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数学八年级下册第四章 因式分解综合与测试课后练习题
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这是一份数学八年级下册第四章 因式分解综合与测试课后练习题，共19页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、选择题
1．下列运算正确的是（ ）
A．（a+b）2=a2+b2 B．（﹣2ab3）2=﹣4a2b6
C．3a2﹣2a3=a6 D．a3﹣a=a（a+1）（a﹣1）
2．因式分解3y2﹣6y+3，结果正确的是（ ）
A．3（y﹣1）2B．3（y2﹣2y+1）C．（3y﹣3）2D．
3．分解因式：y3﹣4y2+4y=（ ）
A．y（y2﹣4y+4）B．y（y﹣2）2C．y（y+2）2D．y（y+2）（y﹣2）
4．下列各因式分解正确的是（ ）
A．x2+2x﹣1=（x﹣1）2 B．﹣x2+（﹣2）2=（x﹣2）（x+2）
C．x3﹣4x=x（x+2）（x﹣2） D．（x+1）2=x2+2x+1
5．把代数式x3﹣4x2+4x分解因式，结果正确的是（ ）
A．x（x2﹣4x+4）B．x（x﹣4）2C．x（x+2）（x﹣2）D．x（x﹣2）2
6．因式分解x2y﹣4y的结果是（ ）
A．y（x2﹣4）B．y（x﹣2）2C．y（x+4）（x﹣4）D．y（x+2）（x﹣2）
7．把多项式x2﹣8x+16分解因式，结果正确的是（ ）
A．（x﹣4）2B．（x﹣8）2C．（x+4）（x﹣4）D．（x+8）（x﹣8）
8．下列代数式变形正确的是（ ）
A．﹣a+b=（a+b） B．﹣4a2+b2=（2a﹣b）（2a+b）
C．（﹣x﹣y）2=（x+y）2 D．x2﹣4x﹣3=（x﹣2）2﹣3
9．下列各式中，能用完全平方公式进行因式分解的是（ ）
A．x2﹣1B．x2+2x﹣1C．x2+x+1D．4x2+4x+1
10．因式分解4﹣4a+a2正确的是（ ）
A．（2﹣a）2B．（2+a）2C．（2﹣a）（2+a）D．4（1﹣a）+a2
11．把x2y﹣y分解因式，正确的是（ ）
A．y（x2﹣1）B．y（x+1）C．y（x﹣1）D．y（x+1）（x﹣1）
12．下列因式分解正确的是（ ）
A．x2+9=（x+3）2 B．a2+2a+4=（a+2）2
C．a3﹣4a2=a2（a﹣4） D．1﹣4x2=（1+4x）（1﹣4x）
二、填空题
13．分解因式：x2﹣4= ．
14．把多项式x2﹣3x因式分解，正确的结果是 ．
15．因式分解：x2+6x= ．
16．分解因式：m2+4m= ．
17．因式分解3a2+a= ．
三、解答题
18．一个三位正整数M，其各位数字均不为零且互不相等．若将M的十位数字与百位数字交换位置，得到一个新的三位数，我们称这个三位数为M的“友谊数”，如：168的“友谊数”为“618”；若从M的百位数字、十位数字、个位数字中任选两个组成一个新的两位数，并将得到的所有两位数求和，我们称这个和为M的“团结数”，如：123的“团结数”为12+13+21+23+31+32=132．
(1)求证：M与其“友谊数”的差能被15整除；
(2)若一个三位正整数N，其百位数字为2，十位数字为a、个位数字为b，且各位数字互不相等（a≠0，b≠0），若N的“团结数”与N之差为24，求N的值．
19．若一个两位正整数m的个位数为8，则称m为“好数”．
(1)求证：对任意“好数”m，m2﹣64一定为20的倍数；
(2)若m=p2﹣q2，且p，q为正整数，则称数对（p，q）为“友好数对”，规定：H（m）=，例如68=182﹣162，称数对（18，16）为“友好数对”，则H（68）==，求小于50的“好数”中，所有“友好数对”的H（m）的最大值．
20．一个四位数，记千位上和百位上的数字之和为x，十位上和个位上的数字之和为y，如果x=y，那么称这个四位数为“和平数”．
例如：1423，x=1+4，y=2+3，因为x=y，所以1423是“和平数”．
(1)直接写出：最小的“和平数”是 ，最大的“和平数”是 ；
(2)求个位上的数字是千位上的数字的两倍且百位上的数字与十位上的数字之和是12的倍数的所有“和平数”；
(3)将一个“和平数”的个位上与十位上的数字交换位置，同时，将百位上与千位上的数字交换位置，称交换前后的这两个“和平数”为一组“相关和平数”．
例如：1423与4132为一组“相关和平数”
求证：任意的一组“相关和平数”之和是1111的倍数．
21．先阅读下列材料，然后解后面的问题．
材料：一个三位自然数（百位数字为a，十位数字为b，个位数字为c），若满足a+c=b，则称这个三位数为“欢喜数”，并规定F（）=ac．如374，因为它的百位上数字3与个位数字4之和等于十位上的数字7，所以374是“欢喜数”，∴F（374）=3×4=12．
(1)对于“欢喜数”，若满足b能被9整除，求证：“欢喜数”能被99整除；
(2)已知有两个十位数字相同的“欢喜数”m，n（m＞n），若F（m）﹣F（n）=3，求m﹣n的值．
22．对任意一个正整数m，如果m=k（k+1），其中k是正整数，则称m为“矩数”，k 为m的最佳拆分点．例如，56=7×（7+1），则56是一个“矩数”，7为56的最佳拆分点．
(1)求证：若“矩数”m是3的倍数，则m一定是6的倍数；
(2)把“矩数”p与“矩数”q的差记为 D（p，q），其中p＞q，D（p，q）＞0．例如，20=4×5，6=2×3，则 D（20，6）=20﹣6=14．若“矩数”p的最佳拆分点为t，“矩数”q的最佳拆分点为s，当 D（p，q）=30时，求的最大值．
23．仔细阅读下面例题，解答问题：
例题：已知二次三项式x2﹣4x+m有一个因式是（x+3），求另一个因式以及m的值．
解：设另一个因式为（x+n），得
x2﹣4x+m=（x+3）（x+n）
则x2﹣4x+m=x2+（n+3）x+3n
∴．
解得：n=﹣7，m=﹣21
∴另一个因式为（x﹣7），m的值为﹣21
问题：仿照以上方法解答下面问题：
已知二次三项式2x2+3x﹣k有一个因式是（2x﹣5），求另一个因式以及k的值．
答案与解析
1．下列运算正确的是（ ）
A．（a+b）2=a2+b2B．（﹣2ab3）2=﹣4a2b6
C．3a2﹣2a3=a6D．a3﹣a=a（a+1）（a﹣1）
【考点】55：提公因式法与公式法的综合运用；35：合并同类项；47：幂的乘方与积的乘方；4C：完全平方公式．
