：二次函数图象与几何变换．
【专题】解答题
【分析】(1)把点A、B、C代入抛物线解析式y=ax2+bx+c利用待定系数法求解即可；
(2)把抛物线解析式整理成顶点式形式，然后写出顶点坐标与对称轴即可；
(3)根据顶点坐标求出向上平移的距离，再根据阴影部分的面积等于平行四边形的面积，列式进行计算即可得解．
【解答】解：(1)∵抛物线y=ax2+bx+c经过点A（0，3），B（3，0），C（4，3），
∴，
解得，
所以抛物线的函数表达式为y=x2﹣4x+3；
(2)∵y=x2﹣4x+3=（x﹣2）2﹣1，
∴抛物线的顶点坐标为（2，﹣1），对称轴为直线x=2；
(3)如图，∵抛物线的顶点坐标为（2，﹣1），
∴PP′=1，
阴影部分的面积等于平行四边形A′APP′的面积，
平行四边形A′APP′的面积=1×2=2，
∴阴影部分的面积=2．
【点评】本题考查了待定系数法求二次函数解析式，二次函数的性质，二次函数图象与几何变换，(3)根据平移的性质，把阴影部分的面积转化为平行四边形的面积是解题的关键．
一、选择题
1．二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，则下列结论中正确的是（ ）
A．a＞0B．当﹣1＜x＜3时，y＞0
C．c＜0 D．当x≥1时，y随x的增大而增大
2．二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示，则下列结论正确的是（ ）
A．a＜0，b＜0，c＞0，b2﹣4ac＞0 B．a＞0，b＜0，c＞0，b2﹣4ac＜0
C．a＜0，b＞0，c＜0，b2﹣4ac＞0 D．a＜0，b＞0，c＞0，b2﹣4ac＞0
3．已知二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象经过点（x1，0）、（2，0），且﹣2＜x1＜﹣1，与y轴正半轴的交点在（0，2）的下方，则下列结论：①abc＜0；②b2＞4ac；③2a+b+1＜0；④2a+c＞0．则其中正确结论的序号是（ ）
A．①②B．②③C．①②④D．①②③④
4．已知二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，则下列结论中正确的是（ ）
A．a＞0
B．3是方程ax2+bx+c=0的一个根
C．a+b+c=0
D．当x＜1时，y随x的增大而减小
5．在反比例函数y=中，当x＞0时，y随x的增大而增大，则二次函数y=mx2+mx的图象大致是图中的（ ）
A．B．
C．D．
6．二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，下列结论正确的是（ ）
A．a＜0 B．b2﹣4ac＜0
C．当﹣1＜x＜3时，y＞0 D．﹣
7．已知二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，则下列五个结论中：①a+b+c＜0；②a﹣b+c＞0；③2a﹣b＜0；④abc＜0；⑤4a+2b+c＞0，错误的个数有（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
8．如图，二次函数y=ax2+bx+c的图象与y轴正半轴相交，其顶点的坐标为（，1），下列结论：①c＞0；②b2﹣4ac＞0；③a+b=0；④4ac﹣b2＞4a，其中错误的是（ ）
A．①B．②C．③D．④
9．如图，已知二次函数的图象与x轴的两个交点分别为（﹣1，0），（3，0），对于下列结论：①2a+b=0；②abc＜0；③a+b+c＞0；④当x＞1时，y随x的增大而减小；其中正确的有（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
10．二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，则下列说法不正确的是（ ）
A．b2﹣4ac＞0 B．a＞0 C．c＞0 D．
11．如图是二次函数y=ax2+bx+c图象的一部分，其对称轴为x=﹣1，且过点（﹣3，0）．下列说法：
①abc＜0；
②2a﹣b=0；
③4a+2b+c＜0；
④若（﹣5，y1），（，y2）是抛物线上两点，则y1＞y2．
其中说法正确的是（ ）
A．①②B．②③C．①②④D．②③④
12．若二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，则下列选项正确的是（ ）
A．a＞0B．c＞0C．ac＞0D．bc＜0
13．函数y=x2+bx+c与y=x的图象如图所示，有以下结论：
①b2﹣4c＞0；②b+c+1=0；③3b+c+6=0；④当1＜x＜3时，x2+（b﹣1）x+c＜0．
其中正确的个数为（ ）
A．1B．2C．3D．4
14．抛物线y=ax2+bx+c的顶点为D（﹣1，2），与x轴的一个交点A在点（﹣3，0）和（﹣2，0）之间，其部分图象如图，则以下结论：
①b2﹣4ac＜0；②a+b+c＜0；③c﹣a=2；④方程ax2+bx+c﹣2=0有两个相等的实数根．
其中正确结论的个数为（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
