初中数学北师大版九年级（下）期中测试卷2


期中测试（二）
一、选择题
1．在Rt△ABC中，∠C=90°，且tanA=，则sinB的值为（　　）
A． B． C． D．
2．在Rt△ABC中，∠C=90°，若sinA=，则cosB的值是（　　）
A． B． C． D．
3． sin58°、cos58°、cos28°的大小关系是（　　）
A．cos28°＜cos58°＜sin58° B．sin58°＜cos28°＜cos58°
C．cos58°＜sin58°＜cos28° D．sin58°＜cos58°＜cos28°
4． ，锐角α的度数应是（　　）
A．40° B．30° C．20° D．10°
5．在△ABC中，若|sinA﹣|+（﹣tanB）2=0，则∠C的度数为（　　）
A．30° B．60° C．90° D．120°
6．下列函数：y=x（8﹣x），y=1﹣x2，y=，y=x2﹣，其中以x为自变量的二次函数有（　　）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
7．由二次函数y=2（x﹣3）2+1，可知（　　）
A．其图象的开口向下 B．其图象的对称轴为直线x=﹣3
C．其最小值为1 D．当x＜3时，y随x的增大而增大
8．下列四个函数中，图象经过原点且对称轴在y轴左侧的二次函数是（　　）
A．y=x2+2x B．y=x2﹣2x C．y=2（x+1）2 D．y=2（x﹣1）2
9．将抛物线y=2x2如何平移可得到抛物线y=2（x﹣4）2﹣1（　　）
A．向左平移4个单位，再向上平移1个单位
B．向左平移4个单位，再向下平移1个单位
C．向右平移4个单位，再向上平移1个单位
D．向右平移4个单位，再向下平移1个单位
10．已知二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示，其对称轴为x=﹣1，给出下列结论：①abc＞0；②2a+b=0；③a+b+c＞0；④a﹣b+c＜0，其中正确的结论是（　　）

A．①② B．①④ C．②③ D．③④

二、填空题
11．在△ABC中，∠C=90°，AB=13，BC=5，则sinA的值是 ．
12．△ABC中，∠C=90°，斜边上的中线CD=6，sinA=，则S△ABC= ．
13．x=　 　时，x2﹣6x+3有最小值，最小值是　 　．
14．请选择一组你自己所喜欢的a，b，c的值，使二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象同时足下列条件：①开口向下，②当x＜﹣2时，y随x的增大而增大；当x＞﹣2时，y随x的增大而减小．这样的二次函数的解析式可以是 ．
15．若函数y=mx2+（m+2）x+m+1的图象与x轴只有一个交点，那么m的值为　 ．

三、解答题
16．求下列各式的值
(1)；
(2)．




17．已知二次函数y=3x2+36x+81．
(1)写出它的顶点坐标；
(2)当x取何值时，y随x的增大而增大；
(3)求出图象与x轴的交点坐标；
(4)当x取何值时，y有最值，并求出最值；
(5)当x取何值时，y＜0．





18．某民航飞机在大连海域失事，为调查失事原因，决定派海军潜水员打捞飞机上的黑匣子，如图所示，一潜水员在A处以每小时8海里的速度向正东方向划行，在A处测得黑匣子B在北偏东60°的方向，划行半小时后到达C处，测得黑匣子B在北偏东30°的方向，在潜水员继续向东划行多少小时，距离黑匣子B最近，并求最近距离．





19．在△ABC中，已知∠C=90°，sinA+sinB=，求sinA﹣sinB的值．







20．抛物线y=x2+bx+c与x轴交于A（﹣1，0），B（3，0）两点．
(1)求该抛物线的解析式．
(2)一动点P在（1）中抛物线上滑动且满足S△ABP=10，求此时P点的坐标．