【专题】选择题
【分析】A、原式利用完全平方公式化简得到结果，即可做出判断；
B、原式利用幂的乘方与积的乘方运算法则计算得到结果，即可做出判断；
C、原式不能合并，错误；
D、原式提取公因式，再利用平方差公式分解即可．
【解答】解：A、原式=a2+b2+2ab，错误；
B、原式=4a2b6，错误；
C、原式不能合并，错误；
D、原式=a（a+1）（a﹣1），正确，
故选D
【点评】此题考查了提公因式法与公式法的综合运用，合并同类项，幂的乘方与积的乘方，以及完全平方公式，熟练掌握公式及法则是解本题的关键．
2．因式分解3y2﹣6y+3，结果正确的是（ ）
A．3（y﹣1）2B．3（y2﹣2y+1）C．（3y﹣3）2D．
【考点】55：提公因式法与公式法的综合运用．
【专题】选择题
【分析】直接提取公因式3，进而利用完全平方公式分解因式即可．
【解答】解：3y2﹣6y+3=3（y2﹣2y+1）=3（y﹣1）2．
故选：A．
【点评】此题主要考查了提取公因式法以及公式法分解因式，熟练应用完全平方公式是解题关键．
3．分解因式：y3﹣4y2+4y=（ ）
A．y（y2﹣4y+4）B．y（y﹣2）2C．y（y+2）2D．y（y+2）（y﹣2）
【考点】55：提公因式法与公式法的综合运用．
【专题】选择题
【分析】原式提取y，再利用完全平方公式分解即可．
【解答】解：原式=y（y2﹣4y+4）=y（y﹣2）2，
故选B
【点评】此题考查了提公式法与公式法的综合运用，要注意有没有分解到不能分解．
4．下列各因式分解正确的是（ ）
A．x2+2x﹣1=（x﹣1）2B．﹣x2+（﹣2）2=（x﹣2）（x+2）
C．x3﹣4x=x（x+2）（x﹣2）D．（x+1）2=x2+2x+1
【考点】55：提公因式法与公式法的综合运用．
【专题】选择题
【分析】分别根据因式分解的定义以及提取公因式法和公式法分解因式得出即可．
【解答】解：A、x2+2x﹣1无法因式分解，故A错误；
B、﹣x2+（﹣2）2=（2+x）（2﹣x），故B错误；
C、x3﹣4x=x（x+2）（x﹣2），故C正确；
D、（x+1）2=x2+2x+1，是多项式的乘法，不是因式分解，故D错误．
故选：C．
【点评】此题主要考查了提取公因式法与公式法分解因式以及分解因式的定义，熟练掌握相关公式是解题关键．
5．把代数式x3﹣4x2+4x分解因式，结果正确的是（ ）
A．x（x2﹣4x+4）B．x（x﹣4）2C．x（x+2）（x﹣2）D．x（x﹣2）2
【考点】55：提公因式法与公式法的综合运用．
【专题】选择题
【分析】根据提公因式，完全平方公式，可得答案．
【解答】解：原式=x（x2﹣4x+4）=x（x﹣2）2，
故选：D．
【点评】本题考查了因式分解，利用提公因式，完全平方公式是解题关键．
6．因式分解x2y﹣4y的结果是（ ）
A．y（x2﹣4）B．y（x﹣2）2C．y（x+4）（x﹣4）D．y（x+2）（x﹣2）
【考点】55：提公因式法与公式法的综合运用．
【专题】选择题
【分析】此多项式有公因式，应先提取公因式，再对余下的多项式进行观察，有2项，可采用平方差公式继续分解．1
【解答】解：x2y﹣4y
=y（x2﹣4）
=y（x+2）（x﹣2）．
故选：D．
【点评】本题考查了提公因式法与公式法分解因式，要求灵活使用各种方法对多项式进行因式分解，一般来说，如果可以先提取公因式的要先提取公因式，再考虑运用公式法分解．
7．把多项式x2﹣8x+16分解因式，结果正确的是（ ）
A．（x﹣4）2B．（x﹣8）2C．（x+4）（x﹣4）D．（x+8）（x﹣8）
【考点】54：因式分解﹣运用公式法．
【专题】选择题
【分析】直接利用完全平方公式分解因式得出答案．
【解答】解：x2﹣8x+16=（x﹣4）2．
故选：A．
【点评】此题主要考查了公式法分解因式，正确应用完全平方公式是解题关键．
8．下列代数式变形正确的是（ ）
A．﹣a+b=（a+b） B．﹣4a2+b2=（2a﹣b）（2a+b）
C．（﹣x﹣y）2=（x+y）2 D．x2﹣4x﹣3=（x﹣2）2﹣3
【考点】54：因式分解﹣运用公式法；36：去括号与添括号；4C：完全平方公式．
【专题】选择题
【分析】直接利用添括号法则以及公式法分解因式、配方法的应用分别分析得出答案．
【解答】解：A、﹣a+b=﹣（a﹣b），故此选项错误；
B、﹣4a2+b2=（b﹣2a）（2a+b），故此选项错误；
C、（﹣x﹣y）2=（x+y）2，正确；
D、x2﹣4x﹣3=（x﹣2）2﹣7，故此选项错误；
故选：C．
【点评】此题主要考查了添括号法则以及公式法分解因式、配方法的应用，正确掌握运算法则是解题关键．
9．下列各式中，能用完全平方公式进行因式分解的是（ ）
A．x2﹣1B．x2+2x﹣1C．x2+x+1D．4x2+4x+1
【考点】54：因式分解﹣运用公式法．
【专题】选择题
【分析】根据完全平方公式，可得答案．
【解答】解：4x2+4x+1=（2x+1）2，故D符合题意；
故选：D．
【点评】本题考查了因式分解，熟记公式是解题关键．
10．因式分解4﹣4a+a2正确的是（ ）
A．（2﹣a）2B．（2+a）2C．（2﹣a）（2+a）D．4（1﹣a）+a2
【考点】54：因式分解﹣运用公式法．
【专题】选择题
【分析】直接利用公式法分解因式进而得出答案．
【解答】解：4﹣4a+a2=（2﹣a）2．
故选：A．
【点评】此题主要考查了公式法分解因式，正确应用完全平方公式是解题关键．
11．把x2y﹣y分解因式，正确的是（ ）
A．y（x2﹣1）B．y（x+1）C．y（x﹣1）D．y（x+1）（x﹣1）
【考点】55：提公因式法与公式法的综合运用．
【专题】选择题
【分析】先提取公因式y，然后利用平方差公式进行分解．
【解答】解：原式=y（x2﹣1）=y（x+1）（x﹣1）．
故选：D．
【点评】此题考查了提公因式法与公式法的综合运用，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键．
12．下列因式分解正确的是（ ）
A．x2+9=（x+3）2 B．a2+2a+4=（a+2）2
C．a3﹣4a2=a2（a﹣4） D．1﹣4x2=（1+4x）（1﹣4x）
【考点】55：提公因式法与公式法的综合运用．
【专题】选择题
【分析】各项利用提取公因式法及公式法分解得到结果，即可作出判断．
【解答】解：A、原式不能分解，错误；
B、原式不能分解，错误；
C、原式=a2（a﹣4），正确；
D、原式=（1+2x）（1﹣2x），错误，