15．已知二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示．下列结论：
①abc＞0；②2a﹣b＜0；③4a﹣2b+c＜0；④（a+c）2＜b2
其中正确的个数有（ ）
A．1B．2C．3D．4
16．已知a、h、k为三数，且二次函数y=a（x﹣h）2+k在坐标平面上的图形通过（0，5）、（10，8）两点．若a＜0，0＜h＜10，则h之值可能为下列何者？（ ）
A．1B．3C．5D．7
二、填空题
17．如图为二次函数y=ax2+bx+c的图象，给出下列说法：
①ab＞0；
②方程ax2+bx+c=0的根为x1=﹣1，x2=3；
③a+b+c＞0；
④当x＞1时，随x值的增大而增大．
其中正确的说法有 ．
18．抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）经过点（1，2）和（﹣1，﹣6）两点，则a+c= ．
19．如图，P是抛物线y=﹣x2+x+2在第一象限上的点，过点P分别向x轴和y轴引垂线，垂足分别为A，B，则四边形OAPB周长的最大值为 ．
20．二次函数y=﹣x2+bx+c的图象如图所示，则一次函数y=bx+c的图象不经过第
象限．
三、解答题
21．如图，抛物线y=a（x﹣1）2+4与x轴交于点A，B，与y轴交于点C，过点C作CD∥x轴交抛物线的对称轴于点D，连接BD，已知点A的坐标为（﹣1，0）
(1)求该抛物线的解析式；
(2)求梯形COBD的面积．
22．如图，抛物线y=x2﹣bx+c交x轴于点A（1，0），交y轴于点B，对称轴是x=2．
(1)求抛物线的解析式；
(2)点P是抛物线对称轴上的一个动点，是否存在点P，使△PAB的周长最小？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
23．在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=2x2+mx+n经过点A（0，﹣2），B（3，4）．
(1)求抛物线的表达式及对称轴；
(2)设点B关于原点的对称点为C，点D是抛物线对称轴上一动点，且点D纵坐标为t，记抛物线在A，B之间的部分为图象G（包含A，B两点）．若直线CD 与图象G有公共点，结合函数图象，求点D纵坐标t的取值范围．
24．如图，抛物线y=ax2+2x+c经过点A（0，3），B（﹣1，0），请解答下列问题：
(1)求抛物线的解析式；
(2)抛物线的顶点为点D，对称轴与x轴交于点E，连接BD，求BD的长．
注：抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）的顶点坐标是（﹣，）．
25．已知二次函数图象的顶点坐标为（1，﹣1），且经过原点（0，0），求该函数的解析式．
26．如图①，已知抛物线y=ax2+bx+c经过点A（0，3），B（3，0），C（4，3）．
(1)求抛物线的函数表达式；
(2)求抛物线的顶点坐标和对称轴；
(3)把抛物线向上平移，使得顶点落在x轴上，直接写出两条抛物线、对称轴和y轴围成的图形的面积S（图②中阴影部分）．
参考答案与试题解析
1．二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，则下列结论中正确的是（ ）
A．a＞0B．当﹣1＜x＜3时，y＞0
C．c＜0 D．当x≥1时，y随x的增大而增大
【考点】H4：二次函数图象与系数的关系．
【专题】选择题
【分析】由抛物线的开口方向判断a与0的关系，由抛物线与y轴的交点判断c与0的关系，然后根据对称轴及抛物线与x轴交点情况进行推理，进而对所得结论进行判断．
【解答】解：A、抛物线的开口方向向下，则a＜0．故A选项错误；
B、根据图示知，抛物线的对称轴为x=1，抛物线与x轴的一交点的横坐标是﹣1，则抛物线与x轴的另一交点的横坐标是3，
所以当﹣1＜x＜3时，y＞0．故B选项正确；
C、根据图示知，该抛物线与y轴交于正半轴，则c＞0．故C选项错误；
D、根据图示知，当x≥1时，y随x的增大而减小，故D选项错误．
故选B．
【点评】本题考查了二次函数图象与系数的关系．二次函数y=ax2+bx+c系数符号由抛物线开口方向、对称轴、抛物线与y轴的交点抛物线与x轴交点的个数确定．
2．二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示，则下列结论正确的是（ ）
A．a＜0，b＜0，c＞0，b2﹣4ac＞0B．a＞0，b＜0，c＞0，b2﹣4ac＜0
C．a＜0，b＞0，c＜0，b2﹣4ac＞0D．a＜0，b＞0，c＞0，b2﹣4ac＞0
【考点】H4：二次函数图象与系数的关系．
【专题】选择题
【分析】由抛物线的开口方向判断a与0的关系，再结合抛物线的对称轴与y轴的关系判断b与0的关系，由抛物线与y轴的交点判断c与0的关系，根据抛物线与x轴交点的个数判断b2﹣4ac与0的关系．
【解答】解：∵抛物线的开口向下，
∴a＜0，
∵对称轴在y轴右边，
∴a，b异号即b＞0，
∵抛物线与y轴的交点在正半轴，
∴c＞0，
∵抛物线与x轴有2个交点，
∴b2﹣4ac＞0．
故选D．