参考答案与试题解析
　
1．在Rt△ABC中，∠C=90°，且tanA=，则sinB的值为（　　）
A． B． C． D．
【考点】T5：特殊角的三角函数值．
【专题】选择题
【分析】根据特殊角的三角函数值即可求出∠A的值，再根据直角三角形的性质即可求出∠B的值，进而求出其三角函数值．
【解答】解：∵在Rt△ABC中，∠C=90°，且tanA=，
∴∠A=30°．
∴∠B=60°，sinB=．
故选A．
【点评】解答此题的关键是熟记特殊角的三角函数值及直角三角形的性质．
　
2．在Rt△ABC中，∠C=90°，若sinA=，则cosB的值是（　　）
A． B． C． D．
【考点】T3：同角三角函数的关系；T4：互余两角三角函数的关系．
【专题】选择题
【分析】根据互余两角的三角函数关系进行解答．
【解答】解：在Rt△ABC中，∵∠C=90°，
∴∠A+∠B=90°，
∴cosB=sinA，
∵sinA=，
∴cosB=．
故选：B．
【点评】本题考查了互余两角的三角函数关系，熟记关系式是解题的关键．在直角三角形中，∠A+∠B=90°时，正余弦之间的关系为：
①一个角的正弦值等于这个角的余角的余弦值，即sinA=cos（90°﹣∠A）；
②一个角的余弦值等于这个角的余角的正弦值，即cosA=sin（90°﹣∠A）；
也可以理解成若∠A+∠B=90°，那么sinA=cosB或sinB=cosA．
　
3． sin58°、cos58°、cos28°的大小关系是（　　）
A．cos28°＜cos58°＜sin58° B．sin58°＜cos28°＜cos58°
C．cos58°＜sin58°＜cos28° D．sin58°＜cos58°＜cos28°
【考点】T2：锐角三角函数的增减性．
【专题】选择题
【分析】先把正弦化成余弦，然后根据锐角三角函数值的变化规律：锐角余弦值随着角度的增大而减小进行排列大小．
【解答】解：sin58°=cos32°．
∵58°＞32°＞28°，
∴cos58°＜cos32°＜cos28°，
∴cos58°＜sin58°＜cos28°．
故选C．
【点评】本题考查了锐角三角形的增减性，当角度在0°～90°间变化时，①正弦值随着角度的增大（或减小）而增大（或减小）；②余弦值随着角度的增大（或减小）而减小（或增大）；③正切值随着角度的增大（或减小）而增大（或减小）．也考查了互余两角的三角函数之间的关系．
　
4． ，锐角α的度数应是（　　）
A．40° B．30° C．20° D．10°
【考点】T5：特殊角的三角函数值．
【专题】选择题
【分析】结合特殊角的三角函数值求解即可．
【解答】解：∵tan（α+20°）=1，
∴tan（α+20°）=，
又∵∠α为锐角，
∴∠α=10°．
故选D．
【点评】本题考查了特殊角的三角函数值，解答本题的关键在于熟练掌握各特殊角的三角函数值．
　
5．在△ABC中，若|sinA﹣|+（﹣tanB）2=0，则∠C的度数为（　　）
A．30° B．60° C．90° D．120°
【考点】T5：特殊角的三角函数值；16：非负数的性质：绝对值；1F：非负数的性质：偶次方．
【专题】选择题
【分析】先根据非负数的性质求出sinA=，tanB=，再根据特殊角的三角函数值即可求解．
【解答】解：∵|sinA﹣|+（﹣tanB）2=0，
∴|sinA﹣|=0，（﹣tanB）2=0，
∴sinA﹣=0，﹣tanB=0，
sinA=，tanB=
∴∠A=30°，∠B=30°，
∴∠C=120°．
故选D．
【点评】本题考查的知识点为：①考查了非负数的性质；②考查了三角形内角和为180°；③考查了特殊角的三角函数值．
　
6．下列函数：y=x（8﹣x），y=1﹣x2，y=，y=x2﹣，其中以x为自变量的二次函数有（　　）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【考点】H1：二次函数的定义．
【专题】选择题
【分析】根据二次函数的定义进行判断．
【解答】解：y=x（8﹣x）=﹣x2+8x，y=1﹣x2，符合二次函数的定义．
y=，二次二项式是被开方数，不是以x为自变量的二次函数．
y=x2﹣，分母上有自变量x，不是以x为自变量的二次函数．
综上所述，其中以x为自变量的二次函数有2个．
故选：B．
【点评】本题考查了二次二次函数的定义，熟记概念是解题的关键．
　
7．由二次函数y=2（x﹣3）2+1，可知（　　）
A．其图象的开口向下 B．其图象的对称轴为直线x=﹣3
C．其最小值为1 D．当x＜3时，y随x的增大而增大
【考点】H3：二次函数的性质．
【专题】选择题
【分析】根据二次函数的性质，直接根据a的值得出开口方向，再利用顶点坐标的对称轴和增减性，分别分析即可．
【解答】解：由二次函数y=2（x﹣3）2+1，可知：
A：∵a＞0，其图象的开口向上，故此选项错误；
B．∵其图象的对称轴为直线x=3，故此选项错误；
C．其最小值为1，故此选项正确；
D．当x＜3时，y随x的增大而减小，故此选项错误．
故选：C．
【点评】此题主要考查了二次函数的性质，同学们应根据题意熟练地应用二次函数性质，这是中考中考查重点知识．
　
8．下列四个函数中，图象经过原点且对称轴在y轴左侧的二次函数是（　　）
A．y=x2+2x B．y=x2﹣2x C．y=2（x+1）2 D．y=2（x﹣1）2
【考点】H3：二次函数的性质．
【专题】选择题
【分析】将（0，0）代入解析式即可判断出函数图象是否过原点，利用函数对称轴公式可判断出函数图象对称轴是否在y轴的左侧．
【解答】解：A、将（0，0）代入解析式y=x2+2x得0=0，故函数过原点；对称轴为x=﹣=﹣1，在对称轴的左侧，故本选项正确；
B、将（0，0）代入解析式y=x2﹣2x得0=0，故函数过原点；对称轴为x=﹣=1，在对称轴的右侧，故本选项错误；
C、将（0，0）代入解析式y=2（x+1）2得0≠2，故函数不过原点，故本选项错误；
D、将（0，0）代入解析式y=2（x﹣1）2得0≠2，故函数不过原点，故本选项错误．
故选A．
【点评】本题考查了二次函数的性质，知道函数图象上的点符合函数解析式和二次函数的对称轴公式是解题的关键．
　
9．将抛物线y=2x2如何平移可得到抛物线y=2（x﹣4）2﹣1（　　）
A．向左平移4个单位，再向上平移1个单位
B．向左平移4个单位，再向下平移1个单位
C．向右平移4个单位，再向上平移1个单位
D．向右平移4个单位，再向下平移1个单位
【考点】H6：二次函数图象与几何变换．
【专题】选择题
【分析】只需看顶点坐标是如何平移得到的即可．
【解答】解：原抛物线的顶点坐标为（0，0），新抛物线的顶点坐标为（4，﹣1），说明原抛物线向右平移4个单位，再向下平移1个单位可得到新抛物线．
故选D．
【点评】讨论两个二次函数的图象的平移问题．
　
10．已知二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示，其对称轴为x=﹣1，给出下列结论：①abc＞0；②2a+b=0；③a+b+c＞0；④a﹣b+c＜0，其中正确的结论是（　　）