故选C
【点评】此题考查了提公因式法与公式法的综合运用，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键．
13．分解因式：x2﹣4= ．
【考点】54：因式分解﹣运用公式法．
【专题】填空题
【分析】直接利用平方差公式进行因式分解即可．
【解答】解：x2﹣4=（x+2）（x﹣2）．
故答案为：（x+2）（x﹣2）．
【点评】本题考查了平方差公式因式分解．能用平方差公式进行因式分解的式子的特点是：两项平方项，符号相反．
14．把多项式x2﹣3x因式分解，正确的结果是 ．
【考点】53：因式分解﹣提公因式法．
【专题】填空题
【分析】直接提公因式x即可．
【解答】解：原式=x（x﹣3），
故答案为：x（x﹣3）．
【点评】此题主要考查了提公因式法分解因式，关键是正确确定公因式．
15．因式分解：x2+6x= ．
【考点】53：因式分解﹣提公因式法．
【专题】填空题
【分析】根据提公因式法，可得答案．
【解答】解：原式=x（6+x），
故答案为：x（x+6）．
【点评】本题考查了因式分解，利用提公因式法是解题关键．
16．分解因式：m2+4m= ．
【考点】53：因式分解﹣提公因式法．
【专题】填空题
【分析】直接提提取公因式m，进而分解因式得出答案．
【解答】解：m2+4m=m（m+4）．
故答案为：m（m+4）．
【点评】此题主要考查了提取公因式法分解因式，正确找出公因式是解题关键．
17．因式分解3a2+a= ．
【考点】53：因式分解﹣提公因式法．
【专题】填空题
【分析】直接提公因式a即可．
【解答】解：3a2+a=a（3a+1），
故答案为：a（3a+1）．
【点评】此题主要考查了提公因式法进行因式分解，关键是正确确定公因式．
18．一个三位正整数M，其各位数字均不为零且互不相等．若将M的十位数字与百位数字交换位置，得到一个新的三位数，我们称这个三位数为M的“友谊数”，如：168的“友谊数”为“618”；若从M的百位数字、十位数字、个位数字中任选两个组成一个新的两位数，并将得到的所有两位数求和，我们称这个和为M的“团结数”，如：123的“团结数”为12+13+21+23+31+32=132．
(1)求证：M与其“友谊数”的差能被15整除；
(2)若一个三位正整数N，其百位数字为2，十位数字为a、个位数字为b，且各位数字互不相等（a≠0，b≠0），若N的“团结数”与N之差为24，求N的值．
【考点】59：因式分解的应用．
【专题】解答题
【分析】(1)根据题意可以表示出M的友谊数，然后作差再除以15即可解答本题；
(2)根据题意可以表示出N和N的团结数，然后作差即可解答本题．
【解答】解：(1)由题意可得，
设M为100a+10b+c，则它的友谊数为：100b+10a+c，
（100a+10b+c）﹣（100b+10a+c）
=100a+10b+c﹣100b﹣10a﹣c
=100（a﹣b）+10（b﹣a）
=90（a﹣b），
∵，
∴M与其“友谊数”的差能被15整除；
(2)由题意可得，
N=2×100+10a+b=200+10a+b，
N的团结数是：10×2+a+10a+2+10×2+b+10×b+2+10a+b+10b+a=22a+22b+44，
∴22a+22b+44﹣（200+10a+b）=24，
解得，或，
即N是284或218．
【点评】本题考查因式分解的应用、解二元一次方程，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件．
19．若一个两位正整数m的个位数为8，则称m为“好数”．
(1)求证：对任意“好数”m，m2﹣64一定为20的倍数；
(2)若m=p2﹣q2，且p，q为正整数，则称数对（p，q）为“友好数对”，规定：H（m）=，例如68=182﹣162，称数对（18，16）为“友好数对”，则H（68）==，求小于50的“好数”中，所有“友好数对”的H（m）的最大值．
【考点】59：因式分解的应用．
【专题】解答题
【分析】(1)设m=10t+8，1≤t≤9，且t为整数，由于m2﹣64=20（5t2+8t），于是得到结论；
(2)根据已知条件得到10t+8=（p+q）（p﹣q），于是得到H（28）=，H（48）=或H（48）==或H（48）=，即可得到结论．
【解答】(1)证明：设m=10t+8，1≤t≤9，且t为整数，
∴m2﹣64=（10t+8）2﹣64=100t2+160t+64﹣64=20（5t2+8t），
∵1≤t≤9，且t为整数，
∴5t2+8t是正整数，
∴m2﹣64一定为20的倍数；
(2)解：∵m=p2﹣q2，且p，q为正整数，
∴10t+8=（p+q）（p﹣q），
当t=1时，18=1×18=2×9=3×6，没有满足条件的p，q；
当t=2时，28=1×28﹣3×14=4×7，
其中满足条件的p，q的数对有（8，6），即28=82﹣62，
∴H（28）=，
当t=3时，38=1×38=2×19，没有满足条件的p，q；
当t=4时，48=1×48=2×24=3×16=4×12=6×8，
满足条件的p，q的数对为或或，
解得：或或，
即48=132﹣92=82﹣42=72﹣12，
∴H（48）=或H（48）==或H（48）=，
∵，
∴H（m）的最大值为．
【点评】本题考查了因式分解的应用，正确的理解”好数”和“友好数对”是解题的关键．
20．一个四位数，记千位上和百位上的数字之和为x，十位上和个位上的数字之和为y，如果x=y，那么称这个四位数为“和平数”．
例如：1423，x=1+4，y=2+3，因为x=y，所以1423是“和平数”．
(1)直接写出：最小的“和平数”是 ，最大的“和平数”是 ；
(2)求个位上的数字是千位上的数字的两倍且百位上的数字与十位上的数字之和是12的倍数的所有“和平数”；
(3)将一个“和平数”的个位上与十位上的数字交换位置，同时，将百位上与千位上的数字交换位置，称交换前后的这两个“和平数”为一组“相关和平数”．
例如：1423与4132为一组“相关和平数”
求证：任意的一组“相关和平数”之和是1111的倍数．
【考点】59：因式分解的应用．
【专题】解答题
【分析】(1)根据题意即可得到结论；
(2)设这个“和平数”为，于是得到d=2a，a+b=c+d，b+c=12k，求得2c+a=12k，即a=2、4，6，8，d=4、8、12（舍去）、16（舍去），①、当a=2，d=4时，2（c+1）=12k，得到c=5则b=7，②、当a=4，d=8时，得到c=4则b=8，于是得到结论；