【点评】二次函数y=ax2+bx+c系数符号的确定：
(1)a由抛物线开口方向确定：开口方向向上，则a＞0；否则a＜0．
(2)b由对称轴和a的符号确定：由对称轴公式x=判断符号．
(3)c由抛物线与y轴的交点确定：交点在y轴正半轴，则c＞0；否则c＜0．
(4)b2﹣4ac由抛物线与x轴交点的个数确定：2个交点，b2﹣4ac＞0；1个交点，b2﹣4ac=0；没有交点，b2﹣4ac＜0．
3．已知二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象经过点（x1，0）、（2，0），且﹣2＜x1＜﹣1，与y轴正半轴的交点在（0，2）的下方，则下列结论：①abc＜0；②b2＞4ac；③2a+b+1＜0；④2a+c＞0．则其中正确结论的序号是（ ）
A．①②B．②③C．①②④D．①②③④
【考点】H4：二次函数图象与系数的关系．
【专题】选择题
【分析】由于抛物线过点（x1，0）、（2，0），且﹣2＜x1＜﹣1，与y轴正半轴相交，则得到抛物线开口向下，对称轴在y轴右侧，于是可判断a＜0，b＞0，c＞0，所以abc＜0；利用抛物线与x轴有两个交点得到b2﹣4ac＞0，即b2＞4ac；由于x=2时，y=0，即4a+2b+c=0，变形得2a+b+=0，则根据0＜c＜2得2a+b+1＞0；根据根与系数的关系得到2x1=，即x1=，所以﹣2＜＜﹣1，变形即可得到2a+c＞0．
【解答】解：如图，
∵二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象经过点（x1，0）、（2，0），且﹣2＜x1＜﹣1，与y轴正半轴相交，
∴a＜0，c＞0，对称轴在y轴右侧，即x=﹣＞0，
∴b＞0，
∴abc＜0，所以①正确；
∵抛物线与x轴有两个交点，
∴b2﹣4ac＞0，即b2＞4ac，所以②正确；
当x=2时，y=0，即4a+2b+c=0，
∴2a+b+=0，
∵0＜c＜2，
∴2a+b+1＞0，所以③错误；
∵二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象经过点（x1，0）、（2，0），
∴方程ax2+bx+c=0（a≠0）的两根为x1，2，
∴2x1=，即x1=，
而﹣2＜x1＜﹣1，
∴﹣2＜＜﹣1，
∵a＜0，
∴﹣4a＞c＞﹣2a，
∴2a+c＞0，所以④正确．
故选C．
【点评】本题考查了二次函数的图象与系数的关系：二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象为抛物线，当a＞0，抛物线开口向上；对称轴为直线x=﹣；抛物线与y轴的交点坐标为（0，c）；当b2﹣4ac＞0，抛物线与x轴有两个交点；当b2﹣4ac=0，抛物线与x轴有一个交点；当b2﹣4ac＜0，抛物线与x轴没有交点．
4．已知二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，则下列结论中正确的是（ ）
A．a＞0
B．3是方程ax2+bx+c=0的一个根
C．a+b+c=0
D．当x＜1时，y随x的增大而减小
【考点】H4：二次函数图象与系数的关系；H3：二次函数的性质．
【专题】选择题
【分析】根据抛物线的开口方向可得a＜0，根据抛物线对称轴可得方程ax2+bx+c=0的根为x=﹣1，x=3；根据图象可得x=1时，y＞0；根据抛物线可直接得到x＜1时，y随x的增大而增大．
【解答】解：A、因为抛物线开口向下，因此a＜0，故此选项错误；
B、根据对称轴为x=1，一个交点坐标为（﹣1，0）可得另一个与x轴的交点坐标为（3，0）因此3是方程ax2+bx+c=0的一个根，故此选项正确；
C、把x=1代入二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）中得：y=a+b+c，由图象可得，y＞0，故此选项错误；
D、当x＜1时，y随x的增大而增大，故此选项错误；
故选B．
【点评】此题主要考查了二次函数图象与系数的关系，关键是从抛物线中的得到正确信息．
①二次项系数a决定抛物线的开口方向和大小．
当a＞0时，抛物线向上开口；当a＜0时，抛物线向下开口；IaI还可以决定开口大小，IaI越大开口就越小．
②一次项系数b和二次项系数a共同决定对称轴的位置．
当a与b同号时（即ab＞0），对称轴在y轴左； 当a与b异号时（即ab＜0），对称轴在y轴右．（简称：左同右异）
③常数项c决定抛物线与y轴交点． 抛物线与y轴交于（0，c）．
④抛物线与x轴交点个数．△=b2﹣4ac＞0时，抛物线与x轴有2个交点；△=b2﹣4ac=0时，抛物线与x轴有1个交点；△=b2﹣4ac＜0时，抛物线与x轴没有交点．
5．在反比例函数y=中，当x＞0时，y随x的增大而增大，则二次函数y=mx2+mx的图象大致是图中的（ ）
A．B．C．D．
【考点】H4：二次函数图象与系数的关系；G4：反比例函数的性质．
【专题】选择题
【分析】根据反比例函数图象的性质确定出m＜0，则二次函数y=mx2+mx的图象开口方向向下，且与y轴交于负半轴，即可得出答案．
【解答】解：∵反比例函数y=，中，当x＞0时，y随x的增大而增大，
∴根据反比例函数的性质可得m＜0；
该反比例函数图象经过第二、四象限，