A．①② B．①④ C．②③ D．③④
【考点】H4：二次函数图象与系数的关系．
【专题】选择题
【分析】由抛物线开口方向得到a＞0，由抛物线的对称轴为直线x=﹣=﹣1得到b=2a＞0，由抛物线与y轴的交点在x轴下方得到c＜0，所以abc＜0；由x=1时，函数值为正数得到a+b+c＞0；由x=﹣1时，函数值为负数得到a﹣b+c＜0．
【解答】解：∵抛物线开口向上，
∴a＞0，
∵抛物线的对称轴为直线x=﹣=﹣1，
∴b=2a＞0，
∵抛物线与y轴的交点在x轴下方，
∴c＜0，
∴abc＜0，所以①错误；
∵b=2a，
∴2a﹣b=0，所以②错误；
∵x=1时，y＞0，
∴a+b+c＞0，所以③正确；
∵x=﹣1时，y＜0，
∴a﹣b+c＜0，所以④正确．
故答案为：③④．

【点评】本题考查了二次函数图象与系数的关系：二次函数y=ax2+bx+c（a≠0），二次项系数a决定抛物线的开口方向和大小，当a＞0时，抛物线向上开口；当a＜0时，抛物线向下开口；一次项系数b和二次项系数a共同决定对称轴的位置：当a与b同号时（即ab＞0），对称轴在y轴左； 当a与b异号时（即ab＜0），对称轴在y轴右；常数项c决定抛物线与y轴交点：抛物线与y轴交于（0，c）；△=b2﹣4ac＞0时，抛物线与x轴有2个交点；△=b2﹣4ac=0时，抛物线与x轴有1个交点；△=b2﹣4ac＜0．
　
11．在△ABC中，∠C=90°，AB=13，BC=5，则sinA的值是　　．
【考点】T1：锐角三角函数的定义．
【专题】填空题
【分析】利用锐角三角函数的定义求解，sinA为∠A的对边比斜边，求出即可．
【解答】解：∵在△ABC中，∠C=90°，AB=13，BC=5，
∴sinA==．
故答案为．