(3)设任意的两个“相关和平数”为，（a，b，c，d分别取0，1，2，…，9且a≠0，b≠0），于是得到+=1100（a+b）+11（c+d）=1111（a+b），即可得到结论．
【解答】解：(1)由题意得，最小的“和平数”1001，最大的“和平数”9999，
故答案为：1001，9999；
(2)设这个“和平数”为，
则d=2a，a+b=c+d，b+c=12k，
∴2c+a=12k，
即a=2、4，6，8，d=4、8、12（舍去）、16（舍去），
①、当a=2，d=4时，2（c+1）=12k，
可知c+1=6k且a+b=c+d，
∴c=5则b=7，
②、当a=4，d=8时，
2（c+2）=12k，
可知c+2=6k且a+b=c+d，
∴c=4则b=8，
综上所述，这个数为2754和4848．
(3)设任意的两个“相关和平数”为，（a，b，c，d分别取0，1，2，…，9且a≠0，b≠0），
则+=1100（a+b）+11（c+d）=1111（a+b），
即两个“相关和平数”之和是1111的倍数．
【点评】本题考查了因式分解的应用，正确的理解新概念和平数”是解题的关键．
21．先阅读下列材料，然后解后面的问题．
材料：一个三位自然数（百位数字为a，十位数字为b，个位数字为c），若满足a+c=b，则称这个三位数为“欢喜数”，并规定F（）=ac．如374，因为它的百位上数字3与个位数字4之和等于十位上的数字7，所以374是“欢喜数”，∴F（374）=3×4=12．
(1)对于“欢喜数”，若满足b能被9整除，求证：“欢喜数”能被99整除；
(2)已知有两个十位数字相同的“欢喜数”m，n（m＞n），若F（m）﹣F（n）=3，求m﹣n的值．
【考点】59：因式分解的应用．
【专题】解答题
【分析】(1)根据欢喜数的定义可得出a+c=b，由=100a+10b+c可得出=99a+11b，结合b能被9整除即可证出“欢喜数”能被99整除；
(2)设m=，n=（且a1＞a2），根据F（m）﹣F（n）=（a1﹣a2）（b﹣a1﹣a2）=3结合a1、a2、b均为整数，即可得出a1﹣a2=1或a1﹣a2=3，将其代入m﹣n=99（a1﹣a2）中即可得出结论．
【解答】(1)证明：∵为欢喜数，
∴a+c=b．
∵=100a+10b+c=99a+10b+a+c=99a+11b，b能被9整除，
∴11b能被99整除，99a能被99整除，
∴“欢喜数”能被99整除．
(2)设m=，n=（且a1＞a2），
∵F（m）﹣F（n）=a1•c1﹣a2•c2=a1•（b﹣a1）﹣a2（b﹣a2）=（a1﹣a2）（b﹣a1﹣a2）=3，a1、a2、b均为整数，
∴a1﹣a2=1或a1﹣a2=3．
∵m﹣n=100（a1﹣a2）﹣（a1﹣a2）=99（a1﹣a2），
∴m﹣n=99或m﹣n=297．
∴若F（m）﹣F（n）=3，则m﹣n的值为99或297．
【点评】本题考查了因式分解的应用，解题的关键是：(1)找出=99a+11b；(2)由F（m）﹣F（n）=3，求出a1﹣a2=1或a1﹣a2=3．
22．对任意一个正整数m，如果m=k（k+1），其中k是正整数，则称m为“矩数”，k 为m的最佳拆分点．例如，56=7×（7+1），则56是一个“矩数”，7为56的最佳拆分点．
(1)求证：若“矩数”m是3的倍数，则m一定是6的倍数；
(2)把“矩数”p与“矩数”q的差记为 D（p，q），其中p＞q，D（p，q）＞0．例如，20=4×5，6=2×3，则 D（20，6）=20﹣6=14．若“矩数”p的最佳拆分点为t，“矩数”q的最佳拆分点为s，当 D（p，q）=30时，求的最大值．
【考点】59：因式分解的应用．
【专题】解答题
【分析】(1)当k为奇数时，k+1是偶数，则k（k+1）是能被3整除的偶数，故k（k+1）是6的倍数；当k为偶数时，则k（k+1）是能被3整除的偶数，故k（k+1）是6的倍数，
(2)根据题意得p=t（t+1），q=s（s+1），D（p，q）=t（t+1）﹣s（s+1）=30，即t2+t﹣s2﹣s=30，分解因式得到（t﹣s）（t+s+1）=30，根据30=1×30=2×15=3×10=5×6，得到方程组求得或或或，于是得到结论．
【解答】解：(1)若“矩数”m=k（k+1）是3的倍数，则k（k+1）是3的倍数，k是正整数，
当k为奇数时，k+1是偶数，则k（k+1）是能被3整除的偶数，故k（k+1）是6的倍数；
当k为偶数时，则k（k+1）是能被3整除的偶数，故k（k+1）是6的倍数，
综上所述，若“矩数”m是3的倍数，则m一定是6的倍数；
(2)根据题意得p=t（t+1），q=s（s+1），D（p，q）=t（t+1）﹣s（s+1）=30，
即t2+t﹣s2﹣s=30，
∴（t﹣s）（t+s+1）=30，
∵t，s是正整数，t＞s，
∴t﹣s，t+s+1是正整数，且t+s+1＞t﹣s，
∵30=1×30=2×15=3×10=5×6，
∴或或或，
解得：或或或，
∵t，s是正整数，
∴符合条件的是：或或，
∴或=或=，
∵，
∴的最大值是．
【点评】本题考查了因式分解的应用，解二元一次方程组，正确的理解题意是解题的关键．
23．仔细阅读下面例题，解答问题：
例题：已知二次三项式x2﹣4x+m有一个因式是（x+3），求另一个因式以及m的值．
解：设另一个因式为（x+n），得
x2﹣4x+m=（x+3）（x+n）
则x2﹣4x+m=x2+（n+3）x+3n
∴．
解得：n=﹣7，m=﹣21
∴另一个因式为（x﹣7），m的值为﹣21
问题：仿照以上方法解答下面问题：
已知二次三项式2x2+3x﹣k有一个因式是（2x﹣5），求另一个因式以及k的值．
【考点】51：因式分解的意义．
【专题】解答题
【分析】根据例题中的已知的两个式子的关系，两个中二次三项式x2﹣4x+m的二次项系数是1，因式是（x+3）的一次项系数也是1，利用待定系数法求出另一个因式．所求的式子2x2+3x﹣k的二次项系数是2，因式是（2x﹣5）的一次项系数是2，则另一个因式的一次项系数一定是1，利用待定系数法，就可以求出另一个因式．
【解答】解：设另一个因式为（x+a），得（1分）
2x2+3x﹣k=（2x﹣5）（x+a）（2分）
则2x2+3x﹣k=2x2+（2a﹣5）x﹣5a（4分）
∴（6分）
解得：a=4，k=20（8分）
故另一个因式为（x+4），k的值为20（9分）
【点评】正确读懂例题，理解如何利用待定系数法求解是解本题的关键．
一、选择题
1．下列运算正确的是（ ）