∴二次函数y=mx2+mx的图象开口方向向下，且与y轴交于负半轴．
∴只有A选项符合．
故选A．
【点评】本题考查了二次函数图象、反比例函数图象．利用反比例函数的性质，推知m＜0是解题的关键，体现了数形结合的思想．
6．二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，下列结论正确的是（ ）
A．a＜0B．b2﹣4ac＜0
C．当﹣1＜x＜3时，y＞0D．﹣
【考点】H4：二次函数图象与系数的关系．
【专题】选择题
【分析】根据二次函数的图象与系数的关系对各选项进行逐一分析即可．
【解答】解：A、∵抛物线的开口向上，∴a＞0，故选项A错误；
B、∵抛物线与x轴有两个不同的交点，∴△=b2﹣4ac＞0，故选项B错误；
C、由函数图象可知，当﹣1＜x＜3时，y＜0，故选项C错误；
D、∵抛物线与x轴的两个交点分别是（﹣1，0），（3，0），∴对称轴x=﹣==1，故选项D正确．
故选D．
【点评】本题考查的是二次函数的图象与系数的关系，能利用数形结合求解是解答此题的关键．
7．已知二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，则下列五个结论中：①a+b+c＜0；②a﹣b+c＞0；③2a﹣b＜0；④abc＜0；⑤4a+2b+c＞0，错误的个数有（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
【考点】H4：二次函数图象与系数的关系．
【专题】选择题
【分析】分别结合图象判定出x=1，﹣1，2时对应y的值，再利用对称轴位置以及抛物线与坐标轴交点得出答案．
【解答】解：如图所示：当x=1时，y=a+b+c＜0，故①a+b+c＜0正确；
当x=﹣1时，y=a+b+c＜0，故②a﹣b+c＞0，错误；
③∵﹣＞﹣1，
∴＜1，
∴b＞2a，
即2a﹣b＜0，故此选项正确；
∵抛物线开口向下，∴a＜0，
∵0＞﹣＞﹣1，
∴b＜0，
∵抛物线与y轴交与负半轴，
∴c＜0，
∴abc＜0，
故选项④正确；
当x=2时，⑤y=4a+2b+c＜0，故此选项错误，
故错误的有2个．
故选B．
【点评】此题主要考查了二次函数图象与系数的关系，熟练利用数形结合得出是解题关键．
8．如图，二次函数y=ax2+bx+c的图象与y轴正半轴相交，其顶点的坐标为（，1），下列结论：①c＞0；②b2﹣4ac＞0；③a+b=0；④4ac﹣b2＞4a，其中错误的是（ ）
A．①B．②C．③D．④
【考点】H4：二次函数图象与系数的关系．
【专题】选择题
【分析】①根据抛物线与y轴的交点坐标即可确定；
②根据抛物线与x轴的交点情况即可判定；
③根据抛物线的对称轴即可判定；
④根据抛物线的顶点纵坐标即可判定．
【解答】解：①抛物线与y轴正半轴相交，∴c＞0，故①正确；
②抛物线与x轴相交于两个交点，∴b2﹣4ac＞0，故②正确；
③∵抛物线的对称轴为x=，∴x=﹣=，∴a+b=0，故③正确；
④∵抛物线顶点的纵坐标为1，∴=1，∴4ac﹣b2=4a，故④错误；
其中错误的是④．
故选D．
【点评】此题主要考查二次函数图象与系数之间的关系，会利用对称轴的范围求2a与b的关系，以及二次函数的自变量与对应的函数值，顶点坐标的熟练运用．
9．如图，已知二次函数的图象与x轴的两个交点分别为（﹣1，0），（3，0），对于下列结论：①2a+b=0；②abc＜0；③a+b+c＞0；④当x＞1时，y随x的增大而减小；其中正确的有（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
【考点】H4：二次函数图象与系数的关系．
【专题】选择题
【分析】根据抛物线的对称性得到抛物线的对称轴为直线x=1，根据抛物线对称轴方程得到﹣=1，则可对①进行判断；由抛物线开口方向得到a＜0，由b=﹣2a得到b＞0，由抛物线与y轴的交点在x轴上方得到c＞0，则可对②进行判断；利用x=1时，y＞0可对③进行判断；根据二次函数的性质对④进行判断．
【解答】解：∵二次函数的图象与x轴的两个交点分别为（﹣1，0），（3，0），
∴抛物线的对称轴为直线x=1，
∴﹣=1，即2a+b=0，所以①正确；
∵抛物线开口向下，
∴a＜0，
∵b=﹣2a，
∴b＞0，
∵抛物线与y轴的交点在x轴上方，
∴c＞0，
∴abc＜0，所以②正确；
∵x=1时，y＞0，
∴a+b+c＞0，所以③正确；
∵抛物线的对称轴为直线x=1，抛物线开口向下，
∴当x＞1时，y随x的增大而减小，所以④正确．
故选D．
【点评】本题考查了二次函数与系数的关系：对于二次函数y=ax2+bx+c（a≠0），二次项系数a决定抛物线的开口方向和大小：当a＞0时，抛物线向上开口；抛物线向下开口；一次项系数b和二次项系数a共同决定对称轴的位置：当a与b同号时（即ab＞0），对称轴在y轴左；当a与b异号时（即ab＜0），对称轴在y轴右．常数项c决定抛物线与y轴交点：抛物线与y轴交于（0，c）．抛物线与x轴交点个数由△决定：△=b2﹣4ac＞0时，抛物线与x轴有2个交点；△=b2﹣4ac=0时，抛物线与x轴有1个交点；△=b2﹣4ac＜0时，抛物线与x轴没有交点．