【点评】此题主要考查了锐角三角函数的定义及运用：在直角三角形中，锐角的正弦为对边比斜边，余弦为邻边比斜边，正切为对边比邻边．
　
12．△ABC中，∠C=90°，斜边上的中线CD=6，sinA=，则S△ABC=　　．
【考点】T7：解直角三角形．
【专题】填空题
【分析】根据直角三角形中斜边上的中线为斜边的一半可求出AB；根据三角函数的定义求出AC，根据面积公式解答．
【解答】解：在Rt△ABC中，
∵斜边上的中线CD=6，
∴AB=12．
∵sinA==，
∴BC=4，AC==8．
∴S△ABC=AC•BC=16．
【点评】本题利用了直角三角形的性质：直角三角形中斜边上的中线为斜边的一半和锐角三角函数的概念求解．
　
13．x=　3　时，x2﹣6x+3有最小值，最小值是　﹣6　．
【考点】AE：配方法的应用；1F：非负数的性质：偶次方．
【专题】填空题
【分析】运用配方法变形x2﹣6x+3=（x﹣3）2﹣6；得出（x﹣3）2﹣6最小时，即（x﹣3）2=0，然后得出答案．
【解答】解：∵x2﹣6x+3=x2﹣6x+9﹣6=（x﹣3）2﹣6，
∴当x﹣3=0时，（x﹣3）2﹣6最小，
∴x=3时，代数式x2﹣6x+3有最小值，为﹣6．
故答案为：3，﹣6．
【点评】此题主要考查了配方法的应用，得出（x﹣3）2﹣6最小时，即（x﹣3）2=0，这是解决问题的关键．
　
14．请选择一组你自己所喜欢的a，b，c的值，使二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象同时足下列条件：①开口向下，②当x＜﹣2时，y随x的增大而增大；当x＞﹣2时，y随x的增大而减小．这样的二次函数的解析式可以是　y=﹣（x+2）2　．
【考点】H3：二次函数的性质．
【专题】填空题
【分析】根据开口向下，得a＜0；当x＜﹣2时，y随x的增大而增大；当x＞﹣2时，y随x的增大而减小，得抛物线的对称轴为x=﹣2，写出二次函数的解析式即可（答案不唯一）．
【解答】解：∵①开口向下，
∴a＜0；
∴取a=﹣1；
∵②当x＜﹣2时，y随x的增大而增大；当x＞﹣2时，y随x的增大而减小，
∴抛物线的对称轴为x=﹣2，
∴二次函数的解析式为y=﹣（x+2）2，
故答案为y=﹣（x+2）2．
【点评】本题考查了二次函数的性质，抛物线的开口方向由a的符号确定，a＞0，开口向上；a＜0，开口向上；本题是一个开放性题目，本题比较灵活，培养学生灵活运用知识的能力．
　
15. 若函数y=mx2+（m+2）x+m+1的图象与x轴只有一个交点，那么m的值为　0或±　．
【考点】HA：抛物线与x轴的交点；H1：二次函数的定义．
【专题】填空题
【分析】分类讨论：当m=0时，函数为y=2x+1，根据一次函数的性质易得一次函数与x轴只有一个交点；当m≠0，利用△=b2﹣4ac=0时，抛物线与x轴有1个交点得到△=（m+2）2﹣4m（m+1）=0，然后解关于m的一元二次方程．
【解答】解：当m=0时，函数为y=2x+1，此一次函数与x轴只有一个交点；
当m≠0，当△=（m+2）2﹣4m（m+1）=0时，二次函数y=mx2+（m+2）x+m+1的图象与x轴只有一个交点，解得m=±．
故答案为0或±．
【点评】本题考查了抛物线与x轴的交点：对于二次函数y=ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0），△=b2﹣4ac决定抛物线与x轴的交点个数：△=b2﹣4ac＞0时，抛物线与x轴有2个交点；△=b2﹣4ac=0时，抛物线与x轴有1个交点；△=b2﹣4ac＜0时，抛物线与x轴没有交点．解决本题的关键是讨论函数为一次函数或是二次函数．
　
16．求下列各式的值
(1)；
(2)．
【考点】T5：特殊角的三角函数值．
【专题】解答题
【分析】(1)将特殊角的三角函数值代入求解；
(2)将特殊角的三角函数值代入求解．
【解答】解：(1)原式=×+×+×
=；