A．（a+b）2=a2+b2 B．（﹣2ab3）2=﹣4a2b6
C．3a2﹣2a3=a6 D．a3﹣a=a（a+1）（a﹣1）
2．因式分解3y2﹣6y+3，结果正确的是（ ）
A．3（y﹣1）2B．3（y2﹣2y+1）C．（3y﹣3）2D．
3．分解因式：y3﹣4y2+4y=（ ）
A．y（y2﹣4y+4）B．y（y﹣2）2C．y（y+2）2D．y（y+2）（y﹣2）
4．下列各因式分解正确的是（ ）
A．x2+2x﹣1=（x﹣1）2 B．﹣x2+（﹣2）2=（x﹣2）（x+2）
C．x3﹣4x=x（x+2）（x﹣2） D．（x+1）2=x2+2x+1
5．把代数式x3﹣4x2+4x分解因式，结果正确的是（ ）
A．x（x2﹣4x+4）B．x（x﹣4）2C．x（x+2）（x﹣2）D．x（x﹣2）2
6．因式分解x2y﹣4y的结果是（ ）
A．y（x2﹣4）B．y（x﹣2）2C．y（x+4）（x﹣4）D．y（x+2）（x﹣2）
7．把多项式x2﹣8x+16分解因式，结果正确的是（ ）
A．（x﹣4）2B．（x﹣8）2C．（x+4）（x﹣4）D．（x+8）（x﹣8）
8．下列代数式变形正确的是（ ）
A．﹣a+b=（a+b） B．﹣4a2+b2=（2a﹣b）（2a+b）
C．（﹣x﹣y）2=（x+y）2 D．x2﹣4x﹣3=（x﹣2）2﹣3
9．下列各式中，能用完全平方公式进行因式分解的是（ ）
A．x2﹣1B．x2+2x﹣1C．x2+x+1D．4x2+4x+1
10．因式分解4﹣4a+a2正确的是（ ）
A．（2﹣a）2B．（2+a）2C．（2﹣a）（2+a）D．4（1﹣a）+a2
11．把x2y﹣y分解因式，正确的是（ ）
A．y（x2﹣1）B．y（x+1）C．y（x﹣1）D．y（x+1）（x﹣1）
12．下列因式分解正确的是（ ）
A．x2+9=（x+3）2 B．a2+2a+4=（a+2）2
C．a3﹣4a2=a2（a﹣4） D．1﹣4x2=（1+4x）（1﹣4x）
二、填空题
13．分解因式：x2﹣4= ．
14．把多项式x2﹣3x因式分解，正确的结果是 ．
15．因式分解：x2+6x= ．
16．分解因式：m2+4m= ．
17．因式分解3a2+a= ．
三、解答题
18．一个三位正整数M，其各位数字均不为零且互不相等．若将M的十位数字与百位数字交换位置，得到一个新的三位数，我们称这个三位数为M的“友谊数”，如：168的“友谊数”为“618”；若从M的百位数字、十位数字、个位数字中任选两个组成一个新的两位数，并将得到的所有两位数求和，我们称这个和为M的“团结数”，如：123的“团结数”为12+13+21+23+31+32=132．
(1)求证：M与其“友谊数”的差能被15整除；
(2)若一个三位正整数N，其百位数字为2，十位数字为a、个位数字为b，且各位数字互不相等（a≠0，b≠0），若N的“团结数”与N之差为24，求N的值．
19．若一个两位正整数m的个位数为8，则称m为“好数”．
(1)求证：对任意“好数”m，m2﹣64一定为20的倍数；
(2)若m=p2﹣q2，且p，q为正整数，则称数对（p，q）为“友好数对”，规定：H（m）=，例如68=182﹣162，称数对（18，16）为“友好数对”，则H（68）==，求小于50的“好数”中，所有“友好数对”的H（m）的最大值．
20．一个四位数，记千位上和百位上的数字之和为x，十位上和个位上的数字之和为y，如果x=y，那么称这个四位数为“和平数”．
例如：1423，x=1+4，y=2+3，因为x=y，所以1423是“和平数”．
(1)直接写出：最小的“和平数”是 ，最大的“和平数”是 ；
(2)求个位上的数字是千位上的数字的两倍且百位上的数字与十位上的数字之和是12的倍数的所有“和平数”；
(3)将一个“和平数”的个位上与十位上的数字交换位置，同时，将百位上与千位上的数字交换位置，称交换前后的这两个“和平数”为一组“相关和平数”．
例如：1423与4132为一组“相关和平数”
求证：任意的一组“相关和平数”之和是1111的倍数．
21．先阅读下列材料，然后解后面的问题．
材料：一个三位自然数（百位数字为a，十位数字为b，个位数字为c），若满足a+c=b，则称这个三位数为“欢喜数”，并规定F（）=ac．如374，因为它的百位上数字3与个位数字4之和等于十位上的数字7，所以374是“欢喜数”，∴F（374）=3×4=12．
(1)对于“欢喜数”，若满足b能被9整除，求证：“欢喜数”能被99整除；
(2)已知有两个十位数字相同的“欢喜数”m，n（m＞n），若F（m）﹣F（n）=3，求m﹣n的值．
22．对任意一个正整数m，如果m=k（k+1），其中k是正整数，则称m为“矩数”，k 为m的最佳拆分点．例如，56=7×（7+1），则56是一个“矩数”，7为56的最佳拆分点．
(1)求证：若“矩数”m是3的倍数，则m一定是6的倍数；
(2)把“矩数”p与“矩数”q的差记为 D（p，q），其中p＞q，D（p，q）＞0．例如，20=4×5，6=2×3，则 D（20，6）=20﹣6=14．若“矩数”p的最佳拆分点为t，“矩数”q的最佳拆分点为s，当 D（p，q）=30时，求的最大值．
23．仔细阅读下面例题，解答问题：
例题：已知二次三项式x2﹣4x+m有一个因式是（x+3），求另一个因式以及m的值．
解：设另一个因式为（x+n），得
x2﹣4x+m=（x+3）（x+n）
则x2﹣4x+m=x2+（n+3）x+3n
∴．
解得：n=﹣7，m=﹣21
∴另一个因式为（x﹣7），m的值为﹣21
问题：仿照以上方法解答下面问题：
已知二次三项式2x2+3x﹣k有一个因式是（2x﹣5），求另一个因式以及k的值．
答案与解析
1．下列运算正确的是（ ）
A．（a+b）2=a2+b2B．（﹣2ab3）2=﹣4a2b6
C．3a2﹣2a3=a6D．a3﹣a=a（a+1）（a﹣1）
【考点】55：提公因式法与公式法的综合运用；35：合并同类项；47：幂的乘方与积的乘方；4C：完全平方公式．
【专题】选择题
【分析】A、原式利用完全平方公式化简得到结果，即可做出判断；
B、原式利用幂的乘方与积的乘方运算法则计算得到结果，即可做出判断；
C、原式不能合并，错误；
D、原式提取公因式，再利用平方差公式分解即可．
【解答】解：A、原式=a2+b2+2ab，错误；
B、原式=4a2b6，错误；
C、原式不能合并，错误；
D、原式=a（a+1）（a﹣1），正确，
故选D
【点评】此题考查了提公因式法与公式法的综合运用，合并同类项，幂的乘方与积的乘方，以及完全平方公式，熟练掌握公式及法则是解本题的关键．