10．二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，则下列说法不正确的是（ ）
A．b2﹣4ac＞0B．a＞0C．c＞0D．
【考点】H4：二次函数图象与系数的关系．
【专题】选择题
【分析】由抛物线的开口方向判断a与0的关系，由抛物线与y轴的交点判断c与0的关系，然后根据对称轴及抛物线与x轴交点情况进行推理，进而对所得结论进行判断．
【解答】解：A、正确，∵抛物线与x轴有两个交点，∴△=b2﹣4ac＞0；
B、正确，∵抛物线开口向上，∴a＞0；
C、正确，∵抛物线与y轴的交点在y轴的正半轴，∴c＞0；
D、错误，∵抛物线的对称轴在x的正半轴上，∴﹣＞0．
故选D．
【点评】主要考查二次函数图象与系数之间的关系，以及二次函数与方程之间的转换，根的判别式的熟练运用．
11．如图是二次函数y=ax2+bx+c图象的一部分，其对称轴为x=﹣1，且过点（﹣3，0）．下列说法：
①abc＜0；
②2a﹣b=0；
③4a+2b+c＜0；
④若（﹣5，y1），（，y2）是抛物线上两点，则y1＞y2．
其中说法正确的是（ ）
A．①②B．②③C．①②④D．②③④
【考点】H4：二次函数图象与系数的关系．
【专题】选择题
【分析】根据图象得出a＞0，b=2a＞0，c＜0，即可判断①②；把x=2代入抛物线的解析式即可判断③，求出点（﹣5，y1）关于对称轴的对称点的坐标是（3，y1），根据当x＞﹣1时，y随x的增大而增大即可判断④．
【解答】解：∵二次函数的图象的开口向上，
∴a＞0，
∵二次函数的图象y轴的交点在y轴的负半轴上，
∴c＜0，
∵二次函数图象的对称轴是直线x=﹣1，
∴﹣=﹣1，
∴b=2a＞0，
∴abc＜0，∴①正确；
2a﹣b=2a﹣2a=0，∴②正确；
∵二次函数y=ax2+bx+c图象的一部分，其对称轴为x=﹣1，且过点（﹣3，0）．
∴与x轴的另一个交点的坐标是（1，0），
∴把x=2代入y=ax2+bx+c得：y=4a+2b+c＞0，∴③错误；
∵二次函数y=ax2+bx+c图象的对称轴为x=﹣1，
∴点（﹣5，y1）关于对称轴的对称点的坐标是（3，y1），
根据当x＞﹣1时，y随x的增大而增大，
∵＜3，
∴y2＜y1，∴④正确；
故选C．
【点评】本题考查了二次函数的图象与系数的关系的应用，题目比较典型，主要考查学生的理解能力和辨析能力．
12．若二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，则下列选项正确的是（ ）
A．a＞0B．c＞0C．ac＞0D．bc＜0
【考点】H4：二次函数图象与系数的关系．
【专题】选择题
【分析】由抛物线开口向下得到a小于0，再根据对称轴在y轴左侧得到a与b同号得到b大于0，由抛物线与y轴交点在负半轴得到c小于0，即可作出判断．
【解答】解：根据图象得：a＜0，c＜0，b＜0，
则ac＞0，bc＞0，
故选C．
【点评】此题考查了二次函数图象与系数的关系，会利用对称轴的范围求2a与b的关系，以及二次函数与方程之间的转换，根的判别式的熟练运用．
13．函数y=x2+bx+c与y=x的图象如图所示，有以下结论：
①b2﹣4c＞0；②b+c+1=0；③3b+c+6=0；④当1＜x＜3时，x2+（b﹣1）x+c＜0．
其中正确的个数为（ ）
A．1B．2C．3D．4
【考点】H4：二次函数图象与系数的关系．
【专题】选择题
【分析】由函数y=x2+bx+c与x轴无交点，可得b2﹣4c＜0；当x=1时，y=1+b+c=1；当x=3时，y=9+3b+c=3；当1＜x＜3时，二次函数值小于一次函数值，可得x2+bx+c＜x，继而可求得答案．
【解答】解：∵函数y=x2+bx+c与x轴无交点，
∴b2﹣4ac＜0；
故①错误；
当x=1时，y=1+b+c=1，
故②错误；
∵当x=3时，y=9+3b+c=3，
∴3b+c+6=0；
③正确；
∵当1＜x＜3时，二次函数值小于一次函数值，
∴x2+bx+c＜x，
∴x2+（b﹣1）x+c＜0．
故④正确．
故选B．
【点评】主要考查图象与二次函数系数之间的关系．此题难度适中，注意掌握数形结合思想的应用．
14．抛物线y=ax2+bx+c的顶点为D（﹣1，2），与x轴的一个交点A在点（﹣3，0）和（﹣2，0）之间，其部分图象如图，则以下结论：
①b2﹣4ac＜0；②a+b+c＜0；③c﹣a=2；④方程ax2+bx+c﹣2=0有两个相等的实数根．
其中正确结论的个数为（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
【考点】H4：二次函数图象与系数的关系；HA：抛物线与x轴的交点．
【专题】选择题
【分析】由抛物线与x轴有两个交点得到b2﹣4ac＞0；有抛物线顶点坐标得到抛物线的对称轴为直线x=﹣1，则根据抛物线的对称性得抛物线与x轴的另一个交点在点（0，0）和（1，0）之间，所以当x=1时，y＜0，则a+b+c＜0；由抛物线的顶点为D（﹣1，2）得a﹣b+c=2，由抛物线的对称轴为直线x=﹣=﹣1得b=2a，所以c﹣a=2；根据二次函数的最大值问题，当x=﹣1时，二次函数有最大值为2，即只有x=﹣1时，ax2+bx+c=2，所以说方程ax2+bx+c﹣2=0有两个相等的实数根．
【解答】解：∵抛物线与x轴有两个交点，
∴b2﹣4ac＞0，所以①错误；