(2)原式=×+﹣+
=．
【点评】本题考查了特殊角的三角函数值，解答本题的关键是掌握几个特殊角的三角函数值．
　
17．已知二次函数y=3x2+36x+81．
(1)写出它的顶点坐标；
(2)当x取何值时，y随x的增大而增大；
(3)求出图象与x轴的交点坐标；
(4)当x取何值时，y有最值，并求出最值；
(5)当x取何值时，y＜0．
【考点】H3：二次函数的性质．
【专题】解答题
【分析】(1)配方成顶点式即可知其顶点坐标；
(2)由抛物线的对称轴与开口方向可知函数的增减性；
(3)函数解析式中令y=0可得关于x的一元二次方程，解方程即可知与x轴的交点坐标；
(4)由抛物线顶点坐标可得；
(5)根据抛物线与x轴的交点坐标及开口方向可得．
【解答】解：(1)∵y=3x2+36x+81=3（x+6）2﹣27，
∴顶点坐标为（﹣6，﹣27）；
(2)∵抛物线的对称轴为x=﹣6，且抛物线的开口向上，
∴当x＞﹣6时，y随x的增大而增大；
(3)当3x2+36x+81=0时，解得：x1=﹣3，x2=﹣9，
∴该函数图象与x轴的交点为（﹣9，0）、（﹣3，0）；
(4)∵抛物线的顶点坐标为（﹣6，﹣27），
∴当x=﹣6时，y有最小值，最小值为﹣27；
(5)∵该函数图象与x轴的交点为（﹣9，0）、（﹣3，0），且抛物线的开口向上，
∴当﹣9＜x＜﹣3时，y＜0．
【点评】本题主要考查二次函数的性质，将二次函数的一般式配方成顶点式是了解二次函数性质的关键．
　
18．某民航飞机在大连海域失事，为调查失事原因，决定派海军潜水员打捞飞机上的黑匣子，如图所示，一潜水员在A处以每小时8海里的速度向正东方向划行，在A处测得黑匣子B在北偏东60°的方向，划行半小时后到达C处，测得黑匣子B在北偏东30°的方向，在潜水员继续向东划行多少小时，距离黑匣子B最近，并求最近距离．

【考点】TB：解直角三角形的应用﹣方向角问题．
【专题】解答题
【分析】最近距离即垂线段的长度．因此作BD⊥AC于D点，构造两个直角三角形，利用已知角的正切或余切分别表示出AD和CD，然后利用二者之间的关系列方程求解即可解决．
【解答】解：作BD⊥AC于D点．
在直角三角形ABD中，BD=tan∠BAC•AD=AD，即AD=BD；
在△BCD中，CD=tan∠CBD•BD=BD，
∵AC=AD﹣CD=8×0.5=4，即BD﹣BD=4
∴BD=2则CD=2，那么2÷8=0.25．
答：在潜水员继续向东划行0.25小时，距离黑匣子B最近，最近距离为2．

【点评】“化斜为直”是解三角形的常规方法．
　
19．在△ABC中，已知∠C=90°，sinA+sinB=，求sinA﹣sinB的值．
【考点】T4：互余两角三角函数的关系．
【专题】解答题
【分析】直接利用完全平方公式以及结合互余两角的关系得出答案．
【解答】解：∵sinA+sinB=，
∴（sinA+sinB）2=，
∴sin2A+sin2B+2sinA•sinB=，
∵sinB=cosA，
∴sin2A+cos2A+2sinA•sinB=，
∴2sinA•sinB=，
∴（sinA﹣sinB）2=1﹣=，
∴sinA﹣sinB=±．
【点评】此题主要考查了完全平方公式以及互余两角的关系，正确应用完全平方公式是解题关键．
　
20．抛物线y=x2+bx+c与x轴交于A（﹣1，0），B（3，0）两点．
(1)求该抛物线的解析式．
(2)一动点P在（1）中抛物线上滑动且满足S△ABP=10，求此时P点的坐标．

【考点】待定系数法求二次函数解析式；H3：二次函数的性质；HA：抛物线与x轴的交点．
【专题】解答题
【分析】(1)把A，B的坐标代入函数解析式，即可得到关于b，c的方程组，从而求得b，c的值，求得函数的解析式；
(2)根据三角形的面积公式求得三角形的高，即P的纵坐标，代入解析式求得横坐标即可．
【解答】解：(1)根据题意得：，
解得：，
则方程的解析式是：y=x2﹣2x﹣3；
(2)AB=3+1=4，
设P的纵坐标是m，
则×4|m|=10，
解得：|m|=5，
则m=5或﹣5．
当m=5时，x2﹣2x﹣3=5，x=﹣2或4，则P的坐标是（﹣2，5）或（4，5）；
当m=﹣5时，x2﹣2x﹣3=﹣5，方程无解．
故P的坐标是（﹣2，5）或（4，5）．
【点评】本题考查了待定系数法求一次函数的解析式，正确把三角形的面积的问题转化为点的坐标的问题，体现了数形结合的思想．