2．因式分解3y2﹣6y+3，结果正确的是（ ）
A．3（y﹣1）2B．3（y2﹣2y+1）C．（3y﹣3）2D．
【考点】55：提公因式法与公式法的综合运用．
【专题】选择题
【分析】直接提取公因式3，进而利用完全平方公式分解因式即可．
【解答】解：3y2﹣6y+3=3（y2﹣2y+1）=3（y﹣1）2．
故选：A．
【点评】此题主要考查了提取公因式法以及公式法分解因式，熟练应用完全平方公式是解题关键．
3．分解因式：y3﹣4y2+4y=（ ）
A．y（y2﹣4y+4）B．y（y﹣2）2C．y（y+2）2D．y（y+2）（y﹣2）
【考点】55：提公因式法与公式法的综合运用．
【专题】选择题
【分析】原式提取y，再利用完全平方公式分解即可．
【解答】解：原式=y（y2﹣4y+4）=y（y﹣2）2，
故选B
【点评】此题考查了提公式法与公式法的综合运用，要注意有没有分解到不能分解．
4．下列各因式分解正确的是（ ）
A．x2+2x﹣1=（x﹣1）2B．﹣x2+（﹣2）2=（x﹣2）（x+2）
C．x3﹣4x=x（x+2）（x﹣2）D．（x+1）2=x2+2x+1
【考点】55：提公因式法与公式法的综合运用．
【专题】选择题
【分析】分别根据因式分解的定义以及提取公因式法和公式法分解因式得出即可．
【解答】解：A、x2+2x﹣1无法因式分解，故A错误；
B、﹣x2+（﹣2）2=（2+x）（2﹣x），故B错误；
C、x3﹣4x=x（x+2）（x﹣2），故C正确；
D、（x+1）2=x2+2x+1，是多项式的乘法，不是因式分解，故D错误．
故选：C．
【点评】此题主要考查了提取公因式法与公式法分解因式以及分解因式的定义，熟练掌握相关公式是解题关键．
5．把代数式x3﹣4x2+4x分解因式，结果正确的是（ ）
A．x（x2﹣4x+4）B．x（x﹣4）2C．x（x+2）（x﹣2）D．x（x﹣2）2
【考点】55：提公因式法与公式法的综合运用．
【专题】选择题
【分析】根据提公因式，完全平方公式，可得答案．
【解答】解：原式=x（x2﹣4x+4）=x（x﹣2）2，
故选：D．
【点评】本题考查了因式分解，利用提公因式，完全平方公式是解题关键．
6．因式分解x2y﹣4y的结果是（ ）
A．y（x2﹣4）B．y（x﹣2）2C．y（x+4）（x﹣4）D．y（x+2）（x﹣2）
【考点】55：提公因式法与公式法的综合运用．
【专题】选择题
【分析】此多项式有公因式，应先提取公因式，再对余下的多项式进行观察，有2项，可采用平方差公式继续分解．1
【解答】解：x2y﹣4y
=y（x2﹣4）
=y（x+2）（x﹣2）．
故选：D．
【点评】本题考查了提公因式法与公式法分解因式，要求灵活使用各种方法对多项式进行因式分解，一般来说，如果可以先提取公因式的要先提取公因式，再考虑运用公式法分解．
7．把多项式x2﹣8x+16分解因式，结果正确的是（ ）
A．（x﹣4）2B．（x﹣8）2C．（x+4）（x﹣4）D．（x+8）（x﹣8）
【考点】54：因式分解﹣运用公式法．
【专题】选择题
【分析】直接利用完全平方公式分解因式得出答案．
【解答】解：x2﹣8x+16=（x﹣4）2．
故选：A．
【点评】此题主要考查了公式法分解因式，正确应用完全平方公式是解题关键．
8．下列代数式变形正确的是（ ）
A．﹣a+b=（a+b） B．﹣4a2+b2=（2a﹣b）（2a+b）
C．（﹣x﹣y）2=（x+y）2 D．x2﹣4x﹣3=（x﹣2）2﹣3
【考点】54：因式分解﹣运用公式法；36：去括号与添括号；4C：完全平方公式．
【专题】选择题
【分析】直接利用添括号法则以及公式法分解因式、配方法的应用分别分析得出答案．
【解答】解：A、﹣a+b=﹣（a﹣b），故此选项错误；
B、﹣4a2+b2=（b﹣2a）（2a+b），故此选项错误；
C、（﹣x﹣y）2=（x+y）2，正确；
D、x2﹣4x﹣3=（x﹣2）2﹣7，故此选项错误；
故选：C．
【点评】此题主要考查了添括号法则以及公式法分解因式、配方法的应用，正确掌握运算法则是解题关键．
9．下列各式中，能用完全平方公式进行因式分解的是（ ）
A．x2﹣1B．x2+2x﹣1C．x2+x+1D．4x2+4x+1
【考点】54：因式分解﹣运用公式法．
【专题】选择题
【分析】根据完全平方公式，可得答案．
【解答】解：4x2+4x+1=（2x+1）2，故D符合题意；
故选：D．
【点评】本题考查了因式分解，熟记公式是解题关键．
10．因式分解4﹣4a+a2正确的是（ ）
A．（2﹣a）2B．（2+a）2C．（2﹣a）（2+a）D．4（1﹣a）+a2
【考点】54：因式分解﹣运用公式法．
【专题】选择题
【分析】直接利用公式法分解因式进而得出答案．
【解答】解：4﹣4a+a2=（2﹣a）2．
故选：A．
【点评】此题主要考查了公式法分解因式，正确应用完全平方公式是解题关键．
11．把x2y﹣y分解因式，正确的是（ ）
A．y（x2﹣1）B．y（x+1）C．y（x﹣1）D．y（x+1）（x﹣1）
【考点】55：提公因式法与公式法的综合运用．
【专题】选择题
【分析】先提取公因式y，然后利用平方差公式进行分解．
【解答】解：原式=y（x2﹣1）=y（x+1）（x﹣1）．
故选：D．
【点评】此题考查了提公因式法与公式法的综合运用，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键．
12．下列因式分解正确的是（ ）
A．x2+9=（x+3）2 B．a2+2a+4=（a+2）2
C．a3﹣4a2=a2（a﹣4） D．1﹣4x2=（1+4x）（1﹣4x）
【考点】55：提公因式法与公式法的综合运用．
【专题】选择题
【分析】各项利用提取公因式法及公式法分解得到结果，即可作出判断．
【解答】解：A、原式不能分解，错误；
B、原式不能分解，错误；
C、原式=a2（a﹣4），正确；
D、原式=（1+2x）（1﹣2x），错误，
故选C
【点评】此题考查了提公因式法与公式法的综合运用，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键．
13．分解因式：x2﹣4= ．
【考点】54：因式分解﹣运用公式法．
【专题】填空题
【分析】直接利用平方差公式进行因式分解即可．
【解答】解：x2﹣4=（x+2）（x﹣2）．
故答案为：（x+2）（x﹣2）．
【点评】本题考查了平方差公式因式分解．能用平方差公式进行因式分解的式子的特点是：两项平方项，符号相反．