∵顶点为D（﹣1，2），
∴抛物线的对称轴为直线x=﹣1，
∵抛物线与x轴的一个交点A在点（﹣3，0）和（﹣2，0）之间，
∴抛物线与x轴的另一个交点在点（0，0）和（1，0）之间，
∴当x=1时，y＜0，
∴a+b+c＜0，所以②正确；
∵抛物线的顶点为D（﹣1，2），
∴a﹣b+c=2，
∵抛物线的对称轴为直线x=﹣=﹣1，
∴b=2a，
∴a﹣2a+c=2，即c﹣a=2，所以③正确；
∵当x=﹣1时，二次函数有最大值为2，
即只有x=﹣1时，ax2+bx+c=2，
∴方程ax2+bx+c﹣2=0有两个相等的实数根，所以④正确．
故选C．
【点评】本题考查了二次函数的图象与系数的关系：二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象为抛物线，当a＞0，抛物线开口向上；对称轴为直线x=﹣；抛物线与y轴的交点坐标为（0，c）；当b2﹣4ac＞0，抛物线与x轴有两个交点；当b2﹣4ac=0，抛物线与x轴有一个交点；当b2﹣4ac＜0，抛物线与x轴没有交点．
15．已知二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示．下列结论：
①abc＞0；②2a﹣b＜0；③4a﹣2b+c＜0；④（a+c）2＜b2
其中正确的个数有（ ）
A．1B．2C．3D．4
【考点】H4：二次函数图象与系数的关系．
【专题】选择题
【分析】由抛物线开口方向得a＜0，由抛物线对称轴在y轴的左侧得a、b同号，即b＜0，由抛物线与y轴的交点在x轴上方得c＞0，所以abc＞0；根据抛物线对称轴的位置得到﹣1＜﹣＜0，则根据不等式性质即可得到2a﹣b＜0；由于x=﹣2时，对应的函数值小于0，则4a﹣2b+c＜0；同样当x=﹣1时，a﹣b+c＞0，x=1时，a+b+c＜0，则（a﹣b+c）（a+b+c）＜0，利用平方差公式展开得到（a+c）2﹣b2＜0，即（a+c）2＜b2．
【解答】解：∵抛物线开口向下，
∴a＜0，
∵抛物线的对称轴在y轴的左侧，
∴x=﹣＜0，
∴b＜0，
∵抛物线与y轴的交点在x轴上方，
∴c＞0，
∴abc＞0，（故①正确）；
∵﹣1＜﹣＜0，
∴2a﹣b＜0，（故②正确）；
∵当x=﹣2时，y＜0，
∴4a﹣2b+c＜0，（故③正确）；
∵当x=﹣1时，y＞0，
∴a﹣b+c＞0，
∵当x=1时，y＜0，
∴a+b+c＜0，
∴（a﹣b+c）（a+b+c）＜0，即（a+c﹣b）（a+c+b）＜0，
∴（a+c）2﹣b2＜0，（故④正确）．
综上所述，正确的个数有4个；
故选D．
【点评】本题考查了二次函数的图象与系数的关系：二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象为抛物线，当a＞0，抛物线开口向上；对称轴为直线x=﹣；抛物线与y轴的交点坐标为（0，c）；当b2﹣4ac＞0，抛物线与x轴有两个交点；当b2﹣4ac=0，抛物线与x轴有一个交点；当b2﹣4ac＜0，抛物线与x轴没有交点．
16．已知a、h、k为三数，且二次函数y=a（x﹣h）2+k在坐标平面上的图形通过（0，5）、（10，8）两点．若a＜0，0＜h＜10，则h之值可能为下列何者？（ ）
A．1B．3C．5D．7
【考点】H4：二次函数图象与系数的关系．
【专题】选择题
【分析】先画出抛物线的大致图象，根据顶点式得到抛物线的对称轴为直线x=h，由于抛物线过（0，5）、（10，8）两点．若a＜0，0＜h＜10，则点（0，5）到对称轴的距离大于点（10，8）到对称轴的距离，所以h﹣0＞10﹣h，然后解不等式后进行判断．
【解答】解：∵抛物线的对称轴为直线x=h，
而（0，5）、（10，8）两点在抛物线上，
∴h﹣0＞10﹣h，解得h＞5．
故选D．
【点评】本题考查了二次函数图象与系数的关系：二次函数y=ax2+bx+c（a≠0），二次项系数a决定抛物线的开口方向和大小，当a＞0时，抛物线向上开口；当a＜0时，抛物线向下开口；一次项系数b和二次项系数a共同决定对称轴的位置，当a与b同号时（即ab＞0），对称轴在y轴左； 当a与b异号时（即ab＜0），对称轴在y轴右；常数项c决定抛物线与y轴交点． 抛物线与y轴交于（0，c）；抛物线与x轴交点个数由△决定，△=b2﹣4ac＞0时，抛物线与x轴有2个交点；△=b2﹣4ac=0时，抛物线与x轴有1个交点；△=b2﹣4ac＜0时，抛物线与x轴没有交点．
17．如图为二次函数y=ax2+bx+c的图象，给出下列说法：
①ab＞0；
②方程ax2+bx+c=0的根为x1=﹣1，x2=3；
③a+b+c＞0；
④当x＞1时，随x值的增大而增大．
其中正确的说法有 ②③ ．
【考点】H4：二次函数图象与系数的关系．
【专题】填空题
【分析】①由抛物线的开口向下，对称轴在y轴的右侧，判断a，b与0的关系，得到ab＜0；故①错误；
②由抛物线与x轴的交点坐标得到方程ax2+bx+c=0的根为x1=﹣1，x2=3；故②正确；
③由x=1时，得到y=a+b+c＞0；故③正确；
④根据对称轴x=1，得到当x＞1时，随x值的增大而减小，故错误．
【解答】解：①∵抛物线的开口向下，
∴a＜0，∵对称轴在y轴的右侧，
∴b＞0
∴ab＜0；故①错误；
②∵抛物线与x轴交于（﹣1，0），（3，0），
∴方程ax2+bx+c=0的根为x1=﹣1，x2=3；故②正确；
③当x=1时，a+b+c＞0；故③正确；
④∵当x＞1时，随x值的增大而减小，故错误．
故答案为：②③．
【点评】本题主要考查图象与二次函数系数之间的关系，会利用对称轴的范围求2a与b的关系，以及二次函数与方程之间的转换，根的判别式的熟练运用．
18．抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）经过点（1，2）和（﹣1，﹣6）两点，则a+c= ﹣2 ．
【考点】H8：待定系数法求二次函数解析式．
【专题】填空题
【分析】把两点的坐标代入二次函数的解析式，通过①+②，得出2a+2c=﹣4，即可得出a+c的值．
【解答】解：把点（1，2）和（﹣1，﹣6）分别代入y=ax2+bx+c（a≠0）得：
，
①+②得：2a+2c=﹣4，
则a+c=﹣2；
故答案为：﹣2．
【点评】此题考查了待定系数法求二次函数的解析式，解题的关键是通过①+②，得到2a+2c的值，再作为一个整体出现，不要单独去求a，c的值．
19．如图，P是抛物线y=﹣x2+x+2在第一象限上的点，过点P分别向x轴和y轴引垂线，垂足分别为A，B，则四边形OAPB周长的最大值为 6 ．
【考点】H7：二次函数的最值；H5：二次函数图象上点的坐标特征．
【专题】填空题
【分析】设P（x，y）（2＞x＞0，y＞0），根据矩形的周长公式得到C=﹣2（x﹣1）2+6．根据二次函数的性质来求最值即可．
【解答】解：∵y=﹣x2+x+2，
∴当y=0时，﹣x2+x+2=0即﹣（x﹣2）（x+1）=0，
解得 x=2或x=﹣1
故设P（x，y）（2＞x＞0，y＞0），
∴C=2（x+y）=2（x﹣x2+x+2）=﹣2（x﹣1）2+6．
∴当x=1时，C最大值=6，．
即：四边形OAPB周长的最大值为6．
故答案是：6．
【点评】本题考查了二次函数的最值，二次函数图象上点的坐标特征．求二次函数的最大（小）值有三种方法，第一种可由图象直接得出，第二种是配方法，第三种是公式法．本题采用了配方法．
20．二次函数y=﹣x2+bx+c的图象如图所示，则一次函数y=bx+c的图象不经过第 四 象限．
【考点】H4：二次函数图象与系数的关系；F7：一次函数图象与系数的关系．
【专题】填空题
【分析】由抛物线的对称轴在y轴右侧，得到a与b异号，根据抛物线开口向下得到a小于0，故b大于0，再利用抛物线与y轴交点在y轴正半轴，得到c大于0，利用一次函数的性质即可判断出一次函数y=bx+c不经过的象限．
【解答】解：根据图象得：a＜0，b＞0，c＞0，
故一次函数y=bx+c的图象不经过第四象限．
故答案为：四．
【点评】此题考查了二次函数图象与系数的关系，以及一次函数图象与系数的关系，熟练掌握一次、二次函数的图象与性质是解本题的关键．
21．如图，抛物线y=a（x﹣1）2+4与x轴交于点A，B，与y轴交于点C，过点C作CD∥x轴交抛物线的对称轴于点D，连接BD，已知点A的坐标为（﹣1，0）
(1)求该抛物线的解析式；
(2)求梯形COBD的面积．
【考点】H8：待定系数法求二次函数解析式；H3：二次函数的性质；HA：抛物线与x轴的交点．
【专题】填空题
【分析】(1)将A坐标代入抛物线解析式，求出a的值，即可确定出解析式；
(2)抛物线解析式令x=0求出y的值，求出OC的长，根据对称轴求出CD的长，令y=0求出x的值，确定出OB的长，利用梯形面积公式即可求出梯形COBD的面积．
【解答】解：(1)将A（﹣1，0）代入y=a（x﹣1）2+4中，得：0=4a+4，
解得：a=﹣1，
则抛物线解析式为y=﹣（x﹣1）2+4；
(2)对于抛物线解析式，令x=0，得到y=3，即OC=3，
∵抛物线解析式为y=﹣（x﹣1）2+4的对称轴为直线x=1，
∴CD=1，
∵A（﹣1，0），
∴B（3，0），即OB=3，
则S梯形COBD==6．
【点评】此题考查了利用待定系数法求二次函数解析式，二次函数的性质，以及二次函数与x轴的交点，熟练掌握待定系数法是解本题的关键．
22．如图，抛物线y=x2﹣bx+c交x轴于点A（1，0），交y轴于点B，对称轴是x=2．
(1)求抛物线的解析式；
(2)点P是抛物线对称轴上的一个动点，是否存在点P，使△PAB的周长最小？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
【考点】H8：待定系数法求二次函数解析式；PA：轴对称﹣最短路线问题．
【专题】解答题
【分析】(1)根据抛物线经过点A（1，0），对称轴是x=2列出方程组，解方程组求出b、c的值即可；
(2)因为点A与点C关于x=2对称，根据轴对称的性质，连接BC与x=2交于点P，则点P即为所求，求出直线BC与x=2的交点即可．
【解答】解：(1)由题意得，，
解得b=4，c=3，
∴抛物线的解析式为．y=x2﹣4x+3；
(2)∵点A与点C关于x=2对称，
∴连接BC与x=2交于点P，则点P即为所求，
根据抛物线的对称性可知，点C的坐标为（3，0），
y=x2﹣4x+3与y轴的交点为（0，3），
∴设直线BC的解析式为：y=kx+b，
，
解得，k=﹣1，b=3，
∴直线BC的解析式为：y=﹣x+3，