14．把多项式x2﹣3x因式分解，正确的结果是 ．
【考点】53：因式分解﹣提公因式法．
【专题】填空题
【分析】直接提公因式x即可．
【解答】解：原式=x（x﹣3），
故答案为：x（x﹣3）．
【点评】此题主要考查了提公因式法分解因式，关键是正确确定公因式．
15．因式分解：x2+6x= ．
【考点】53：因式分解﹣提公因式法．
【专题】填空题
【分析】根据提公因式法，可得答案．
【解答】解：原式=x（6+x），
故答案为：x（x+6）．
【点评】本题考查了因式分解，利用提公因式法是解题关键．
16．分解因式：m2+4m= ．
【考点】53：因式分解﹣提公因式法．
【专题】填空题
【分析】直接提提取公因式m，进而分解因式得出答案．
【解答】解：m2+4m=m（m+4）．
故答案为：m（m+4）．
【点评】此题主要考查了提取公因式法分解因式，正确找出公因式是解题关键．
17．因式分解3a2+a= ．
【考点】53：因式分解﹣提公因式法．
【专题】填空题
【分析】直接提公因式a即可．
【解答】解：3a2+a=a（3a+1），
故答案为：a（3a+1）．
【点评】此题主要考查了提公因式法进行因式分解，关键是正确确定公因式．
18．一个三位正整数M，其各位数字均不为零且互不相等．若将M的十位数字与百位数字交换位置，得到一个新的三位数，我们称这个三位数为M的“友谊数”，如：168的“友谊数”为“618”；若从M的百位数字、十位数字、个位数字中任选两个组成一个新的两位数，并将得到的所有两位数求和，我们称这个和为M的“团结数”，如：123的“团结数”为12+13+21+23+31+32=132．
(1)求证：M与其“友谊数”的差能被15整除；
(2)若一个三位正整数N，其百位数字为2，十位数字为a、个位数字为b，且各位数字互不相等（a≠0，b≠0），若N的“团结数”与N之差为24，求N的值．
【考点】59：因式分解的应用．
【专题】解答题
【分析】(1)根据题意可以表示出M的友谊数，然后作差再除以15即可解答本题；
(2)根据题意可以表示出N和N的团结数，然后作差即可解答本题．
【解答】解：(1)由题意可得，
设M为100a+10b+c，则它的友谊数为：100b+10a+c，
（100a+10b+c）﹣（100b+10a+c）
=100a+10b+c﹣100b﹣10a﹣c
=100（a﹣b）+10（b﹣a）
=90（a﹣b），
∵，
∴M与其“友谊数”的差能被15整除；
(2)由题意可得，
N=2×100+10a+b=200+10a+b，
N的团结数是：10×2+a+10a+2+10×2+b+10×b+2+10a+b+10b+a=22a+22b+44，
∴22a+22b+44﹣（200+10a+b）=24，
解得，或，
即N是284或218．
【点评】本题考查因式分解的应用、解二元一次方程，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件．
19．若一个两位正整数m的个位数为8，则称m为“好数”．
(1)求证：对任意“好数”m，m2﹣64一定为20的倍数；
(2)若m=p2﹣q2，且p，q为正整数，则称数对（p，q）为“友好数对”，规定：H（m）=，例如68=182﹣162，称数对（18，16）为“友好数对”，则H（68）==，求小于50的“好数”中，所有“友好数对”的H（m）的最大值．
【考点】59：因式分解的应用．
【专题】解答题
【分析】(1)设m=10t+8，1≤t≤9，且t为整数，由于m2﹣64=20（5t2+8t），于是得到结论；
(2)根据已知条件得到10t+8=（p+q）（p﹣q），于是得到H（28）=，H（48）=或H（48）==或H（48）=，即可得到结论．
【解答】(1)证明：设m=10t+8，1≤t≤9，且t为整数，
∴m2﹣64=（10t+8）2﹣64=100t2+160t+64﹣64=20（5t2+8t），
∵1≤t≤9，且t为整数，
∴5t2+8t是正整数，
∴m2﹣64一定为20的倍数；
(2)解：∵m=p2﹣q2，且p，q为正整数，
∴10t+8=（p+q）（p﹣q），
当t=1时，18=1×18=2×9=3×6，没有满足条件的p，q；
当t=2时，28=1×28﹣3×14=4×7，
其中满足条件的p，q的数对有（8，6），即28=82﹣62，
∴H（28）=，
当t=3时，38=1×38=2×19，没有满足条件的p，q；
当t=4时，48=1×48=2×24=3×16=4×12=6×8，
满足条件的p，q的数对为或或，
解得：或或，
即48=132﹣92=82﹣42=72﹣12，
∴H（48）=或H（48）==或H（48）=，
∵，
∴H（m）的最大值为．
【点评】本题考查了因式分解的应用，正确的理解”好数”和“友好数对”是解题的关键．
20．一个四位数，记千位上和百位上的数字之和为x，十位上和个位上的数字之和为y，如果x=y，那么称这个四位数为“和平数”．
例如：1423，x=1+4，y=2+3，因为x=y，所以1423是“和平数”．
(1)直接写出：最小的“和平数”是 ，最大的“和平数”是 ；
(2)求个位上的数字是千位上的数字的两倍且百位上的数字与十位上的数字之和是12的倍数的所有“和平数”；
(3)将一个“和平数”的个位上与十位上的数字交换位置，同时，将百位上与千位上的数字交换位置，称交换前后的这两个“和平数”为一组“相关和平数”．
例如：1423与4132为一组“相关和平数”
求证：任意的一组“相关和平数”之和是1111的倍数．
【考点】59：因式分解的应用．
【专题】解答题
【分析】(1)根据题意即可得到结论；
(2)设这个“和平数”为，于是得到d=2a，a+b=c+d，b+c=12k，求得2c+a=12k，即a=2、4，6，8，d=4、8、12（舍去）、16（舍去），①、当a=2，d=4时，2（c+1）=12k，得到c=5则b=7，②、当a=4，d=8时，得到c=4则b=8，于是得到结论；
(3)设任意的两个“相关和平数”为，（a，b，c，d分别取0，1，2，…，9且a≠0，b≠0），于是得到+=1100（a+b）+11（c+d）=1111（a+b），即可得到结论．
【解答】解：(1)由题意得，最小的“和平数”1001，最大的“和平数”9999，
故答案为：1001，9999；
(2)设这个“和平数”为，
则d=2a，a+b=c+d，b+c=12k，
∴2c+a=12k，
即a=2、4，6，8，d=4、8、12（舍去）、16（舍去），
①、当a=2，d=4时，2（c+1）=12k，
可知c+1=6k且a+b=c+d，
∴c=5则b=7，
②、当a=4，d=8时，
2（c+2）=12k，
可知c+2=6k且a+b=c+d，
∴c=4则b=8，
综上所述，这个数为2754和4848．
(3)设任意的两个“相关和平数”为，（a，b，c，d分别取0，1，2，…，9且a≠0，b≠0），
则+=1100（a+b）+11（c+d）=1111（a+b），
即两个“相关和平数”之和是1111的倍数．
【点评】本题考查了因式分解的应用，正确的理解新概念和平数”是解题的关键．
21．先阅读下列材料，然后解后面的问题．
材料：一个三位自然数（百位数字为a，十位数字为b，个位数字为c），若满足a+c=b，则称这个三位数为“欢喜数”，并规定F（）=ac．如374，因为它的百位上数字3与个位数字4之和等于十位上的数字7，所以374是“欢喜数”，∴F（374）=3×4=12．
(1)对于“欢喜数”，若满足b能被9整除，求证：“欢喜数”能被99整除；
(2)已知有两个十位数字相同的“欢喜数”m，n（m＞n），若F（m）﹣F（n）=3，求m﹣n的值．
【考点】59：因式分解的应用．
【专题】解答题
【分析】(1)根据欢喜数的定义可得出a+c=b，由=100a+10b+c可得出=99a+11b，结合b能被9整除即可证出“欢喜数”能被99整除；
(2)设m=，n=（且a1＞a2），根据F（m）﹣F（n）=（a1﹣a2）（b﹣a1﹣a2）=3结合a1、a2、b均为整数，即可得出a1﹣a2=1或a1﹣a2=3，将其代入m﹣n=99（a1﹣a2）中即可得出结论．
【解答】(1)证明：∵为欢喜数，
∴a+c=b．
∵=100a+10b+c=99a+10b+a+c=99a+11b，b能被9整除，
∴11b能被99整除，99a能被99整除，
∴“欢喜数”能被99整除．
(2)设m=，n=（且a1＞a2），
∵F（m）﹣F（n）=a1•c1﹣a2•c2=a1•（b﹣a1）﹣a2（b﹣a2）=（a1﹣a2）（b﹣a1﹣a2）=3，a1、a2、b均为整数，
∴a1﹣a2=1或a1﹣a2=3．
∵m﹣n=100（a1﹣a2）﹣（a1﹣a2）=99（a1﹣a2），
∴m﹣n=99或m﹣n=297．
∴若F（m）﹣F（n）=3，则m﹣n的值为99或297．
【点评】本题考查了因式分解的应用，解题的关键是：(1)找出=99a+11b；(2)由F（m）﹣F（n）=3，求出a1﹣a2=1或a1﹣a2=3．
22．对任意一个正整数m，如果m=k（k+1），其中k是正整数，则称m为“矩数”，k 为m的最佳拆分点．例如，56=7×（7+1），则56是一个“矩数”，7为56的最佳拆分点．
(1)求证：若“矩数”m是3的倍数，则m一定是6的倍数；
(2)把“矩数”p与“矩数”q的差记为 D（p，q），其中p＞q，D（p，q）＞0．例如，20=4×5，6=2×3，则 D（20，6）=20﹣6=14．若“矩数”p的最佳拆分点为t，“矩数”q的最佳拆分点为s，当 D（p，q）=30时，求的最大值．
【考点】59：因式分解的应用．
【专题】解答题
【分析】(1)当k为奇数时，k+1是偶数，则k（k+1）是能被3整除的偶数，故k（k+1）是6的倍数；当k为偶数时，则k（k+1）是能被3整除的偶数，故k（k+1）是6的倍数，
(2)根据题意得p=t（t+1），q=s（s+1），D（p，q）=t（t+1）﹣s（s+1）=30，即t2+t﹣s2﹣s=30，分解因式得到（t﹣s）（t+s+1）=30，根据30=1×30=2×15=3×10=5×6，得到方程组求得或或或，于是得到结论．
【解答】解：(1)若“矩数”m=k（k+1）是3的倍数，则k（k+1）是3的倍数，k是正整数，
当k为奇数时，k+1是偶数，则k（k+1）是能被3整除的偶数，故k（k+1）是6的倍数；
当k为偶数时，则k（k+1）是能被3整除的偶数，故k（k+1）是6的倍数，
综上所述，若“矩数”m是3的倍数，则m一定是6的倍数；
(2)根据题意得p=t（t+1），q=s（s+1），D（p，q）=t（t+1）﹣s（s+1）=30，
即t2+t﹣s2﹣s=30，
∴（t﹣s）（t+s+1）=30，
∵t，s是正整数，t＞s，
∴t﹣s，t+s+1是正整数，且t+s+1＞t﹣s，
∵30=1×30=2×15=3×10=5×6，
∴或或或，
解得：或或或，
∵t，s是正整数，
∴符合条件的是：或或，
∴或=或=，
∵，
∴的最大值是．
【点评】本题考查了因式分解的应用，解二元一次方程组，正确的理解题意是解题的关键．
23．仔细阅读下面例题，解答问题：
例题：已知二次三项式x2﹣4x+m有一个因式是（x+3），求另一个因式以及m的值．
解：设另一个因式为（x+n），得
x2﹣4x+m=（x+3）（x+n）
则x2﹣4x+m=x2+（n+3）x+3n
∴．
解得：n=﹣7，m=﹣21
∴另一个因式为（x﹣7），m的值为﹣21
问题：仿照以上方法解答下面问题：
已知二次三项式2x2+3x﹣k有一个因式是（2x﹣5），求另一个因式以及k的值．
【考点】51：因式分解的意义．
【专题】解答题
【分析】根据例题中的已知的两个式子的关系，两个中二次三项式x2﹣4x+m的二次项系数是1，因式是（x+3）的一次项系数也是1，利用待定系数法求出另一个因式．所求的式子2x2+3x﹣k的二次项系数是2，因式是（2x﹣5）的一次项系数是2，则另一个因式的一次项系数一定是1，利用待定系数法，就可以求出另一个因式．
【解答】解：设另一个因式为（x+a），得（1分）
2x2+3x﹣k=（2x﹣5）（x+a）（2分）
则2x2+3x﹣k=2x2+（2a﹣5）x﹣5a（4分）
∴（6分）
解得：a=4，k=20（8分）
故另一个因式为（x+4），k的值为20（9分）
【点评】正确读懂例题，理解如何利用待定系数法求解是解本题的关键．
相关试卷
初中数学北师八下第6章卷（2）： 这是一份初中数学北师八下第6章卷（2），共29页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
初中数学北师八下第5章卷（2）： 这是一份初中数学北师八下第5章卷（2），共17页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
初中数学北师八下第4章卷（2）： 这是一份初中数学北师八下第4章卷（2），共19页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