则直线BC与x=2的交点坐标为：（2，1）
∴点P的坐标为：（2，1）．
【点评】本题考查的是待定系数法求二次函数的解析式和最短路径问题，掌握待定系数法求解析式的一般步骤和轴对称的性质是解题的关键．
23．在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=2x2+mx+n经过点A（0，﹣2），B（3，4）．
(1)求抛物线的表达式及对称轴；
(2)设点B关于原点的对称点为C，点D是抛物线对称轴上一动点，且点D纵坐标为t，记抛物线在A，B之间的部分为图象G（包含A，B两点）．若直线CD 与图象G有公共点，结合函数图象，求点D纵坐标t的取值范围．
【考点】H8：待定系数法求二次函数解析式；FA：待定系数法求一次函数解析式；H7：二次函数的最值．
【专题】解答题
【分析】(1)将A与B坐标代入抛物线解析式求出m与n的值，确定出抛物线解析式，求出对称轴即可；
(2)由题意确定出C坐标，以及二次函数的最小值，确定出D纵坐标的最小值，求出直线BC解析式，令x=1求出y的值，即可确定出t的范围．
【解答】解：(1)∵抛物线y=2x2+mx+n经过点A（0，﹣2），B（3，4），
代入得：，
解得：，
∴抛物线解析式为y=2x2﹣4x﹣2，对称轴为直线x=1；
(2)由题意得：C（﹣3，﹣4），二次函数y=2x2﹣4x﹣2的最小值为﹣4，
由函数图象得出D纵坐标最小值为﹣4，
设直线BC解析式为y=kx+b，
将B与C坐标代入得：，
解得：k=，b=0，
∴直线BC解析式为y=x，
当x=1时，y=，
则t的范围为﹣4≤t≤．
【点评】此题考查了待定系数法求二次函数解析式，待定系数法求一次函数解析式，以及函数的最值，熟练掌握待定系数法是解本题的关键．
24．如图，抛物线y=ax2+2x+c经过点A（0，3），B（﹣1，0），请解答下列问题：
(1)求抛物线的解析式；
(2)抛物线的顶点为点D，对称轴与x轴交于点E，连接BD，求BD的长．
注：抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）的顶点坐标是（﹣，）．
【考点】H8：待定系数法求二次函数解析式；H3：二次函数的性质．
【专题】解答题
【分析】(1)将A与B代入抛物线解析式求出a与c的值，即可确定出抛物线解析式；
(2)利用顶点坐标公式表示出D点坐标，进而确定出E点坐标，得到DE与OE的长，根据B点坐标求出BO的长，进而求出BE的长，在直角三角形BED中，利用勾股定理求出BD的长．
【解答】解：(1)∵抛物线y=ax2+2x+c经过点A（0，3），B（﹣1，0），
∴将A与B坐标代入得：，
解得：，
则抛物线解析式为y=﹣x2+2x+3；
(2)点D为抛物线顶点，由顶点坐标（﹣，）得，D（1，4），
∵对称轴与x轴交于点E，
∴DE=4，OE=1，
∵B（﹣1，0），
∴BO=1，
∴BE=2，
在Rt△BED中，根据勾股定理得：BD===2．
【点评】此题考查了待定系数法求二次函数解析式，以及二次函数的性质，熟练掌握待定系数法是解本题的关键．
25．已知二次函数图象的顶点坐标为（1，﹣1），且经过原点（0，0），求该函数的解析式．
【考点】H8：待定系数法求二次函数解析式．
【专题】解答题
【分析】设二次函数的解析式为y=a（x﹣1）2﹣1（a≠0），然后把原点坐标代入求解即可．
【解答】解：设二次函数的解析式为y=a（x﹣1）2﹣1（a≠0），
∵函数图象经过原点（0，0），
∴a（0﹣1）2﹣1=0，
解得a=1，
∴该函数解析式为y=（x﹣1）2﹣1．
【点评】本题考查了待定系数法求二次函数解析式，利用顶点式解析式求解更加简便．
26．如图①，已知抛物线y=ax2+bx+c经过点A（0，3），B（3，0），C（4，3）．
(1)求抛物线的函数表达式；
(2)求抛物线的顶点坐标和对称轴；
(3)把抛物线向上平移，使得顶点落在x轴上，直接写出两条抛物线、对称轴和y轴围成的图形的面积S（图②中阴影部分）．
【考点】H8：待定系数法求二次函数解析式；H3：二次函数的性质；H6：二次函数图象与几何变换．
【专题】解答题
【分析】(1)把点A、B、C代入抛物线解析式y=ax2+bx+c利用待定系数法求解即可；
(2)把抛物线解析式整理成顶点式形式，然后写出顶点坐标与对称轴即可；
(3)根据顶点坐标求出向上平移的距离，再根据阴影部分的面积等于平行四边形的面积，列式进行计算即可得解．
【解答】解：(1)∵抛物线y=ax2+bx+c经过点A（0，3），B（3，0），C（4，3），
∴，
解得，
所以抛物线的函数表达式为y=x2﹣4x+3；
(2)∵y=x2﹣4x+3=（x﹣2）2﹣1，
∴抛物线的顶点坐标为（2，﹣1），对称轴为直线x=2；
(3)如图，∵抛物线的顶点坐标为（2，﹣1），
∴PP′=1，
阴影部分的面积等于平行四边形A′APP′的面积，
平行四边形A′APP′的面积=1×2=2，
∴阴影部分的面积=2．
【点评】本题考查了待定系数法求二次函数解析式，二次函数的性质，二次函数图象与几何变换，(3)根据平移的性质，把阴影部分的面积转化为平行四边形的面积是解题的关键．
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